精品解析：2026年山东青岛市第三十九中学中考考前预测数学试题

2026年山东省青岛市中考数学模拟试卷 一、选择题（本大题共9小题，每小题3分，共27分) 1. 绝对值等于2026的数是（ ） A. B. C. D. 2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 人体内一种细胞的直径约为1.56微米，相当于0.00000156米，数字0.00000156用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 海草房为胶东半岛特有民居，也是威海极具代表性的生态古建．其以石为墙、海草为顶，冬暖夏凉、百年不腐．如图是其立体示意图，则它的俯视图为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，放在边长为1个单位的小正方形网格中，点、、均在格点上，先将绕点逆时针旋转得到，再将向下平移3个单位得到，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 6. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，截的三条边所得的弦长相等，若，则的度数为(　　) A. B. C. D. 8. 已知在中，，点，分别是，中点，连接，在上有一点，，连接，，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，二次函数（，，为常数，）的图象与轴交于点，与轴交于点，对称轴为直线，下列四个结论：①；②；③（为任意实数）；④若，则，其中正确结论为（ ） A ①② B. ①④ C. ②③ D. ①③④ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分) 10. 计算：______． 11. 学校组甲、乙、丙、丁四名运动员参加运动会100米项目选拔赛，本周共进行了8轮选拔测试，平均成绩（单位：秒）和方差如表所示．根据表中数据，你认为应该推选运动员________去参赛，更有把握取得优异成绩． 甲 乙 丙 丁 平均成绩 12. 如图．在中，对角线，交于点，且，平分交的延长线于点，点为的中点．若，，则的长为______． 13. 如图，A、B是双曲线上的两点，过点A作轴，交于点D，垂足为C，若的面积为1，D为的中点，则的值为________． 14. 如图，以为直径的半圆，绕点顺时针旋转，点的对应点为点，交半圆于点，若，则图中阴影部分的面积为___________． 15. 如图，正方形边长为，是中点，连接，交于点，作关于的对称点，连接 ． 下列结论： ①；②；③；④， 其中正确结论的序号是______． 三、解答题． 16. 已知：如图，是内部一点．求作：等腰，使点，分别在射线，上，且底边经过点． 17. 计算 （1）解不等式组：，并写出非负整数解． （2）计算： 18. 学校拟举办庆祝“建国75周年”文艺汇演，每班选派一名志愿者，九年级一班的小明和小红都想参加，于是两人决定一起做“摸牌”游戏，获胜者参加．规则如下：将牌面数字分别为1，2，3的三张纸牌（除牌面数字外，其余都相同）背面朝上，洗匀后放在桌面上，小明先从中随机摸出一张，记下数字后放回并洗匀，小红再从中随机摸出一张．若两次摸到的数字之和大于4，则小明胜；若和小于4，则小红胜；若和等于4，则重复上述过程． （1）小明从三张纸牌中随机摸出一张，摸到“1”的概率是______； （2）请用列表或画树状图的方法，说明这个游戏对双方是否公平． 19. 少年有梦，应怀国家情怀；青春热血，关心天下之事，为鼓励学生关心时事热点，阳光中学举办了一场“中国事，我知道”的问卷调查．调查结束后从九年级学生中用科学的抽样方法随机抽取了20名学生的成绩（满分100分）进行整理、分析，部分信息如下：其中B组的成绩依次为：75，76，78，78，78，80，83，84． 组别 成绩x/分 组内平均数 A 90 B 79 C 70 D 62 （1）补全图中的条形统计图，B组成绩的众数是______分，这20名学生成绩的中位数是______分； （2）求抽取的这20名学生的平均成绩； （3）若该校九年级一共有600名学生，估计成绩不低于75分的学生有多少人？ 20. 风电项目对于调整能源结构和转变经济发展方式具有重要意义．某电力部门在一处坡角为的坡地新安装了一架风力发电机．某校实践活动小组对该坡地上的这架风力发电机的塔杆高度进行了测量，测量示意图如图所示．已知斜坡长，在地面点处测得风力发电机塔杆顶端点的仰角为，利用无人机在点正上方的点处测得点的俯角为，该风力发电机塔杆的高度为．求无人机在处时到的距离．（参考数据：，，．） 21. “雨过园亭绿暗时，樱桃红颗压枝低”，如图，樱桃富含维生素C，崂山北宅素有“中国樱桃之乡”的美誉．在2023年樱桃节某水果商城为了了解两种樱桃市场销售情况，购进了一批数量相等的“樱珠”和“樱桃”供客户对比品尝，其中购买“樱桃”用了630元，购买“樱珠”用了1134元，已知每千克“樱珠”进价比每千克“樱桃”贵8元． （1）求每千克“樱珠”和“樱桃”进价各是多少元？ （2）若该水果商城决定再次购买同种“樱珠”和“樱桃”共60千克，且再次购买费用不超过1000元，且每种樱桃进价保持不变．若“樱珠”的销售单价为30元，“樱桃”的销售单价为18元，则该水果商城应如何进货，使得第二批的“樱珠”和“樱桃”售完后获得利润最大？最大利润是多少？ （3）利润关系仍然满足（2）中的利润关系，商城推出福利活动，决定拿出销售利润的另购“樱珠”、“樱桃”赠送游客免费品尝，第二批购进“樱珠”至少多少千克，能使剩余利润不少于450元？ 22. 如图，在平行四边形中，对角线、相交于点，点是的中点．连接并延长，交于点． （1）求证：； （2）当满足什么条件时，四边形为菱形，请说明理由； （3）在(2)的条件下，使菱形成为正方形，要再满足什么条件，请直接写出添加的条件，无需证明． 23. 【课内链接】 我们知道，因式分解是整式乘法的逆用，如：因式分解，则有： （1）； （2）．（填空） 【理解新知】把形如（a、b、c是常数，且）的式子变形成的形式的方法叫做配方法． 例如： ∵（一个数的平方为非负数） ∴（不等式的性质2） ∴（不等式的性质1） 即：， ∴最小值为 将配方成的形式：则 ； ； ；（填空） 【拓展应用】如果，求P的最小值． 24. 如图，无人机在离地面的处发现大楼处出现火灾，同时观察到点与大楼前的旗杆顶端及着火点正好在同一直线上．此时消防员正在其正下方离地面的处进行喷水灭火，水流近似的呈抛物线形状喷出，且正好经过，．已知旗杆离消防员的水平距离是，高度是，大楼离旗杆，建立如图所示的平面直角坐标系． （1）求直线的解析式，并求点坐标； （2）求抛物线解析式，并求水喷出的最大高度； （3）由于火势太猛，消防员退后了，要使水仍然能喷到着火点处，消防员应升高多少米？（期间抛物线形状保持不变） 25. 已知：如图，四边形，，，，，，动点P从点D开始沿边匀速运动，动点Q从点A开始沿边匀速运动，它们的运动速度均为．点P和点Q同时出发，以、为边作平行四边形，设运动的时间为，． 根据题意解答下列问题： （1）用含t的代数式表示； （2）设四边形的面积为，求S与t的函数关系式； （3）当时，求t值； （4）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使点E在的平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年山东省青岛市中考数学模拟试卷 一、选择题（本大题共9小题，每小题3分，共27分) 1. 绝对值等于2026的数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据绝对值的定义，求解绝对值等于给定正数的数即可． 【详解】因为绝对值为正数的数有两个，且这两个数互为相反数， 所以绝对值等于2026的数是． 2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：A选项是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；  B选项既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； C选项是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；  D选项是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； 3. 人体内一种细胞的直径约为1.56微米，相当于0.00000156米，数字0.00000156用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数．一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．据此求解即可． 【详解】解：数字0.00000156用科学记数法表示为， 故选：C． 4. 海草房为胶东半岛特有民居，也是威海极具代表性的生态古建．其以石为墙、海草为顶，冬暖夏凉、百年不腐．如图是其立体示意图，则它的俯视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据俯视图的定义和画法进行判断即可，注意：能看到的线用实线，看不到但存在的线用虚线． 【详解】解：图中立体图的俯视图为： 5. 如图，放在边长为1个单位的小正方形网格中，点、、均在格点上，先将绕点逆时针旋转得到，再将向下平移3个单位得到，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：，如图： 则点的坐标是． 6. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘法，合并同类项，幂的乘方和积的乘方，完全平方公式分别判断即可． 【详解】解：A、，故选项错误； B、，故选项错误； C、，故选项错误； D、，故选项正确； 故选D． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，合并同类项，幂的乘方和积的乘方，完全平方公式，解题的关键是掌握各自的运算法则． 7. 如图，截的三条边所得的弦长相等，若，则的度数为(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用截的三条边所得的弦长相等，得出即是的内心，从而∠1=∠2，∠3=∠4，进一步求出的度数． 【详解】解：过点分别作、、，垂足分别为、、，连接、、、、、、、，如图： ∵， ∴ ∴ ∴点是三条角平分线的交点，即三角形的内心 ∴， ∵ ∴ ∴． 故选：C 【点睛】本题考查的是三角形的内心、角平分线的性质、全等三角形的判定和性质以及三角形内角和定理，比较简单． 8. 已知在中，，点，分别是，的中点，连接，在上有一点，，连接，，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据直角三角形斜边上的中线的性质即可求得，根据三角形中位线的性质即可求得的长． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵点，分别是，的中点， ∴． 9. 如图，二次函数（，，为常数，）的图象与轴交于点，与轴交于点，对称轴为直线，下列四个结论：①；②；③（为任意实数）；④若，则，其中正确结论为（ ） A. ①② B. ①④ C. ②③ D. ①③④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了利用二次函数的性质判断符合特征等；①由图象得，，由对称轴可判断的符号，即可判断；②由对称轴得图象与x轴交于另一点，，可得，将化为，即可判断；③由二次函数的最值得，可得，即可判断；④由②可求，，代入，即可判断；能熟练利用二次函数的性质进行运算判断是解题的关键． 【详解】解：①由图象得：， ， ， ， ，故①正确； ②对称轴为直线， 图象与x轴交于点， 图象与x轴交于另一点， ， ， ， ， ， ，即， ， ，故②错误； ③，对称轴为直线， 当时， ， ，即（为任意实数）， ， ， ，故③错误； ④由②得，，， ，， ， ， ， ，故④正确； 故正确的结论有：①④， 故选：B． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分) 10. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查实数的运算，先化简二次根式，代入三角函数值，再约分，计算乘法，最后计算减法即可． 【详解】解： 故答案为：． 11. 学校组甲、乙、丙、丁四名运动员参加运动会100米项目选拔赛，本周共进行了8轮选拔测试，平均成绩（单位：秒）和方差如表所示．根据表中数据，你认为应该推选运动员________去参赛，更有把握取得优异成绩． 甲 乙 丙 丁 平均成绩 【答案】丙 【解析】 【分析】要选出更有把握取得优异成绩的运动员，需先结合100米项目的特点，根据平均成绩判断整体成绩优劣，再根据方差判断成绩稳定性，100米项目用时越短成绩越好，方差越小成绩越稳定，据此筛选即可得到结果． 【详解】解：在100米项目中，平均成绩越小，代表运动员整体成绩越好． 比较四名运动员的平均成绩，可得，甲、丙的平均成绩小于乙、丁的平均成绩，因此优先考虑甲、丙两人． 方差反映了一组数据的波动大小，方差越小，数据波动越小，成绩越稳定． 甲的方差为，丙的方差为，，因此丙的成绩更稳定． 综上，甲、丙的平均成绩相同，但丙的成绩更稳定应推选丙参赛． 12. 如图．在中，对角线，交于点，且，平分交的延长线于点，点为的中点．若，，则的长为______． 【答案】2 【解析】 【分析】设交于点H，由平行四边形的性质得，则，而，所以，则，由，根据勾股定理求得，进而得到，再证明，得，根据三角形的中位线定理得，于是得到问题的答案． 【详解】解：如图，设交于点H， ∵四边形是平行四边形，对角线交于点O，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵点O是的中点，点E是的中点， 是的中位线， ∴， 故答案为：2． 【点睛】此题重点考查平行四边形的性质、等腰三角形的判定、勾股定理、三角形的中位线定理等知识，证明及是解题的关键． 13. 如图，A、B是双曲线上的两点，过点A作轴，交于点D，垂足为C，若的面积为1，D为的中点，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，相似三角形的判定和性质，掌握反比例函数系数的几何含义是解题关键．过点作轴于点，根据反比例函数的几何含义，得到，进而得到，证明，得到，从而得出，即可求出的值． 【详解】解：如图，过点作轴于点， A、B是双曲线上的两点，轴，轴， ， ， ， ， D为的中点， ， ， ， ， ， ， 反比例函数图象在第二象限， ， ， 故答案为：． 14. 如图，以为直径的半圆，绕点顺时针旋转，点的对应点为点，交半圆于点，若，则图中阴影部分的面积为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查圆周角定理，等边三角形的判定和性质，求不规则图形的面积等．连接，，根据圆周角定理得出，根据题意可得，求得是等边三角形，结合图形得出，，，利用计算即可得出结果． 【详解】解：连接，， ∵为半圆O的直径， ∴， 由题意得， ∴， ∴是等边三角形， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 如图，正方形边长为，是中点，连接，交于点，作关于的对称点，连接 ． 下列结论： ①；②；③；④， 其中正确结论的序号是______． 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】根据正方形的性质可得，，由是中点可得，根据轴对称的性质可得，，，，由此可判断①；利用勾股定理求出的长，证明，利用相似三角形的性质求出的长，由此可判断②；设，利用互余关系和对称性表示出和，由此可判断③；证明，利用相似比和面积法求出的长，进而求出的长，由此可判断④，综上即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形，边长为， ，，， 是中点，  ，  是关于的对称点，  ，  ，，，，故①正确； 在中，， ∵，  ， ，  ，  ，  ， ∴，故②正确； 设，则， 在中，，  ，  ，  ，故③正确； 连接交于点，如图， ，，，，  ，，  ，  又，  ，  ， ∴， ，关于对称，  ， ，  ，  ，  ，  ，  ，故④正确； 综上所述，正确的结论是①②③④． 三、解答题． 16. 已知：如图，是内部一点．求作：等腰，使点，分别在射线，上，且底边经过点． 【答案】 【解析】 【分析】以点为圆心，任意长为半径画弧分别交，于点，，连接、，交于点，作，直线交，于点、即可． 【详解】解：作图略 由作图知：，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴为等腰三角形，且点，分别在射线，上，底边经过点， 则即为所求． 17. 计算 （1）解不等式组：，并写出非负整数解． （2）计算： 【答案】（1）不等式组的解集为，非负整数解为． （2）． 【解析】 【分析】（1）先分别解两个一元一次不等式，再取两个解集的公共部分得到不等式组的解集，最后在解集内找出所有非负整数即可． （2）先利用平方差公式和完全平方公式对多项式因式分解，约分后再进行分式减法运算即可得到化简结果． 【小问1详解】 解∶  解得， 解得， 所以不等式组的解集为，非负整数解为、． 【小问2详解】 解：原式      ． 18. 学校拟举办庆祝“建国75周年”文艺汇演，每班选派一名志愿者，九年级一班的小明和小红都想参加，于是两人决定一起做“摸牌”游戏，获胜者参加．规则如下：将牌面数字分别为1，2，3的三张纸牌（除牌面数字外，其余都相同）背面朝上，洗匀后放在桌面上，小明先从中随机摸出一张，记下数字后放回并洗匀，小红再从中随机摸出一张．若两次摸到的数字之和大于4，则小明胜；若和小于4，则小红胜；若和等于4，则重复上述过程． （1）小明从三张纸牌中随机摸出一张，摸到“1”的概率是______； （2）请用列表或画树状图的方法，说明这个游戏对双方是否公平． 【答案】（1） （2）树状图见解析，该游戏对双方公平 【解析】 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率： （1）根据概率计算公式求解即可； （2）画出树状图得到所有符合题意的等可能性的结果数，再分别找到两次数字之和大于4和小于4的结果，再依据概率计算公式计算出两人获胜的概率即可得到结论． 【小问1详解】 解：∵一共有3张牌，其中写有数字1的牌有1张，且每张牌被摸到的概率相同， ∴小明从三张纸牌中随机摸出一张，摸到“1”的概率是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：画树状图如下所示： 由树状图可知，一共有6种（和为4的不符合题意）等可能性的结果数，其中两次摸到的数字之和大于4的结果数有3种，两次摸到的数字之和小于4有3种， ∴小明获胜的概率为，小红获胜的概率为， ∴小明和小红获胜的概率相同， ∴该游戏对双方公平． 19. 少年有梦，应怀国家情怀；青春热血，关心天下之事，为鼓励学生关心时事热点，阳光中学举办了一场“中国事，我知道”的问卷调查．调查结束后从九年级学生中用科学的抽样方法随机抽取了20名学生的成绩（满分100分）进行整理、分析，部分信息如下：其中B组的成绩依次为：75，76，78，78，78，80，83，84． 组别 成绩x/分 组内平均数 A 90 B 79 C 70 D 62 （1）补全图中的条形统计图，B组成绩的众数是______分，这20名学生成绩的中位数是______分； （2）求抽取的这20名学生的平均成绩； （3）若该校九年级一共有600名学生，估计成绩不低于75分的学生有多少人？ 【答案】（1）见解析，78，78 （2）分 （3）390人 【解析】 【分析】（1）先求出A组的人数，再补全条形统计图如图，继而根据众数，中位数的定义进行求解，即可解答； （2）根据平均数的定义进行求解即可； （3）利用成绩不低于75分的学生的百分比乘以该校九年级的总人数，即可解答． 【小问1详解】 解：A组的人数为（人），补全条形统计图如图： ∵在B组的成绩中，78出现3次，次数最多， ∴B组成绩的众数是78分， 这20名学生成绩的中位数是第10名，11名，由，可知第10名，11名在B组，且分别为78，78， ∴这20名学生成绩的中位数是（分）； 【小问2详解】 解： （分）， ∴抽取的这20名学生的平均成绩为分； 【小问3详解】 解： （人）， ∴估计成绩不低于75分的学生有390人． 20. 风电项目对于调整能源结构和转变经济发展方式具有重要意义．某电力部门在一处坡角为的坡地新安装了一架风力发电机．某校实践活动小组对该坡地上的这架风力发电机的塔杆高度进行了测量，测量示意图如图所示．已知斜坡长，在地面点处测得风力发电机塔杆顶端点的仰角为，利用无人机在点正上方的点处测得点的俯角为，该风力发电机塔杆的高度为．求无人机在处时到的距离．（参考数据：，，．） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了利用锐角三角函数解直角三角形，含角的直角三角形的性质，解题的关键是掌握锐角三角函数． 过点作于点，延长交于点，利用锐角三角函数逐个求出所需边长即可． 【详解】解：如图，过点作于点，延长交延长线于点． 根据题意可得垂直于水平面，，， ， ， ， ． ， ． ， 四边形为正方形， ． ，， ， ， ， ． 答：该无人机在处时到的距离约为． 21. “雨过园亭绿暗时，樱桃红颗压枝低”，如图，樱桃富含维生素C，崂山北宅素有“中国樱桃之乡”的美誉．在2023年樱桃节某水果商城为了了解两种樱桃市场销售情况，购进了一批数量相等的“樱珠”和“樱桃”供客户对比品尝，其中购买“樱桃”用了630元，购买“樱珠”用了1134元，已知每千克“樱珠”进价比每千克“樱桃”贵8元． （1）求每千克“樱珠”和“樱桃”进价各是多少元？ （2）若该水果商城决定再次购买同种“樱珠”和“樱桃”共60千克，且再次购买的费用不超过1000元，且每种樱桃进价保持不变．若“樱珠”的销售单价为30元，“樱桃”的销售单价为18元，则该水果商城应如何进货，使得第二批的“樱珠”和“樱桃”售完后获得利润最大？最大利润是多少？ （3）利润关系仍然满足（2）中的利润关系，商城推出福利活动，决定拿出销售利润的另购“樱珠”、“樱桃”赠送游客免费品尝，第二批购进“樱珠”至少多少千克，能使剩余利润不少于450元？ 【答案】（1）每千克“樱珠”进价18元，每千克“樱桃”进价10元． （2）购进50千克“樱珠”，10千克“樱桃”时利润最大，最大利润为680元． （3）第二批购进“樱珠”至少30千克． 【解析】 【分析】（1）利用两种樱桃购进数量相等的等量关系，列分式方程求解，检验后得到进价； （2）根据总费用不超过限额列不等式得到樱珠购进量的范围，再建立利润关于购进量的一次函数，根据一次函数的增减性求出最大利润及对应进货方案； （3）根据剩余利润的要求列出不等式，结合已有取值范围求出“樱珠”的最小购进量． 【小问1详解】 解：设每千克“樱珠”进价是元，则每千克“樱桃”进价是元，根据题意得： 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴“樱桃”进价， 答：每千克“樱珠”进价是18元，每千克“樱桃”进价是10元． 【小问2详解】 解：设购买千克“樱珠”，则购买千克“樱桃”，根据题意得： 解得：， 设总利润为元，根据题意得：， ∵， ∴随的增大而增大， ∴当时，取得最大值， ，此时． 答：购进50千克“樱珠”，10千克“樱桃”时利润最大，最大利润是680元． 【小问3详解】 解：由题意得，拿出利润的后，剩余利润满足：， 将代入不等式得：，解得， ∴的最小值为， 答：第二批购进“樱珠”至少30千克． 22. 如图，在平行四边形中，对角线、相交于点，点是的中点．连接并延长，交于点． （1）求证：； （2）当满足什么条件时，四边形为菱形，请说明理由； （3）在(2)的条件下，使菱形成为正方形，要再满足什么条件，请直接写出添加的条件，无需证明． 【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，对角线、相交于点， ∴，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：当满足时，四边形为菱形． 理由：如图， ∵四边形是平行四边形， ∴，即， 由（1）知：， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴是直角三角形， ∵点是的中点， ∴， ∴四边形是菱形； （3）当再满足时，菱形为正方形 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质得，，继而得到，，证明，即可得证； （2）由（1）可推出四边形是平行四边形，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，可得结论； （3）根据等腰三角形三线合一性质得，再根据正方形的判断可得结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：当再满足时，菱形为正方形， 理由：如图， ∵点是的中点，即是的边上的中线， 又∵， ∴是的边上的高，即， ∴， 由（2）知：四边形是菱形， ∴菱形为正方形． 23. 【课内链接】 我们知道，因式分解是整式乘法的逆用，如：因式分解，则有： （1）； （2）．（填空） 【理解新知】把形如（a、b、c是常数，且）的式子变形成的形式的方法叫做配方法． 例如： ∵（一个数的平方为非负数） ∴（不等式的性质2） ∴（不等式的性质1） 即：， ∴最小值为 将配方成的形式：则 ； ； ；（填空） 【拓展应用】如果，求P的最小值． 【答案】课内链接：（1）5；（2）36，6；理解新知：，，；拓展应用：P的最小值是2026 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式、配方法的应用以及非负数的性质，熟练掌握配方法的步骤是解题的关键． 课内链接：（1）根据完全平方公式，找出对应的项，计算的值； （2）同理，根据完全平方公式，先确定的值，再确定的值； 理解新知：按照配方法步骤，先提取二次项系数，再对括号内式子配方，转化为的形式，确定、、； 拓展应用：用配方法将式子转化为的形式，利用平方的非负性求最小值． 【详解】解：课内链接：（1）， 故答案为：5； （2）， 故答案为：36，6； 理解新知：， ∴，，， 故答案为：，，； 拓展应用：， ， ， ， 即的最小值是2026 24. 如图，无人机在离地面的处发现大楼处出现火灾，同时观察到点与大楼前的旗杆顶端及着火点正好在同一直线上．此时消防员正在其正下方离地面的处进行喷水灭火，水流近似的呈抛物线形状喷出，且正好经过，．已知旗杆离消防员的水平距离是，高度是，大楼离旗杆，建立如图所示的平面直角坐标系． （1）求直线的解析式，并求点坐标； （2）求抛物线的解析式，并求水喷出的最大高度； （3）由于火势太猛，消防员退后了，要使水仍然能喷到着火点处，消防员应升高多少米？（期间抛物线形状保持不变） 【答案】（1），点坐标为 （2），水喷出的最大高度为 （3）米 【解析】 【分析】（1）依据题意得：，，设直线的解析式为，得，进而可得的解析式，再令，求出的值即可得出点的坐标； （2）设抛物线的解析式为，再将，，代入计算可得解析式，然后化成顶点式即可得解； （3）依据题意，由抛物线形状保持不变，消防员后退，从而可设新抛物线的解析式为，过点，求出的值可得新抛物线的解析式，然后令，求出的值即可得出答案． 【小问1详解】 解：由题意得：，，， 设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 又∵， ∴点的横坐标为， 当时，， ∴点坐标为； 【小问2详解】 解：设抛物线的解析式为， 由题意知该抛物线过点，，， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为， ∴当时，取得最大值为， ∴水喷出的最大高度为； 【小问3详解】 解：∵抛物线形状保持不变，消防员后退， ∴设新抛物线的解析式为，过点， ∴， 解得：， ∴新抛物线的解析式为， 当时，， 又∵， ∴消防员应升高米． 25. 已知：如图，四边形，，，，，，动点P从点D开始沿边匀速运动，动点Q从点A开始沿边匀速运动，它们的运动速度均为．点P和点Q同时出发，以、为边作平行四边形，设运动的时间为，． 根据题意解答下列问题： （1）用含t的代数式表示； （2）设四边形的面积为，求S与t的函数关系式； （3）当时，求t的值； （4）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使点E在的平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3） （4）存在．当时，点E在的平分线． 【解析】 【分析】（1）过点作于点，则四边形是矩形，由勾股定理求出的长度，即可得到答案； （2）过点作于点，交的延长线于点，则四边形为矩形，由三角函数表示出的长度，根据，进行计算即可得到答案； （3）当时，，由推出，推出，从而得到，进行计算即可得到答案； （4）连接交于K，作于M．当平分时，，推出，，设，在中，，解得，作于G，则，推出，，推出，由，可得，即，由此构建方程即可解决问题． 【小问1详解】 解：如图，过点作于点， ， 由题意得， ，，， ， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 由勾股定理得， ∴； 【小问2详解】 解：如图，过点作于点，交的延长线于点， ， ， ∴， 四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ； 【小问3详解】 解：如图， ， 当时，， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴； 【小问4详解】 解：存在． 理由：连接交于K，作于M． 当平分时， ∵ ∴， ∴， 在中，， ∴， 设， 在中，， 解得， 作于G， ∴， ∵平行四边形， ∴，， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， 经检验：是分式方程的解， ∴当时，点E在的平分线． 【点睛】本题考查四边形综合题，解直角三角形、锐角三角函数、全等三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形或全等三角形解决问题，学会理由参数构建方程解决问题． 第1页/共1页 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