第1讲 集合·配套【讲】义-2027年高考数学一轮复习（全国I卷地区通用）

第1讲 集合·配套讲义

一、考情分析

二、知识清单

1、元素与集合

2、集合间的基本关系

3、集合的基本运算

4、集合的运算性质

三、解题通法

考点一：集合的表示与基本运算

考点二：集合间的关系与参数求解

考点三：集合的新定义与综合探究

四、典题精讲

考点一：集合的表示与基本运算

考点二：集合间的关系与参数求解

考点三：集合的新定义与综合探究

五、高考真题

 

一、考情分析

1. 考查频次与题型

集合作为高中数学的起始章节和基础工具，在全国一卷（新高考Ⅰ卷）中属于高频必考考点.在每年的高考真题中，均有一道集合题，通常出现在单项选择题的第1题或第2题，分值为5分.考查内容主要集中在集合的基本运算（交、并、补）以及集合关系的判断.

2. 命题角度与特色

核心考点：集合的基本交、并、补运算，集合包含关系的判定.

命题趋势：近年来的集合题不再局限于单一的抽象集合运算，而是更加注重与其他知识板块的交汇融合.

试题特点：侧重“反套路、重思维”的考查，如2024年与代数高次不等式结合，2026年与三角函数诱导公式及特殊角求值结合，考查代数变形与计算的基本功.

3. 备考策略

夯实基础：熟练掌握集合的交、并、补运算，深刻理解集合元素的互异性、无序性和确定性.

突破交汇：加强集合与一元二次不等式、分式不等式、绝对值不等式、指数对数不等式以及三角函数等知识的综合训练，提升跨章节解题能力.

数形结合：在处理连续型数集问题时，养成画数轴的好习惯，特别注意端点值（实心点与空心圈）的取舍；在处理离散型数集或抽象集合关系时，善于借助Venn图直观分析.

二、知识清单

1.元素与集合

（1） 集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性.

· 确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的.也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了.例如，给定集合 ，可知 ，在该集合中；，不在该集合中.

· 互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的.也就是说，集合中的元素是不重复出现的.例如，集合 应满足 .

· 无序性：组成集合的元素间没有顺序之分.例如，集合 和 是同一个集合.

（2） 元素与集合的关系：属于或不属于，数学符号分别记为： 和 .

（3） 集合的表示方法：列举法、描述法、韦恩图（Venn图）.

· 列举法：把集合的元素一一列举出来，并用花括号“”括起来表示集合的方法叫做列举法.

· 描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法.具体方法是：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.

（4） 常见数集和数学符号：

2.集合间的基本关系

（1） 子集：一般地，对于两个集合 、，如果集合 中任意一个元素都是集合 中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合 为集合 的子集，记作 （或 ），读作“ 包含于 ”（或“ 包含 ”）.

（2） 真子集：如果集合 ，但存在元素 ，且 ，我们称集合 是集合 的真子集，记作 （或 ），读作“ 真包含于 ”或“ 真包含 ”.

（3） 相等：如果集合 是集合 的子集（），且集合 是集合 的子集（），此时，集合 与集合 中的元素是一样的，因此，集合 与集合 相等，记作 .

（4） 空集的性质：我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作 是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.

【防坑警示】在求含参集合的子集关系时，务必优先考虑“空集”这一特殊情况.若 ，当 为空集 时，包含关系依然成立.此时对应的方程无解或不等式解集为空，此情况极易被遗漏，导致漏解.

3.集合的基本运算

（1） 交集：一般地，由属于集合 且属于集合 的所有元素组成的集合，称为 与 的交集，记作 ，即 .

（2） 并集：一般地，由所有属于集合 或属于集合 的元素组成的集合，称为 与 的并集，记作 ，即 .

（3） 补集：对于一个集合 ，由全集 中不属于集合 的所有元素组成的集合称为集合 相对于全集 的补集，简称为集合 的补集，记作 ，即 .

4.集合的运算性质

（1） ，，.

（2） ，，.

（3） ，，.

（4） 德·摩根定律：，.

【知识拓展：子集个数规律】

若有限集 中有 个元素，则：