第1讲 集合·配套【讲】义-2027年高考数学一轮复习（全国I卷地区通用）

该高中数学高考复习讲义聚焦集合核心考点，涵盖元素与集合关系、集合间基本关系、交并补运算及运算性质，按考情分析、知识清单、解题通法、典题精讲、高考真题逻辑架构，通过考点梳理、方法指导、真题训练等环节，帮助学生系统突破集合与不等式、三角函数交汇等难点。 资料采用数形结合与分类讨论策略，如处理含参集合关系时优先考虑空集，新定义问题通过试算理解规则，培养学生数学思维与数学语言表达能力。设置基础到综合的分层例题，配合高考真题演练，确保高效复习，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支持。

第1讲 集合·配套讲义 一、考情分析 1 二、知识清单 1 1、元素与集合 1 2、集合间的基本关系 2 3、集合的基本运算 3 4、集合的运算性质 3 三、解题通法 4 考点一：集合的表示与基本运算 4 考点二：集合间的关系与参数求解 4 考点三：集合的新定义与综合探究 5 四、典题精讲 5 考点一：集合的表示与基本运算 5 考点二：集合间的关系与参数求解 8 考点三：集合的新定义与综合探究 10 五、高考真题 13 一、考情分析 1. 考查频次与题型 集合作为高中数学的起始章节和基础工具，在全国一卷（新高考Ⅰ卷）中属于高频必考考点.在每年的高考真题中，均有一道集合题，通常出现在单项选择题的第1题或第2题，分值为5分.考查内容主要集中在集合的基本运算（交、并、补）以及集合关系的判断. 年份 题号与题型 分值 考查内容 2024年 第1题（单选） 5分 三次不等式与离散集合求交集 2025年 第2题（单选） 5分 正整数集合的补集运算 2026年 第3题（单选） 5分 三角函数求值与交集运算 2. 命题角度与特色 核心考点：集合的基本交、并、补运算，集合包含关系的判定. 命题趋势：近年来的集合题不再局限于单一的抽象集合运算，而是更加注重与其他知识板块的交汇融合. 试题特点：侧重“反套路、重思维”的考查，如2024年与代数高次不等式结合，2026年与三角函数诱导公式及特殊角求值结合，考查代数变形与计算的基本功. 3. 备考策略 夯实基础：熟练掌握集合的交、并、补运算，深刻理解集合元素的互异性、无序性和确定性. 突破交汇：加强集合与一元二次不等式、分式不等式、绝对值不等式、指数对数不等式以及三角函数等知识的综合训练，提升跨章节解题能力. 数形结合：在处理连续型数集问题时，养成画数轴的好习惯，特别注意端点值（实心点与空心圈）的取舍；在处理离散型数集或抽象集合关系时，善于借助Venn图直观分析. 二、知识清单 1.元素与集合 （1） 集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性. · 确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的.也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了.例如，给定集合 ，可知 ，在该集合中；，不在该集合中. · 互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的.也就是说，集合中的元素是不重复出现的.例如，集合 应满足 . · 无序性：组成集合的元素间没有顺序之分.例如，集合 和 是同一个集合. （2） 元素与集合的关系：属于或不属于，数学符号分别记为： 和 . （3） 集合的表示方法：列举法、描述法、韦恩图（Venn图）. · 列举法：把集合的元素一一列举出来，并用花括号“”括起来表示集合的方法叫做列举法. · 描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法.具体方法是：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征. （4） 常见数集和数学符号： 数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 或 2.集合间的基本关系 （1） 子集：一般地，对于两个集合 、，如果集合 中任意一个元素都是集合 中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合 为集合 的子集，记作 （或 ），读作“ 包含于 ”（或“ 包含 ”）. （2） 真子集：如果集合 ，但存在元素 ，且 ，我们称集合 是集合 的真子集，记作 （或 ），读作“ 真包含于 ”或“ 真包含 ”. （3） 相等：如果集合 是集合 的子集（），且集合 是集合 的子集（），此时，集合 与集合 中的元素是一样的，因此，集合 与集合 相等，记作 . （4） 空集的性质：我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作 是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集. 【防坑警示】在求含参集合的子集关系时，务必优先考虑“空集”这一特殊情况.若 ，当 为空集 时，包含关系依然成立.此时对应的方程无解或不等式解集为空，此情况极易被遗漏，导致漏解. 3.集合的基本运算 （1） 交集：一般地，由属于集合 且属于集合 的所有元素组成的集合，称为 与 的交集，记作 ，即 . （2） 并集：一般地，由所有属于集合 或属于集合 的元素组成的集合，称为 与 的并集，记作 ，即 . （3） 补集：对于一个集合 ，由全集 中不属于集合 的所有元素组成的集合称为集合 相对于全集 的补集，简称为集合 的补集，记作 ，即 . 4.集合的运算性质 （1） ，，. （2） ，，. （3） ，，. （4） 德·摩根定律：，. 【知识拓展：子集个数规律】 若有限集 中有 个元素，则： · 的子集个数为 个. · 的真子集个数为 个. · 的非空子集个数为 个. · 的非空真子集个数为 个. 三、方法总结 考点一：集合的表示与基本运算 考法1：解不等式或求函数定义域/值域进行集合运算 · 审清代表元素：第一步必须看清竖线前的代表元素是 、 还是有序数对 代表求定义域或解不等式， 代表求值域， 代表求两曲线交点. · 端点精确取舍：求解对数不等式和偶次根式不等式时，必须优先保证真数大于 和被开方数非负.在进行交、并、补运算时，开区间的补集端点为闭，闭区间的补集端点为开. 考法2：利用Venn图或容斥原理求集合运算 · 德·摩根定律降维：面对复杂的补集与交并集混合运算，如 ，应优先利用德·摩根定律将其转化为 进行化简. · Venn图直观定位：对于离散型数集，画出Venn图，从最内层的多个集合交集区域开始，由内向外逐层推算并填入各个区域的元素. · 容斥原理公式：解决集合基数（元素个数）问题时，直接应用公式 . 考法3：已知集合运算结果逆求参数 · 代入、求解、检验三步法：先根据交集结果将已知元素代入集合中列方程求解，求出参数的所有可能值后，必须代回原集合，检验是否满足元素的互异性，并确认交集结果是否恰好为已知集合. 考点二：集合间的关系与参数求解 考法4：解不等式或方程求集合并计算子集个数 · 等价转化交点问题：集合交集只有一个元素，等价于两曲线图象只有一个交点.常利用分离参数法转化为方程唯一解问题，结合导数研究单调性或数形结合求解. · 熟记子集计数公式：直接套用 或 计算子集或真子集个数. 考法5：判断集合关系或根据包含关系求参数 · 等价转化子集关系：熟练掌握： ； . · 空集排雷：处理 且 含有参数时，必须首先分类讨论 的情况（如方程判别式 或一次项系数为 导致无解），切记不能漏掉空集. 考法6：利用集合相等与互异性求参数 · 对应分类讨论：根据两个集合相等，对应元素相等列出方程组.由于对应关系不唯一，需要分情况讨论. · 互异性排雷：解出参数的所有可能值后，必须代回原集合中检验是否有重复元素，排除无效解. 考点三：集合的新定义与综合探究 考法7：理解集合新运算求元素或集合 · 规则翻译与试算：面对抽象新定义，先用具体数进行试算以理解运算规则.对于坐标或和差新定义，通过确定两个自变量范围，用枚举法或排除法列出所有可能组合，再利用互异性去重. 考法8：基于集合新定义判断性质或求参数 · 性质推导与构造反例：新定义性质判定中，若涉及区间最值，需结合二次函数等在动区间上的最大、最小值进行作差分析.判断全称命题时，善于构造特殊的极值反例来快速排除错误选项. 考法9：结合计数原理与新定义求集合个数或最值 · 利用整除性缩小范围：当集合划分涉及元素和相等时，首要切入点是计算总和 ，利用其必须被相应组数整除的特征，过滤并确定参数 的取值边界，进而采用“从小到大”的枚举验证. 考法10：结合数列性质求集合元素最值 · 极端构造法：若新定义限制了集合元素之间的差值（间距），要求元素个数最多，应使元素尽可能小且排列紧密.通常构造首项为最小自然数的等差数列模型，利用求和公式确定元素个数的上限. 四、典题精讲 考点一：集合的表示与基本运算 考法1：解不等式或求函数定义域/值域进行集合运算 例1.（2026·福建龙岩·二模）（单选）若集合，，则（ 　　） A. B. C. D. 【答案】A 【思路】求解集合运算问题，第一步永远是看清集合的“代表元素”.集合A的代表元素是，且，所以集合A实质上是求二次函数的值域；集合B的代表元素是，实质上是解指数不等式.分别求出两个集合的区间表示后，再利用数轴求交集即可. 【解析】. . ∴. 对应选项A. 【规律】求解此类问题时，第一步看清代表元素是还是（区分是求定义域还是值域）；第二步分别求出定义域、值域或不等式的解集，将其化为最简形式（通常表示为区间）；第三步利用数轴求交集或并集，注意端点值的取舍. 考法2：利用Venn图或容斥原理求集合运算 例2.（2025·江西萍乡·一模）（多选）已知全集，集合，且满足：，，则下列说法正确的为（ 　　） A. B. C. 集合可能是 D. 【答案】BCD 【思路】面对复杂的补集与交并集混合运算，首先想到利用德·摩根定律进行化简.题目中给出的可以直接转化为，从而轻松求出.结合已知的交集结果，我们就可以在全集范围内逐一判定各个元素的归属，进而对选项进行判断. 【解析】由题意知， ∴. 对于A，∵，且，∴，A选项错误； 对于B，∵，∴，B选项正确； 对于C，已知，这意味着既属于A又属于B.若，当时，，，，此时满足所有已知条件，故C选项正确； 对于D，∵，又，∴，D选项正确. 对应选项BCD. 【规律】处理复杂集合运算时，常利用德·摩根定律进行降维化简：，.结合Venn图，将全集中的元素逐一填入对应的区域，是解决此类交并补混合运算最直观的方法. 考法3：已知集合运算结果逆求参数 例3.（2026·湖南长沙师大附中·一模）（单选）已知，集合，，若，则（ 　　） A. B. C. 或 D. 【答案】B 【思路】已知交集结果为，说明元素元素必然同时属于集合A和集合B.我们可以分别让集合A和集合B中含参的元素等于2，从而建立方程求解.求出参数后，千万别忘了代回原集合进行检验，看看是否满足集合元素的互异性，以及交集是否恰好为. 【解析】已知集合，，且， ∴，即，，此时. 又，即或. 若，则，此时，则，与矛盾，舍去. 若，则，此时，，符合条件. 综上所述，. 对应选项B. 【规律】逆向求参数问题的核心步骤： 一“代”：根据交集或并集的结果，确定已知元素，将其代入含参集合列出方程； 二“解”：求解方程，得到参数的所有可能取值； 三“验”：将求得的参数代回原集合，检验是否满足元素的互异性，以及运算结果是否与题意完全一致. 考点二：集合间的关系与参数求解 考法4：解不等式或方程求集合并计算子集个数 例4.（2025·山东名校考试联盟·二模）（单选）已知集合，，有且只有个子集，则实数（ 　　） A. B. C. D. 【答案】C 【思路】集合有且只有2个子集，这意味着交集里面只有1个元素.从图形上看，集合A和B分别代表指数函数和直线的图象，交集只有1个元素等价于这两个函数的图象只有一个交点.我们可以将问题转化为方程有唯一解的问题，利用导数研究函数的单调性和极值，从而确定参数的值. 【解析】令，则. 记，则. 当时，，在单调递增； 当时，，在单调递减. 且当时，；时，，. 因此只有一个实数根时，. 由于有且只有个子集，则只有一个元素，故. 对应选项C. 【规律】含有个元素的集合，其子集个数为，真子集个数为.当遇到函数图象交点与集合交集元素个数结合的问题时，常转化为方程根的个数问题.处理含参方程根的个数，最通用的方法是分离参数，构造函数，利用导数研究其单调性与极值求解. 考法5：判断集合关系或根据包含关系求参数 例5.（2024·江西上饶六校联盟·5月模拟）（多选）设集合，，若，则的值可以为（ 　　） A. B. C. D. 【答案】ABD 【思路】题目给出，这实际上是隐晦地告诉我们集合是集合的子集.我们可以先解一元二次方程求出集合A的所有元素.在求参数时，一定要警惕一个极易被忽略的陷阱——集合可能为空集.我们需要分为空集和非空集两种情况进行全面讨论. 【解析】集合. 由可得，则分或或或四种情况. 当时，； 当时，满足，解得； 当时，满足，解得； 当时，显然不符合条件. ∴的值可以为. 对应选项ABD. 【规律】处理集合包含关系求参数时，必须牢记“空集是任何集合的子集”.首先进行关系转化：，.其次进行分类讨论，优先考虑子集为空集的情况，再考虑子集非空的情况，避免漏解. 考法6：利用集合相等与互异性求参数 例6.（2026·山东德州·一模）（填空）设集合，，若，则＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【思路】两个集合相等，意味着它们包含的元素完全一样.观察集合A and B，两者都有元素，那么剩下的元素必须对应相等.由于对应关系不唯一，我们需要分情况列出方程组.解出参数后，互异性是检验解是否有效的唯一标准，必须将解代回原集合看是否有重复元素. 【解析】∵， ∴且且且. ∴或. 当时，∵且，∴，∴. 当时，解得，∵且，∴不成立. 综上可得，. 【规律】解决集合相等问题，通常根据元素对应相等列出方程组.由于对应方式可能有多种，需要进行分类讨论.解出参数后，务必将参数代回原集合，利用集合元素的互异性进行排雷检验，剔除产生重复元素的无效解. 考点三：集合的新定义与综合探究 考法7：理解集合新运算求元素或集合 例7.（2026·广东东莞·一模）（填空）已知集合，，定义集合，则中元素的个数为＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【思路】面对新定义运算，首先要“翻译”规则.本题的新运算实质是将两个集合中点的横纵坐标分别相加.我们可以先利用列举法找出集合A和B中的所有整点，然后分析相加后横纵坐标的整体取值范围.由于某些极端坐标的组合可能无法同时取到，最后需要用排除法剔除这些不可能的组合. 【解析】由题意，，. 对于集合，其横坐标，纵坐标. 但当时，只能取， 所以中元素的个数为. 【规律】解决新定义集合运算问题的关键是“读懂规则，举例试算”.对于坐标类或求和类新运算，通常先确定各部分的最值范围，得到一个宽泛的可能集合，再利用枚举法或排除法确定最终元素的个数，计算过程中要特别注意集合元素的互异性，做好去重工作. 考法8：基于集合新定义判断性质或求参数 例8.（2025·福建福九联盟·5月联考）（多选）若非空实数集中存在最大元素和最小元素，则定义.据此，下列命题中不正确的是（ 　　） A. 若，且，则 B. 若，则对任意，都有 C. 若，则存在实数，使得 D. 若，则对任意的实数，总存在实数，使得 【答案】ABC 【思路】题目定义了一个集合的“极差”概念.我们需要将这个新定义逐一应用到各个选项中.对于A选项，直接计算极差即可；对于B选项，极差为2只能说明端点在集合内，中间的点不一定在，可以尝试构造反例；对于C选项，涉及二次函数在动区间上的极差，需要结合对称轴和区间端点分类讨论求最大值和最小值；对于D选项，考查并集的极差，只需让两个区间重合或包含即可. 【解析】A选项，由，可得，，因为，所以，，故A错误； B选项，由知，且，则且，但是不一定成立，例如：，，，，，故B错误； C选项，由，，当，即时，；当时，可得；当时，可得；当时，可得，所以不存在实数，使得，故C错误； D选项，由，，取，可得，对任意实数，总存在使之成立，故D正确. 对应选项ABC. 【规律】处理新定义性质判断题，需严格按照定义进行逻辑推演.若涉及函数的最值差（极差），需结合函数的单调性、对称性进行分类讨论；在判断全称命题（“对任意……”）真假时，善于构造特殊的极值反例来快速排除错误选项. 考法9：结合计数原理与新定义求集合个数或最值 例9.（2026·山东九五协作体·一模）（填空）已知为集合的非空子集，满足： ①，； ②，中元素均为奇数，中元素均为偶数； ③中所有元素的和分别为，且. 则正整数的最小值为＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【思路】题目要求将集合划分成三个互不相交的部分，且三部分的元素和相等.这意味着中所有元素的总和必须是3的倍数.我们可以利用这个必要条件，先写出总和公式，通过整除性质缩小的取值范围.然后采用从小到大逐一验证的方法，结合奇偶性和3的倍数等条件，直到拼凑出满足所有条件的最小正整数. 【解析】由①知构成的一个划分. 由②知中全为奇数，中全为偶数，中包含中所有的倍数. 由③知，设总和为，则. 由于必须是的倍数，故只能是或的形式. 从小到大检验： 若，，，，含的倍数（无），全奇，全偶，无法满足； 若，，，，必含，此时，不符； 若，，，，必含，还需元素和为，只能取，即.剩下奇数给，，不符； 若，，，，必含，此时，不符； 若，，，必含，还需元素和为，可取，此时.剩下奇数给，.剩下偶数给，.满足条件. 故正整数的最小值为. 【规律】当集合划分问题涉及元素和相等时，首要切入点是计算所有元素的总和，利用总和的整除性质过滤参数的可能取值.随后采用“从小到大”的枚举验证法，结合集合元素的特定属性（如奇偶性、倍数关系）进行分配试探. 考法10：结合数列性质求集合元素最值 例10.（单选）已知集合满足：①，②，必有，③集合中所有元素之和为，则集合中元素个数最多为（ 　　） A. B. C. D. 【答案】B 【思路】题目要求集合元素个数最多，且元素之间差的绝对值至少为2.为了在总和为100的限制下塞入尽可能多的元素，我们应该让这些元素尽可能小，且排列尽可能紧密.这自然引导我们构造一个首项为0、公差为2的等差数列来进行极值探究，算出前几项和，从而确定元素个数的上限. 【解析】对于条件①，②，必有， 若集合中所有的元素是由公差为2的等差数列构成，例如\{0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20\}，集合中有11个元素， 又， ， 则该集合满足条件①②，不符合条件③， 故符合条件③的集合中元素个数最多不能超过10个， 故若要集合满足：①，②，必有，③集合中所有元素之和为100，最多有10个元素， 例如. 对应选项B. 【规律】求解集合元素个数的最值问题，常采用“极端假设法”.为了使元素个数最多，应使集合中的元素尽可能小且紧凑，通常构造等差数列模型，利用求和公式确定边界条件. 五、高考真题 1.（2024·全国一卷）（单选）已知集合，则（ 　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】化简集合，由交集的概念即可得解. ∵，且注意到， ∴. 故选：A. 2.（2025·全国一卷）（单选）设全集，集合，则中元素个数为（ 　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】根据补集的定义即可求出. ∵， ∴，中的元素个数为. 故选：C. 3.（2026·全国一卷）（单选）已知集合，，则（ 　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】∵， ， ， ∴集合. 又， ∴. 故选：C. 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $