期末复习：概率分布中的数列递推问题复习讲义-2025-2026学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

期末复习：概率分布中的数列递推问题复习讲义 期末复习：概率分布中的数列递推问题复习讲义 知识点解析 一、核心思想 设随机状态概率 （第 次试验/第 步的概率、期望），利用全概率公式建立递推关系式：（一阶线性）、（二阶线性），再结合初始条件求解通项，最后求分布、期望。 常见状态设定 1. ：进行 次操作后达成目标的概率 1. ：当前处于第 阶段的概率 1. ：从第 状态到结束的期望步数/次数 二、一阶线性递推： 通解公式 齐次解 + 特解 1. 齐次方程：，解 1. 设常数特解 ，代入求 1. 结合 定常数 经典例题 1（抛硬币，首次正面） 每次抛硬币正面概率 ，反面 ， 为第 次才首次出正面概率。 递推：第 1 次反面，后面等价从头来。 几何分布，。 经典例题 2（输赢博弈，赌徒破产） 甲有 元，乙有 元，每局甲赢 1 元概率 、输 1 元 ， 为甲破产概率。 边界：（没钱直接破产），（乙没钱，甲胜）。 递推：，变形 。 令 ，，等比数列求和可解。 三、二阶线性齐次递推 步骤： 1. 特征方程： 1. 两根 · 不等实根： · 重根： 1. 代入两个初值 解系数 例题：连续两次正面停止抛硬币 设 ：抛 次首次出现连续两个正面的概率；： 次末尾 1 正、无连两正；：末尾反、无连两正。 总无连两正： 递推关系： 消元可得二阶递推： 四、期望型递推（考得最多） 设 ：当前处在状态 ，到结束需要的期望步数。 模板 1：一步转移 从 一步到 概率 ，留在 概率 ，到终点概率 。 整理化简： 例题：掷骰子，掷出 6 停止，求期望次数 为总期望，第一次：1/6 直接结束；5/6 没出 6，回到起点。 解得 。 例题：集齐 种卡片，每次随机一张，求期望（几何叠加） 设已有 张不同卡片， 为凑齐剩余期望。 拿到新卡概率 ，旧卡 。 总期望 五、非齐次递推通用解法 形如： 1. 先解齐次通解 1. 构造特解（常数、一次、指数依 形式） 1. 初值定常数 六、高考/新高考高频模型汇总 1. 几何分布递推：单次独立试验，首次成功，一阶等比 1. 伯努利叠加期望：收集、闯关、射击多次尝试 1. 赌徒破产模型：两端吸收边界的线性递推 1. 连续成功/失败终止：二阶特征方程递推 1. 分层状态全概率拆分：多状态 联立方程组 七、解题标准步骤 1. 定义变量： 物理意义写清楚 1. 找第一步所有可能结果，列全概率等式 1. 整理成标准递推式 + 写出边界初值 1. 解数列通项 1. 验证：代入 检验数值是否合理 1. 求分布列、均值、方差（如需） 例题分析 例1．（25-26高二下·山东青岛·期中）标号为的12位同学，围着圆桌入座进行传球游戏. 将他们分成， 三组，其中第组包含四位同学. 在每次传球中，拿球的同学分别以的概率将球传递给邻座二人中的一位. 已知球最初在手中，当其将球传出后，视为第一次传球结束. 对于，，，设为第次传球后，球在手中的概率；为第次传球后，球在组某一位同学手上的概率. (1)求与的值； (2)求与； (3)证明：. 【答案】(1)， (2)， (3)由 (2) 知，， 若证，只需证， 对于组，200次传球后，球只可能在手中， 考虑前两百次传球所有情况，共有种不同的事件，且每个事件发生的概率为， 因为，所以要证，只需证， 记“200次传球后球在手中”为事件，“200次传球后球在手中”为事件， 对任何一个事件，传球过程中，球必然经过或者， 设第一次经过他们中某一个人手中发生在第次传球后， 此后，如果将第到第200次传球中每次沿圆桌顺时针方向的传球换成沿逆时针方向的传球；并且将沿逆时针方向的传球改成沿顺时针方向的传球， 则第200次传球后的结果是球落在手中，这个新的传球路径对应事件中的一种情形， 因此，我们可以将事件中的任意一种情形，对应到事件中的一种情形，且这种对应是唯一的， 另外考虑， 故事件中的基本事件数量严格多于事件中的基本事件数量， 所以，故命题得证. 【分析】（1）分析球传在或组的可能性情况，结合独立事件概率求法运算求解； （2）利用全概率公式可得，分析可知数列是以首项为，公比为的等比数列，可得，进而分析传球可能性情况即可； （3）分析可知原题意即证，设相应事件，可知，结合传球可能性情况分析证明即可. 【详解】（1）因为代表第2次传球后，球在手中的概率， 对应和两个事件， 所以. 又因为代表第3次传球后，球在组某同学手中的概率， 对应和两个事件， 所以. （2）记为事件“次传球后，球在第组同学手中”， 第次传球后，球在组的概率分别为，，， 由对称性可知：， 又因为，则， 可得，且，则， 可知数列是以首项为，公比为的等比数列， 可得，即， 由题意可知201次传球后，球在手上，则为偶数， 因此对于组，201次传球后，球只可能在两人手中， 他们的位置与都恰好隔着2位同学， 因此根据对称性可得. （3）略 例2．（25-26高三上·内蒙古赤峰·期末）某企业在年会中设计了游戏环节，从员工中随机抽取10名参加游戏，每位员工只能参加一次，并制定游戏规则如下：参与者每次掷一枚质地均匀的骰子，初始分数为0，每次投掷时，若出现的点数能被3整除，可为自己积2分，否则为自己积1分.连续投掷，累计得分达到9分或10分时，游戏结束.设员工在游戏过程中累计得分的概率为. (1)求； (2)求； (3)得9分的员工，获得二等奖，奖金200元；得10分的员工，获得一等奖，奖金500元，估计该企业作为游戏奖励的预算资金（精确到1元）． （参考数据：） 【答案】(1)，， (2) (3)2750元 【分析】（1）根据概率的加法以及乘法公式，结合题意，可得答案； （2）由题意写出递推公式，构造等比数列，利用累加法，可得答案； （3）根据数列的通项公式，可得答案. 【详解】（1）设员工每次游戏的得分为，则，， ，， . （2）由题意，， 则，解得或， 选， 由，则， ，……，， ， ， 当时，， 综上. （3） ， 即估计游戏奖励的预算资金为2750元. 例3．（25-26高二下·四川成都·期中）某公园有两条散步路线，分别记为路线A和路线B.附近的居民经常来此散步，经过一段时间的统计发现，前一天选择路线A的居民第二天选择路线A和路线B的概率均为；前一天选择路线B的居民第二天选择路线A和路线B的概率分别为和，已知居民第一天选择路线A的概率为，选择路线B的概率为. (1)若有4位居民连续两天去公园散步，记第二天选择路线A散步的人数为Y，求Y的分布列及期望； (2)若某居民每天都去公园散步，记第n天选择路线A的概率为. （i）请写出与的递推关系； （ii）设，求证：. 【答案】(1)分布列： 0 1 2 3 4 (2)（i） （ii）证明：由（i）知，则，而， 于是数列是首项为，公比为的等比数列， 因此，即，， 当时，，而， 所以； 当时，， 而， 所以， 所以. 【分析】（1）先求居民第二天路线的概率，然后根据二项分布的概率公式求出概率，可得分布列，利用二项分布期望公式可得期望； （2）（ⅰ）分析第天选择路线，和路线情况下第天选择路线的概率，再由全概率公式列式，利用构造法求出关系式；（ⅱ）由（ⅰ）构造法求出通项公式，再借助放缩法及等比数列前和公式推理得证. 【详解】（1）记附近居民第天选择路线分别为事件， 依题意，，，， 则由全概率公式，得居民第二天选择路线散步的概率； 记第二天选择路线散步的人数为，则， 则，， ，， ， 则的分布列为： 0 1 2 3 4 故的数学期望． （2）（i）当第天选择路线时，第天选择路线的概率； 当第天选择路线时，第天选择路线的概率， 所以. （ii）略 例4．（25-26高三上·河北唐山·期末）为测试甲、乙两种新药的疗效，现进行动物试验，试验方案如下：共进行场试验，，每场包含若干轮对比试验，每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药在该场胜出．当一种药物胜出的场数超过半数，则认为该药有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得分．乙药得分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得分，甲药得分；若都治愈或都未治愈则两种药均得分．假设甲、乙两种药的治愈率分别为和． (1)一轮试验中甲药得分记为，求的分布列． (2)记甲、乙两种新药在每场试验开始时都赋予分，表示“甲药的累计得分为时，最终认为该场甲药胜出”的概率，则，，，其中，，． （i）求； （ii）记为每场甲药胜出的概率，现拟增加两场试验，试分析能否提高甲药有效的概率？ 【答案】(1)分布列见解析 (2)（i）；（ii）能，理由见解析 【分析】（1）由题意可知，随机变量的所有可能取值为、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列； （2）（i）由题意得出，可得出，则为等比数列，确定该数列的公比，利用累加法可求出与的关系式，可求出，再利用累加法可求出的值； （ii）根据题意可得出、的关系式，利用作差法可得出、的大小关系，即可得出结论. 【详解】（1）由题意可知，随机变量的所有可能取值为、、． ， . 所以的分布列为 （2）（i）由（1）可知，故， 即. 又因为，则是公比为，首项为的等比数列. ， 由于，故， 所以 ； （ii）由题意知每场试验甲药胜出的概率为， 设场中甲药有效的概率为；增加两场甲药有效的概率为，则： ①当场中甲胜出场的概率为， 增加两场甲药有效的概率为； ②当场中甲胜出场的概率为， 增加两场甲药有效的概率为； ③当场中甲至少胜出场的概率为， 增加两场甲药一定有效. 所以， 整理得， 又，故，故能够提高甲药有效的概率. 变式训练 变式1．（25-26高二下·广西玉林·期中）在某校举办的学科文化节系列活动中，数学组老师设计了一个答题挑战活动供全校数学爱好者挑战．挑战题目由逻辑推理题和运算求解题两部分构成，用于考查学生的逻辑推理能力和运算求解能力．现有名同学报名依次发起挑战，每位同学成功解答出逻辑推理题和运算求解题的概率均为，两题能否解出相互独立，每位同学解题过程相互独立，挑战规则如下： ①每位同学均先答逻辑推理题，逻辑推理题答对才能答运算求解题； ②记第位同学挑战为本次挑战活动的第轮，若第位同学在规定时间内未完成逻辑推理题，则认为本次活动的第轮挑战失败，该同学退出由第位同学挑战； ③若第位同学在规定时间内完成逻辑推理题，则该同学继续答运算求解题，若该同学在规定时间内未完成运算求解题，则也认为本次活动的第轮挑战失败，该同学退出，由第位同学挑战；若该同学在规定时间内完成了运算求解题，则挑战成功，本次答题挑战活动结束，后续同学不再进行答题挑战． ④挑战进行到第轮，则不管第位同学是否完成两题的解答，答题挑战活动结束．令随机变量表示这名同学在进行第轮挑战后结束挑战活动． (1)求随机变量的分布列； (2)若把挑战规则①去掉，换成规则⑤：挑战的同学先挑战逻辑推理题，若有同学在规定时间内完成逻辑推理题，以后挑战的同学不再挑战逻辑推理题，直接挑战运算求解题．令随机变量表示这名同学在第轮挑战后结束挑战活动． （i）求随机变量的分布列； （ii）证明：． 【答案】(1)分布列见解析； (2)（i）分布列见解析；（ii）证明见解析. 【分析】（1）分析出的所有可能取值为1，2，3，4，5，再根据独立性事件乘法公式即可得到答案； （2）（i）首先计算出，则，再写出的分布列即可； （ii）计算得，再累加得，最后再利用错位相减法即可得到答案. 【详解】（1）由题意可得，每名同学两题均完成挑战的概率为， 的所有可能取值为1，2，3，4，5， 则，， ，， . 因此的分布列为： 1 2 3 4 5 （2）（i）时，第人必完成运算求解题， 若前面人都没有一人完成逻辑推理题，其概率为， 若前面人有一人完成逻辑推理题，其概率为， 故． 当时，若前面人都没有一人完成逻辑推理题，其概率为， 若前面人有一人完成逻辑推理题，其概率为， 故． 的分布列为： 1 2 3 （ii）． 又因为 ，， 故， ，① ，② ①②得， 则. 变式2．（25-26高二下·吉林松原·期中）在自动驾驶系统的路径规划中，车辆的车道选择行为可用马尔可夫链模型描述. 设道路只有两条车道，分别记为车道0和车道1. 每隔一个固定时间步长，车辆会选择更换车道或者保持车道不变，记为第个时间步长车辆所在的车道（）. 马尔可夫链的下一时刻状态仅取决于当前时刻状态，记为一步转移概率.已知某自动驾驶模型的车道转移规律如下：若当前在车道，下一时刻变道至车道的概率为；若当前在车道，下一时刻变道至车道的概率为. (1)已知时刻车辆处于车道的概率为，处于车道的概率为. ① 直接写出的值； ② 若时刻车辆处于车道，求时刻车辆处于车道的概率. (2)在第（1）问的初始概率条件下，记，求随机变量的分布列（结果用含的式子表示）. 【答案】(1)①；② (2)的分布列为 0 1 【分析】（1）①根据题设条件可求的值；②根据贝叶斯公式可求对应的条件概率； （2）根据全概率可得的递推关系，求出通项后可求分布列. 【详解】（1）①由题意，车道转移概率： 当前在车道0时，留在0的概率为，变道到1的概率为； 当前在车道1时，变道到0的概率为，留在1的概率为； 因此一步转移的概率矩阵为. ②设事件：时刻车辆在车道0，：时刻车辆在车道1，：时刻车辆在车道1， 已知，，，， 由贝叶斯公式. （2）设， 由全概率公式得递推关系， 则，且，此时， 故为等比数列且公比为，首项为，故. 而也满足此时，即, 所以. 故的分布列为 0 1 变式3．（25-26高二下·湖北襄阳·期中）如图，某人设计了一个类似于高尔顿板的游戏：将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的中间入口处，小球将自由下落，小球在下落的过程中，将次遇到黑色障碍物，已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是，最后落入袋或袋中.一次游戏中小球落入袋记分，落入袋记分，游戏可以重复进行.游戏过程中累计得分的概率为. (1)求、、； (2)求出的通项公式. 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）计算出小球落入袋、袋的概率，可得出的值，再结合独立事件和互斥事件的概率公式可求得、的值； （2）游戏过程中累计得分可以分为两种情况：得到分后的一次游戏小球落入袋中（分），或得到分后的一次游戏中小球落入A袋中（分），由此可得出，推导出数列为常数列，可得出，进而推导出为等比数列，结合等比数列的通项公式可求得的通项公式. 【详解】（1）小球三次碰撞全部向左偏或者全部向右偏落入袋， 故概率， 小球落入袋中的概率. 故，，. （2）游戏过程中累计得分可以分为两种情况： 得到分后的一次游戏小球落入袋中（分）， 或得到分后的一次游戏中小球落入袋中（分）， 故， 故为常数列且，故即. ， 故是以为首项，以为公比的等比数列， 故， 所以的通项公式为. 变式4．（25-26高二下·河南南阳·期中）某电视台为迎接2025年新春佳节的到来，特举办一个有奖竞猜节目，问题有生活类、益智类两类．每位参赛者回答次，每次回答一个问题，每位参赛者回答的第1个问题均从生活类题库中随机抽取，规定：对所有的问题若答对则下一题从益智类题库中随机抽取；若答错，则下一题从生活类题库中随机抽取．已知答对一个生活类题目得10元，答错得0元；答对一个益智类题目得20元，答错得0元．已知李明答对每个生活类题目的概率均为，答对每个益智类题目的概率均为，且每次回答正确与否相互独立． (1)记李明前两题累计获奖为元，求的分布列及数学期望； (2)记李明第题回答正确的概率为证明：为等比数列，并求的通项公式． 【答案】(1)随机变量的分布列为： 0 10 30 . (2)证明：若李明第道题目回答正确，则第道回答益智类题目，此时他回答正确的概率为， 若李明第道题目回答错误，则第道回答生活类题目，此时他回答正确的概率为， 所以，则， 而，因此数列是首项为，公比为的等比数列，即， 所以， 所以的通项公式是. 【分析】（1）根据题意，得到随机变量的可能取值为，结合规定，求得相应的概率，得出随机变量的分布列，求得其数学期望. （2）若李明第道题目回答正确，则第道回答益智类题目，回答正确的概率为，若李明第道题目回答错误，则第道回答生活类题目，回答正确的概率为，得到关系式，结合等比数列的定义，即可得证. 【详解】（1）依题意，随机变量的可能取值为， 李明答对每个生活类题目的概率均为，答对每个益智类题目的概率均为， 当时，两道生活类题目都答错，； 当时，第1道生活类题目答对且第2道益智类题目答错或者第1道生活类题目答错，第2道生活类题目答对， 即； 当时，第1道生活类题目答对且第2道益智类题目答对，， 所以随机变量的分布列为： 0 10 30 所以. （2）略 实战演练 1．（24-25高二下·重庆·期中）某学校有C、D两个图书馆，某学生每天都会在这两个图书馆中选择一个去学习，已知该学生第一天选择C图书馆的概率是，若在前一天选择C图书馆的条件下，后一天继续选择C图书馆的概率为，而在前一天选择D图书馆的条件下，后一天继续选择D图书馆的概率为，如此往复. (1)求该学生第一天和第二天都选择C图书馆的概率； (2)求该学生第二天选择C图书馆的概率； (3)记该学生第n天选择C图书馆的概率为，求数列的通项公式. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据第一天选择C图书馆的概率是，后一天继续选择C图书馆的概率为求解即可； （2）分第一天选C、D两个图书馆两种情况求解即可； （3）根据题意得出递推公式，再构造求解通项公式即可. 【详解】（1）由题意，第一天和第二天都选择C图书馆的概率为 （2）第一天选C图书馆，第二天选C图书馆的概率为， 第一天选D图书馆，第二天选C图书馆的概率为， 故第二天选C图书馆的概率为. （3）由题意，当时，，则， 即， 故是以为首项，为公比的等比数列， 故，解得 2．（25-26高二下·辽宁葫芦岛·月考）甲、乙、丙三人进行一种传球游戏：当球在甲手中时，甲将球保留（也记为一次传球）的概率为，否则甲将球传给乙；当球在乙手中时，乙将球传给甲的概率为，否则乙将球传给丙；当球在丙手中时，丙将球传给甲的概率为，否则丙将球传给乙.初始时，球在甲手中. (1)设传球三次后，球在甲手中过的次数为，求随机变量的分布列和数学期望； (2)传次球后，记球在乙手中的概率为，求数列的通项公式； (3)在第（2）问的条件下，设.求证：. 【答案】(1)分布列见解析，1 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据传球游戏的规则，可得，再根据独立事件概率公式，求解概率，再结合分布列公式，即可求数学期望； （2）首先题意，可得关于数列的递推公式，，再通过构造求数列的通项公式； （3）首先根据（2）的结果，求，并利用放缩法证明不等式. 【详解】（1）由题意知，， ， ， ， ， 所以随机变量的分布列为 0 1 2 3 随机变量的数学期望为； （2）由于传次球后不在乙手中的概率为， 此时无论球在甲手中还是球在丙手中，均有的概率传给乙， 故有， 变形为， 又，所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以， 所以数列的通项公式； （3）由（2）可得， 则 所以. 又因为， ， 所以， 综上，. 2 学科网（北京）股份有限公司 $期末复习：概率分布中的数列递推问题复习讲义 期末复习：概率分布中的数列递推问题复习讲义 知识点解析 一、核心思想 设随机状态概率 （第 次试验/第 步的概率、期望），利用全概率公式建立递推关系式：（一阶线性）、（二阶线性），再结合初始条件求解通项，最后求分布、期望。 常见状态设定 1. ：进行 次操作后达成目标的概率 1. ：当前处于第 阶段的概率 1. ：从第 状态到结束的期望步数/次数 二、一阶线性递推： 通解公式 齐次解 + 特解 1. 齐次方程：，解 1. 设常数特解 ，代入求 1. 结合 定常数 经典例题 1（抛硬币，首次正面） 每次抛硬币正面概率 ，反面 ， 为第 次才首次出正面概率。 递推：第 1 次反面，后面等价从头来。 几何分布，。 经典例题 2（输赢博弈，赌徒破产） 甲有 元，乙有 元，每局甲赢 1 元概率 、输 1 元 ， 为甲破产概率。 边界：（没钱直接破产），（乙没钱，甲胜）。 递推：，变形 。 令 ，，等比数列求和可解。 三、二阶线性齐次递推 步骤： 1. 特征方程： 1. 两根 · 不等实根： · 重根： 1. 代入两个初值 解系数 例题：连续两次正面停止抛硬币 设 ：抛 次首次出现连续两个正面的概率；： 次末尾 1 正、无连两正；：末尾反、无连两正。 总无连两正： 递推关系： 消元可得二阶递推： 四、期望型递推（考得最多） 设 ：当前处在状态 ，到结束需要的期望步数。 模板 1：一步转移 从 一步到 概率 ，留在 概率 ，到终点概率 。 整理化简： 例题：掷骰子，掷出 6 停止，求期望次数 为总期望，第一次：1/6 直接结束；5/6 没出 6，回到起点。 解得 。 例题：集齐 种卡片，每次随机一张，求期望（几何叠加） 设已有 张不同卡片， 为凑齐剩余期望。 拿到新卡概率 ，旧卡 。 总期望 五、非齐次递推通用解法 形如： 1. 先解齐次通解 1. 构造特解（常数、一次、指数依 形式） 1. 初值定常数 六、高考/新高考高频模型汇总 1. 几何分布递推：单次独立试验，首次成功，一阶等比 1. 伯努利叠加期望：收集、闯关、射击多次尝试 1. 赌徒破产模型：两端吸收边界的线性递推 1. 连续成功/失败终止：二阶特征方程递推 1. 分层状态全概率拆分：多状态 联立方程组 七、解题标准步骤 1. 定义变量： 物理意义写清楚 1. 找第一步所有可能结果，列全概率等式 1. 整理成标准递推式 + 写出边界初值 1. 解数列通项 1. 验证：代入 检验数值是否合理 1. 求分布列、均值、方差（如需） 例题分析 例1．（25-26高二下·山东青岛·期中）标号为的12位同学，围着圆桌入座进行传球游戏. 将他们分成， 三组，其中第组包含四位同学. 在每次传球中，拿球的同学分别以的概率将球传递给邻座二人中的一位. 已知球最初在手中，当其将球传出后，视为第一次传球结束. 对于，，，设为第次传球后，球在手中的概率；为第次传球后，球在组某一位同学手上的概率. (1)求与的值； (2)求与； (3)证明：. 例2．（25-26高三上·内蒙古赤峰·期末）某企业在年会中设计了游戏环节，从员工中随机抽取10名参加游戏，每位员工只能参加一次，并制定游戏规则如下：参与者每次掷一枚质地均匀的骰子，初始分数为0，每次投掷时，若出现的点数能被3整除，可为自己积2分，否则为自己积1分.连续投掷，累计得分达到9分或10分时，游戏结束.设员工在游戏过程中累计得分的概率为. (1)求； (2)求； (3)得9分的员工，获得二等奖，奖金200元；得10分的员工，获得一等奖，奖金500元，估计该企业作为游戏奖励的预算资金（精确到1元）． （参考数据：） 例3．（25-26高二下·四川成都·期中）某公园有两条散步路线，分别记为路线A和路线B.附近的居民经常来此散步，经过一段时间的统计发现，前一天选择路线A的居民第二天选择路线A和路线B的概率均为；前一天选择路线B的居民第二天选择路线A和路线B的概率分别为和，已知居民第一天选择路线A的概率为，选择路线B的概率为. (1)若有4位居民连续两天去公园散步，记第二天选择路线A散步的人数为Y，求Y的分布列及期望； (2)若某居民每天都去公园散步，记第n天选择路线A的概率为. （i）请写出与的递推关系； （ii）设，求证：. 例4．（25-26高三上·河北唐山·期末）为测试甲、乙两种新药的疗效，现进行动物试验，试验方案如下：共进行场试验，，每场包含若干轮对比试验，每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药在该场胜出．当一种药物胜出的场数超过半数，则认为该药有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得分．乙药得分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得分，甲药得分；若都治愈或都未治愈则两种药均得分．假设甲、乙两种药的治愈率分别为和． (1)一轮试验中甲药得分记为，求的分布列． (2)记甲、乙两种新药在每场试验开始时都赋予分，表示“甲药的累计得分为时，最终认为该场甲药胜出”的概率，则，，，其中，，． （i）求； （ii）记为每场甲药胜出的概率，现拟增加两场试验，试分析能否提高甲药有效的概率？ 变式训练 变式1．（25-26高二下·广西玉林·期中）在某校举办的学科文化节系列活动中，数学组老师设计了一个答题挑战活动供全校数学爱好者挑战．挑战题目由逻辑推理题和运算求解题两部分构成，用于考查学生的逻辑推理能力和运算求解能力．现有名同学报名依次发起挑战，每位同学成功解答出逻辑推理题和运算求解题的概率均为，两题能否解出相互独立，每位同学解题过程相互独立，挑战规则如下： ①每位同学均先答逻辑推理题，逻辑推理题答对才能答运算求解题； ②记第位同学挑战为本次挑战活动的第轮，若第位同学在规定时间内未完成逻辑推理题，则认为本次活动的第轮挑战失败，该同学退出由第位同学挑战； ③若第位同学在规定时间内完成逻辑推理题，则该同学继续答运算求解题，若该同学在规定时间内未完成运算求解题，则也认为本次活动的第轮挑战失败，该同学退出，由第位同学挑战；若该同学在规定时间内完成了运算求解题，则挑战成功，本次答题挑战活动结束，后续同学不再进行答题挑战． ④挑战进行到第轮，则不管第位同学是否完成两题的解答，答题挑战活动结束．令随机变量表示这名同学在进行第轮挑战后结束挑战活动． (1)求随机变量的分布列； (2)若把挑战规则①去掉，换成规则⑤：挑战的同学先挑战逻辑推理题，若有同学在规定时间内完成逻辑推理题，以后挑战的同学不再挑战逻辑推理题，直接挑战运算求解题．令随机变量表示这名同学在第轮挑战后结束挑战活动． （i）求随机变量的分布列； （ii）证明：． 变式2．（25-26高二下·吉林松原·期中）在自动驾驶系统的路径规划中，车辆的车道选择行为可用马尔可夫链模型描述. 设道路只有两条车道，分别记为车道0和车道1. 每隔一个固定时间步长，车辆会选择更换车道或者保持车道不变，记为第个时间步长车辆所在的车道（）. 马尔可夫链的下一时刻状态仅取决于当前时刻状态，记为一步转移概率.已知某自动驾驶模型的车道转移规律如下：若当前在车道，下一时刻变道至车道的概率为；若当前在车道，下一时刻变道至车道的概率为. (1)已知时刻车辆处于车道的概率为，处于车道的概率为. ① 直接写出的值； ② 若时刻车辆处于车道，求时刻车辆处于车道的概率. (2)在第（1）问的初始概率条件下，记，求随机变量的分布列（结果用含的式子表示）. 变式3．（25-26高二下·湖北襄阳·期中）如图，某人设计了一个类似于高尔顿板的游戏：将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的中间入口处，小球将自由下落，小球在下落的过程中，将次遇到黑色障碍物，已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是，最后落入袋或袋中.一次游戏中小球落入袋记分，落入袋记分，游戏可以重复进行.游戏过程中累计得分的概率为. (1)求、、； (2)求出的通项公式. 变式4．（25-26高二下·河南南阳·期中）某电视台为迎接2025年新春佳节的到来，特举办一个有奖竞猜节目，问题有生活类、益智类两类．每位参赛者回答次，每次回答一个问题，每位参赛者回答的第1个问题均从生活类题库中随机抽取，规定：对所有的问题若答对则下一题从益智类题库中随机抽取；若答错，则下一题从生活类题库中随机抽取．已知答对一个生活类题目得10元，答错得0元；答对一个益智类题目得20元，答错得0元．已知李明答对每个生活类题目的概率均为，答对每个益智类题目的概率均为，且每次回答正确与否相互独立． (1)记李明前两题累计获奖为元，求的分布列及数学期望； (2)记李明第题回答正确的概率为证明：为等比数列，并求的通项公式． 实战演练 1．（24-25高二下·重庆·期中）某学校有C、D两个图书馆，某学生每天都会在这两个图书馆中选择一个去学习，已知该学生第一天选择C图书馆的概率是，若在前一天选择C图书馆的条件下，后一天继续选择C图书馆的概率为，而在前一天选择D图书馆的条件下，后一天继续选择D图书馆的概率为，如此往复. (1)求该学生第一天和第二天都选择C图书馆的概率； (2)求该学生第二天选择C图书馆的概率； (3)记该学生第n天选择C图书馆的概率为，求数列的通项公式. 2．（25-26高二下·辽宁葫芦岛·月考）甲、乙、丙三人进行一种传球游戏：当球在甲手中时，甲将球保留（也记为一次传球）的概率为，否则甲将球传给乙；当球在乙手中时，乙将球传给甲的概率为，否则乙将球传给丙；当球在丙手中时，丙将球传给甲的概率为，否则丙将球传给乙.初始时，球在甲手中. (1)设传球三次后，球在甲手中过的次数为，求随机变量的分布列和数学期望； (2)传次球后，记球在乙手中的概率为，求数列的通项公式； (3)在第（2）问的条件下，设.求证：. 2 学科网（北京）股份有限公司 $