期末复习：二项分布、超几何分布、正态分布复习讲义-2025-2026学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

期末复习：二项分布、超几何分布、正态分布复习讲义 期末复习：二项分布、超几何分布、正态分布复习讲义 考点目录 二项分布 超几何分布 正态分布 考点一 二项分布 【知识点解析】 1. 适用条件（4 个独立重复试验） 1. 一共进行 次相同试验； 1. 每次只有两种结果：成功/失败； 1. 单次成功概率恒为 ，失败 ； 1. 各次试验相互独立。 2. 概率公式 3. 期望与方差 典型场景 投篮 次命中次数、有放回抽样、多次独立射击。 【例题分析】 例1．（25-26高二下·吉林长春·期中）有6件产品，其中2件是次品，从中放回地取3次(每次1件)，若表示取得次品的次数，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意有，再由及独立重复试验的概率求法求概率即可. 【详解】由题意，每次取得次品的概率为，则， 所以 . 例2．（25-26高二下·四川达州·阶段检测）已知随机变量，则下列选项中不正确的为（    ） A． B．当取最大值时， C． D． 【答案】C 【详解】A选项，，所以A选项正确； B选项， ，当时，有最大值， 此时，所以B选项正确； C选项，，则，所以，所以C选项错误； D选项，，则，则，所以D选项正确. 例3．（2026·湖南·模拟预测）某游戏有“通关升星”机制：每次通关有的概率获得1张卡片，每集齐2张卡片可升1颗星，每次通关结果相互独立．若小张连续通关6次，则他升星颗数的期望为______． 【答案】 【详解】设小张获得的卡片数为，升星的颗数为，则， ， ， ， ， 故． 所以他升星颗数的期望为. 例4．（25-26高二下·宁夏·期中）如图，一个质点在外力的作用下，从原点0出发，每隔1s向左或向右移动一个单位，且向右移动的概率为．若该质点共移动60次，则它位于数字___________处的可能性最大． 【答案】20 【分析】根据题意，设质点向右移动的次数为，可知服从二项分布，然后求得取最大值时的值，即可得到结果． 【详解】设质点向右移动的次数为，则服从二项分布，即， 则质点最终的位置等于向右移动的次数减去向左移动的次数， 即， 由二项分布的概率公式可得， 设最大，则， 由可得， 即， 化简可得，解得， 由可得， 即， 化简可得，解得， 即，且，则时，最大， 则质点最终的位置为． 例5．（2026·江苏南通·模拟预测）某学校鼓励学生周末使用人工智能平台进行探究性学习，现从全校学生中抽取了容量为100的样本，得到某周末学生线上学习的时间，经统计绘制成如下频率分布直方图． (1)试估计该校学生周末线上学习时间的中位数及学习时间不小于3小时的频率； (2)从该校学生中随机抽取8人，周末线上学习时间不小于3小时的人数记为，以样本中周末线上学习时间不小于3小时的频率作为该事件的概率，当（）最大时，求的值． 【答案】(1)，0.6 (2) 【分析】（1）由频率分布直方图计算中位数和频率的方法计算可得结果； （2）由二项分布可得，从而，，分析和1的大小关系，得到和的大小和的关系从而可得结果． 【详解】（1）因为每组小矩形的面积之和为1． 学习时间小于3小时的频率为， 学习时间小于3.5小时的频率为， 所以中位数在内，由， 解得小时． 由频率分布直方图可知， 学习时间不小于3小时的频率为． 所以估计该校学生周末线上学习时间的中位数为3.125小时，学习时间不小于3小时的频率为0.6． （2）从全部高三年级学生中随机抽取8人，线上学习时间不小于3小时的人数为， 所以，． 因为． 所以当时，； 当时，． 所以最大． 故当时，最大． 例6．（2026·安徽合肥·模拟预测）某校举办 “一带一路” 知识竞赛，有 A，B两组题可供选择，两组题都有8道题，每位参赛选手选择一组题，且所选组别的所有题均作答。若参赛选手选择A组题，则答对一道题得3分，答错一道题得分；若参赛选手选择 B 组题，则答对一道题得2分，答错一道题得0分. 已知小明答对每道题的概率均为p (0<p<1)，且每道题的答题情况相互独立. (1)若p，小明选择A组题作答，求他的总得分为正的概率； (2)讨论小明选择哪组题进行答题，能使自己的总得分的期望更高. 【答案】(1) (2)当时选择B组，当时两组得分期望相同，当 时选择A组 【分析】（1）首先建立得分与答对题数的关系，令确定总得分为正的条件，然后分析题目确定X服从二项分布，利用二项分布的概率公式进行求解；（2）利用二项分布期望公式及期望的线性性质分别求出两组题的作答得分期望值，根据期望值的大小关系判断p的范围，得出结论. 【详解】（1）设小明在A组题中答对的题目数为X，则答错道， A组题的总得分为：， 令，解得，因为X是答对题数，所以， 因为小明答对每道题的概率均为p，所以， 所以， . （2）因为，所以， 则， 设小明在B组题中答对Y道，则，B组题的总得分， 同理， 令，，解得， 所以当时，选择B组题总得分期望值更高；当时，选择A组题和B组题的总得分期望相同；当时，选择A组题总得分期望值更高. 【变式训练】 变式1．（25-26高二下·重庆渝北·期中）在某次抽奖活动中，一个口袋里装有3个白球和2个黑球，所有球除颜色外无任何不同，每次从中摸出2个球，观察颜色后放回，若为同色，则中奖.则摸球三次仅中奖一次的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】依题意，摸球一次中奖的概率为， 则摸球三次仅中奖一次的概率为. 变式2．（25-26高二上·黑龙江绥化·期中）如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点出发，每隔1秒等可能地向左或向右移动1个单位.设移动秒后质点所在位置对应的实数为随机变量，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】记质点向右移动的次数为，据题意可得，服从二项分布.分别求得和时对应的的值，由此求得和，从而求得. 【详解】由题意知，质点向左或向右移动1个单位的概率均为，设质点向右移动的次数为，则， 若，则移动6次后质点一共向左移动3次，向右移动3次，所以； 若，则移动6次后质点一共向右移动4次，向左移动2次，所以. 故. 故选：A. 变式3．（25-26高二下·上海松江·期中）扑点球的难度一般比较大，假设罚点球的球员会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向射门，守门员也会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向来扑点球，而且守门员即使方向判断正确，也有的可能性扑不到球．假设每次点球，守门员的表现，罚点球的球员的表现都是独立的，不考虑其它因素，在一次5轮点球大战中，守门员至少扑到1个点球的概率为_______（答案精确到0.001）． 【答案】0.445 【分析】结合题意建立二项分布，根据“正难则反”的原则，结合二项分布概率计算公式求解即可. 【详解】由题意可得，守门员扑到点球的概率为， 设在一次5轮点球大战中，守门员扑到点球的个数为， 则服从二项分布，即， 守门员至少扑到1个点球的概率为. 变式4．（25-26高二下·江苏无锡·阶段检测）抛掷一枚质地均匀的骰子，观察骰子朝上面的点数，并制定如下规则：当点数为2，3，4，5时得1分，当点数为1，6时得2分．多次抛掷这枚骰子，将每次得分相加的结果作为最终得分．若抛掷2次骰子，最终得分为X，则随机变量X的期望是______；若抛掷50次骰子，记得分恰为n分的概率为，则当取最大值时的值为______ 【答案】 或 【分析】单次得分概率分布已知，求期望后乘以2得两次总得分期望；设得2分的次数为，则总得分，概率对应二项分布，得最大值在处，可得的值. 【详解】设单次抛掷骰子得分为. 时，对应点数2,3,4,5，概率； 时，对应点数1,6，概率. 单次得分期望为 抛掷2次总得分的期望为. 设50次中，得2分的次数为（，为整数）， 则得1分的次数为，总得分， 于是，且. 概率， 要使最大，即求二项分布的最可能值. 由，为整数， 故最大值在和处取得，对应和. 即当取最大值时的值为或. 变式5．（25-26高二下·安徽蚌埠·阶段检测）为推动制造业高端化、智能化、绿色化发展，某国家重点支持的高端装备制造企业对其核心零部件生产线进行智能化升级改造，全面提升产品质量稳定性和可靠性． (1)升级改造前，该企业从一批库存零件中随机抽取8个进行质量检测，发现其中有3个零件不合格．现从这8个零件中不放回地随机抽取4个，已知取出的4个零件中至少有一个不合格，求恰好有2个不合格的概率； (2)经过智能化升级改造后，生产线的质量稳定性显著提升，单件产品的合格率达到，且各零件是否合格相互独立．为评估改造效果，质检部门从新生产线上随机抽取4个零件进行检测，记为抽到的合格零件个数，求的分布列、期望与方差． 【答案】(1) (2)分布列 Y 0 1 2 3 4 ， 【详解】（1）设为取出的不合格零件个数，事件：取出的4个零件中至少有一个不合格；事件：取出的4个零件中恰好有2个不合格． 所以． 因此． 故在已知取出的4个零件至少有一个不合格的条件下，恰好有2个不合格的概率为． （2）由题意，每件产品合格的概率，不合格的概率为，抽取个数，且各零件质量相互独立， 因此服从二项分布． 的可能取值为， 故的分布列为 Y 0 1 2 3 4 期望， 方差． 变式6．（25-26高三下·重庆·阶段检测）随着AI技术的发展，计算机科学受到越来越多的人关注，计算机内部数的计算采用的是二进制．一般地，k位二进制数可以表示为，其中，并约定，比如全体3位二进制数构成的集合为．设全体位二进制数构成的集合为，其中正整数，从集合中等可能地取出一个二进制数，设这个二进制数中数码0出现的次数为． (1)若，求概率； (2)若，记的概率为，当取得最大值时，求的值． 【答案】(1)； (2)1013． 【分析】(1)求所有五位二进制数构成的集合中，0出现的次数大于2的概率，计算样本点，通过古典概型概率公式计算概率； (2)因为除第一个位置，其余每个位置出现的结果只有0或1两种可能，并且每一个结果出现都是独立的且概率为，故随机变量服从二项分布，可利用二项分布的概率公式计算． 【详解】（1）5位二进制数形如，由于每个有0，1两个取值， 所以全体5位二进制数总量为个．其中满足的二进制数有5个， 分别为，所以． （2）2026位二进制数首位数码为1，数码0独立且等可能出现在剩下的2025个数位上， 每个数位出现0的概率为，所以0出现的次数服从二项分布，即， 所以，所以， 记，则最大等价于最大： ， 所以，此时单调递增；，此时单调递减， 所以为最大值．综上，当取得最大值时求的值为1013． 考点二 超几何分布 【知识点解析】 1. 适用条件 总数 件，其中正品（成功） 件，抽取 件，无放回一次性抽取，总体有限。 2. 概率公式 取值满足： 3. 期望方差 【例题分析】 例1．（25-26高二下·安徽蚌埠·阶段检测）某校举办经典诵读比赛，共有10名学生晋级决赛，其中女生有4名．现从这10名学生中随机选2名担任领诵，记选中的这2人中女生人数为X，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题可知服从超几何分布，所以． 例2．（25-26高二下·北京朝阳·阶段检测）甲、乙两名五子棋爱好者进行一场比赛，采用7局4胜制（先胜4局者获胜，比赛结束），已知每局比赛甲获胜的概率为，则甲最终以获胜的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用独立重复事件分析求解即可. 【详解】甲最终以获胜，说明甲在五局比赛中赢了四局，输了一局，且输掉的这局为第一局，第二局，第三局或者第四局， 故概率为. 例3．（25-26高二下·山东德州·阶段检测）在名女生和名男生中任选人参加一项交流活动，设为抽到男生的人数，则为__________． 【答案】 【详解】∵ 从名学生（女男）中任选人，总选法数为 ， ∴ 随机变量 （抽到男生的人数）的可能取值为 . ∴ ，，. ∴ . 例4．（25-26高二下·天津西青·期中）已知甲箱中有2个红球和3个黑球，乙箱中有1个红球和3个黑球（所有球除颜色外完全相同），某学生先从甲箱中随机取出2个球放入乙箱，再从乙箱中随机取出1个球，记“从乙箱中取出的球是黑球”为事件B，则________． 【答案】 【分析】根据题给条件分析具体情况列条件概率和全概率公式计算即可得解. 【详解】记学生先从甲箱中取出的2个球恰有个红球放入乙箱为事件， , 学生先从甲箱中随机取出2个黑球放入乙箱，则此时乙箱中有红黑，此时. 学生先从甲箱中随机取出1个红球1个黑球放入乙箱，则此时乙箱中有红黑，此时， 学生先从甲箱中随机取出2个红球放入乙箱，则此时乙箱中有红黑，此时， 则. 例5．（25-26高二下·广东汕头·期中）一个袋子中有10个大小相同的球，其中有4个黄球、6个白球，从中随机地摸出3个球作为样本．用X表示样本中黄球的个数． (1)若抽出黄球赋1分，白球赋2分，求随机摸出3个球得分大于3分的概率； (2)求X的分布列、期望和方差． 【答案】(1) (2)分布列： 0 1 2 3 期望为，方差为． 【分析】(1)分析摸出3个球得分大于3分的随机事件所包含的基本事件，利用超几何分布的概率公式计算即可； (2)随机变量X服从超几何分布，根据超几何分布的概率计算公式计算X不同的取值对应的概率，列出分布列，代入期望和方差公式计算即可． 【详解】（1）Y表示取出中白球的个数，事件A表示摸出3个球得分大于3分； 则， 其中，，互斥； 故, ， ， 故； （2）由题意知，，X的取值为：0，1，2，3， ； ； ； ； 故X的分布列： 0 1 2 3 ； ； 故期望为，方差为． 例6．（2026·河南周口·模拟预测）一个袋子中装有个大小相同的小球，编号分别为1，2，3，…，，且，．进行两次实验：第一次：从中不放回地随机取出个球，记所取球的编号组成的集合为．第一次实验完成后，将球放回袋中，再进行第二次实验；第二次：从中不放回地随机取出个球，记所取球的编号组成的集合为．设随机变量表示的元素个数． (1)若，，求的分布列： (2)若，且，求； (3)若，两次实验中，第二次取出的10个球里恰好有3个球与第一次取出的球重复，求的估计值（以使最大的值作为估计值）． 【答案】(1)的分布列为： (2)6 (3)33 【分析】（1）先确定的所有可能取值，结合组合数计算每个取值对应的概率，进而列出的分布列； （2）根据交集元素个数为的概率公式列关于的方程，求解符合条件的正整数即可； （3）由题知，，设，由作商法求得的单调性即可求解最大值时的取值． 【详解】（1）X表示的元素个数，可能取值为，总取法为， 表示两次取的球无公共元素，取法为，， 表示两次取的球恰有1个公共元素，取法为，， 表示两次取的球完全相同，取法为，， 的分布列为： （2）由已知，表示第二次从个球中取出个球，其中恰有个球的编号属于， ， 代入，则， 化简得， 因式分解得，结合得． （3）由题知，，， 设， 当时， ， 令， 当时，，即，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 因此，当时，取得最大值， 所以的估计值为33． 【变式训练】 变式1．（25-26高二下·河北邢台·期中）已知盒子中装有个红球和2个白球，从中任取3个球（取到每个球都是等可能的），用随机变量表示取到的红球个数，的分布列如下表所示，则（    ） 1 2 3 A．4 B．5 C．6 D．9 【答案】B 【分析】由求出，再分别由求出，由期望公式求出，最后由期望性质求出. 【详解】由题意可得，解得或（舍去）. 因为，， 所以， 则. 变式2．（25-26高二下·河北邢台·期中）有7件产品，其中3件是次品，从中每次取1件，不放回地任取3次，若表示取得次品的件数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用超几何分布即可求解. 【详解】由题意知的可能取值为，，，，服从超几何分布， 则. 变式3．（25-26高二下·河北邢台·期中）设第一个口袋有2个白球和4个黑球，第二个口袋有3个白球和3个黑球，从第一个口袋中一次性取2个球放入第二个口袋，再从第二个口袋中一次性取2个球，用表示第二次取出的2个球中白球的个数，则______. 【答案】 【分析】利用超几何分布和数学期望的公式即可求解. 【详解】设事件“从第一个口袋中取出的2个球中有个白球”，则，，. 的可能取值为，，，由，，，得. 同理，由，，， 得. 由，，， 得， 所以. 变式4．（2026·江西南昌·模拟预测）在大数据质量检测中，将全部数据划分为个数据块，已知其中有个数据块存在异常.现从中随机抽取3个数据块进行人工核查，记抽到异常数据块的个数为，则随机变量 的期望值为______. 【答案】 【分析】由题意可得的可能取值为0，1，2，求解对应概率，再根据数学期望的公式求解即可. 【详解】已知的可能取值为0，1，2， 所以 ， ， ， 所以. 变式5．（2026·广东深圳·模拟预测）近年来，全球数字化进程持续加速，人工智能（Artificial Intelligence，简称AI）已然成为科技变革的核心驱动力，有媒体称DeepSeek开启了我国AI新纪元.某地区随机调查了经常使用某AI工具的360名用户，统计他们的年龄都位于，得到如下直方图： (1)利用直方图中的数据，求的值，并估计该AI工具用户的平均年龄； (2)已知用分层随机抽样的方法，从上面360名用户中随机抽取了12人，现从这12人中随机抽取4人，记抽到第一组的人数为s，第二组的人数为n．设，求的分布列及其期望； (3)已知该工具对某20个问题能准确答对其中的（，且）个．若从这20个问题中随机抽取10个对该工具提问，当t变化时，要使得恰好答对3个问题的概率取到最大值，求此时的取值． 【答案】(1)， (2) 0 1 2 3 4 (3) 【分析】（1）根据频率分布直方图的特征求即可，利用平均数的求解公式求解即可； （2）根据题意得到各组抽取的人数，进而可知的所有可能取值为0，1，2，3，4，结合组合数求出对应概率，列出分布列并得到期望即可； （3）由题可得恰好答对3个问题的概率为，设，求出，进而分析得出最值及的值． 【详解】（1）根据频率直方图的性质可得，解得, 利用中点值可估计平均年龄为； （2）由题意得，这12人中，年龄在第一组内的有（人）， 年龄在第二组内有 人，年龄在第三组内有 人， 年龄在第四组内有 人，年龄在第五组内有 人， 则的所有可能取值为0，1，2，3，4， 所以，， ，， 则的分布列为： 0 1 2 3 4 所以； （3）从这20个问题中随机抽取10个对该工具提问，恰好答对3个问题的概率为， 设，由，且得， 所以， 显然，， 令， 当时，有，，即， 此时； 当时，有，，即， 此时，即，所以． 变式6．（25-26高二下·重庆·期中）为响应年青少年拔尖创新人才培养计划，某高校面向全市中学选拔优秀学生，开设数学、物理、化学、信息技术四门学科科研夏令营活动． (1)若数学组的名学员中恰有人来自同一中学，从这名学员中选取人，表示选取的人中来自该中学的人数，求的分布列和数学期望； (2)在学营开幕式的晚会上，数学组举行了一次学科知识竞答活动．规则如下：两人一组，每人答题，答对不少于题则获胜，假设每轮答题结果互不影响．已知甲、乙两位同学组成一组，甲、乙答对每道题的概率都为，如果甲、乙两位同学想在此次竞答活动中取得轮胜利，那么理论上至少要参加多少轮竞赛？ 【答案】(1)分布列见解析， (2) 【分析】（1）根据超几何分布列出分布列，计算数学期望即可； （2）先求每轮答题中取得胜利的概率，再应用独立重复实验数学期望的范围求出最少轮数. 【详解】（1）由题意可知的可能取值有， ，， ，， 所以，随机变量的分布列如下表所示： 0 1 2 3 所以. （2）甲、乙两人在一轮竞赛中总共答对的题数为随机变量 Y ， 由题意可知，每人答 2 题，两人共答 4 题，每道题答对的概率均为,且各题答对与否相互独立， 因此 Y 服从二项分布，则他们在每轮答题中取得胜利的概率为： 设他们小组在轮答题中取得胜利的次数为，则，， 由，即，解得， 而，则，所以理论上至少要进行轮答题． 考点三 正态分布 【知识点解析】 1. 图像性质（正态曲线） 1. 关于直线 对称； 1. 决定左右位置， 决定胖瘦： 越大图像越矮胖， 越小越高瘦； 1. 曲线与 轴总面积=1，整体概率和为 1。 2. 期望方差 3. 3σ原则（必考数值） · · · 区间 几乎包含全部数据。 4. 标准化变换 令 ，则 标准正态分布，用来查表算概率。 【例题分析】 例1．（25-26高二下·安徽宿州·阶段检测）已知随机变量X服从正态分布，且，则（     ） A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.8 【答案】C 【详解】因为随机变量X服从正态分布，所以， 又因为，所以， 所以. 例2．（25-26高二下·吉林长春·期中）某地区14000名学生的数学成绩，且成绩在的学生人数约为 4800人，则估计成绩超过90分的学生人数约为（    ） A．2200 B．2500 C．2800 D．3100 【答案】A 【分析】根据已知求得，结合正态分布的对称性求出，进而估计学生人数即可. 【详解】由题意，则， 而，则， 所以成绩超过90分的学生人数约为人. 例3．（25-26高二下·上海·期中）已知随机变量服从正态分布，且，则__________． 【答案】 【详解】由题意正态分布曲线关于对称， 故. 例4．（25-26高二下·山西朔州·阶段检测）某校高二年级学生数学考试的成绩（单位:分）服从正态分布，从中任取一个学生的数学成绩，记该学生的成绩在内为事件，记该学生的成绩在内为事件，则在事件发生的条件下，事件发生的概率_____（用分数表示） 附：若，则，， 【答案】 【分析】根据正态分布的概率分布即可计算积事件的概率与事件的概率，利用条件概率公式代入计算即可． 【详解】因为服从正态分布，则， 则 ； ； ． 例5．（25-26高二下·重庆·期中）某市为了传承和发展中华优秀传统文化，组织该市中学生进行了一次知识竞赛，现从中抽取100名学生的成绩组成样本，并将得分分成以下6组：，，，，，，得到如下直方图．    (1)从样本中得分不低于70分的学生中，用分层抽样的方法选取11人进行座谈，若从座谈名单中随机抽取3人，记得分在的人数为X，试求X的分布列； (2)以样本的频率估计概率，从该市得分在中随机抽取200份学生成绩，用表示200份中恰有k份学生竞赛成绩在的概率，其中．当最大时，求k的值； (3)以样本估计总体，根据频率分布直方图，可以认为参加知识竞赛学生的得分X近似服从正态分布，经计算．若参赛学生得分X满足：，则可获得“纪念证书”；若参赛学生得分X满足：，则可获得“先锋证书”．已知该市共600名学生参加知识竞赛活动，试估计获得“纪念证书”的学生人数，并判断竞赛成绩为91分的学生能否获得“先锋证书”． 附：若，则，，． 【答案】(1) 0 1 2 (2) 或 (3)估计获得“纪念证书”的学生人数为人；竞赛成绩为分的学生能获得“先锋证书”． 【分析】（1）先按照分层抽样求出在的人数为2，则的可能取值为0，1，2，再求出对应的概率即可； （2）随机抽一名学生，求出成绩在的概率，再利用独立重复试验的概率公式，列出不等式求解作答. （3）由频率分布直方图求出平均数可得，由正态分布的概率特征即可求解. 【详解】（1）由题参加座谈的11人中，得分在的有人， 所以的可能取值为0，1，2， 所以，，， 所以的分布列为： 0 1 2 （2）用频率估计概率，竞赛成绩在内的概率， 则， ． 令，解得，当且仅当时取等号，即， 当时，，当时，， 所以当或，最大． （3）由频率分布直方图估计这100名学生得分的平均数为 ， 所以取，由已知，，. 由题可知， 所以获得“参赛纪念证书”的学生人数约为：人， ，所以竞赛成绩为91分的学生能获得“先锋证书”． 例6．（2026·浙江·三模）信息安全是互联网时代最重要的安全之一，我国自主研发的量子通信保密传输系统，依靠量子密钥分发实现信息安全传输，该系统采用量子信道和经典信道协同工作，某量子通信保密传输系统在单次密钥分发过程中，量子信道成功密钥生成的概率为，经典信道完成信息匹配的概率为，且两个信道工作相互独立．只有当量子信道密钥生成成功，且经典信道信息匹配成功，则本次有效密钥分发成功，否则本次有效密钥分发失败． (1)求该系统单次有效密钥分发成功的概率； (2)若该系统独立进行次密钥分发，记为有效分发成功的次数，求的数学期望； (3)科研人员对该系统连续传输的密钥准确率进行检测，发现密钥准确率（单位：）服从正态分布．若准确率不低于为“最优传输”，估算次密钥分发中，可用于“最优传输”的次数． 附：若，则，，． 【答案】(1) (2) (3)次密钥分发中，“最优传输”的次数约为 【分析】（1）根据两个信道工作相互独立，利用独立事件同时发生的概率乘法公式，将量子信道成功概率与经典信道匹配概率相乘，即可得到单次有效密钥分发成功的概率； （2）单次有效密钥分发成功的概率固定，次独立重复试验中成功次数服从二项分布，直接套用二项分布数学期望公式计算即可； （3）先由正态分布参数算出均值与标准差，将 “准确率不低于” 转化为正态分布中的概率，利用正态分布的对称性和，求出对应概率后乘以总次数，估算出“最优传输”的次数． 【详解】（1）设 “量子信道成功密钥生成”为事件，“经典信道完成信息匹配” 为事件， 由题意得，，且与相互独立， 所以该系统单次有效密钥分发成功的概率； （2）由题意得，，所以； （3）由题意得，，则，， 因为“最优传输”要求，即， 所以， ， 所以次密钥分发中，“最优传输”的次数约为． 【变式训练】 变式1．（25-26高二下·河北承德·期中）若随机变量服从正态分布，且，则（   ） A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4 【答案】D 【分析】根据题意结合正态分布的对称性分析求解. 【详解】因为服从正态分布，且， 则，即正态曲线关于直线对称， 所以， 又， 所以. 变式2．（2026·安徽·模拟预测）某新能源汽车企业为优化电池续航算法，抽取了10000辆同型号车辆在标准工况下的单次充电实际行驶里程（单位：公里）．统计数据经整理得到频率分布直方图（图中部分数据缺失）．已知行驶里程在的频率为0.34，在的频率为0.34，且该数据近似服从正态分布．该企业计划对续航表现优异的车辆颁发“超长续航认证”，要求行驶里程不低于m公里，且认证比例控制在2.28%左右．根据正态分布模型（参考数据：，），则m的估计值最接近（   ） A．450 B．475 C．500 D．525 【答案】C 【分析】先解出的估计值，再求解即可 【详解】行驶里程在的频率为0.34，在的频率为0.34，说明数据在这两个区间的分布对称，得. 区间的频率为，而，故近似有，解得. 认证比例，所以，因此最接近的选项是C. 变式3．（25-26高二下·安徽蚌埠·阶段检测）若随机变量，且，则________． 【答案】 【详解】因为，由正态分布的对称性可知， 所以． 变式4．（25-26高二下·辽宁抚顺·期中）某工厂生产一批零件，其长度（单位：mm）近似服从正态分布，现随机抽检该批次零件共20000个，则这批零件中长度超过208mm的个数约为________. （附：若随机变量，则，，） 【答案】455 【详解】由题意知，. 这批零件中长度超过208mm的概率为， 所以这批零件中长度超过208mm的个数约为． 变式5．（25-26高二下·浙江金华·阶段检测）某工厂生产一种仪器，已知该仪器出厂前的检测流程为：若第一次检测合格，则该件仪器合格；若第一次检测不合格，则对该件仪器进行调校后再进行第二次检测．如果第二次检测合格，则该件仪器合格；否则为不合格．已知该仪器第一次检测的合格率为0.8，第二次检测的合格率为0.5 (1)从未经过检测的仪器中随机抽取3件，按上述流程进行检测，记合格的件数为，求随机变量的分布列和数学期望； (2)在统计学中，对于离散型随机变量，当且时，可以认为近似服从正态分布，其中和分别为在二项分布中的期望和标准差，现从未经过检测的仪器中随机抽取100件，按上述流程进行检测，试估计合格的件数的概率． 附：若，则，，． 【答案】(1)分布列见解析，2.7 (2)0.976． 【分析】（1）由条件求该仪器的合格率，根据二项分布的定义判断随机变量，结合二项分布概率公式求分布列，再由二项分布期望公式求期望； （2）结合题干信息判断随机变量Y近似服从正态分布，求，再根据正态分布性质并结合参考数据求结论. 【详解】（1）由题，该仪器的合格率， 所以随机变量，故其分布列为， 0 1 2 3 0.001 0.027 0.243 0.729 数学期望． （2）由（1）知，随机变量， 此时，， 所以可以认为随机变量Y近似服从正态分布， 其中，， 所以， 所以 ． 所以合格的件数的概率约为0.976． 变式6．（25-26高二下·广东广州·月考）在某市高中某学科竞赛中，某一个区4000名考生的参赛成绩统计如图所示．    (1)求这4000名考生的竞赛平均成绩．（同一组中数据用该组区间中点作代表）； (2)由直方图可认为考生竞赛成绩服从正态分布，其中，分别取考生的平均成绩和考生成绩的方差，那么该区4000名考生成绩超过84.81分的人数估计有多少人？ (3)如果用该区参赛考生成绩的情况来估计全市的参赛考生的成绩情况，现从全市参赛考生中随机抽取4名考生，记成绩不超过84.81分的考生人数为，求（精确到0.001）． 附：①，； ②，则，； ③． 【答案】(1)70.5 (2)人 (3) 【分析】（1）代入平均数公式求解； （2）首先根据参考数据计算，再计算人数； （3）根据（2）的结果，转化为二项分布求概率. 【详解】（1）由题意知：， 4000名考生的竞赛平均成绩为70.5． （2）依题意服从正态分布，其中，，， 服从正态分布， 而， ． ∴竞赛成绩超过84.81的人数估计为（人）人． （3）全市参赛考生成绩不超过84.81的概率．而， ． 2 学科网（北京）股份有限公司 $期末复习：二项分布、超几何分布、正态分布复习讲义 期末复习：二项分布、超几何分布、正态分布复习讲义 考点目录 二项分布 超几何分布 正态分布 考点一 二项分布 【知识点解析】 1. 适用条件（4 个独立重复试验） 1. 一共进行 次相同试验； 1. 每次只有两种结果：成功/失败； 1. 单次成功概率恒为 ，失败 ； 1. 各次试验相互独立。 2. 概率公式 3. 期望与方差 典型场景 投篮 次命中次数、有放回抽样、多次独立射击。 【例题分析】 例1．（25-26高二下·吉林长春·期中）有6件产品，其中2件是次品，从中放回地取3次(每次1件)，若表示取得次品的次数，则=（    ） A． B． C． D． 例2．（25-26高二下·四川达州·阶段检测）已知随机变量，则下列选项中不正确的为（    ） A． B．当取最大值时， C． D． 例3．（2026·湖南·模拟预测）某游戏有“通关升星”机制：每次通关有的概率获得1张卡片，每集齐2张卡片可升1颗星，每次通关结果相互独立．若小张连续通关6次，则他升星颗数的期望为______． 例4．（25-26高二下·宁夏·期中）如图，一个质点在外力的作用下，从原点0出发，每隔1s向左或向右移动一个单位，且向右移动的概率为．若该质点共移动60次，则它位于数字___________处的可能性最大． 例5．（2026·江苏南通·模拟预测）某学校鼓励学生周末使用人工智能平台进行探究性学习，现从全校学生中抽取了容量为100的样本，得到某周末学生线上学习的时间，经统计绘制成如下频率分布直方图． (1)试估计该校学生周末线上学习时间的中位数及学习时间不小于3小时的频率； (2)从该校学生中随机抽取8人，周末线上学习时间不小于3小时的人数记为，以样本中周末线上学习时间不小于3小时的频率作为该事件的概率，当（）最大时，求的值． 例6．（2026·安徽合肥·模拟预测）某校举办 “一带一路” 知识竞赛，有 A，B两组题可供选择，两组题都有8道题，每位参赛选手选择一组题，且所选组别的所有题均作答。若参赛选手选择A组题，则答对一道题得3分，答错一道题得分；若参赛选手选择 B 组题，则答对一道题得2分，答错一道题得0分. 已知小明答对每道题的概率均为p (0<p<1)，且每道题的答题情况相互独立. (1)若p，小明选择A组题作答，求他的总得分为正的概率； (2)讨论小明选择哪组题进行答题，能使自己的总得分的期望更高. 【变式训练】 变式1．（25-26高二下·重庆渝北·期中）在某次抽奖活动中，一个口袋里装有3个白球和2个黑球，所有球除颜色外无任何不同，每次从中摸出2个球，观察颜色后放回，若为同色，则中奖.则摸球三次仅中奖一次的概率为（    ） A． B． C． D． 变式2．（25-26高二上·黑龙江绥化·期中）如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点出发，每隔1秒等可能地向左或向右移动1个单位.设移动秒后质点所在位置对应的实数为随机变量，则（    ） A． B． C． D．2 变式3．（25-26高二下·上海松江·期中）扑点球的难度一般比较大，假设罚点球的球员会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向射门，守门员也会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向来扑点球，而且守门员即使方向判断正确，也有的可能性扑不到球．假设每次点球，守门员的表现，罚点球的球员的表现都是独立的，不考虑其它因素，在一次5轮点球大战中，守门员至少扑到1个点球的概率为_______（答案精确到0.001）． 变式4．（25-26高二下·江苏无锡·阶段检测）抛掷一枚质地均匀的骰子，观察骰子朝上面的点数，并制定如下规则：当点数为2，3，4，5时得1分，当点数为1，6时得2分．多次抛掷这枚骰子，将每次得分相加的结果作为最终得分．若抛掷2次骰子，最终得分为X，则随机变量X的期望是______；若抛掷50次骰子，记得分恰为n分的概率为，则当取最大值时的值为______ 变式5．（25-26高二下·安徽蚌埠·阶段检测）为推动制造业高端化、智能化、绿色化发展，某国家重点支持的高端装备制造企业对其核心零部件生产线进行智能化升级改造，全面提升产品质量稳定性和可靠性． (1)升级改造前，该企业从一批库存零件中随机抽取8个进行质量检测，发现其中有3个零件不合格．现从这8个零件中不放回地随机抽取4个，已知取出的4个零件中至少有一个不合格，求恰好有2个不合格的概率； (2)经过智能化升级改造后，生产线的质量稳定性显著提升，单件产品的合格率达到，且各零件是否合格相互独立．为评估改造效果，质检部门从新生产线上随机抽取4个零件进行检测，记为抽到的合格零件个数，求的分布列、期望与方差． 变式6．（25-26高三下·重庆·阶段检测）随着AI技术的发展，计算机科学受到越来越多的人关注，计算机内部数的计算采用的是二进制．一般地，k位二进制数可以表示为，其中，并约定，比如全体3位二进制数构成的集合为．设全体位二进制数构成的集合为，其中正整数，从集合中等可能地取出一个二进制数，设这个二进制数中数码0出现的次数为． (1)若，求概率； (2)若，记的概率为，当取得最大值时，求的值． 考点二 超几何分布 【知识点解析】 1. 适用条件 总数 件，其中正品（成功） 件，抽取 件，无放回一次性抽取，总体有限。 2. 概率公式 取值满足： 3. 期望方差 【例题分析】 例1．（25-26高二下·安徽蚌埠·阶段检测）某校举办经典诵读比赛，共有10名学生晋级决赛，其中女生有4名．现从这10名学生中随机选2名担任领诵，记选中的这2人中女生人数为X，则（   ） A． B． C． D． 例2．（25-26高二下·北京朝阳·阶段检测）甲、乙两名五子棋爱好者进行一场比赛，采用7局4胜制（先胜4局者获胜，比赛结束），已知每局比赛甲获胜的概率为，则甲最终以获胜的概率为（    ） A． B． C． D． 例3．（25-26高二下·山东德州·阶段检测）在名女生和名男生中任选人参加一项交流活动，设为抽到男生的人数，则为__________． 例4．（25-26高二下·天津西青·期中）已知甲箱中有2个红球和3个黑球，乙箱中有1个红球和3个黑球（所有球除颜色外完全相同），某学生先从甲箱中随机取出2个球放入乙箱，再从乙箱中随机取出1个球，记“从乙箱中取出的球是黑球”为事件B，则________． 例5．（25-26高二下·广东汕头·期中）一个袋子中有10个大小相同的球，其中有4个黄球、6个白球，从中随机地摸出3个球作为样本．用X表示样本中黄球的个数． (1)若抽出黄球赋1分，白球赋2分，求随机摸出3个球得分大于3分的概率； (2)求X的分布列、期望和方差． 例6．（2026·河南周口·模拟预测）一个袋子中装有个大小相同的小球，编号分别为1，2，3，…，，且，．进行两次实验：第一次：从中不放回地随机取出个球，记所取球的编号组成的集合为．第一次实验完成后，将球放回袋中，再进行第二次实验；第二次：从中不放回地随机取出个球，记所取球的编号组成的集合为．设随机变量表示的元素个数． (1)若，，求的分布列： (2)若，且，求； (3)若，两次实验中，第二次取出的10个球里恰好有3个球与第一次取出的球重复，求的估计值（以使最大的值作为估计值）． 【变式训练】 变式1．（25-26高二下·河北邢台·期中）已知盒子中装有个红球和2个白球，从中任取3个球（取到每个球都是等可能的），用随机变量表示取到的红球个数，的分布列如下表所示，则（    ） 1 2 3 A．4 B．5 C．6 D．9 变式2．（25-26高二下·河北邢台·期中）有7件产品，其中3件是次品，从中每次取1件，不放回地任取3次，若表示取得次品的件数，则（    ） A． B． C． D． 变式3．（25-26高二下·河北邢台·期中）设第一个口袋有2个白球和4个黑球，第二个口袋有3个白球和3个黑球，从第一个口袋中一次性取2个球放入第二个口袋，再从第二个口袋中一次性取2个球，用表示第二次取出的2个球中白球的个数，则______. 变式4．（2026·江西南昌·模拟预测）在大数据质量检测中，将全部数据划分为个数据块，已知其中有个数据块存在异常.现从中随机抽取3个数据块进行人工核查，记抽到异常数据块的个数为，则随机变量 的期望值为______. 变式5．（2026·广东深圳·模拟预测）近年来，全球数字化进程持续加速，人工智能（Artificial Intelligence，简称AI）已然成为科技变革的核心驱动力，有媒体称DeepSeek开启了我国AI新纪元.某地区随机调查了经常使用某AI工具的360名用户，统计他们的年龄都位于，得到如下直方图： (1)利用直方图中的数据，求的值，并估计该AI工具用户的平均年龄； (2)已知用分层随机抽样的方法，从上面360名用户中随机抽取了12人，现从这12人中随机抽取4人，记抽到第一组的人数为s，第二组的人数为n．设，求的分布列及其期望； (3)已知该工具对某20个问题能准确答对其中的（，且）个．若从这20个问题中随机抽取10个对该工具提问，当t变化时，要使得恰好答对3个问题的概率取到最大值，求此时的取值． 变式6．（25-26高二下·重庆·期中）为响应年青少年拔尖创新人才培养计划，某高校面向全市中学选拔优秀学生，开设数学、物理、化学、信息技术四门学科科研夏令营活动． (1)若数学组的名学员中恰有人来自同一中学，从这名学员中选取人，表示选取的人中来自该中学的人数，求的分布列和数学期望； (2)在学营开幕式的晚会上，数学组举行了一次学科知识竞答活动．规则如下：两人一组，每人答题，答对不少于题则获胜，假设每轮答题结果互不影响．已知甲、乙两位同学组成一组，甲、乙答对每道题的概率都为，如果甲、乙两位同学想在此次竞答活动中取得轮胜利，那么理论上至少要参加多少轮竞赛？ 考点三 正态分布 【知识点解析】 1. 图像性质（正态曲线） 1. 关于直线 对称； 1. 决定左右位置， 决定胖瘦： 越大图像越矮胖， 越小越高瘦； 1. 曲线与 轴总面积=1，整体概率和为 1。 2. 期望方差 3. 3σ原则（必考数值） · · · 区间 几乎包含全部数据。 4. 标准化变换 令 ，则 标准正态分布，用来查表算概率。 【例题分析】 例1．（25-26高二下·安徽宿州·阶段检测）已知随机变量X服从正态分布，且，则（     ） A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.8 例2．（25-26高二下·吉林长春·期中）某地区14000名学生的数学成绩，且成绩在的学生人数约为 4800人，则估计成绩超过90分的学生人数约为（    ） A．2200 B．2500 C．2800 D．3100 例3．（25-26高二下·上海·期中）已知随机变量服从正态分布，且，则__________． 例4．（25-26高二下·山西朔州·阶段检测）某校高二年级学生数学考试的成绩（单位:分）服从正态分布，从中任取一个学生的数学成绩，记该学生的成绩在内为事件，记该学生的成绩在内为事件，则在事件发生的条件下，事件发生的概率_____（用分数表示） 附：若，则，， 例5．（25-26高二下·重庆·期中）某市为了传承和发展中华优秀传统文化，组织该市中学生进行了一次知识竞赛，现从中抽取100名学生的成绩组成样本，并将得分分成以下6组：，，，，，，得到如下直方图．    (1)从样本中得分不低于70分的学生中，用分层抽样的方法选取11人进行座谈，若从座谈名单中随机抽取3人，记得分在的人数为X，试求X的分布列； (2)以样本的频率估计概率，从该市得分在中随机抽取200份学生成绩，用表示200份中恰有k份学生竞赛成绩在的概率，其中．当最大时，求k的值； (3)以样本估计总体，根据频率分布直方图，可以认为参加知识竞赛学生的得分X近似服从正态分布，经计算．若参赛学生得分X满足：，则可获得“纪念证书”；若参赛学生得分X满足：，则可获得“先锋证书”．已知该市共600名学生参加知识竞赛活动，试估计获得“纪念证书”的学生人数，并判断竞赛成绩为91分的学生能否获得“先锋证书”． 附：若，则，，． 例6．（2026·浙江·三模）信息安全是互联网时代最重要的安全之一，我国自主研发的量子通信保密传输系统，依靠量子密钥分发实现信息安全传输，该系统采用量子信道和经典信道协同工作，某量子通信保密传输系统在单次密钥分发过程中，量子信道成功密钥生成的概率为，经典信道完成信息匹配的概率为，且两个信道工作相互独立．只有当量子信道密钥生成成功，且经典信道信息匹配成功，则本次有效密钥分发成功，否则本次有效密钥分发失败． (1)求该系统单次有效密钥分发成功的概率； (2)若该系统独立进行次密钥分发，记为有效分发成功的次数，求的数学期望； (3)科研人员对该系统连续传输的密钥准确率进行检测，发现密钥准确率（单位：）服从正态分布．若准确率不低于为“最优传输”，估算次密钥分发中，可用于“最优传输”的次数． 附：若，则，，． 【变式训练】 变式1．（25-26高二下·河北承德·期中）若随机变量服从正态分布，且，则（   ） A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4 变式2．（2026·安徽·模拟预测）某新能源汽车企业为优化电池续航算法，抽取了10000辆同型号车辆在标准工况下的单次充电实际行驶里程（单位：公里）．统计数据经整理得到频率分布直方图（图中部分数据缺失）．已知行驶里程在的频率为0.34，在的频率为0.34，且该数据近似服从正态分布．该企业计划对续航表现优异的车辆颁发“超长续航认证”，要求行驶里程不低于m公里，且认证比例控制在2.28%左右．根据正态分布模型（参考数据：，），则m的估计值最接近（   ） A．450 B．475 C．500 D．525 变式3．（25-26高二下·安徽蚌埠·阶段检测）若随机变量，且，则________． 变式4．（25-26高二下·辽宁抚顺·期中）某工厂生产一批零件，其长度（单位：mm）近似服从正态分布，现随机抽检该批次零件共20000个，则这批零件中长度超过208mm的个数约为________. （附：若随机变量，则，，） 变式5．（25-26高二下·浙江金华·阶段检测）某工厂生产一种仪器，已知该仪器出厂前的检测流程为：若第一次检测合格，则该件仪器合格；若第一次检测不合格，则对该件仪器进行调校后再进行第二次检测．如果第二次检测合格，则该件仪器合格；否则为不合格．已知该仪器第一次检测的合格率为0.8，第二次检测的合格率为0.5 (1)从未经过检测的仪器中随机抽取3件，按上述流程进行检测，记合格的件数为，求随机变量的分布列和数学期望； (2)在统计学中，对于离散型随机变量，当且时，可以认为近似服从正态分布，其中和分别为在二项分布中的期望和标准差，现从未经过检测的仪器中随机抽取100件，按上述流程进行检测，试估计合格的件数的概率． 附：若，则，，． 变式6．（25-26高二下·广东广州·月考）在某市高中某学科竞赛中，某一个区4000名考生的参赛成绩统计如图所示．    (1)求这4000名考生的竞赛平均成绩．（同一组中数据用该组区间中点作代表）； (2)由直方图可认为考生竞赛成绩服从正态分布，其中，分别取考生的平均成绩和考生成绩的方差，那么该区4000名考生成绩超过84.81分的人数估计有多少人？ (3)如果用该区参赛考生成绩的情况来估计全市的参赛考生的成绩情况，现从全市参赛考生中随机抽取4名考生，记成绩不超过84.81分的考生人数为，求（精确到0.001）． 附：①，； ②，则，； ③． 2 学科网（北京）股份有限公司 $