7.4超几何分布、二项分布和正态分布讲义-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

7.4 超几何分布、二项分布和正态分布 题型预览 题型一 利用二项分布求分布列 题型二 利用超几何分布求分布列 题型三 二项分布的概率最大问题 题型四 二项分布与超几何分布的综合 题型五 正态密度函数 题型六 正态曲线的性质以及对称性求参数 题型七 正态分布的实际应用 知识清单 n重伯努利试验 1．n重伯努利试验：将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验． 2．n重伯努利试验的共同特征： (1)同一个伯努利试验重复做n次； (2)各次试验的结果相互独立． 【注意】(1)每次试验结果只有两种，即事件要么发生，要么不发生 (2)每次试验在相同的条件下进行且各次试验中的事件互不影响 二项分布 1．二项分布 一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为P(X＝k)＝pk(1－p)n－k，k＝0，1，2，…，n. 如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)． 2．二项分布的均值与方差 若X服从二项分布，即X～B(n，p)，则E(X )＝np，D(X )＝np(1－p)． 【注意】(1)由二项式定理可知，二项分布的所有概率和为1 (2)两点分布与二项分布的关系：两点分布是只进行一次的二项分布 二项分布问题的两个关注点 (1)判断：关键有两点，一是对立性，即一次试验中，事件发生与否两者必有其一；二是重复性，即试验是独立重复地进行了n次． (2)参数意义：X～B(n，p)中，n为试验次数，p为成功概率． (3)公式用途：公式P(X＝k)＝pk(1－p)n－k(k＝0，1，2，…，n)是求n重伯努利试验发生k次的概率． 超几何分布 一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品．从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P(X＝k)＝，k＝m，m＋1，m＋2，…，r. 其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}． 如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布． 【注意】(1)在超几何分布的模型中，“任取n件”应理解为“不放回地一次取一件，连续取n件” (2)超几何分布的特点：①不放回抽样；②考察对象分两类；③实质是古典概型 判断一个随机变量是否服从超几何分布的方法 (1)总体是否可分为两类明确的对象． (2)是否为不放回抽样． (3)随机变量是否为样本中其中一类个体的个数． 超几何分布的均值 设随机变量X服从超几何分布，则X可以解释为从包含M件次品的N件产品中，不放回地随机抽取n件产品中的次品数．令p＝，则p是N件产品的次品率，而是抽取的n件产品的次品率，我们猜想E＝p，即E(X )＝np. 正态曲线及其特征 1．我们称f (x)＝，x∈R，其中μ∈R，σ>0为参数，为正态密度函数，称它的图象为正态密度曲线，简称正态曲线． 2．若随机变量X的概率分布密度函数为f (x)，则称随机变量X服从正态分布，记为X～N(μ，σ2)．特别地，当μ＝0，σ＝1时，称随机变量X服从标准正态分布． 3．若X～N(μ，σ2)，则E(X )＝μ，D(X )＝σ2. 4．正态曲线的特点： (1)非负性：∀x∈R，f (x)>0，它的图象在x轴的上方． (2)定值性：曲线与x轴之间的区域的面积为1． (3)对称性：曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称． (4)最大值：曲线在x＝μ处达到峰值. (5)当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴． (6)当参数σ取固定值时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图①. (7)当参数μ取固定值时，曲线的形状由σ确定，当σ较小时，峰值高，正态曲线“瘦高”，表示随机变量X的分布比较集中；当σ较大时，峰值低，正态曲线“矮胖”，表示随机变量X的分布比较分散，如图②. 5．正态分布的几何意义：若X～N(μ，σ2)，如图所示，X取值不超过x的概率P(X≤x)为图中区域A的面积，而P(a≤X≤b)为区域B的面积． 【注意】正态曲线始终位于x轴上方，且与x轴所围成的图形的面积为1 利用正态分布的性质求概率 (1)三个特殊区间内取值的概率 若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7， P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5， P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3. (2)3σ原则 在实际应用中，通常认为服从于正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取[μ－3σ，μ＋3σ]中的值，这在统计学中称为3σ原则． 对于正态分布X～N(μ，σ2)而言，随机变量X在区间[μ－3σ，μ＋3σ]以外取值的概率大约只有0.002 7，几乎不可能发生．它在产品检查、质量检验中起着重要的作用． 求正态变量X在某区间内取值的概率的基本方法 (1)根据题目中给出的条件确定μ与σ的值． (2)将待求问题向[μ－σ，μ＋σ]，[μ－2σ，μ＋2σ]，[μ－3σ，μ＋3σ]这三个区间进行转化． (3)利用X在上述区间的概率、正态曲线的对称性和曲线与x轴之间的面积为1这三个性质求出最后结果． 题型突破 题型一 利用二项分布求分布列 1．（2026·河北张家口·二模）有5道题，5名女生中有2人每题都不能答对，其余3人每题都能答对，3名男生每人对每题答对的概率均为.现从上述5名女生中选择2名女生和3名男生答题，每人答一题，答对得2分，答错得0分，记得分之和为，则的数学期望为__________. 2．（25-26高二下·浙江温州·期中）已知5件产品中有2件次品， (1)从中有放回的随机抽取3次，每次取一件产品，抽出次品的件数记为，求的分布列及数学期望． (2)从中不放回的抽取，每次取一件，抽出全部次品则停止抽取，求抽取四次就停止的概率． 3．（2026·河南南阳·二模）某单位为了提高职工业务能力，举行相关的知识竞赛.规则如下：利用计算机在题库中选出3个题由职工作答，已知题库中有，两类题，每个类题答对可以得到20分，每个类题答对得30分.两类题的数量足够，每位职工正确回答类和类题的概率分别是和，且回答，两类题正确与否相互独立. (1)若职工甲选3个类题作答，试求甲得分的分布列和方差； (2)若甲乙两人每人选择2个类题和1个类题作答，求甲得分高于乙的概率. 4．（25-26高二下·福建福州·期中）如今，AI赋能快递行业，在揽派前端，圆通的“业务员AI助手”可实现批量外呼、分堆播报等功能.圆通速递的AI智能客服系统通过引入自然语言处理NLP和机器学习技术，能高效处理查询、理赔等事务，显著减少人工客服的工作负担.通过采集使用数据发现，当顾客输入的问题表达清晰时，AI智能客服的回答被采纳的概率为；当输入的问题表达不清晰时，AI智能客服的回答被采纳的概率仅为．已知输入的问题表达不清晰的概率为．每次回答是否被采纳相互独立． (1)求AI智能客服的回答被采纳的概率； (2)在某次测试中输入了3个问题，设表示AI智能客服的回答被采纳的次数，求的分布列及期望、方差； (3)公司为了测试某项功能是否值得推广使用，随机抽取了10个问题，AI智能客服的回答每被采纳1次计10分，不采纳则不计分．记被采纳的回答数的总得分为，若，则推广使用该功能．试推断该功能是否会得到推广，请说明理由． 5．（2026高三·全国·专题练习）某公司升级了智能客服系统，在测试时，当输入的问题表达清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为；当输入的问题表达不清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为．已知输入的问题表达不清晰的概率为．每次回答是否被采纳相互独立．在某次测试中输入了3个问题，设表示智能客服的回答被采纳的次数，求的分布列及期望、方差． 6．（2026·全国·模拟预测）为了迎接北京冬奥会，弘扬奥林匹克精神，某学校组织全体高一学生开展了冬奥知识竞赛活动．为统计学生成绩，从参加该活动的学生中随机抽取了12名学生的竞赛成绩，数据如表： 男生 81 84 86 86 88 91 女生 72 80 84 88 92 97 用频率估计概率，样本估计总体，回答下列问题． (1)从抽出的男生和女生中，各随机选取一人，求男生成绩高于女生成绩的概率； (2)从该校的高一学生中，随机抽取3人，记成绩为优秀（分）的学生人数为，求的分布列和数学期望． 题型二 利用超几何分布求分布列 7．（河南商丘市商师联盟2025-2026学年高二下学期4月期中数学试题）端午节吃粽子是一大习俗，粽子，又叫角黍、筒粽.某礼盒中有6盒粽子，其中3盒是豆沙粽，3盒是鲜肉粽，从中任取2盒粽子，记取到的鲜肉粽有盒，则的方差为___________. 8．（2026·天津北辰·一模）在马年春节联欢晚会上，多款人形机器人惊艳亮相，其精彩的表演赢得了观众的一致好评．某款人形机器人在排练时，若对机器人下达的动作指令表述清晰，则机器人成功完成指令的概率为0.9；若对机器人下达的动作指令表述模糊，则成功完成指令的概率为0.5．若下达的动作指令表述模糊的概率为0.25，则该机器人成功完成指令的概率为______；若另一款人形机器人在排练时，导演对机器人下达了7个动作指令，机器人成功完成了其中5个．现从这7个指令中随机抽取4个进行回放分析，以表示抽取的指令中成功完成的个数，则期望______． 9．（25-26高二下·浙江·期中）某商店举办促销活动，顾客消费后可参与抽奖．盒子中有个大小､形状完全相同的小球，其中红球个，白球个．顾客从中一次性抽取个小球，若抽到两个小球中有红球，则获得一份纪念品． (1)求一位顾客获得纪念品的概率； (2)若某家庭个人到店消费，均独立获得抽奖资格并参加抽奖活动，记三人获得纪念品的份数为，求的分布列与数学期望． 10．（2026·广西南宁·三模）为提升图书盘点效率，某中学图书馆引入AI智能图书盘点机器人．现对该机器人的图书识别准确率进行标准化测试，测试样本集有6本图书，分为两类：4本标签完好，是机器人应正确识别的有效馆藏图书；2本标签破损，是机器人应正确排除的无效图书．两类样本共同用于机器人识别性能测试，现从这6本图书中不放回地随机抽取2本，逐本开展测试． (1)已知第一次抽取到有效馆藏图书，求第二次也抽取到有效馆藏图书的概率； (2)记抽取的2本图书中，有效馆藏图书的数量为X，求X的分布列及数学期望． 11．（2026·重庆·模拟预测）某电商对旗下100名客服人员 “双十一”当天的订单处理量(单位：千件)进行统计，将所得数据按 分成4组，制成如图所示的频率分布直方图． (1)求图中的值及订单处理量的第75百分位数； (2)假设订单处理量在的客服中有2名女性，现从该区间的客服中随机抽取3人进行奖励，记为抽取的女性人数．求X的分布列和数学期望． 12．（25-26高二下·浙江宁波·月考）某校为了了解本校高二学生每周课外阅读情况，以便有针对性提供阅读建议，学校随机抽查了高二年级的100名同学，依据获得的数据将时间按，，，，，分组，得到如下的频率分布直方图. (1)求的值，并估计该校高二年级每周课外阅读时间的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (2)若采用分层抽样的方法在，两组抽取6人，再从这6人中随机选取3人座谈，设选取的阅读时间在的人数为，求的分布列及数学期望. 题型三 二项分布的概率最大问题 13．（25-26高二下·北京丰台·期中）为研究不同性别学生对“deepseek”应用程序的了解情况，某学校进行了一次抽样调查，分别抽取男生30名和女生20名作为样本，设事件“了解deepseek”，“学生为女生”，据统计，，将样本的频率视为概率，现从全校的学生中随机抽取20名学生，设其中了解“deepseek”的学生人数为，则当取得最大值时的值为（    ） A． B． C． D． 14．（2026·湖南·一模）二项分布又称为重伯努利分布，其可视作将次两点分布叠加所得，现对其中的两点分布进行调整，记原两点分布的发生概率为（发生概率即所得结果为1的概率），定义变化后总试验次数为时的发生概率，其中表示总试验次数．现进行一类关于随机变量的二项分布的调整．若当变化后总试验次数为时的发生概率为，总试验次数为时的发生概率为，则在原二项分布中，的最大值为________（用数字解答）． 15．（25-26高三下·山西·月考）甲､乙两位同学进行纸飞机比赛，设各局比赛的结果相互独立，且每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为.比赛规则如下：三局两胜制指有一方获胜两局，比赛结束；四局三胜制指有一方获胜三局，比赛结束. (1)若，比赛采用三局两胜制，求甲获胜的概率； (2)若，甲、乙进行了局比赛，表示甲获胜的局数，当且仅当时，取得最大值，其中，求满足条件的的值. 16．（2026·北京昌平·一模）教育部最新文件指出，要确保中小学生每天校内校外综合体育活动时间不少于2小时．为了提升学生体质，养成运动习惯，某中学对学生进行了周末两天运动时长的问卷调查，将运动时长不少于4小时的学生视为“运动达标”，运动时长不足4小时的学生视为“运动不达标”．现随机抽取200名学生的问卷，获得数据如下表： 男生（人） 女生（人） 合计（人） 运动达标 80 40 120 运动不达标 20 60 80 合计 100 100 200 用频率估计概率． (1)从该校的男生中任选两人，求这两人均为“运动不达标”的概率； (2)从该校男生和女生中各随机抽取一人，设为“运动达标”的人数，求的分布列和数学期望； (3)从该校随机抽取20名学生，记其中“运动达标”的人数为．求使概率取得最大值时的的值．（直接写出结论） 题型四 二项分布与超几何分布的综合 17．（25-26高三下·福建泉州·开学考试）为全面提升青少年消防安全意识和自防自救能力，7月24日，某消防救援支队走进社区暑期爱心课堂，为孩子们带来了一堂生动有趣的“消防安全知识课”. (1)已知爱心课堂共有10名学生，其中有6名男生，4名女生，从这10名学生中任选3名学生，记这3名学生中女生的人数为X，求X的分布列和数学期望； (2)课后设置消防安全有奖知识竞答，每道题答对的概率为0.4，为使答对题数的数学期望不小于，则小王同学至少要抢答多少道题？ 18．（25-26高二上·安徽淮北·期末）《中国诗词大会》自开播以来受到广泛关注.为营造乐学向上的学风，某班组织古诗背诵比赛，小明、小华两位同学进入决赛阶段，需从首古诗中随机抽取首，答对多者获胜，小明可背诵其中首，而小华能背诵每首古诗的概率均为，小明、小华两位同学背诵古诗都是互不影响的. (1)求小明可以背诵首古诗的概率； (2)求小明背诵古诗数的期望与方差； (3)选哪位同学代表班级参加学校总决赛更合适? 19．（25-26高三下·重庆沙坪坝·月考）某校兴趣小组为研究本校不同性别的学生对 “春节联欢晚会” 的喜爱情况，特进行了一次抽样调查，分别抽取男生和女生各100名作为样本，设事件 “喜欢春节联欢晚会”， “学生为女生”，据统计有：. (1)现从这100名女生中，按喜欢春节联欢晚会与不喜欢春节联欢晚会的比例，选出10人，再从这10人中随机选出2人，设选出的2人中喜欢春节联欢晚会的学生人数为. 求的概率分布列和期望; (2)将样本的频率视为概率. 现从全校的学生中随机抽取名学生，设其中喜欢春节联欢晚会的学生人数为，且当时，取得最大值，求从全校学生中抽取的学生可能的人数. 20．（2026·陕西·模拟预测）2026年春节假期期间，某百货商场举办了一次有奖促销活动，消费每超过600元（含600元）均可抽奖一次，抽奖方案有两种，顾客只能选择其中的一种，每位顾客抽奖结果相互独立. 方案一：从装有10个形状、大小完全相同的小球（其中红球2个，白球1个，黑球7个）的抽奖盒中，一次性摸出3个球.其中奖规则为：若摸到2个红球和1个白球，享受免单优惠；若摸出2个红球和1个黑球，则打5折；若摸出1个白球2个黑球，则打7折；其余情况不打折. 方案二：从装有10个形状、大小完全相同的小球（其中红球3个，黑球7个）的抽奖盒中，有放回每次摸取1球，连摸3次，每摸到1次红球，立减200元. (1)若两个顾客均分别消费了600元，且均选择抽奖方案一，试求两位顾客均享受免单优惠的概率； (2)若某顾客消费恰好满1000元，试从付款金额期望的角度比较该顾客选择哪一种抽奖方案更合算？ 21．（25-26高二下·浙江宁波·期中）2026年春节期间，某超市举办了一次有奖促销活动，消费每超过500元（含500元）均可抽奖一次，抽奖方案有两种，顾客只能选择其中的一种，每位顾客抽奖结果相互独立. 方案一：从装有10个形状、大小完全相同的小球（其中红球2个，白球3个，黑球5个）的抽奖盒中，一次性摸出3个球.其中奖规则为：若摸到2个红球和1个白球，享受免单优惠；若摸出2个红球和1个黑球，则消费金额打五折；若摸出1个红球，2个黑球，则消费金额打八折；其余情况不打折. 方案二：从装有10个形状、大小完全相同的小球（其中红球4个，黑球6个）的抽奖盒中，有放回每次摸取1球，连摸3次，每摸到1次红球，立减100元. (1)若甲、乙两位顾客均分别消费了500元，且均选择抽奖方案一，试求甲顾客享受免单优惠且乙顾客消费金额打八折的概率； (2)若某顾客消费恰好满800元，试从付款金额期望的角度比较该顾客选择哪一种抽奖方案更合算？ 题型五 正态密度函数 22．（25-26高二下·全国·课后作业）（多选）某市组织一次高三调研考试，考试后统计的数学成绩（单位：分）服从正态分布，其概率密度函数为，则下列说法正确的是（   ） A．这次考试的数学平均成绩为80分 B．分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数相同 C．分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同 D．这次考试的数学成绩的标准差为10 23．（2025·上海浦东新·三模）已知随机变量，其密度函数为，则__________. 24．（25-26高二上·黑龙江佳木斯·期末）设两个正态分布和曲线如图所示，则有（    ）    A． B． C． D． 25．（25-26高三上·四川·月考）已知连续型随机变量服从正态分布，记函数，则___________． 26．（2025·贵州毕节·一模）（多选）已知随机变量、分别服从正态分布和二项分布，即，，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 27．（25-26高二下·云南·期中）已知随机变量，若，则（   ） A．0.6 B．0.2 C．0.3 D．0.4 题型六 正态曲线的性质以及对称性求参数 28．（2026·河北唐山·二模）已知随机变量，随机变量，则（    ） A． B． C． D． 29．（2026·浙江·二模）（多选）已知连续型随机变量Y服从正态分布，记函数，，则（    ）．（注：若，则，） A． B． C．的图象关于直线对称 D．的图象关于点对称 30．（25-26高二下·广西柳州·期中）设随机变量服从正态分布，且，若，则__________． 31．（2026·贵州六盘水·一模）已知随机变量，若，则（   ） A．88 B．90 C．92 D．94 32．（25-26高三·全国·三轮复习）设，，这两个正态分布密度曲线如图所示.下列结论中正确的是（    ） A． B． C．对任意正数， D．对任意正数， 33．（2026·陕西西安·模拟预测）（多选）已知随机变量，，则下列结论正确的是（    ） 参考数据：若，则，，． A．若，则 B． C． D．若，则 34．（2026·江西新余·二模）已知随机变量，且，则___________ 题型七 正态分布的实际应用 35．（2026·吉林白山·模拟预测）（多选）某高端茶饮品牌推出一款新品冷泡茶，为优化产品配方，品牌对该款茶的“最佳饮用时长”x（单位：小时，指冲泡后风味最佳的时长区间）进行市场调研.从全国门店随机抽取了100名消费者进行试饮测试，统计结果如下表： 最佳饮用时长x（小时） 消费者人数y 2 38 a b 6 已知最佳饮用时长x的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表），根据调研数据可认为x近似服从正态分布，用样本平均值作为的值，样本标准差s作为的值.则下列说法正确的是（   ）. （参考数据：若随机变量，则，，） A．， B．饮用时长在小时内的消费者占比估计值为13.59% C．饮用时长超过5.5小时的消费者占比估计值为2.275% D．若规定概率低于0.27%的事件为小概率事件，则本次调研中未发生小概率事件，即该款茶的最佳饮用时长符合品牌预设标准 36．（2025·江西萍乡·二模）某企业产品质检员随机从一条生产线分两次共抽取50件样品进行误差检测，统计数据如下表： 抽取次数 抽取件数 平均误差 第一次 30 0.3 第二次 20      (1)已知这条生产线的产品误差X服从正态分布，若以这50件样品的平均误差作为的估计值，且误差落在区间内的产品为“特等品”，试估计这条生产线生产的10000件产品中“特等品”的件数； (2)已知这条生产线的“特等品”在某项测试任务中的达标率为80%，现随机抽取4件“特等品”进行该项测试任务，记其中达标的件数为随机变量Y，求Y的分布列及其数学期望． 附：若，则，；． 37．（2026·辽宁沈阳·二模）某科技公司研发的AI智能体在进行图象分类任务时，单次分类的准确率X（单位：分）服从正态分布． (1)求正常情况下，该AI单次分类的准确率大于99分的概率； (2)某天测试人员随机抽取了该AI的两次分类结果，发现两次的准确率得分均大于99分．测试人员根据这两次测试结果，判断该AI智能体出现了异常波动，要求立即暂停研发更新并进行算法排查．请问测试人员的判断是否合理？请说明理由． 附：若，则，，． 38．（2026·河南许昌·模拟预测）某企业对员工进行技能测试，测试成绩（满分为150分）近似服从正态分布，且，测试成绩120分以上（含120分）为优秀. (1)若该企业共有30000名员工参加测试，试估计该企业测试成绩80分以上（含80分）的员工人数（结果四舍五入保留到整数）； (2)从该企业所有参加测试的员工中随机抽取3人，设3人中测试成绩优秀的人数为，求的分布列和期望. 附：若随机变量，则，，. 39．（25-26高三下·湖南长沙·开学考试）某新能源汽车企业为了检验一款新车型的续航能力，随机抽取了辆该车型，在相同条件下进行续航测试，得到续航里程（单位：）的频率分布表如下： 续航里程区间 频率 (1)求这辆该车型续航里程的平均数和方差（同一区间的数据用该区间的中点值作代表）； (2)由频率分布表可认为，该车型的续航里程服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差． （i）求； （ii）某用户购买了该车型，求其续航里程不低于的概率． 参考数据：，若，则，． 强化训练 1．（25-26高二下·浙江台州·期中）已知随机变量，则（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 2．（25-26高二下·江西赣州·月考）设随机变量，满足：，，若，则（    ） A．3 B． C．4 D． 3．（25-26高二下·江苏南通·月考）已知盒中装有大小、形状、质地均相同的2个红球、2个黄球、1个白球，从中随机取出3个球，记X为取出的3个球中红球的个数，Y为取出的3个球中白球的个数，则错误的是（ ） A． B． C． D． 4．（24-25高三下·陕西西安·月考）盲盒中有大小相同的3个红球，2个黑球，随机有放回的摸两次球，记X为摸到黑球的个数，随机无放回的摸两次球，记Y为摸到黑球的个数，则（ ） A．， B．， C．， D．， 5．（25-26高二下·广西柳州·期中）某次考试有10000人参加，若他们的成绩近似服从正态分布，则分数在之间的考生约有（    ）（参考数据：若，则有， A．1359人 B．1569人 C．2719人 D．3409人 6．（2026·上海徐汇·二模）已知甲､乙两班在某次数学测验中成绩近似服从正态分布，甲班成绩，乙班成绩，其密度曲线如图所示，则有（    ） A．且 B．且 C． D． 7．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）某工厂生产甲、乙两种零件，其长度(单位:)分别服从正态分布和，已知甲零件的平均长度与乙零件相同，但甲零件数据的离散程度更大，则下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 8．（2026·重庆·二模）（多选）已知随机变量服从二项分布，随机变量服从正态分布，则（    ） A． B． C． D． 9．（2026·陕西商洛·模拟预测）（多选）已知随机变量，.若，，则（   ） A． B． C． D． 10．（25-26高三下·河南·月考）（多选）某智能生产线对甲、乙两种型号的工业机器人进行单次标准作业耗时测试（单位：秒），作业时长分别服从正态分布，，则（    ） A． B． C． D． 11．（2026·湖南邵阳·二模）（多选）下列说法正确的是（   ） A．数据2，3，4，5，6，7，8，9的第25百分位数为3 B．若随机变量，，则 C．某校在对高一（2）班学生的数学成绩调查中，随机抽取10名男生的数学成绩，其平均数为105，方差为24，随机抽取5名女生的数学成绩，其平均数为102，方差为21，则这15名学生的数学成绩的方差为25 D．一箱12罐的饮料中4罐有奖券，每张奖券奖励饮料一罐，从中任意抽取2罐，则这2罐中有奖券的概率为 12．（25-26高二下·全国·单元测试）（多选）一个课外兴趣小组共有5名成员，其中3名女性成员，2名男性成员，现从中随机选取2名成员进行学习汇报，记选出女性成员的人数为，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 13．（2026·天津·一模）某班级举行抽奖活动，准备10张形状和质地完全相同的抽奖券，其中4张为一等奖券，6张为二等奖券，每次随机抽取1张.若不放回地连续抽取两次，在第二次抽到一等奖券的条件下，第一次抽到二等奖券的概率是__________；若每次都是有放回地抽取，连续抽取5次，抽到一等奖券记2分，抽到二等奖券记0分，以表示5次抽取的总得分，则的数学期望为__________. 14．（25-26高二下·上海松江·期中）已知，，，则______． 15．（25-26高二下·上海奉贤·月考）一个不透明的袋子有10个除颜色不同外，大小、质地完全相同的球，其中有6个黑球，4个白球，现进行如下试验：逐个不放回地随机摸出3个球，把取到白球的个数记为，则它的期望为______. 16．（25-26高二下·浙江台州·期中）某校兴趣小组为研究本校不同性别的学生对“春节联欢晚会”的喜爱情况，特进行了一次抽样调查，分别抽取男生和女生各100名作为样本，设事件“喜欢春节联欢晚会”，“学生为女生”，据统计有：，. (1)现从这100名女生中，按喜欢春节联欢晚会与不喜欢春节联欢晚会的比例，选出10人，再从这10人中随机选出2人，设选出的2人中喜欢春节联欢晚会的学生人数为.求的概率分布列和方差； (2)将样本的频率视为概率.现从全校的学生中随机抽取名学生，设其中喜欢春节联欢晚会的学生人数为，当变化时在时取得最大值，求从全校学生中抽取的学生可能的人数. 17．（2026·河北沧州·模拟预测）某学校开展“趣味问答”活动，试题按照难度分两大类，学生们答对类试题的概率为，答对类试题的概率为，若回答的是类试题，则下一次回答类试题，若回答的是类试题，则下一次等可能地回答类或类试题，如此循环，答对一道试题即为通过活动，每名学生首先回答类试题． (1)若同学甲有三次答题机会，求同学甲通过活动的概率； (2)若某班有16名同学参加本次活动，每名学生有四次答题机会，表示通过活动的人数，求的值； (3)若同学乙不限答题次数，求同学乙最终通过答对类试题通过活动的概率． 18．（21-22高二上·北京·期末）某外语学校的一个社团中有7名同学，其中2人只会法语；2人只会英语，3人既会法语又会英语，现选派3人到法国的学校交流访问． (1)在选派的3人中恰有2人会法语的概率； (2)在选派的3人中既会法语又会英语的人数X的分布列和数学期望． 19．（25-26高二下·河南许昌·期中）某高中实践活动小组调查学生坚持跑步的次数与体测成绩的关系，得到如下数据：该学校有的学生平均每月坚持跑步次数超过30次，这些学生中体测成绩“及格”的概率为；平均每月跑步次数不超过30次的学生中，体测成绩“及格”的概率为. (1)若从该校任意抽取一名学生，求该学生体测成绩达到“及格”等级的概率； (2)已知该实践活动小组的8名学生中有5名体测成绩“及格”，从这8名学生中抽取3名，记为抽取的3名学生中“及格”的人数，求的分布列和数学期望； (3)经统计，该校学生体测得分近似服从正态分布，若得分则为“优秀”等级.现从全校抽取50名学生，记为这50名学生中“优秀”的人数，求的数学期望及方差（结果四舍五入保留整数）. 参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 7.4 超几何分布、二项分布和正态分布 题型预览 题型一 利用二项分布求分布列 题型二 利用超几何分布求分布列 题型三 二项分布的概率最大问题 题型四 二项分布与超几何分布的综合 题型五 正态密度函数 题型六 正态曲线的性质以及对称性求参数 题型七 正态分布的实际应用 知识清单 n重伯努利试验 1．n重伯努利试验：将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验． 2．n重伯努利试验的共同特征： (1)同一个伯努利试验重复做n次； (2)各次试验的结果相互独立． 【注意】(1)每次试验结果只有两种，即事件要么发生，要么不发生 (2)每次试验在相同的条件下进行且各次试验中的事件互不影响 二项分布 1．二项分布 一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为P(X＝k)＝pk(1－p)n－k，k＝0，1，2，…，n. 如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)． 2．二项分布的均值与方差 若X服从二项分布，即X～B(n，p)，则E(X )＝np，D(X )＝np(1－p)． 【注意】(1)由二项式定理可知，二项分布的所有概率和为1 (2)两点分布与二项分布的关系：两点分布是只进行一次的二项分布 二项分布问题的两个关注点 (1)判断：关键有两点，一是对立性，即一次试验中，事件发生与否两者必有其一；二是重复性，即试验是独立重复地进行了n次． (2)参数意义：X～B(n，p)中，n为试验次数，p为成功概率． (3)公式用途：公式P(X＝k)＝pk(1－p)n－k(k＝0，1，2，…，n)是求n重伯努利试验发生k次的概率． 超几何分布 一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品．从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P(X＝k)＝，k＝m，m＋1，m＋2，…，r. 其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}． 如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布． 【注意】(1)在超几何分布的模型中，“任取n件”应理解为“不放回地一次取一件，连续取n件” (2)超几何分布的特点：①不放回抽样；②考察对象分两类；③实质是古典概型 判断一个随机变量是否服从超几何分布的方法 (1)总体是否可分为两类明确的对象． (2)是否为不放回抽样． (3)随机变量是否为样本中其中一类个体的个数． 超几何分布的均值 设随机变量X服从超几何分布，则X可以解释为从包含M件次品的N件产品中，不放回地随机抽取n件产品中的次品数．令p＝，则p是N件产品的次品率，而是抽取的n件产品的次品率，我们猜想E＝p，即E(X )＝np. 正态曲线及其特征 1．我们称f (x)＝，x∈R，其中μ∈R，σ>0为参数，为正态密度函数，称它的图象为正态密度曲线，简称正态曲线． 2．若随机变量X的概率分布密度函数为f (x)，则称随机变量X服从正态分布，记为X～N(μ，σ2)．特别地，当μ＝0，σ＝1时，称随机变量X服从标准正态分布． 3．若X～N(μ，σ2)，则E(X )＝μ，D(X )＝σ2. 4．正态曲线的特点： (1)非负性：∀x∈R，f (x)>0，它的图象在x轴的上方． (2)定值性：曲线与x轴之间的区域的面积为1． (3)对称性：曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称． (4)最大值：曲线在x＝μ处达到峰值. (5)当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴． (6)当参数σ取固定值时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图①. (7)当参数μ取固定值时，曲线的形状由σ确定，当σ较小时，峰值高，正态曲线“瘦高”，表示随机变量X的分布比较集中；当σ较大时，峰值低，正态曲线“矮胖”，表示随机变量X的分布比较分散，如图②. 5．正态分布的几何意义：若X～N(μ，σ2)，如图所示，X取值不超过x的概率P(X≤x)为图中区域A的面积，而P(a≤X≤b)为区域B的面积． 【注意】正态曲线始终位于x轴上方，且与x轴所围成的图形的面积为1 利用正态分布的性质求概率 (1)三个特殊区间内取值的概率 若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7， P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5， P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3. (2)3σ原则 在实际应用中，通常认为服从于正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取[μ－3σ，μ＋3σ]中的值，这在统计学中称为3σ原则． 对于正态分布X～N(μ，σ2)而言，随机变量X在区间[μ－3σ，μ＋3σ]以外取值的概率大约只有0.002 7，几乎不可能发生．它在产品检查、质量检验中起着重要的作用． 求正态变量X在某区间内取值的概率的基本方法 (1)根据题目中给出的条件确定μ与σ的值． (2)将待求问题向[μ－σ，μ＋σ]，[μ－2σ，μ＋2σ]，[μ－3σ，μ＋3σ]这三个区间进行转化． (3)利用X在上述区间的概率、正态曲线的对称性和曲线与x轴之间的面积为1这三个性质求出最后结果． 题型突破 题型一 利用二项分布求分布列 1．（2026·河北张家口·二模）有5道题，5名女生中有2人每题都不能答对，其余3人每题都能答对，3名男生每人对每题答对的概率均为.现从上述5名女生中选择2名女生和3名男生答题，每人答一题，答对得2分，答错得0分，记得分之和为，则的数学期望为__________. 【答案】/5.4 【分析】列出所有取值，根据古典概型求解选出女生的概率，根据二项分布求解男生答题情况对应的概率，进而根据独立事件乘法公式求解每种取值对应的概率，再结合期望公式求解即可. 【详解】的可能取值为， ， ， ， 所以的数学期望. 2．（25-26高二下·浙江温州·期中）已知5件产品中有2件次品， (1)从中有放回的随机抽取3次，每次取一件产品，抽出次品的件数记为，求的分布列及数学期望． (2)从中不放回的抽取，每次取一件，抽出全部次品则停止抽取，求抽取四次就停止的概率． 【答案】(1) 0 1 2 3 (2) 【分析】（1）利用二项分布的概率公式计算取不同值时的概率，得到分布列，再利用二项分布的数学期望公式计算. （2）利用组合数计算前三次抽取1件次品2件正品的情况数，再计算第四次抽到次品的情况数，结合不放回抽取的总情况数，利用古典概型概率公式计算概率. 【详解】（1）根据题意可得 ， ，； 0 1 2 3 ． （2）若抽取四次停止，则第四次必为次品，另一件次品可以在第一，第二，第三次取到， 设表示第次抽到次品； 3．（2026·河南南阳·二模）某单位为了提高职工业务能力，举行相关的知识竞赛.规则如下：利用计算机在题库中选出3个题由职工作答，已知题库中有，两类题，每个类题答对可以得到20分，每个类题答对得30分.两类题的数量足够，每位职工正确回答类和类题的概率分别是和，且回答，两类题正确与否相互独立. (1)若职工甲选3个类题作答，试求甲得分的分布列和方差； (2)若甲乙两人每人选择2个类题和1个类题作答，求甲得分高于乙的概率. 【答案】(1)分布列见解析；； (2) 【分析】（1）根据题意得出，再求的分布列与方差即可； （2）根据题意得出甲的得分，求出其分布列，同理的分布列与相同，再求即可. 【详解】（1）设甲答对A类题的数量为，则，得分， ，此时；，此时； ，此时；，此时； 故的分布列为： 0 20 40 60 ， ； （2）设甲答对类题的数量为，答对类题的数量为， 则甲的得分，其中，， 设乙答对类题的数量为，答对类题的数量为，则乙的得分， 其中，，和的可能取值为， ；； ；； ；； 故的分布列为： 0 20 30 40 50 70 P 同理的分布列与相同， 故 . 4．（25-26高二下·福建福州·期中）如今，AI赋能快递行业，在揽派前端，圆通的“业务员AI助手”可实现批量外呼、分堆播报等功能.圆通速递的AI智能客服系统通过引入自然语言处理NLP和机器学习技术，能高效处理查询、理赔等事务，显著减少人工客服的工作负担.通过采集使用数据发现，当顾客输入的问题表达清晰时，AI智能客服的回答被采纳的概率为；当输入的问题表达不清晰时，AI智能客服的回答被采纳的概率仅为．已知输入的问题表达不清晰的概率为．每次回答是否被采纳相互独立． (1)求AI智能客服的回答被采纳的概率； (2)在某次测试中输入了3个问题，设表示AI智能客服的回答被采纳的次数，求的分布列及期望、方差； (3)公司为了测试某项功能是否值得推广使用，随机抽取了10个问题，AI智能客服的回答每被采纳1次计10分，不采纳则不计分．记被采纳的回答数的总得分为，若，则推广使用该功能．试推断该功能是否会得到推广，请说明理由． 【答案】(1) (2) 0 1 2 3 ， (3)该系统会得到推广，理由见解析 【分析】（1）利用全概率公式，结合问题清晰与不清晰两种情况的采纳概率即可求解； （2）由二项分布概率模型，计算各可能次数的概率及期望、方差； （3）根据二项分布期望公式求出10个问题的总得分期望，并与75比较得出结论. 【详解】（1）设事件表示回答被采纳，事件表示问题表达清晰， 则， 则； （2）由（1）知每个问题的回答被采纳的概率，且每次回答是否被采纳相互独立， 因此随机变量服从二项分布， 则， ， ， ， 的分布列为： 0 1 2 3 ，； （3）随机抽取10个问题，设被采纳的次数为，则有，总得分， 则， 满足推广条件，因此该系统会得到推广. 5．（2026高三·全国·专题练习）某公司升级了智能客服系统，在测试时，当输入的问题表达清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为；当输入的问题表达不清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为．已知输入的问题表达不清晰的概率为．每次回答是否被采纳相互独立．在某次测试中输入了3个问题，设表示智能客服的回答被采纳的次数，求的分布列及期望、方差． 【答案】 0 1 2 3 ， 【分析】根据二项分布可求的分布列，再利用期望和方差公式可求的期望、方差. 【详解】设智能客服的回答被采纳的概率为， 由全概率公式可得， 智能客服每次回答是否被采纳相互独立，因此随机变量服从二项分布， 则，得到， ，， ，， 故， 得到的分布列为： 0 1 2 3 6．（2026·全国·模拟预测）为了迎接北京冬奥会，弘扬奥林匹克精神，某学校组织全体高一学生开展了冬奥知识竞赛活动．为统计学生成绩，从参加该活动的学生中随机抽取了12名学生的竞赛成绩，数据如表： 男生 81 84 86 86 88 91 女生 72 80 84 88 92 97 用频率估计概率，样本估计总体，回答下列问题． (1)从抽出的男生和女生中，各随机选取一人，求男生成绩高于女生成绩的概率； (2)从该校的高一学生中，随机抽取3人，记成绩为优秀（分）的学生人数为，求的分布列和数学期望． 【答案】(1)； (2) 0 1 2 3 ． 【分析】（1）根据古典概型的概率公式可求男生成绩高于女生成绩的概率； （2）根据二项分布可求的分布，再根据期望公式可求. 【详解】（1）由表格得，抽出的12名学生中，男女生各有6名， 所以男女生各随机选取一人，共有种组合． 设“男生成绩高于女生成绩”为事件A， 则中的样本点有： ， 共有17种组合，所以， 即从抽出的男生和女生中，各随机选取一人，求男生成绩高于女生成绩的概率为； （2）由表格知，在抽取的12名学生中，成绩为优秀（分）的有3人， 由频率估计概率，从该校的高一学生中，随机抽取1人，该学生成绩优秀的概率为． 因此，从该校高一学生中随机抽取3人，成绩优秀人数， X的取值集合为． ， ， 所以X的分布列为： 0 1 2 3 数学期望． 题型二 利用超几何分布求分布列 7．（河南商丘市商师联盟2025-2026学年高二下学期4月期中数学试题）端午节吃粽子是一大习俗，粽子，又叫角黍、筒粽.某礼盒中有6盒粽子，其中3盒是豆沙粽，3盒是鲜肉粽，从中任取2盒粽子，记取到的鲜肉粽有盒，则的方差为___________. 【答案】/ 【分析】根据服从超几何分布求其分布列，结合期望和方差公式求结论. 【详解】由题意知服从超几何分布， 则，，， 所以， . 8．（2026·天津北辰·一模）在马年春节联欢晚会上，多款人形机器人惊艳亮相，其精彩的表演赢得了观众的一致好评．某款人形机器人在排练时，若对机器人下达的动作指令表述清晰，则机器人成功完成指令的概率为0.9；若对机器人下达的动作指令表述模糊，则成功完成指令的概率为0.5．若下达的动作指令表述模糊的概率为0.25，则该机器人成功完成指令的概率为______；若另一款人形机器人在排练时，导演对机器人下达了7个动作指令，机器人成功完成了其中5个．现从这7个指令中随机抽取4个进行回放分析，以表示抽取的指令中成功完成的个数，则期望______． 【答案】 /； . 【分析】应用全概率公式求概率即可求得机器人成功完成指令的概率，由题设随机变量的所有可能取值为，，，求出对应概率，即可得分布列，再应用分布列期望公式求法求期望. 【详解】记“下达的动作指令表述清晰”为事件，记“下达的动作指令表述模糊”为事件，记“机器人成功完成指令”为事件. 由已知得，，，，. ， 所以该机器人成功完成指令的概率为； 由题意的所有可能取值为，，，，，， 故的分布列为： 所以的数学期望. 9．（25-26高二下·浙江·期中）某商店举办促销活动，顾客消费后可参与抽奖．盒子中有个大小､形状完全相同的小球，其中红球个，白球个．顾客从中一次性抽取个小球，若抽到两个小球中有红球，则获得一份纪念品． (1)求一位顾客获得纪念品的概率； (2)若某家庭个人到店消费，均独立获得抽奖资格并参加抽奖活动，记三人获得纪念品的份数为，求的分布列与数学期望． 【答案】(1) (2)分布列: 数学期望为. 【详解】（1）设一位顾客抽到红球的个数为；当时，顾客获得纪念品． ， ， ． （2）由已知可得：， 则． 所以的分布列为： ． 10．（2026·广西南宁·三模）为提升图书盘点效率，某中学图书馆引入AI智能图书盘点机器人．现对该机器人的图书识别准确率进行标准化测试，测试样本集有6本图书，分为两类：4本标签完好，是机器人应正确识别的有效馆藏图书；2本标签破损，是机器人应正确排除的无效图书．两类样本共同用于机器人识别性能测试，现从这6本图书中不放回地随机抽取2本，逐本开展测试． (1)已知第一次抽取到有效馆藏图书，求第二次也抽取到有效馆藏图书的概率； (2)记抽取的2本图书中，有效馆藏图书的数量为X，求X的分布列及数学期望． 【答案】(1) (2)X的分布列见解析， 【分析】（1）利用条件概率公式计算即可求解； （2）利用超几何分布求解即可. 【详解】（1）记第一次抽取到有效馆藏图书为事件，第二次抽取到有效馆藏图书为事件， 则，，所以， 所以第二次也抽取到有效馆藏图书的概率； （2）随机变量的值为， 则，，， 所以的分布列为： 0 1 2 所以. 11．（2026·重庆·模拟预测）某电商对旗下100名客服人员 “双十一”当天的订单处理量(单位：千件)进行统计，将所得数据按 分成4组，制成如图所示的频率分布直方图． (1)求图中的值及订单处理量的第75百分位数； (2)假设订单处理量在的客服中有2名女性，现从该区间的客服中随机抽取3人进行奖励，记为抽取的女性人数．求X的分布列和数学期望． 【答案】(1)180 (2) 【分析】（1）根据频率分布直方图的性质即可求得a的值，结合百分位数的含义即可求得第75百分位数； （2）求出订单处理量在中的客服人数，根据超几何分布的概率计算可求 的分布列和数学期望 . 【详解】（1）由题意得， 设订单处理量的第75百分位数为，前两组频率之和为0.6，前三组频率之和为0.9， 则，，解得， 订单处理量的第75百分位数为180. （2）订单处理量在中的客服人数为，其中女性2人，男性8人， 表示抽取的女性人数，的可能取值为 ， ， ， 的分布列： 计算期望：. 12．（25-26高二下·浙江宁波·月考）某校为了了解本校高二学生每周课外阅读情况，以便有针对性提供阅读建议，学校随机抽查了高二年级的100名同学，依据获得的数据将时间按，，，，，分组，得到如下的频率分布直方图. (1)求的值，并估计该校高二年级每周课外阅读时间的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (2)若采用分层抽样的方法在，两组抽取6人，再从这6人中随机选取3人座谈，设选取的阅读时间在的人数为，求的分布列及数学期望. 【答案】(1)， (2)分布列见解析， 【分析】（1）根据频率分布直方图中各矩形的面积和为1可求得，将各组区间的中点值乘以该组的频率可求得平均数； （2）首先求出两组中的人数比，然后利用超几何分布列求解，进而利用数学期望定义求解. 【详解】（1）因为频率分布直方图中各矩形的面积和为1， 即，解得， 所以可估计该校高二年级每周课外阅读时间的平均数为. （2）由题意知100名同学中，阅读时间在，的频率之比为， 所以抽取的6人中阅读时间在的人数为，在的人数为. 从这6人中随机选取3人座谈，选取的阅读时间在的人数为，则X可能的取值为1，2，3. 所以；； . 所以的分布列如下： X 1 2 3 P 所以. 题型三 二项分布的概率最大问题 13．（25-26高二下·北京丰台·期中）为研究不同性别学生对“deepseek”应用程序的了解情况，某学校进行了一次抽样调查，分别抽取男生30名和女生20名作为样本，设事件“了解deepseek”，“学生为女生”，据统计，，将样本的频率视为概率，现从全校的学生中随机抽取20名学生，设其中了解“deepseek”的学生人数为，则当取得最大值时的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据条件概率公式求得，然后根据二项分布概率公式构造不等式组，求解即可. 【详解】已知，， 又抽取男生30名和女生20名，所以. 根据条件概率公式，可得. 再根据条件概率公式，可得. 所以随机变量， 令， 解得， 因为，所以当时，取得最大值. 14．（2026·湖南·一模）二项分布又称为重伯努利分布，其可视作将次两点分布叠加所得，现对其中的两点分布进行调整，记原两点分布的发生概率为（发生概率即所得结果为1的概率），定义变化后总试验次数为时的发生概率，其中表示总试验次数．现进行一类关于随机变量的二项分布的调整．若当变化后总试验次数为时的发生概率为，总试验次数为时的发生概率为，则在原二项分布中，的最大值为________（用数字解答）． 【答案】 【分析】根据题意先计算，再利用二项分布即可求解. 【详解】由题意知，可知，解得，故， ，，， ，，，，可知的最大值为． 15．（25-26高三下·山西·月考）甲､乙两位同学进行纸飞机比赛，设各局比赛的结果相互独立，且每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为.比赛规则如下：三局两胜制指有一方获胜两局，比赛结束；四局三胜制指有一方获胜三局，比赛结束. (1)若，比赛采用三局两胜制，求甲获胜的概率； (2)若，甲、乙进行了局比赛，表示甲获胜的局数，当且仅当时，取得最大值，其中，求满足条件的的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分析可知甲最终获胜的两种可能的比分为或，利用独立重复试验的概率公式可求得所求得甲获胜的概率； （2）分析可知，可得，记，解不等式，可得结果. 【详解】（1）根据题意可知，每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为， 若采用三局两胜制，则最终获胜的两种可能的比分为或. 因为每局比赛的结果是独立的， 所以甲最终获胜的概率； （2）易得，，， 记， 则， 由，得， 即当时，， 当时，， 故当时，最大，所以的估计值为. 16．（2026·北京昌平·一模）教育部最新文件指出，要确保中小学生每天校内校外综合体育活动时间不少于2小时．为了提升学生体质，养成运动习惯，某中学对学生进行了周末两天运动时长的问卷调查，将运动时长不少于4小时的学生视为“运动达标”，运动时长不足4小时的学生视为“运动不达标”．现随机抽取200名学生的问卷，获得数据如下表： 男生（人） 女生（人） 合计（人） 运动达标 80 40 120 运动不达标 20 60 80 合计 100 100 200 用频率估计概率． (1)从该校的男生中任选两人，求这两人均为“运动不达标”的概率； (2)从该校男生和女生中各随机抽取一人，设为“运动达标”的人数，求的分布列和数学期望； (3)从该校随机抽取20名学生，记其中“运动达标”的人数为．求使概率取得最大值时的的值．（直接写出结论） 【答案】(1) (2)的分布列为 数学期望 (3) 【分析】（1）根据频率估计概率，再由独立事件的乘法公式即可求解； （2）先算出男生和女生中各随机抽取一人“运动达标”的概率，确定随机变量的可能取值并计算概率，进而得出分布列及数学期望； （3）先确定服从的二项分布，由二项分布的性质确定概率最大时的值. 【详解】（1）由题意，可估计从该校的男生中任选一人，“运动不达标”的概率为， 设“从该校的男生中任选两人，这两人均为运动不达标”为事件， 则； （2）由表可知，从男生中抽取一人“运动达标” 的概率为， 从女生中抽取一人“运动达标” 的概率为， 随机变量的可能取值为， ， ， ， 所以的分布列为 数学期望. （3）由题意知从该校随机抽取一名学生，“运动达标”的概率为， 服从二项分布， 则要使得使概率取得最大值需且， 则且， 解得， 为整数，所以， 使概率取得最大值时的值为. 题型四 二项分布与超几何分布的综合 17．（25-26高三下·福建泉州·开学考试）为全面提升青少年消防安全意识和自防自救能力，7月24日，某消防救援支队走进社区暑期爱心课堂，为孩子们带来了一堂生动有趣的“消防安全知识课”. (1)已知爱心课堂共有10名学生，其中有6名男生，4名女生，从这10名学生中任选3名学生，记这3名学生中女生的人数为X，求X的分布列和数学期望； (2)课后设置消防安全有奖知识竞答，每道题答对的概率为0.4，为使答对题数的数学期望不小于，则小王同学至少要抢答多少道题？ 【答案】(1)分布列见解析， (2)10道 【分析】（1）根据超几何分布的知识求得分布列并计算数学期望. （2）利用二项分布的知识列不等式，由此求得正确答案. 【详解】（1）X可能的取值为0，1，2，3. 有； ； ； . 可得X的分布列为： X 0 1 2 3 P . （2）设小王同学至少抢答n道题，这n道题中答对的题数为Y，有. 有，可得，故小王同学至少要抢答10道题. 18．（25-26高二上·安徽淮北·期末）《中国诗词大会》自开播以来受到广泛关注.为营造乐学向上的学风，某班组织古诗背诵比赛，小明、小华两位同学进入决赛阶段，需从首古诗中随机抽取首，答对多者获胜，小明可背诵其中首，而小华能背诵每首古诗的概率均为，小明、小华两位同学背诵古诗都是互不影响的. (1)求小明可以背诵首古诗的概率； (2)求小明背诵古诗数的期望与方差； (3)选哪位同学代表班级参加学校总决赛更合适? 【答案】(1) (2)， (3)选小明同学代表班级参加学校总决赛更合适 【分析】（1）根据组合计数原理结合古典概型的概率公式求解即可； （2）分析可知的可能取值为、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，结合随机变量的期望和方差公式求解即可； （3）设小华背诵的古诗数为，由题意可知，利用二项分布的期望和方差公式求出、的值，比较与、与的大小关系，即可得出结论. 【详解】（1）由题意得小明背诵首古诗的概率. （2）已知小明背诵的古诗数为，则的可能取值为、、， ，，， 所以， . （3）设小华背诵的古诗数为，由题意可知， 由二项分布的期望和方差公式可得，, 显然，，所以选小明同学代表班级参加学校总决赛更合适. 19．（25-26高三下·重庆沙坪坝·月考）某校兴趣小组为研究本校不同性别的学生对 “春节联欢晚会” 的喜爱情况，特进行了一次抽样调查，分别抽取男生和女生各100名作为样本，设事件 “喜欢春节联欢晚会”， “学生为女生”，据统计有：. (1)现从这100名女生中，按喜欢春节联欢晚会与不喜欢春节联欢晚会的比例，选出10人，再从这10人中随机选出2人，设选出的2人中喜欢春节联欢晚会的学生人数为. 求的概率分布列和期望; (2)将样本的频率视为概率. 现从全校的学生中随机抽取名学生，设其中喜欢春节联欢晚会的学生人数为，且当时，取得最大值，求从全校学生中抽取的学生可能的人数. 【答案】(1) 0 1 2 (2)或40或41 【分析】（1）由题意易得的所有可能取值为，算出对应的概率可得分布列，进一步得数学期望； （2）先得到从全校的学生中随机抽取1名学生，他喜欢春节联欢晚会的概率为，再由二项分布概率最大可列不等式求解. 【详解】（1）由，所以10个女生中喜欢春节联欢晚会和不喜欢春节联欢晚会的人数分别为6人和4人， 故的取值为， 则， 的分布列为： 0 1 2 故的期望为. （2）（i）由已知 ，女生有 100 人， 所以喜欢春节联欢晚会的女生人数为 60 人， 又因为，所以喜欢春节联欢晚会的人数为 90 人， 由于样本的频率视为概率，所以从全校的学生中随机抽取1名学生， 他喜欢春节联欢晚会的概率为， 则随机变量， 令 ， 解得， 因为，所以或40或41. 20．（2026·陕西·模拟预测）2026年春节假期期间，某百货商场举办了一次有奖促销活动，消费每超过600元（含600元）均可抽奖一次，抽奖方案有两种，顾客只能选择其中的一种，每位顾客抽奖结果相互独立. 方案一：从装有10个形状、大小完全相同的小球（其中红球2个，白球1个，黑球7个）的抽奖盒中，一次性摸出3个球.其中奖规则为：若摸到2个红球和1个白球，享受免单优惠；若摸出2个红球和1个黑球，则打5折；若摸出1个白球2个黑球，则打7折；其余情况不打折. 方案二：从装有10个形状、大小完全相同的小球（其中红球3个，黑球7个）的抽奖盒中，有放回每次摸取1球，连摸3次，每摸到1次红球，立减200元. (1)若两个顾客均分别消费了600元，且均选择抽奖方案一，试求两位顾客均享受免单优惠的概率； (2)若某顾客消费恰好满1000元，试从付款金额期望的角度比较该顾客选择哪一种抽奖方案更合算？ 【答案】(1) (2)该顾客选择第二种抽奖方案更合算，理由见解析 【分析】（1）先求出顾客享受到免单优惠的概率，再根据独立事件的概率乘法公式求解即可. （2）结合离散型随机变量及二项分布的期望公式分别求出方案一、方案二的数学期望，比较即可. 【详解】（1）选择方案一若享受到免单优惠，则需摸出2个红球和1个白球， 设顾客享受到免单优惠为事件，则. 所以两位顾客均享受免单优惠的概率为. （2）若选择方案一，设实际付款金额为，则的可能取值为0，500，700，1000. ，， ，. 所以（元）. 若选择方案二，设摸到红球的个数为，付款金额为，则. 由题意知，，故. 所以（元）. 因为，所以该顾客选择第二种抽奖方案更合算. 21．（25-26高二下·浙江宁波·期中）2026年春节期间，某超市举办了一次有奖促销活动，消费每超过500元（含500元）均可抽奖一次，抽奖方案有两种，顾客只能选择其中的一种，每位顾客抽奖结果相互独立. 方案一：从装有10个形状、大小完全相同的小球（其中红球2个，白球3个，黑球5个）的抽奖盒中，一次性摸出3个球.其中奖规则为：若摸到2个红球和1个白球，享受免单优惠；若摸出2个红球和1个黑球，则消费金额打五折；若摸出1个红球，2个黑球，则消费金额打八折；其余情况不打折. 方案二：从装有10个形状、大小完全相同的小球（其中红球4个，黑球6个）的抽奖盒中，有放回每次摸取1球，连摸3次，每摸到1次红球，立减100元. (1)若甲、乙两位顾客均分别消费了500元，且均选择抽奖方案一，试求甲顾客享受免单优惠且乙顾客消费金额打八折的概率； (2)若某顾客消费恰好满800元，试从付款金额期望的角度比较该顾客选择哪一种抽奖方案更合算？ 【答案】(1) (2)该顾客选择第二种抽奖方案更合算 【分析】（1）先根据古典概型的概率公式求出甲顾客享受免单优惠、乙顾客消费金额打八折的概率，再根据独立事件的概率公式求解； （2）方案一，根据古典概型的概率公式列出分布列即可求出期望；方案二，设摸到红球的个数为，付款金额为，则，，利用二项分布的期望公式和期望的性质求解. 【详解】（1）选择方案一若享受到免单优惠，则需摸出2个红球和1个白球， 选择方案一若消费金额打八折，则需摸出1个红球和2个黑球， 设甲顾客享受到免单优惠为事件，则， 设乙顾客消费金额打八折为事件，则， 所以甲顾客享受免单优惠且乙顾客消费金额打八折的概率为 （2）若选择方案一，设实际付款金额为，则的可能取值为0，400，640，800. ，， ，， 所以（元） 若选择方案二，设摸到红球的个数为，付款金额为，则. 由题意知，，故. 所以（元）. 因为，所以该顾客选择第二种抽奖方案更合算. 题型五 正态密度函数 22．（25-26高二下·全国·课后作业）（多选）某市组织一次高三调研考试，考试后统计的数学成绩（单位：分）服从正态分布，其概率密度函数为，则下列说法正确的是（   ） A．这次考试的数学平均成绩为80分 B．分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数相同 C．分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同 D．这次考试的数学成绩的标准差为10 【答案】ACD 【分析】首先根据正态密度函数解析式确定和，判断AD，再根据对称性判断BC. 【详解】由函数解析式知这次考试的数学平均成绩为80分，标准差为10，故A，D正确． 因为函数图象关于直线对称，所以分数在120分以上的人数与分数在40分以下的人数相同； 分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同，故B错误，C正确． 故选：ACD 23．（2025·上海浦东新·三模）已知随机变量，其密度函数为，则__________. 【答案】 【分析】根据正态曲线的密度函数对应计算可得； 【详解】因为随机变量，其密度函数为， 所以，. 故答案为： 24．（25-26高二上·黑龙江佳木斯·期末）设两个正态分布和曲线如图所示，则有（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】从正态曲线关于直线对称，看的大小，从曲线越“矮胖”，表示总体越分散；越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中．看出的大小即可解决． 【详解】从正态曲线的对称轴的位置看，显然， 正态曲线越“瘦高”，表示取值越集中，越小，则，所以A正确. 故选：A. 25．（25-26高三上·四川·月考）已知连续型随机变量服从正态分布，记函数，则___________． 【答案】1 【分析】根据正态分布的性质求解. 【详解】连续型随机变量服从正态分布，其正态曲线关于直线对称， 则有， 所以. 故答案为：1 26．（2025·贵州毕节·一模）（多选）已知随机变量、分别服从正态分布和二项分布，即，，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】利用正态分布的对称性可判断A选项；利用正态分布的特点求出、的值，利用二项分布可求得、的值，可判断BC选项；利用独立重复试验的概率公式可判断D选项. 【详解】因为，， 对于A选项，，A对； 对于B选项，，，则，B对； 对于C选项，，，则，C对； 对于D选项，，D错. 故选：ABC. 27．（25-26高二下·云南·期中）已知随机变量，若，则（   ） A．0.6 B．0.2 C．0.3 D．0.4 【答案】C 【分析】根据题意，求得，结合正态分布的曲线的对称性，即可求解. 【详解】由随机变量，可得正态分布的均值为，其图象关于对称， 则，所以. 题型六 正态曲线的性质以及对称性求参数 28．（2026·河北唐山·二模）已知随机变量，随机变量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正态曲线的性质逐项判断即可. 【详解】 因为，，则， 因为，，则， 对于A，，A错误； 对于B，，故，B错误， 对于CD，， ， 则，D正确； 所以，C错误. 29．（2026·浙江·二模）（多选）已知连续型随机变量Y服从正态分布，记函数，，则（    ）．（注：若，则，） A． B． C．的图象关于直线对称 D．的图象关于点对称 【答案】AC 【分析】利用正态分布的性质进行判断即可. 【详解】因为，所以连续型随机变量服从正态分布，且均值，标准差， A选项， ，而， 代入、，得，由正态分布的性质得：， 所以，所以A选项正确； B选项，，由解析A可知：， 由正态分布的对称性可知：， 又， 所以，解得：，因此，所以B选项错误； 对于C，，则， ， 而Y服从正态分布，区间和关于直线对称， 故，即的图象关于直线对称，C选项正确； 对于D，，若的图象关于点对称，则， 即， 而Y服从正态分布，则，， 故， 当时，， 即的图象不关于点对称，D错误. 30．（25-26高二下·广西柳州·期中）设随机变量服从正态分布，且，若，则__________． 【答案】 【分析】利用正态分布密度曲线的对称性，列方程即可求出参数． 【详解】由题可知正态分布曲线关于对称， 又，所以，所以． 31．（2026·贵州六盘水·一模）已知随机变量，若，则（   ） A．88 B．90 C．92 D．94 【答案】B 【分析】根据正态分布的对称性可得. 【详解】因为，所以， 所以. 32．（25-26高三·全国·三轮复习）设，，这两个正态分布密度曲线如图所示.下列结论中正确的是（    ） A． B． C．对任意正数， D．对任意正数， 【答案】C 【分析】根据正态分布的性质逐项判断即可. 【详解】由正态密度曲线的性质可知，、的密度曲线分别关于、对称， 因此结合所给图象可得且的密度曲线较的密度曲线“瘦高”， 所以，所以对任意正数，. 33．（2026·陕西西安·模拟预测）（多选）已知随机变量，，则下列结论正确的是（    ） 参考数据：若，则，，． A．若，则 B． C． D．若，则 【答案】BCD 【详解】由题意得，即，所以，故A错误． 因为，则正态分布图象关于直线对称，所以，故，故B正确． ，故C正确． 因为，即随机变量，的正态曲线形状相同， 所以要使， 根据正态曲线的对称性可知，即，故D正确． 34．（2026·江西新余·二模）已知随机变量，且，则___________ 【答案】3 【分析】根据正态分布的对称性求解即可. 【详解】对于正态分布，其概率密度曲线关于对称， 所以，解得. 题型七 正态分布的实际应用 35．（2026·吉林白山·模拟预测）（多选）某高端茶饮品牌推出一款新品冷泡茶，为优化产品配方，品牌对该款茶的“最佳饮用时长”x（单位：小时，指冲泡后风味最佳的时长区间）进行市场调研.从全国门店随机抽取了100名消费者进行试饮测试，统计结果如下表： 最佳饮用时长x（小时） 消费者人数y 2 38 a b 6 已知最佳饮用时长x的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表），根据调研数据可认为x近似服从正态分布，用样本平均值作为的值，样本标准差s作为的值.则下列说法正确的是（   ）. （参考数据：若随机变量，则，，） A．， B．饮用时长在小时内的消费者占比估计值为13.59% C．饮用时长超过5.5小时的消费者占比估计值为2.275% D．若规定概率低于0.27%的事件为小概率事件，则本次调研中未发生小概率事件，即该款茶的最佳饮用时长符合品牌预设标准 【答案】ABD 【分析】对于A，由题可得，由，可得，据此可判断选项正误；对于BCD，由题可得，则，然后由正态分布知识可判断选项正误. 【详解】对于A，由题可得， ， 解得：，故A正确； 对于B，由题可得，则， 由正态分布知识，， 则，故B正确； 对于C，因，则，故C错误； 对于D，由题可得， 从而或 ， 因小概率事件范围与题目所涉及范围无交集， 则该调查中未发生小概率事件，故D正确. 36．（2025·江西萍乡·二模）某企业产品质检员随机从一条生产线分两次共抽取50件样品进行误差检测，统计数据如下表： 抽取次数 抽取件数 平均误差 第一次 30 0.3 第二次 20      (1)已知这条生产线的产品误差X服从正态分布，若以这50件样品的平均误差作为的估计值，且误差落在区间内的产品为“特等品”，试估计这条生产线生产的10000件产品中“特等品”的件数； (2)已知这条生产线的“特等品”在某项测试任务中的达标率为80%，现随机抽取4件“特等品”进行该项测试任务，记其中达标的件数为随机变量Y，求Y的分布列及其数学期望． 附：若，则，；． 【答案】(1)9545件 (2) Y 0 1 2 3 4 P ． 【分析】（1）结合题意先确定，再结合正态分布的性质求出特等品的概率，最后结合题意求解估计值即可. （2）先确定变量服从二项分布，再利用二项分布的概率公式求解概率写出分布列，最后结合二项分布的期望公式求解期望即可. 【详解】（1）设这50件样品平均误差为，则，即，而， 故为“特等品”，即“特等品”的概率为， 故这条生产线生产的10000件产品中“特等品”件数约为件； （2）由题意得：， 则，， ，， ， 则Y的分布列如下： Y 0 1 2 3 4 P 其数学期望． 37．（2026·辽宁沈阳·二模）某科技公司研发的AI智能体在进行图象分类任务时，单次分类的准确率X（单位：分）服从正态分布． (1)求正常情况下，该AI单次分类的准确率大于99分的概率； (2)某天测试人员随机抽取了该AI的两次分类结果，发现两次的准确率得分均大于99分．测试人员根据这两次测试结果，判断该AI智能体出现了异常波动，要求立即暂停研发更新并进行算法排查．请问测试人员的判断是否合理？请说明理由． 附：若，则，，． 【答案】(1) (2)合理，理由见解析. 【分析】（1）考察正态分布的对称性及其性质，重点在于理解正态分布密度曲线的对称性，利用给定区间概率计算概率. （2）理解小概率事件在统计决策中的含义. 【详解】（1）因为，即， 又因为， 所以 所以正常情况下，该AI单次分类的准确率得分大于99分的概率为 （2）测试人员的判断是合理的，理由如下： 设“AI单次分类的准确率得分大于99分的概率”为事件，则， 设 “两次分类准确率得分均大于99分”为事件，则两次测试相互独立， 因为是一个极小概率，根据小概率原理，小概率事件在一次实验中几乎不可能发生. 现在该事件发生了，说明“AI智能体运行正常”这一假设不成立，即出现了异常波动. 所以，测试人员的判断是合理的. 38．（2026·河南许昌·模拟预测）某企业对员工进行技能测试，测试成绩（满分为150分）近似服从正态分布，且，测试成绩120分以上（含120分）为优秀. (1)若该企业共有30000名员工参加测试，试估计该企业测试成绩80分以上（含80分）的员工人数（结果四舍五入保留到整数）； (2)从该企业所有参加测试的员工中随机抽取3人，设3人中测试成绩优秀的人数为，求的分布列和期望. 附：若随机变量，则，，. 【答案】(1)25241人 (2) 0 1 2 3 0.729 0.243 0.027 0.001 【分析】（1）根据正态分布的性质可知，从而可求出； （2）首先求出，再根据服从二项分布可得分布列及数学期望. 【详解】（1）因为，所以，， 所以， 则， 所以估计该公司测试成绩80分以上（含80分）的员工人数为25241人. （2）因为，且， 所以， 依题意， 所以，， ，， 故随机变量的分布列为： 0 1 2 3 0.729 0.243 0.027 0.001 所以随机变量的期望. 39．（25-26高三下·湖南长沙·开学考试）某新能源汽车企业为了检验一款新车型的续航能力，随机抽取了辆该车型，在相同条件下进行续航测试，得到续航里程（单位：）的频率分布表如下： 续航里程区间 频率 (1)求这辆该车型续航里程的平均数和方差（同一区间的数据用该区间的中点值作代表）； (2)由频率分布表可认为，该车型的续航里程服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差． （i）求； （ii）某用户购买了该车型，求其续航里程不低于的概率． 参考数据：，若，则，． 【答案】(1) (2)（i）（ii） 【分析】（1）结合已知条件，利用平均数和方差的计算公式求解； （2）（i）利用（1）的数据结合正态分布的性质求解；（ii）利用正态分布的对称性计算求解． 【详解】（1） ， ． （2）由（1）可知，，，结合参考数据得， （i），， ，区间长度为， 根据正态分布的对称性，概率近似等于， 已知，， ； （ii）利用正态分布对称性：， ， 其续航里程不低于的概率约为． 强化训练 1．（25-26高二下·浙江台州·期中）已知随机变量，则（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【详解】因为随机变量， 则. 2．（25-26高二下·江西赣州·月考）设随机变量，满足：，，若，则（    ） A．3 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】代入二项分布的期望和方差公式，以及方差的性质，即可求解. 【详解】由条件可知，，则，, 所以. 3．（25-26高二下·江苏南通·月考）已知盒中装有大小、形状、质地均相同的2个红球、2个黄球、1个白球，从中随机取出3个球，记X为取出的3个球中红球的个数，Y为取出的3个球中白球的个数，则错误的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据古典概型概率公式，结合组合数公式，即可判断AB，，，再代入概率公式，判断C，代入超几何分布期望公式，判断D. 【详解】由题意可得，故A正确； ，，故B正确； ， ， 故，故C错误； 因为X，Y均符合超几何分布，所以，，故D正确. 4．（24-25高三下·陕西西安·月考）盲盒中有大小相同的3个红球，2个黑球，随机有放回的摸两次球，记X为摸到黑球的个数，随机无放回的摸两次球，记Y为摸到黑球的个数，则（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】由题意可得随机变量服从二项分布，随机变量服从超几何分布，进而根据二项分布求，根据超几何分布求，即可得结果. 【详解】由题意可知：，则，， Y的可能取值为0，1，2， 则，，， 可得， ， 所以. 故选：B. 5．（25-26高二下·广西柳州·期中）某次考试有10000人参加，若他们的成绩近似服从正态分布，则分数在之间的考生约有（    ）（参考数据：若，则有， A．1359人 B．1569人 C．2719人 D．3409人 【答案】A 【详解】由成绩近似服从正态分布，得， 则， 则，所以分数在之间的考生约有1359人. 6．（2026·上海徐汇·二模）已知甲､乙两班在某次数学测验中成绩近似服从正态分布，甲班成绩，乙班成绩，其密度曲线如图所示，则有（    ） A．且 B．且 C． D． 【答案】C 【详解】正态密度曲线关于对称，对称轴位置对应均值；且越大，曲线越矮胖，越小曲线越瘦高 从图中可知：的对称轴为，的对称轴为，因此；曲线更矮胖，因此，故选项A、B错误； 由正态分布的对称性：，，C正确； ，而，所以，因此，D错误 7．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）某工厂生产甲、乙两种零件，其长度(单位:)分别服从正态分布和，已知甲零件的平均长度与乙零件相同，但甲零件数据的离散程度更大，则下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】A：因为甲零件的平均长度与乙零件相同，所以，所以A错误. B：正态分布关于均值对称，所以，所以B错误. C：因为甲零件的离散程度越大，所以方差更大，即，所以C正确. D：因为，在坐标轴上在的右侧，，所以D错误. 8．（2026·重庆·二模）（多选）已知随机变量服从二项分布，随机变量服从正态分布，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】因为，则， ，所以A错误， 又，则， 所以，所以B正确， 又因为，所以C正确，D错误. 9．（2026·陕西商洛·模拟预测）（多选）已知随机变量，.若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】对于A，由条件结合正态分布对称性求即可判断，对于B，由正态分布的期望结论求，由二项分布的期望公式求，列方程求即可判断，对于C，根据正态分布的方差结论求，根据二项分布方差公式求，由此即可判断，对于D，根据方差性质即可判断. 【详解】对于A，因为，，所以，A正确. 对于B，由，得，则，解得，B正确. 对于C，，，所以，C错误. 对于D，，D错误. 10．（25-26高三下·河南·月考）（多选）某智能生产线对甲、乙两种型号的工业机器人进行单次标准作业耗时测试（单位：秒），作业时长分别服从正态分布，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】已知甲机器人作业时长，即，， 乙机器人作业时长，即，， ，故A错误； ，则，B正确； 设，则， ， ，故C正确； ， ，故D正确． 11．（2026·湖南邵阳·二模）（多选）下列说法正确的是（   ） A．数据2，3，4，5，6，7，8，9的第25百分位数为3 B．若随机变量，，则 C．某校在对高一（2）班学生的数学成绩调查中，随机抽取10名男生的数学成绩，其平均数为105，方差为24，随机抽取5名女生的数学成绩，其平均数为102，方差为21，则这15名学生的数学成绩的方差为25 D．一箱12罐的饮料中4罐有奖券，每张奖券奖励饮料一罐，从中任意抽取2罐，则这2罐中有奖券的概率为 【答案】BC 【分析】A选项，由百分位数的定义进行求解；B选项，利用二项分布的期望和方差公式进行求解；C选项，利用总体方差和样本方差的关系进行求解；D选项，利用超几何分布求解相应的概率 【详解】A选项，，故从小到大选取第2和第3个数的平均数作为第25百分位数， 即，故数据2，3，4，5，6，7，8，9的第25百分位数为3.5，A错误； B选项，随机变量，，即，解得， 所以则，B正确； C选项，这15名学生的数学成绩的平均数为， 故这15名学生的数学成绩的方差为，C正确； D选项，2罐中有奖券的概率为，D错误. 12．（25-26高二下·全国·单元测试）（多选）一个课外兴趣小组共有5名成员，其中3名女性成员，2名男性成员，现从中随机选取2名成员进行学习汇报，记选出女性成员的人数为，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据给定条件，求出的分布列，再结合期望的定义逐项计算判断即可. 【详解】由题意得，的所有可能取值为0，1，2，， ，，故A，B正确，C错误； ，故D正确． 故选：ABD. 13．（2026·天津·一模）某班级举行抽奖活动，准备10张形状和质地完全相同的抽奖券，其中4张为一等奖券，6张为二等奖券，每次随机抽取1张.若不放回地连续抽取两次，在第二次抽到一等奖券的条件下，第一次抽到二等奖券的概率是__________；若每次都是有放回地抽取，连续抽取5次，抽到一等奖券记2分，抽到二等奖券记0分，以表示5次抽取的总得分，则的数学期望为__________. 【答案】 4 【分析】利用条件概率公式计算可得空一；利用二项分布的期望公式与期望性质计算可得空二. 【详解】设事件表示：“第二次抽到一等奖券”，事件表示：“第一次抽到二等奖券”， 则； 设表示5次抽取中抽到一等奖券的次数， 每次抽到一等奖券的概率，则由题意可得， 故，又，则. 14．（25-26高二下·上海松江·期中）已知，，，则______． 【答案】 【分析】根据二项分布的期望以及方差公式，结合方差的性质即可求解. 【详解】，故，所以, 故. 15．（25-26高二下·上海奉贤·月考）一个不透明的袋子有10个除颜色不同外，大小、质地完全相同的球，其中有6个黑球，4个白球，现进行如下试验：逐个不放回地随机摸出3个球，把取到白球的个数记为，则它的期望为______. 【答案】/ 【分析】分别求出时的概率，再由期望的公式求得的期望. 【详解】由题可得，的可能取值为. ； ； ； . 所以的期望为. 16．（25-26高二下·浙江台州·期中）某校兴趣小组为研究本校不同性别的学生对“春节联欢晚会”的喜爱情况，特进行了一次抽样调查，分别抽取男生和女生各100名作为样本，设事件“喜欢春节联欢晚会”，“学生为女生”，据统计有：，. (1)现从这100名女生中，按喜欢春节联欢晚会与不喜欢春节联欢晚会的比例，选出10人，再从这10人中随机选出2人，设选出的2人中喜欢春节联欢晚会的学生人数为.求的概率分布列和方差； (2)将样本的频率视为概率.现从全校的学生中随机抽取名学生，设其中喜欢春节联欢晚会的学生人数为，当变化时在时取得最大值，求从全校学生中抽取的学生可能的人数. 【答案】(1)分布列见解析， (2)或40或41 【分析】（1）根据，求出10个女生中喜欢春节联欢晚会和不喜欢春节联欢晚会的人数，得到的取值，分别求出每个的取值的概率，列出分布列，根据分布列求出期望和方差. （2）由已知，女生有100人，求出喜欢春节联欢晚会的女生人数，由，求出喜欢春节联欢晚会的人数，由于样本的频率视为概率，所以从全校的学生中随机抽取1名学生，求出他喜欢春节联欢晚会的概率，从而得到随机变量，求出，由在时取得最大值，得到，列出关于的不等式组，计算得到的值. 【详解】（1）由， 所以10个女生中喜欢春节联欢晚会和不喜欢春节联欢晚会的人数分别为6人和4人， 故的取值为0，1，2， 则，，， 的分布列为： 0 1 2 故的期望为. 所以的方差为. （2）由已知，女生有100人， 所以喜欢春节联欢晚会的女生人数为60人， 又因为，所以喜欢春节联欢晚会的人数为90人， 由于样本的频率视为概率，所以从全校的学生中随机抽取1名学生， 他喜欢春节联欢晚会的概率为， 则随机变量， （） 因为在时取得最大值，所以， 令， 解得， 因为，所以或40或41. 17．（2026·河北沧州·模拟预测）某学校开展“趣味问答”活动，试题按照难度分两大类，学生们答对类试题的概率为，答对类试题的概率为，若回答的是类试题，则下一次回答类试题，若回答的是类试题，则下一次等可能地回答类或类试题，如此循环，答对一道试题即为通过活动，每名学生首先回答类试题． (1)若同学甲有三次答题机会，求同学甲通过活动的概率； (2)若某班有16名同学参加本次活动，每名学生有四次答题机会，表示通过活动的人数，求的值； (3)若同学乙不限答题次数，求同学乙最终通过答对类试题通过活动的概率． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据同学答对第一、第二、第三道题通过活动分类讨论即可； （2）求出每个同学通过活动的概率，再根据二项分布即可求解； （3）设表示回答类试题开始，最终回答类试题通过活动的概率，表示回答类试题开始，最终回答类试题通过活动的概率，再根据与的关系列方程组求解即可． 【详解】（1）若同学甲答对第一题通过活动，则概率为， 若同学甲答对第二题通过活动，则概率为， 若同学甲答对第三题通过活动，则概率为， 所以同学甲通过活动的概率为． （2）设每名学生通过活动的概率为， 则， 所以，分析可得，所以． （3）设表示回答类试题开始，最终回答类试题通过活动的概率， 表示回答类试题开始，最终回答类试题通过活动的概率，所以， ， 所以计算可得， 所以同学乙最终通过答对类试题通过活动的概率为． 18．（21-22高二上·北京·期末）某外语学校的一个社团中有7名同学，其中2人只会法语；2人只会英语，3人既会法语又会英语，现选派3人到法国的学校交流访问． (1)在选派的3人中恰有2人会法语的概率； (2)在选派的3人中既会法语又会英语的人数X的分布列和数学期望． 【答案】(1) (2)的分布列为 【分析】（1）利用组合的知识计算出基本事件总数和满足题意的基本事件数，根据古典概型概率公式求得结果； （2）确定所有可能的取值，根据超几何分布概率公式可计算出每个取值对应的概率，进而得到分布列和数学期望. 【详解】（1）名同学中，会法语的人数为人， 从人中选派人，共有种选法；其中恰有人会法语共有种选法； 所以选派的人中恰有人会法语的概率． （2）由题意可知，所有可能的取值为， ，， ，， 所以的分布列为 数学期望为． 19．（25-26高二下·河南许昌·期中）某高中实践活动小组调查学生坚持跑步的次数与体测成绩的关系，得到如下数据：该学校有的学生平均每月坚持跑步次数超过30次，这些学生中体测成绩“及格”的概率为；平均每月跑步次数不超过30次的学生中，体测成绩“及格”的概率为. (1)若从该校任意抽取一名学生，求该学生体测成绩达到“及格”等级的概率； (2)已知该实践活动小组的8名学生中有5名体测成绩“及格”，从这8名学生中抽取3名，记为抽取的3名学生中“及格”的人数，求的分布列和数学期望； (3)经统计，该校学生体测得分近似服从正态分布，若得分则为“优秀”等级.现从全校抽取50名学生，记为这50名学生中“优秀”的人数，求的数学期望及方差（结果四舍五入保留整数）. 参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，. 【答案】(1) (2) 0 1 2 3 . (3)数学期望为8，方差为7. 【分析】（1）根据全概率公式进行计算； （2）由题可知的可能取值为0，1，2，3，再分别求出对应概率得到分布列并计算期望； （3）由题意得，，利用正态分布得到，再结合二项分布求解． 【详解】（1）设事件“抽取1名学生，该学生平均每月坚持跑步的次数超过30”，则“抽取1名学生，该学生平均每月坚持跑步的次数不超过30”， 设事件“抽取1名学生，该学生体测成绩达到‘及格’等级”， 由全概率公式，知， 所以从该学校任意抽取一名学生，该学生体测成绩达到“及格”等级的概率为； （2）的可能取值为0，1，2，3， ，，，， 所以的分布列为 0 1 2 3 随机变量服从超几何分布，且，，，所以； （3）由题意得，， ， ，，， 所以的数学期望为8，方差为7． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $