期末核心考点复习讲义 全概率与数列递推、复杂事件的概率计算-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

专题7全概率与数列递推、复杂事件的概率计算问题【讲*人教A版】 知识点1 马尔科夫链简介 马尔科夫链是一种随机过程，具有“无记忆性”或“马尔科夫性”的特点.马尔科夫性指的是在给定当前状态的情况下，未来的状态与过去的状态无关.也就是说，系统下一时刻的状态仅取决于当前时刻的状态，而与过去的历史状态无关. 知识点2 条件概率 设A、B 是两个事件，且P(B)>0，在事件B 发生的条件下，事件A 发生的概率称为条件概率，记作P(A|B). 条件概率的计算公式为：，其中表示事件A和事件B同时发生的概率. 知识点3 全概率公式 设为样本空间的一个划分且，，对任意的有.全概率公式的意义在于当B的构成比较复杂时，可通过对Ω引人某种合适的划分，在这种划分下可将B分解为一系列局部的较为简单的事件，在计算出这些局部的事件的概率后，再通过全概率公式求出P(B). 知识点4 贝叶斯公式 设为样本空间的一个划分且，，对任意的当时，有.一般称为先验概率，就是做试验前的概率，简单说就是经验； 为后验概率，在统计决策中十分重要，由此得到的决策叫做贝叶斯决策. 考向一 马尔科夫链背景的数列递推 【典例解读】 例1.（24-25高二下·湖南·期中）马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，在强化学习、自然语言处理、金融领域、天气预测等方面都有着极其广泛的应用.马尔科夫链因俄国数学家安德烈·马尔科夫得名，其过程具备“无记忆”的性质，即第次状态的概率分布只跟第次的状态有关，与第，，，⋯次状态无关.现有，两个盒子，各装有1个黑球和1个红球，现从，两个盒子中各任取一个球交换放入另一个盒子，重复进行次这样的操作后，记盒子中红球的个数为，恰有1个红球的概率为.则的值为（ ） A．    B．    C．    D． 【答案】A 【分析】用古典概型，根据组合数算出第一次操作后盒恰有个红球的概率和恰有个红球的概率. 用全概率公式得到与的递推关系. 对递推式变形，得出数列是等比数列，并确定其首项与公比.依据等比数列通项公式求出的表达式. 把代入表达式，算出的值. 【详解】设第次操作后盒子中恰有2个红球的概率为，则没有红球的概率为. 由题意知，，， 因为，所以. 又因为，所以是以为首项，为公比的等比数列. 所以，. 故选：A. 【题后反思】 本题围绕马尔可夫链，结合概率与数列递推求解.遇此类概率递推问题，要先明确状态，用全概率公式找递推关系，再构造数列求通项.需掌握概率模型与数列结合的方法，提升复杂概率问题的建模和求解能力. 【再练一个】 （2025·湖南·模拟预测） 1．高三某班为缓解学生高考压力，班委会决定在周班会课上进行“听音乐、猜歌名”的趣味游戏比赛，现将全班学生分为组，每组人，剩余的学生做裁判.比赛规则如下:比赛共分为两轮，第一轮比赛中个小组分三场进行比赛，每场比赛有个小组参加，在规定的时间内猜对歌名最多的小组获胜，获胜的三个小组进入第二轮比赛，第二轮进行一场比赛，选出获胜队伍.已知甲、乙、丙个小组的学生能成功猜对歌名的概率分别为、、. (1)现从乙组中任选一名学生进行歌曲试猜，记首歌曲中猜对的歌曲数为，求随机变量的数学期望； (2)若从甲、乙、丙个小组中任选一名学生参加猜歌游戏，求该学生猜对歌曲的概率； (3)若第二轮比赛中丁、戊两组并列第一，则设置以下游戏决定最终获胜的小组，游戏规则如下：从丁、戊小组中任选一名代表，从装有个白球和个红球的不透明的盒子中有放回地随机摸出一个球，摸出白球记分，摸出红球记分，以分开始计分，恰好获得分或分则结束摸球.若该代表获得分，则该代表所在小组获得胜利，否则另外一组获得胜利.若该代表来自丁组，试估计丁组获胜的概率. 考向二 马尔科夫链背景传球模型 【典例解读】 例2.（2025·广东茂名·二模）甲、乙、丙三人练习传球，每次传球时，持球者会等可能地传给另外两人中的任意一位，若第一次由甲开始传球，则经过四次传球后，球回到甲手中的概率为（ ） A．    B．    C．    D． 【答案】C 【分析】由题意可列出球在甲手中的概率递推关系式，构造出等比数列，求出第次球在甲手中的概率表达式，代入计算即可. 【详解】设事件“第次球在甲手中”，“第次球在乙手中”，“第次球在丙手中”， 那么由题意可知：，又， 所以，构造等比数列， 因为第一次由甲传球，可认为第次传球在甲，即， 所以是以为首项，公比为的等比数列， 故， 则. 故选：C. 【题后反思】 本题是概率中的递推问题，通过设事件、找递推关系，构造等比数列求解.遇多次传球概率，可设状态列递推式，利用数列知识转化求解.要善于发现规律，将概率与数列结合，提升递推建模和综合解题能力. 【再练一个】 2．在足球比赛中，有时需通过点球决定胜负． (1)扑点球的难度一般比较大，假设罚点球的球员会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向射门，门将(也称为守门员)也会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向来扑点球，而且门将即使方向判断正确也有的可能性扑不到球．不考虑其它因素，在一次点球大战中，求门将在前三次扑到点球的个数的分布列和期望； (2)好成绩的取得离不开平时的努力训练，甲､乙､丙三名前锋队员在某次传接球的训练中，球从甲脚下开始，等可能地随机传向另外人中的 人，接球者接到球后再等可能地随机传向另外人中的人，如此不停地传下去，假设传出的球都能接住．记第次传球之前球在甲脚下的概率为，易知． ① 试证明：为等比数列； ② 设第次传球之前球在乙脚下的概率为，比较与的大小． 考向三 概率与数列结合问题 【典例解读】 例3.6月1日某商场举办了赢取冰墩墩、雪容融吉祥物挂件答题活动.为了提高活动的参与度，计划有的人只能赢取冰墩墩挂件，另外的人既能赢取冰墩墩挂件又能赢取雪容融挂件，每位顾客若只能赢取冰墩墩挂件，则记1分，若既能赢取冰墩墩挂件又能赢取雪容融挂件，则记2分，假设每位顾客能赢取冰墩墩挂件和赢取雪容融挂件相互独立，视频率为概率. （1）从顾客中随机抽取3人，记这3人的合计得分为X，求X的分布列和数学期望； （2）从顾客中随机抽取n人（），记这n人的合计得分恰为分的概率为，求. 【答案】（1）5；（2） 【分析】（1）根据题意，随机变量的取值为，利用独立重复试验的概率公式，求得相应的概率，列出分布列，结合期望公式，即可求解； （2）根据题意 ，这人的合计得分恰为分，得到，结合乘公比错误相减法求和，即可求解. 【详解】（1）解：根据题意，随机变量的取值为， 可得， ， 所以的分布列为： 3 4 5 6 所以期望为. （2）解：因为这人的合计得分恰为分， 则其中有且只有1人既能赢取冰墩墩挂件又能赢取雪容融挂件， 所以， 设，则， 两式相减得， 所以，即. 【题后反思】 在求解概率统计与数列结合的问题时，找到与（或）之间的关系，再利用数列的递推关系求出对应的通项公式即可求得出相应概率.下面一题就是求递推关系的一个典型例题. 【再练一个】 （24-25高二下·辽宁·期中） 3．甲乙两人进行乒乓球比赛，每局比赛甲获胜的概率是，乙获胜的概率是，每局比赛相互独立． (1)当时，比赛采用3局2胜制，求甲最终获胜的概率； (2)若比赛采用5局3胜制比3局2胜制对甲更有利（即甲最终获胜概率更大），确定p的取值范围； (3)若甲乙共进行10局比赛，随机变量X表示甲获胜的局数．令，，若是数列的唯一的最大项，确定p的取值范围． 考向四 概率与导数结合问题 【典例解读】 例4.社会人口学是研究人口因素对社会结构和社会发展的影响和制约的一门社会学分支学科.其基本内容包括：人口作为社会变动的原始依据的探讨；将人口行为作为引起社会体系特征变动的若干因素中的一个因素来研究.根据社会人口学研究发现，一个家庭有个孩子（仅考虑不超过3个孩子家庭）的概率分布列为： 1 2 3 0 概率 其中，每个孩子的性别是男孩还是女孩的概率均为且相互独立，记A表示事件“一个家庭有个孩子”，B表示事件“一个家庭的男孩比女孩多（若一个家庭只有一个孩子且恰为男孩，则该家庭男孩多）” (1)若，求； (2)参数受到各种因素的影响（如生育保险的增加，教育､医疗福利的增加等），通过改变参数的值来调控未来人口结构.若希望增大，如何调控的值？ 参考公式： 【答案】(1) (2)增加的取值 【分析】（1）根据分布列的性质求出，再根据全概率公式计算可得； （2）由题意可知，所以只需研究，再由分布列的性质得到，令，利用导数说明函数的单调性，即可得解. 【详解】（1）由题意得：， 解得， 又，，，， 且， 由全概率公式，得 由，得； （2）由题意得：，考虑的变化即可， 由，得， 设，则， 记，则， 故在上单调递减，， ，，在上单调递减， 因此，增加的取值，会减小，会增大，即增大. 【题后反思】 本题是社会人口学背景下的概率分布问题，考查全概率公式及分布列性质.解此类题，要先利用分布列性质求未知量，再用全概率公式计算.需理解概率模型，熟练公式应用，提升从实际背景中抽象概率问题并求解的能力 . 【再练一个】 4．在2024年高考前夕，合肥一六八中学东校区为了舒展年级学子身心，缓解学子压力，在一周内（周一到周五）举行了别开生面“舞动青春，梦想飞扬”的竞技活动，每天活动共计有两场，第一场获胜得3分，第二场获胜得2分，无论哪一场失败均得1分，某同学周一到周五每天都参加了两场的竞技活动，已知该同学第一场和第二场竞技获胜的概率分别为、，且各场比赛互不影响． (1)若，记该同学一天中参加此竞技活动的得分为，求的分布列和数学期望； (2)设该同学在一周5天的竞技活动中，恰有3天每天得分不低于4分的概率为，试求当取何值时，取得最大值． 考向五 复杂事件的概率计算问题 【典例解读】 例5.三个人猜拳决定胜利者，三个人分别可以出“石头”，“剪刀”，“布”，其中“石头”赢“剪刀”，“剪刀”赢“布”，“布”赢“石头”，例如，当一个人出“布”，另两个人出“石头”时，只用一回正好决定胜利者;当一人出“石头”，另两人出“布”时，则淘汰出“石头”的人，三人猜拳输的人被淘汰，直到决出一个胜利者为止. （1）求一次猜拳决出胜利者的概率； （2）求在第回猜拳决出胜利者的概率. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）求出一回合决出胜利者的可能结果个数和一回合猜拳的总的可能结果个数即可求解. （2）在第回合决出胜利者可能结果有“到第回合时仍有3个人猜拳”或“到第回合时有2个人猜拳”两种情形，故先分别得到3个人猜一次拳决出胜利者、淘汰一人、和既无人淘汰且未决出胜利者这三种情况发生的概率，接着求出2个人猜拳一次决出胜利者发生的概率即可按第回合决出胜利者两种情形分类讨论求解. 【详解】（1）设为第回猜拳决出胜利者的概率，考虑3个人猜拳，每人有3种选择，共27种可能性， 若一回合决出胜利者，则某人出石头且另外2人出剪刀或某人出剪刀且另外2人出布或某人出布且另外2人出石头，共种可能， 所以3个人猜拳一次决出胜利者的概率为，故. （2）同理，若3个人猜一次拳淘汰1人，则某人出石头且另外2人出布或某人出剪刀且另外2人出石头或某人出布且另外2人出剪刀，概率为， 则3个人猜拳既无人淘汰且未决出胜利者的概率为. 考虑2个人猜拳，每人有3种选择，共9种可能性， 出拳相同的情况有3种，出拳不同情况有6种，出拳不同必定决出胜利者，故2个人猜拳一次决出胜利者的概率为， 当时，分类讨论如下： 若到第回合时，仍有3个人猜拳，且在第回合决出胜利者， 则概率为： 若到第回合时，有2个人猜拳，且在第回合决出胜利者， 则在第回合猜拳淘汰1个，概率为:， 所以， 当时，满足该式，综上，， 在第回猜拳决出胜利者的概率 【题后反思】 求解第n回合决出胜利者的概率，只需明确3个人猜一次拳决出胜利者、淘汰一人、和既无人淘汰且未决出胜利者这三种情况发生的概率，以及2个人猜拳一次决出胜利者的概率，即可分类讨论求解第回合决出胜利者的概率. 【再练一个】 5．如图是一个各棱长均为1米的正四棱锥，现有一只电子蛐蛐在棱上爬行，每次从一个顶点开始，等可能地沿棱爬到相邻顶点，已知电子蛐蛐初始从顶点出发，再次回到顶点时停止爬行. (1)求电子蛐蛐爬行2米后恰好回到顶点的概率； (2)在电子蛐蛐停止爬行时爬行长度不超过4米的条件下，记爬行长度为，求的分布列及其数学期望； (3)设电子蛐蛐爬行米后恰好停止爬行（首次回到顶点）的概率记为，求（用表示）. 考向六 体育赛制与游戏公平性问题 【典例解读】 例6.（24-25高三上·重庆·开学考试）现有n枚质地不同的游戏币，向上抛出游戏币后，落下时正面朝上的概率为.甲、乙两人用这n枚游戏币玩游戏. (1)甲将游戏币向上抛出10次，用表示落下时正面朝上的次数，求的期望，并写出当为何值时，最大（直接写出结果，不用写过程）； (2)甲将游戏币向上抛出，用表示落下时正面朝上游戏币的个数，求的分布列； (3)将这枚游戏币依次向上抛出，规定若落下时正面朝上的个数为奇数，则甲获胜，否则乙获胜，请判断这个游戏规则是否公平，并说明理由. 【答案】(1)， (2)分布列见解析 (3)公平，理由见解析 【分析】（1）依题意可得随机变量服从二项分布，即可得出期望值，依据二项式性质可得时，最大. （2）写出的所有可能取值，求出对应概率即可求得分布列； （3）根据题意可求得，可知游戏规则是公平的. 【详解】（1）依题意得：每次抛游戏币落下时正面向上的概率均为， 故，于是， 当时，最大. （2）记事件为“第枚游戏币向上抛出后，正面朝上”， 则，Y可取.由事件相互独立， 则. ； ； ； 故分布列为： X 0 1 2 3 P （3）不妨假设按照的顺序抛这n枚游戏币； 记抛第枚游戏币后，正面朝上的游戏币个数为奇数的概率为； 于是； 即，即. 记，则， 故数列为首项是，公差为的等差数列； 故，则， 故，则，因此公平. 【题后反思】 本题是概率综合题，涵盖二项分布期望、分布列及公平性判断.解此类题，要熟悉二项分布、分布列求法，公平性看概率是否相等.需强化对概率模型的识别与应用，提升综合分析和计算能力，应对多考点融合的概率题. 【再练一个】 6．第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日举办，本届亚运会共设40个竞赛大项．其中首次增设了电子竞技项目．与传统的淘汰赛不同，近年来一个新型的赛制“双败赛制”赢得了许多赛事的青睐．传统的淘汰赛失败一场就丧失了冠军争夺的权利，而在双败赛制下，每人或者每个队伍只有失败了两场才会淘汰出局，因此更有容错率．假设最终进入到半决赛有四支队伍，淘汰赛制下会将他们四支队伍两两分组进行比赛，胜者进入到总决赛，总决赛的胜者即为最终的冠军．双败赛制下，两两分组，胜者进入到胜者组，败者进入到败者组，胜者组两个队伍对决的胜者将进入到总决赛，败者进入到败者组．之前进入到败者组的两个队伍对决的败者将直接淘汰，胜者将跟胜者组的败者对决，其中的胜者进入总决赛，最后总决赛的胜者即为冠军，双败赛制下会发现一个有意思的事情，在胜者组中的胜者只要输一场比赛即总决赛就无法拿到冠军，但是其它的队伍却有一次失败的机会，近年来从败者组杀上来拿到冠军的不在少数，因此很多人戏谑这个赛制对强者不公平，是否真的如此呢？    这里我们简单研究一下两个赛制，假设四支队伍分别为A、B、C、D，其中A对阵其他三个队伍获胜概率均为p，另外三支队伍彼此之间对阵时获胜概率均为．最初分组时AB同组，CD同组． (1)若，在淘汰赛赛制下，A、C获得冠军的概率分别为多少？ (2)分别计算两种赛制下A获得冠军的概率（用表示），并据此简单分析一下双败赛制下对队伍的影响，是否如很多人质疑的“对强者不公平”？ 考向七 商业决策与方案选择问题 【典例解读】 例7.强基计划主要选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质或基础学科拔尖的学生，聚焦高端芯片与软件、智能科技、新材料、先进制造和国家安全等关键领域，由有关高校结合自身办学特色，合理安排招生．强基计划的校考由试点高校自主命题，校考过程中通过笔试才能进入面试环节． (1)某研究机构为了更好地服务于高三学生，随机抽取了某校5名高三学生，对其记忆力测试指标和分析判断力测试指标进行统计分析，得到下表数据： 7 9 10 11 13 3 4 5 6 7 请用线性相关系数判断该组数据中与之间的关系是否可用线性回归模型进行拟合；（精确到） (2)现有甲、乙两所高校的笔试环节都设有三门考试科目，某考生参加每门科目考试是否通过相互独立．若该考生报考甲高校，每门笔试科目通过的概率均为；该考生报考乙高校，每门笔试科目通过的概率依次为，其中．若该考生只能报考甲、乙两所高校中的一所，以笔试中通过的科目数的数学期望为依据作出决策，得知该考生更有希望通过乙大学的笔试，求的取值范围． 参考数据：，，； 参考公式：线性相关系数：．一般地，时，认为两个变量之间存在较强的线性相关关系． 【答案】(1)与之间的线性相关性较强，可用线性回归模型进行拟合 (2) 【分析】（1）根据相关系数公式直接计算即可； （2）利用二项分布期望公式可得甲高校考试通过科目数的期望，分别求出通过乙高校的考试科目数各种可能值的概率，然后由期望公式计算，最后根据期望之间的关系求解即可. 【详解】（1）由题意，可得：，， ， ， 所以， 所以与之间的线性相关性较强，可用线性回归模型进行拟合． （2）通过甲高校的考试科目数，则， 设通过乙高校的考试科目数为，则的可能取值为，则： ， ， ， ， 则， 由题意知，，即，解得， 又因为，综上，的取值范围为． 【题后反思】 本题考查线性相关系数与期望决策.做线性相关题，要熟练公式计算，精准代入数据；期望决策需先确定分布，再算期望比较.要重视基础公式应用，提升数据处理和决策分析能力，应对统计与概率综合题. 【再练一个】 7．某商场为了回馈顾客，开展一个抽奖活动，在抽奖箱中放8个大小相同的小球，其中红球4个，白球4个.规定：①每次抽奖时顾客从抽奖箱中随机摸出两个小球，如果摸出的两个小球颜色相同即为中奖，颜色不同即为不中奖；②每名顾客只能选一种抽奖方案进行抽奖，方案如下： 方案一：共进行两次抽奖，第一次抽奖后将球放回抽奖箱，再进行第二次抽奖； 方案二：共进行两次抽奖，第一次抽奖后不将球放回抽奖箱，直接进行第二次抽奖. (1)顾客甲欲参加抽奖活动，请从中奖的数字特征角度为顾客甲提供决策依据； (2)已知有300位顾客按照方案二抽奖，则其中中奖2次的人数为多少的概率最大？ （24-25高二下·山东临沂·期中） 8．甲、乙、丙、丁四人相互做传球训练，第一次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给其他人中的任意1人，设第n次传球后，球在甲手中的概率为．则（   ） A． B．若第3次传球后，戊开始加入传球训练，则 C．若第2次传球后，球恰好在丁手中，他将球传出后便离开了，则 D．若添加规定：当球在甲手中时，甲只能传给乙，乙再等可能传给其他人，则 （2025·内蒙古包头·二模） 9．高三某班为缓解学生高考压力，班委会决定在周班会课上进行“听音乐，猜歌名”的趣味游戏比赛，现将全班学生分为9组，每组5人，剩余的学生做裁判．比赛规则如下：比赛共分为两轮，第一轮比赛中9个小组分三场进行比赛，每场比赛有3个小组参加，在规定的时间内猜对歌名最多的小组获胜，获胜的三个小组进入第二轮比赛；第二轮进行一场比赛，选出获胜队伍．已知甲、乙、丙3个小组的学生能成功猜对歌名的概率分别为． (1)现从甲组中任选一名学生进行歌曲试猜，记5首歌曲中猜对的歌曲数为，求随机变量的数学期望； (2)若从甲、乙、丙3个小组中任选一名学生参加猜歌游戏，求该学生猜对歌曲的概率； (3)若第二轮比赛中丁、戊两组并列第一，则设置以下游戏决定最终获胜的小组，游戏规则如下：从丁、戊小组中任选一名代表，从装有3个白球和2个红球的不透明的盒子中有放回地随机摸出一个球，摸出白球记分，摸出红球记分，以0分开始计分，恰好获得分或分则结束摸球．若该代表获得分，则该代表所在小组获得胜利，否则另外一组获得胜利．若该代表来自戊组，试估计戊组获胜的概率． 10．现随机对件产品进行逐个检测，每件产品是否合格相互独立，且每件产品不合格的概率均为． (1)当时，记20件产品中恰有2件不合格的概率为，求的最大值点； (2)若这件产品中恰好有件不合格，以（1）中确定的作为的值，则当时，若以使得最大的值作为的估计值，求的估计值． 11．AI机器人，即人工智能机器人，是一种基于人工智能（AI）技术的机器人，目前应用前景广阔．我国某企业研发的家用AI机器人，其生产共有四道工序，前三道工序的生产互不影响，第四道工序是出厂检测工序，包括智能自动检测与人工抽检，其中智能自动检测为次品的会被自动淘汰，合格的进入流水线进行人工抽检.已知该家用机器人在生产中前三道工序的次品率分别为，，. (1)已知某批次的家用机器人智能自动检测显示合格率为99%，求在人工抽检时，工人抽检一个家用AI机器人恰好为合格品的概率； (2)该企业利用短视频直播方式扩大产品影响力，在直播现场进行家用AI机器人推广活动，现场人山人海，场面火爆，从现场抽取幸运顾客参与游戏，游戏规则如下：参与游戏的幸运顾客，每次都要有放回地从10张分别写有数字1～10的卡片中随机抽取一张，指挥家用机器人运乒乓球，直到获得奖品为止，每次游戏开始时，甲箱中有足够多的球，乙箱中没有球，若抽的卡片上的数字为奇数，则从甲箱中运一个乒乓球到乙箱；若抽的卡片上的数字为偶数，则从甲箱中运两个乒乓球到乙箱，当乙箱中的乒乓球数目达到9个时，获得奖品优惠券400元；当乙箱中的乒乓球数目达到10个时，获得奖品大礼包一个，获得奖品时游戏结束. ①求获得“优惠券”的概率； ②若有32个幸运顾客参与游戏，每人参加一次游戏，求该企业预备的优惠券总金额的期望值. （24-25高三下·重庆·阶段练习） 12．某汽车公司研发了一款新能源汽车，并在出厂前对100辆汽车进行了单次最大续航里程的测试．现对测试数据进行整理，得到如下的频率分布直方图： (1)估计这100辆汽车的单次最大续航里程的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）； (2)由频率分布直方图计算得样本标准差s的近似值为49.75，根据大量的汽车测试数据，可以认为这款汽车的单次最大续航里程X近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本标准差s． （ⅰ）利用该正态分布，求； （ⅱ）假设某企业从该汽车公司购买了20辆该款新能源汽车，记Z表示这20辆新能源汽车中单次最大续航里程的车辆数，求； 参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，． (3)为迅速抢占市场举行促销活动，销售公司现面向意向客户推出“玩游戏，赢大奖，送汽车模型”活动，客户可根据抛掷骰子向上的点数，遥控汽车模型在方格图上行进，若汽车模型最终停在“幸运之神”方格，则可获得购车优惠券3万元；若最终停在“赠送汽车模型”方格，则可获得汽车模型一个．方格图上标有第0格，第1格，第2格，……，第25格，第26格．汽车模型开始在第0格，客户每掷一次骰子，汽车模型向前移动一次．若掷出1，2，4，5点，汽车模型向前移动一格（从第k格到第格），若掷出3，6点，汽车模型向前移动两格（从第k格到第格），直到移到第25格（幸运之神）或第26格（赠送汽车模型）时游戏结束．设汽车模型移到第n（）格的概率为试证明数列（）是等比数列，求出数列的通项公式，并比较和的大小． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题7全概率与数列递推、复杂事件的概率计算问题【讲*人教A版】 知识点1 马尔科夫链简介 马尔科夫链是一种随机过程，具有“无记忆性”或“马尔科夫性”的特点.马尔科夫性指的是在给定当前状态的情况下，未来的状态与过去的状态无关.也就是说，系统下一时刻的状态仅取决于当前时刻的状态，而与过去的历史状态无关. 知识点2 条件概率 设A、B 是两个事件，且P(B)>0，在事件B 发生的条件下，事件A 发生的概率称为条件概率，记作P(A|B). 条件概率的计算公式为：，其中表示事件A和事件B同时发生的概率. 知识点3 全概率公式 设为样本空间的一个划分且，，对任意的有.全概率公式的意义在于当B的构成比较复杂时，可通过对Ω引人某种合适的划分，在这种划分下可将B分解为一系列局部的较为简单的事件，在计算出这些局部的事件的概率后，再通过全概率公式求出P(B). 知识点4 贝叶斯公式 设为样本空间的一个划分且，，对任意的当时，有.一般称为先验概率，就是做试验前的概率，简单说就是经验； 为后验概率，在统计决策中十分重要，由此得到的决策叫做贝叶斯决策. 考向一 马尔科夫链背景的数列递推 【典例解读】 例1.（24-25高二下·湖南·期中）马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，在强化学习、自然语言处理、金融领域、天气预测等方面都有着极其广泛的应用.马尔科夫链因俄国数学家安德烈·马尔科夫得名，其过程具备“无记忆”的性质，即第次状态的概率分布只跟第次的状态有关，与第，，，⋯次状态无关.现有，两个盒子，各装有1个黑球和1个红球，现从，两个盒子中各任取一个球交换放入另一个盒子，重复进行次这样的操作后，记盒子中红球的个数为，恰有1个红球的概率为.则的值为（ ） A．    B．    C．    D． 【答案】A 【分析】用古典概型，根据组合数算出第一次操作后盒恰有个红球的概率和恰有个红球的概率. 用全概率公式得到与的递推关系. 对递推式变形，得出数列是等比数列，并确定其首项与公比.依据等比数列通项公式求出的表达式. 把代入表达式，算出的值. 【详解】设第次操作后盒子中恰有2个红球的概率为，则没有红球的概率为. 由题意知，，， 因为，所以. 又因为，所以是以为首项，为公比的等比数列. 所以，. 故选：A. 【题后反思】 本题围绕马尔可夫链，结合概率与数列递推求解.遇此类概率递推问题，要先明确状态，用全概率公式找递推关系，再构造数列求通项.需掌握概率模型与数列结合的方法，提升复杂概率问题的建模和求解能力. 【再练一个】 （2025·湖南·模拟预测） 1．高三某班为缓解学生高考压力，班委会决定在周班会课上进行“听音乐、猜歌名”的趣味游戏比赛，现将全班学生分为组，每组人，剩余的学生做裁判.比赛规则如下:比赛共分为两轮，第一轮比赛中个小组分三场进行比赛，每场比赛有个小组参加，在规定的时间内猜对歌名最多的小组获胜，获胜的三个小组进入第二轮比赛，第二轮进行一场比赛，选出获胜队伍.已知甲、乙、丙个小组的学生能成功猜对歌名的概率分别为、、. (1)现从乙组中任选一名学生进行歌曲试猜，记首歌曲中猜对的歌曲数为，求随机变量的数学期望； (2)若从甲、乙、丙个小组中任选一名学生参加猜歌游戏，求该学生猜对歌曲的概率； (3)若第二轮比赛中丁、戊两组并列第一，则设置以下游戏决定最终获胜的小组，游戏规则如下：从丁、戊小组中任选一名代表，从装有个白球和个红球的不透明的盒子中有放回地随机摸出一个球，摸出白球记分，摸出红球记分，以分开始计分，恰好获得分或分则结束摸球.若该代表获得分，则该代表所在小组获得胜利，否则另外一组获得胜利.若该代表来自丁组，试估计丁组获胜的概率. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）分析可知，由二项分布的期望公式可得出的值； （2）记事件、、分别表示该学生来自甲、乙、丙组，事件表示该同学能猜对，利用全概率公式可求得的值； （3）记得分为的概率为，求得，推导出数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，可求出数列的通项公式，利用累加法可求得的值，即为所求. 【详解】（1）由题意可知，，由二项分布的期望公式可得. （2）记事件、、分别表示该学生来自甲、乙、丙组，事件表示该同学能猜对， 所以，，，，， 由全概率公式可得. 所以，该学生能猜对的概率为. （3）由题意可知，积分增加分的概率为，增加分的概率为， 记得分为的概率为，且，， ， 所以，，且， 所以，数列是首项为，公比为的等比数列， 则， 由累加法可得 . 因此，丁组获胜的概率为. 考向二 马尔科夫链背景传球模型 【典例解读】 例2.（2025·广东茂名·二模）甲、乙、丙三人练习传球，每次传球时，持球者会等可能地传给另外两人中的任意一位，若第一次由甲开始传球，则经过四次传球后，球回到甲手中的概率为（ ） A．    B．    C．    D． 【答案】C 【分析】由题意可列出球在甲手中的概率递推关系式，构造出等比数列，求出第次球在甲手中的概率表达式，代入计算即可. 【详解】设事件“第次球在甲手中”，“第次球在乙手中”，“第次球在丙手中”， 那么由题意可知：，又， 所以，构造等比数列， 因为第一次由甲传球，可认为第次传球在甲，即， 所以是以为首项，公比为的等比数列， 故， 则. 故选：C. 【题后反思】 本题是概率中的递推问题，通过设事件、找递推关系，构造等比数列求解.遇多次传球概率，可设状态列递推式，利用数列知识转化求解.要善于发现规律，将概率与数列结合，提升递推建模和综合解题能力. 【再练一个】 2．在足球比赛中，有时需通过点球决定胜负． (1)扑点球的难度一般比较大，假设罚点球的球员会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向射门，门将(也称为守门员)也会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向来扑点球，而且门将即使方向判断正确也有的可能性扑不到球．不考虑其它因素，在一次点球大战中，求门将在前三次扑到点球的个数的分布列和期望； (2)好成绩的取得离不开平时的努力训练，甲､乙､丙三名前锋队员在某次传接球的训练中，球从甲脚下开始，等可能地随机传向另外人中的 人，接球者接到球后再等可能地随机传向另外人中的人，如此不停地传下去，假设传出的球都能接住．记第次传球之前球在甲脚下的概率为，易知． ① 试证明：为等比数列； ② 设第次传球之前球在乙脚下的概率为，比较与的大小． 【答案】(1)分布列见解析，数学期望为； (2)①证明见解析；②. 【分析】（1）解法一：由题意可得，然后根据二项分布的概率公式求解概率，从而可求出分布列和期望；解法二：的所有可能取值为，且在一次扑球中，扑到点球的概率，然后分别求出各自对应的概率，从而可求出分布列和期望； （2）①由题意可得第次传球之前球在甲脚下的概率为，第次传球之前球不在甲脚下的概率为，则，化简变形后可证得结论；②分别表示出，化简后与比较大小可得结论. 【详解】（1）解法一：依题意可得，门将每次可以扑到点球的概率为， 门将在前三次扑到点球的个数可能的取值为   易知， 所以   故的分布列为： 0 1 2 3 所以的数学期望． 解法二：的所有可能取值为    在一次扑球中，扑到点球的概率，    所以      所以的分布列如下： 0 1 2 3 所以的数学期望： （2）①第次传球之前球在甲脚下的概率为， 则当时，第次传球之前球在甲脚下的概率为， 第次传球之前球不在甲脚下的概率为，   则     即，又，   所以是以为首项，公比为的等比数列． ②由①可知，所以，   所以， 故． 【点睛】关键点点睛：此题考查二项分布的分布列和期望，考查等比数列的证明，第（2）问解题的关键是根据题意用表示出，考查理解能力和计算能力，属于较难题. 考向三 概率与数列结合问题 【典例解读】 例3.6月1日某商场举办了赢取冰墩墩、雪容融吉祥物挂件答题活动.为了提高活动的参与度，计划有的人只能赢取冰墩墩挂件，另外的人既能赢取冰墩墩挂件又能赢取雪容融挂件，每位顾客若只能赢取冰墩墩挂件，则记1分，若既能赢取冰墩墩挂件又能赢取雪容融挂件，则记2分，假设每位顾客能赢取冰墩墩挂件和赢取雪容融挂件相互独立，视频率为概率. （1）从顾客中随机抽取3人，记这3人的合计得分为X，求X的分布列和数学期望； （2）从顾客中随机抽取n人（），记这n人的合计得分恰为分的概率为，求. 【答案】（1）5；（2） 【分析】（1）根据题意，随机变量的取值为，利用独立重复试验的概率公式，求得相应的概率，列出分布列，结合期望公式，即可求解； （2）根据题意 ，这人的合计得分恰为分，得到，结合乘公比错误相减法求和，即可求解. 【详解】（1）解：根据题意，随机变量的取值为， 可得， ， 所以的分布列为： 3 4 5 6 所以期望为. （2）解：因为这人的合计得分恰为分， 则其中有且只有1人既能赢取冰墩墩挂件又能赢取雪容融挂件， 所以， 设，则， 两式相减得， 所以，即. 【题后反思】 在求解概率统计与数列结合的问题时，找到与（或）之间的关系，再利用数列的递推关系求出对应的通项公式即可求得出相应概率.下面一题就是求递推关系的一个典型例题. 【再练一个】 （24-25高二下·辽宁·期中） 3．甲乙两人进行乒乓球比赛，每局比赛甲获胜的概率是，乙获胜的概率是，每局比赛相互独立． (1)当时，比赛采用3局2胜制，求甲最终获胜的概率； (2)若比赛采用5局3胜制比3局2胜制对甲更有利（即甲最终获胜概率更大），确定p的取值范围； (3)若甲乙共进行10局比赛，随机变量X表示甲获胜的局数．令，，若是数列的唯一的最大项，确定p的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据独立事件乘法公式和互斥事件的加法公式求解即可. （2）根据独立事件乘法公式和互斥事件的加法公式分别求解3局2胜制和5局3胜制甲获胜的概率，然后列不等式求解即可. （3）根据二项分布列的概率公式求出，然后根据列不等式求出p的取值范围，然后通过对相邻项作比建立不等式，确定唯一性，即可得解. 【详解】（1）3局2胜制甲最终获胜结果可以是：、，每局比赛甲获胜的概率， 根据独立事件乘法公式和互斥事件的加法公式得 则甲最终获胜概率是：． （2）3局2胜制甲最终获胜结果可以是：、，每局比赛甲获胜的概率， 根据独立事件乘法公式和互斥事件的加法公式得 甲最终获胜概率是：， 5局3胜制甲最终获胜结果可以是：、、， 则甲最终获胜概率是：， 由题知，即， 则， 又，则p的取值范围是． （3）由题，，故，． 是数列的唯一的最大项，则必有， 即，解得：， 此时，，则 则时，；时，； 即，故是数列的唯一的最大项． 综上，p的取值范围是． 考向四 概率与导数结合问题 【典例解读】 例4.社会人口学是研究人口因素对社会结构和社会发展的影响和制约的一门社会学分支学科.其基本内容包括：人口作为社会变动的原始依据的探讨；将人口行为作为引起社会体系特征变动的若干因素中的一个因素来研究.根据社会人口学研究发现，一个家庭有个孩子（仅考虑不超过3个孩子家庭）的概率分布列为： 1 2 3 0 概率 其中，每个孩子的性别是男孩还是女孩的概率均为且相互独立，记A表示事件“一个家庭有个孩子”，B表示事件“一个家庭的男孩比女孩多（若一个家庭只有一个孩子且恰为男孩，则该家庭男孩多）” (1)若，求； (2)参数受到各种因素的影响（如生育保险的增加，教育､医疗福利的增加等），通过改变参数的值来调控未来人口结构.若希望增大，如何调控的值？ 参考公式： 【答案】(1) (2)增加的取值 【分析】（1）根据分布列的性质求出，再根据全概率公式计算可得； （2）由题意可知，所以只需研究，再由分布列的性质得到，令，利用导数说明函数的单调性，即可得解. 【详解】（1）由题意得：， 解得， 又，，，， 且， 由全概率公式，得 由，得； （2）由题意得：，考虑的变化即可， 由，得， 设，则， 记，则， 故在上单调递减，， ，，在上单调递减， 因此，增加的取值，会减小，会增大，即增大. 【题后反思】 本题是社会人口学背景下的概率分布问题，考查全概率公式及分布列性质.解此类题，要先利用分布列性质求未知量，再用全概率公式计算.需理解概率模型，熟练公式应用，提升从实际背景中抽象概率问题并求解的能力 . 【再练一个】 4．在2024年高考前夕，合肥一六八中学东校区为了舒展年级学子身心，缓解学子压力，在一周内（周一到周五）举行了别开生面“舞动青春，梦想飞扬”的竞技活动，每天活动共计有两场，第一场获胜得3分，第二场获胜得2分，无论哪一场失败均得1分，某同学周一到周五每天都参加了两场的竞技活动，已知该同学第一场和第二场竞技获胜的概率分别为、，且各场比赛互不影响． (1)若，记该同学一天中参加此竞技活动的得分为，求的分布列和数学期望； (2)设该同学在一周5天的竞技活动中，恰有3天每天得分不低于4分的概率为，试求当取何值时，取得最大值． 【答案】(1)分布列见解析， (2) 【分析】（1）根据题意得到可能的取值，求出对应的概率，进而得到分布列和期望； （2）先求出一天得分不低于4分的概率，再用二项分布的概率公式求出，利用导数即可求得取最值时的值. 【详解】（1）由题可知，的可能取值为． 因为，所以， ， 故的分布列为： 2 3 4 5 的数学期望. （2）设一天得分不低于4分为事件，则， 则， 则， 当时，；当时， 所以在上单调递增，在上单调递减，故当时，取得最大值． 考向五 复杂事件的概率计算问题 【典例解读】 例5.三个人猜拳决定胜利者，三个人分别可以出“石头”，“剪刀”，“布”，其中“石头”赢“剪刀”，“剪刀”赢“布”，“布”赢“石头”，例如，当一个人出“布”，另两个人出“石头”时，只用一回正好决定胜利者;当一人出“石头”，另两人出“布”时，则淘汰出“石头”的人，三人猜拳输的人被淘汰，直到决出一个胜利者为止. （1）求一次猜拳决出胜利者的概率； （2）求在第回猜拳决出胜利者的概率. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）求出一回合决出胜利者的可能结果个数和一回合猜拳的总的可能结果个数即可求解. （2）在第回合决出胜利者可能结果有“到第回合时仍有3个人猜拳”或“到第回合时有2个人猜拳”两种情形，故先分别得到3个人猜一次拳决出胜利者、淘汰一人、和既无人淘汰且未决出胜利者这三种情况发生的概率，接着求出2个人猜拳一次决出胜利者发生的概率即可按第回合决出胜利者两种情形分类讨论求解. 【详解】（1）设为第回猜拳决出胜利者的概率，考虑3个人猜拳，每人有3种选择，共27种可能性， 若一回合决出胜利者，则某人出石头且另外2人出剪刀或某人出剪刀且另外2人出布或某人出布且另外2人出石头，共种可能， 所以3个人猜拳一次决出胜利者的概率为，故. （2）同理，若3个人猜一次拳淘汰1人，则某人出石头且另外2人出布或某人出剪刀且另外2人出石头或某人出布且另外2人出剪刀，概率为， 则3个人猜拳既无人淘汰且未决出胜利者的概率为. 考虑2个人猜拳，每人有3种选择，共9种可能性， 出拳相同的情况有3种，出拳不同情况有6种，出拳不同必定决出胜利者，故2个人猜拳一次决出胜利者的概率为， 当时，分类讨论如下： 若到第回合时，仍有3个人猜拳，且在第回合决出胜利者， 则概率为： 若到第回合时，有2个人猜拳，且在第回合决出胜利者， 则在第回合猜拳淘汰1个，概率为:， 所以， 当时，满足该式，综上，， 在第回猜拳决出胜利者的概率 【题后反思】 求解第n回合决出胜利者的概率，只需明确3个人猜一次拳决出胜利者、淘汰一人、和既无人淘汰且未决出胜利者这三种情况发生的概率，以及2个人猜拳一次决出胜利者的概率，即可分类讨论求解第回合决出胜利者的概率. 【再练一个】 5．如图是一个各棱长均为1米的正四棱锥，现有一只电子蛐蛐在棱上爬行，每次从一个顶点开始，等可能地沿棱爬到相邻顶点，已知电子蛐蛐初始从顶点出发，再次回到顶点时停止爬行. (1)求电子蛐蛐爬行2米后恰好回到顶点的概率； (2)在电子蛐蛐停止爬行时爬行长度不超过4米的条件下，记爬行长度为，求的分布列及其数学期望； (3)设电子蛐蛐爬行米后恰好停止爬行（首次回到顶点）的概率记为，求（用表示）. 【答案】(1) (2)分布列见解析， (3) 【分析】（1）根据独立事件概率公式计算即可； （2）结合条件概率先求离散型随机变量的分布列再求出数学期望； （3）结合等比数列的通项公式求出. 【详解】（1）记事件“电子蛐蛐爬行的第米终点为”，“电子蛐蛐爬行的第米终点为”， “电子蛐蛐爬行的第米终点为”，“电子蛐蛐爬行的第米终点为”， “电子蛐蛐爬行的第米终点为”，“电子蛐蛐爬行米后恰好停止爬行”， 则 （2）记事件“电子蛐蛐停止爬行时，爬行长度不超过4米” 的可能取值为2，3，4，根据条件概率的知识，可得的分布列为 ， ， ， 用表格表示的分布列为： 2 3 4 ． （3）（，）① ② ②－①得： ， 考向六 体育赛制与游戏公平性问题 【典例解读】 例6.（24-25高三上·重庆·开学考试）现有n枚质地不同的游戏币，向上抛出游戏币后，落下时正面朝上的概率为.甲、乙两人用这n枚游戏币玩游戏. (1)甲将游戏币向上抛出10次，用表示落下时正面朝上的次数，求的期望，并写出当为何值时，最大（直接写出结果，不用写过程）； (2)甲将游戏币向上抛出，用表示落下时正面朝上游戏币的个数，求的分布列； (3)将这枚游戏币依次向上抛出，规定若落下时正面朝上的个数为奇数，则甲获胜，否则乙获胜，请判断这个游戏规则是否公平，并说明理由. 【答案】(1)， (2)分布列见解析 (3)公平，理由见解析 【分析】（1）依题意可得随机变量服从二项分布，即可得出期望值，依据二项式性质可得时，最大. （2）写出的所有可能取值，求出对应概率即可求得分布列； （3）根据题意可求得，可知游戏规则是公平的. 【详解】（1）依题意得：每次抛游戏币落下时正面向上的概率均为， 故，于是， 当时，最大. （2）记事件为“第枚游戏币向上抛出后，正面朝上”， 则，Y可取.由事件相互独立， 则. ； ； ； 故分布列为： X 0 1 2 3 P （3）不妨假设按照的顺序抛这n枚游戏币； 记抛第枚游戏币后，正面朝上的游戏币个数为奇数的概率为； 于是； 即，即. 记，则， 故数列为首项是，公差为的等差数列； 故，则， 故，则，因此公平. 【题后反思】 本题是概率综合题，涵盖二项分布期望、分布列及公平性判断.解此类题，要熟悉二项分布、分布列求法，公平性看概率是否相等.需强化对概率模型的识别与应用，提升综合分析和计算能力，应对多考点融合的概率题. 【再练一个】 6．第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日举办，本届亚运会共设40个竞赛大项．其中首次增设了电子竞技项目．与传统的淘汰赛不同，近年来一个新型的赛制“双败赛制”赢得了许多赛事的青睐．传统的淘汰赛失败一场就丧失了冠军争夺的权利，而在双败赛制下，每人或者每个队伍只有失败了两场才会淘汰出局，因此更有容错率．假设最终进入到半决赛有四支队伍，淘汰赛制下会将他们四支队伍两两分组进行比赛，胜者进入到总决赛，总决赛的胜者即为最终的冠军．双败赛制下，两两分组，胜者进入到胜者组，败者进入到败者组，胜者组两个队伍对决的胜者将进入到总决赛，败者进入到败者组．之前进入到败者组的两个队伍对决的败者将直接淘汰，胜者将跟胜者组的败者对决，其中的胜者进入总决赛，最后总决赛的胜者即为冠军，双败赛制下会发现一个有意思的事情，在胜者组中的胜者只要输一场比赛即总决赛就无法拿到冠军，但是其它的队伍却有一次失败的机会，近年来从败者组杀上来拿到冠军的不在少数，因此很多人戏谑这个赛制对强者不公平，是否真的如此呢？    这里我们简单研究一下两个赛制，假设四支队伍分别为A、B、C、D，其中A对阵其他三个队伍获胜概率均为p，另外三支队伍彼此之间对阵时获胜概率均为．最初分组时AB同组，CD同组． (1)若，在淘汰赛赛制下，A、C获得冠军的概率分别为多少？ (2)分别计算两种赛制下A获得冠军的概率（用表示），并据此简单分析一下双败赛制下对队伍的影响，是否如很多人质疑的“对强者不公平”？ 【答案】(1)获得冠军的概率分别为，； (2)淘汰赛赛制下获得冠军的概率为，“双败赛制”赛制下获得冠军的概率为，双败赛制下对强者更有利. 【分析】（1）利用独立事件乘法、互斥事件加法公式求获得冠军的概率； （2）分别求出不同赛制下获得冠军的概率，研究哪种赛制下获得冠军的概率更大，即可得结论. 【详解】（1）获得冠军：组获胜，再由与组胜者决赛并胜出， 获得冠军的概率为， 获得冠军：组获胜，再由与组胜者决赛并胜出， 获得冠军的概率为. （2）淘汰赛赛制下，获得冠军的概率为， “双败赛制”赛制下，讨论A进入胜者组、败者组两种情况， 当A进入胜者组，若在胜者组A失败，后两局都胜，方可得冠军； 若在胜者组A胜利，后一局（与败者组胜者比赛）胜，方可得冠军； 当A进入败者组，后三局都胜，方可得冠军； 综上，获得冠军的概率. 令， 若为强队，则，故， 所以，双败赛制下对强者更有利. 【点睛】关键点点睛：第二问，根据“双败赛制”赛制的描述讨论A进入胜者组、败者组两种情况，分别求出得冠军的概率为关键. 考向七 商业决策与方案选择问题 【典例解读】 例7.强基计划主要选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质或基础学科拔尖的学生，聚焦高端芯片与软件、智能科技、新材料、先进制造和国家安全等关键领域，由有关高校结合自身办学特色，合理安排招生．强基计划的校考由试点高校自主命题，校考过程中通过笔试才能进入面试环节． (1)某研究机构为了更好地服务于高三学生，随机抽取了某校5名高三学生，对其记忆力测试指标和分析判断力测试指标进行统计分析，得到下表数据： 7 9 10 11 13 3 4 5 6 7 请用线性相关系数判断该组数据中与之间的关系是否可用线性回归模型进行拟合；（精确到） (2)现有甲、乙两所高校的笔试环节都设有三门考试科目，某考生参加每门科目考试是否通过相互独立．若该考生报考甲高校，每门笔试科目通过的概率均为；该考生报考乙高校，每门笔试科目通过的概率依次为，其中．若该考生只能报考甲、乙两所高校中的一所，以笔试中通过的科目数的数学期望为依据作出决策，得知该考生更有希望通过乙大学的笔试，求的取值范围． 参考数据：，，； 参考公式：线性相关系数：．一般地，时，认为两个变量之间存在较强的线性相关关系． 【答案】(1)与之间的线性相关性较强，可用线性回归模型进行拟合 (2) 【分析】（1）根据相关系数公式直接计算即可； （2）利用二项分布期望公式可得甲高校考试通过科目数的期望，分别求出通过乙高校的考试科目数各种可能值的概率，然后由期望公式计算，最后根据期望之间的关系求解即可. 【详解】（1）由题意，可得：，， ， ， 所以， 所以与之间的线性相关性较强，可用线性回归模型进行拟合． （2）通过甲高校的考试科目数，则， 设通过乙高校的考试科目数为，则的可能取值为，则： ， ， ， ， 则， 由题意知，，即，解得， 又因为，综上，的取值范围为． 【题后反思】 本题考查线性相关系数与期望决策.做线性相关题，要熟练公式计算，精准代入数据；期望决策需先确定分布，再算期望比较.要重视基础公式应用，提升数据处理和决策分析能力，应对统计与概率综合题. 【再练一个】 7．某商场为了回馈顾客，开展一个抽奖活动，在抽奖箱中放8个大小相同的小球，其中红球4个，白球4个.规定：①每次抽奖时顾客从抽奖箱中随机摸出两个小球，如果摸出的两个小球颜色相同即为中奖，颜色不同即为不中奖；②每名顾客只能选一种抽奖方案进行抽奖，方案如下： 方案一：共进行两次抽奖，第一次抽奖后将球放回抽奖箱，再进行第二次抽奖； 方案二：共进行两次抽奖，第一次抽奖后不将球放回抽奖箱，直接进行第二次抽奖. (1)顾客甲欲参加抽奖活动，请从中奖的数字特征角度为顾客甲提供决策依据； (2)已知有300位顾客按照方案二抽奖，则其中中奖2次的人数为多少的概率最大？ 【答案】(1)答案见解析 (2)60 【分析】（1）方案一就两次独立重复试验，求抽一次中奖后，按二项分布求解即可；方案二的所有可能取值为0，1，2，注意计算第二次的时候数量较少，按照分步计数原理作乘即可. （2）由（1）知方案二抽奖中奖2次的概率为，中奖2次的人数服从二项分布，则，通过单调性找最值即可. 【详解】（1）方案一：设中奖次数为，若第一次抽奖后将球放回抽奖箱，再进行第二次抽奖， 则每次中奖的概率为，因为两次抽奖相互独立，所以中奖次数服从二项分布， 即，所以的数学期望为， 方差为； 方案二：设中奖次数为，若第一次抽奖后不将球放回抽奖箱，直接进行第二次抽奖， 中奖次数的所有可能取值为0，1，2，则， ，， 所以的分布列为 0 1 2 所以的数学期望为， 方差， ，，两种方案中奖次数的期望相同，但方案一的方差较小，中奖的波动性小， 稳定性较好，故从中奖的数字特征角度来看，顾客甲选方案一较好. （2）每位顾客按照方案二抽奖中奖2次的概率为，则300位顾客按照方案二抽奖， 其中中奖2次的人数， 恰有人中奖2次的概率为，，， 令，解得， 于是，当时，； 当时，，故当时，最大， 所以300位顾客按照方案二抽奖，则其中中奖2次的人数为60的概率最大. （24-25高二下·山东临沂·期中） 8．甲、乙、丙、丁四人相互做传球训练，第一次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给其他人中的任意1人，设第n次传球后，球在甲手中的概率为．则（   ） A． B．若第3次传球后，戊开始加入传球训练，则 C．若第2次传球后，球恰好在丁手中，他将球传出后便离开了，则 D．若添加规定：当球在甲手中时，甲只能传给乙，乙再等可能传给其他人，则 【答案】AC 【分析】对于A，由题意可得传球递推关系，且初始条件，由递推关系可算得； 对于B，由A可知当传球3次后，球在甲手中的概率，接下来的递推关系不同，可算得此时； 对于C，第3次传球后球在甲手中的概率，接下来递推关系为，由此可算得； 对于D，添加规定后传球递推关系仍为，所以的值与A选项相同，由此可得出答案. 【详解】对于A，由题意可知第次传球后，球在甲手中的概率为，所以在其他人手中的概率为， 因为每次传球时，传球者都等可能地将球传给其他3人中的任意1人， 所以第次传球后，球在甲手中的概率为，可以得到传球递推关系： ，且，由此可算得，所以A正确； 对于B，当传球3次后，球在甲手中的概率，而接下来， ，所以B错误； 对于C，第2次传球后，球恰好在丁手中，第3次传球丁传给甲、乙、丙的概率均相等为， 故第3次传球后球在甲手中的概率，而接下来，， ，所以C正确； 对于D，添加的规定不影响传球递推关系：，所以，所以D错误． 故选：AC. （2025·内蒙古包头·二模） 9．高三某班为缓解学生高考压力，班委会决定在周班会课上进行“听音乐，猜歌名”的趣味游戏比赛，现将全班学生分为9组，每组5人，剩余的学生做裁判．比赛规则如下：比赛共分为两轮，第一轮比赛中9个小组分三场进行比赛，每场比赛有3个小组参加，在规定的时间内猜对歌名最多的小组获胜，获胜的三个小组进入第二轮比赛；第二轮进行一场比赛，选出获胜队伍．已知甲、乙、丙3个小组的学生能成功猜对歌名的概率分别为． (1)现从甲组中任选一名学生进行歌曲试猜，记5首歌曲中猜对的歌曲数为，求随机变量的数学期望； (2)若从甲、乙、丙3个小组中任选一名学生参加猜歌游戏，求该学生猜对歌曲的概率； (3)若第二轮比赛中丁、戊两组并列第一，则设置以下游戏决定最终获胜的小组，游戏规则如下：从丁、戊小组中任选一名代表，从装有3个白球和2个红球的不透明的盒子中有放回地随机摸出一个球，摸出白球记分，摸出红球记分，以0分开始计分，恰好获得分或分则结束摸球．若该代表获得分，则该代表所在小组获得胜利，否则另外一组获得胜利．若该代表来自戊组，试估计戊组获胜的概率． 【答案】(1)4 (2) (3) 【分析】（1）分析可知，由二项分布的期望公式可得出的值； （2）记事件、、分别表示该学生来自甲、乙、丙组，事件表示该同学能猜对，利用全概率公式可求得的值； （3）记得分为的概率为，求得，推导出数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，可求出数列的通项公式，利用累加法可求得的值，即为所求. 【详解】（1）由题意可知，，由二项分布的期望公式可得． （2）记事件分别表示该学生来自甲，乙，丙组，事件B表示该同学能猜对，所以，， 由全概率公式可得． 所以，该学生能猜对的概率为． （3）由题意可知，积分增加1分的概率为，增加2分的概率为， 记得分为的概率为，且， ， 所以，，且， 所以，数列是首项为，公比为的等比数列， 则， 由累加法可得 ． 因此，戊组获胜的概率为． 10．现随机对件产品进行逐个检测，每件产品是否合格相互独立，且每件产品不合格的概率均为． (1)当时，记20件产品中恰有2件不合格的概率为，求的最大值点； (2)若这件产品中恰好有件不合格，以（1）中确定的作为的值，则当时，若以使得最大的值作为的估计值，求的估计值． 【答案】(1) (2)449或450 【分析】（1）根据二项分布概率公式可得，利用导数可确定的单调性，从而得到最大值点； （2）根据二项分布概率公式得到，利用，再利用组合数公式求出的范围即可. 【详解】（1）由题意知， ， ，， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 当时最大，故； （2）令， 由， 得， 即， 解得， 故的估计值为449或450． 11．AI机器人，即人工智能机器人，是一种基于人工智能（AI）技术的机器人，目前应用前景广阔．我国某企业研发的家用AI机器人，其生产共有四道工序，前三道工序的生产互不影响，第四道工序是出厂检测工序，包括智能自动检测与人工抽检，其中智能自动检测为次品的会被自动淘汰，合格的进入流水线进行人工抽检.已知该家用机器人在生产中前三道工序的次品率分别为，，. (1)已知某批次的家用机器人智能自动检测显示合格率为99%，求在人工抽检时，工人抽检一个家用AI机器人恰好为合格品的概率； (2)该企业利用短视频直播方式扩大产品影响力，在直播现场进行家用AI机器人推广活动，现场人山人海，场面火爆，从现场抽取幸运顾客参与游戏，游戏规则如下：参与游戏的幸运顾客，每次都要有放回地从10张分别写有数字1～10的卡片中随机抽取一张，指挥家用机器人运乒乓球，直到获得奖品为止，每次游戏开始时，甲箱中有足够多的球，乙箱中没有球，若抽的卡片上的数字为奇数，则从甲箱中运一个乒乓球到乙箱；若抽的卡片上的数字为偶数，则从甲箱中运两个乒乓球到乙箱，当乙箱中的乒乓球数目达到9个时，获得奖品优惠券400元；当乙箱中的乒乓球数目达到10个时，获得奖品大礼包一个，获得奖品时游戏结束. ①求获得“优惠券”的概率； ②若有32个幸运顾客参与游戏，每人参加一次游戏，求该企业预备的优惠券总金额的期望值. 【答案】(1)； (2)①；②8525元. 【分析】（1）根据题意可得三道工序后是合格品的概率为，再利用条件概率公式求出在家用机器人智能自动检测合格的前提下人工抽检合格的概率为； （2）①根据题意抽到奇数和偶数的概率都为，设乙箱中有个球的概率为，由获奖规则并利用等比数列前项和公式可得，计算出获得“优惠券”的概率为； ②易知参与游戏的32个幸运顾客中获得优惠券的人数，由二项分布求出期望值为8525元. 【详解】（1）设家用机器人经过前三道工序后是合格品的概率为， 则， 设家用机器人智能自动检测合格为事件，人工抽检合格为事件，则 ，， 所以， 即在人工抽检时，工人抽检一个家用AI机器人恰好为合格品的概率约为； （2）①设乙箱中有个球的概率为（），抽到奇数和偶数的概率都为， 若第一次抽到奇数，家用机器人运1个乒乓球，概率为，即， 若要使乙箱中有2个球，有两类情况，所以， 乙箱中有（）个球的情况有： ⅰ家用机器人已运个球，又抽出偶数，其概率为； ⅱ家用机器人已运个球，又抽出奇数，其概率为； 所以，且， 所以，所以， 即当时，数列是公比为的等比数列， 所以， 又，，所以当时也成立， 所以，，……，， 上述各式相加得 ， 又，所以，（）， 经检验，当时上式也成立， 所以（，）， 所以，即获得“优惠券”的概率为； ②设参与游戏的32个幸运顾客中获得优惠券的人数为，则， 所以的期望， 设优惠券的总金额为元，则， 所以32个幸运顾客中获得优惠券总金额的期望值（元）， 故该企业预备的优惠券总金额的期望值为8525元. 【点睛】方法点睛：在求解概率统计与数列结合的问题时，找到与（或）之间的关系，再利用数列的递推关系求出对应的通项公式即可求得出相应概率. （24-25高三下·重庆·阶段练习） 12．某汽车公司研发了一款新能源汽车，并在出厂前对100辆汽车进行了单次最大续航里程的测试．现对测试数据进行整理，得到如下的频率分布直方图： (1)估计这100辆汽车的单次最大续航里程的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）； (2)由频率分布直方图计算得样本标准差s的近似值为49.75，根据大量的汽车测试数据，可以认为这款汽车的单次最大续航里程X近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本标准差s． （ⅰ）利用该正态分布，求； （ⅱ）假设某企业从该汽车公司购买了20辆该款新能源汽车，记Z表示这20辆新能源汽车中单次最大续航里程的车辆数，求； 参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，． (3)为迅速抢占市场举行促销活动，销售公司现面向意向客户推出“玩游戏，赢大奖，送汽车模型”活动，客户可根据抛掷骰子向上的点数，遥控汽车模型在方格图上行进，若汽车模型最终停在“幸运之神”方格，则可获得购车优惠券3万元；若最终停在“赠送汽车模型”方格，则可获得汽车模型一个．方格图上标有第0格，第1格，第2格，……，第25格，第26格．汽车模型开始在第0格，客户每掷一次骰子，汽车模型向前移动一次．若掷出1，2，4，5点，汽车模型向前移动一格（从第k格到第格），若掷出3，6点，汽车模型向前移动两格（从第k格到第格），直到移到第25格（幸运之神）或第26格（赠送汽车模型）时游戏结束．设汽车模型移到第n（）格的概率为试证明数列（）是等比数列，求出数列的通项公式，并比较和的大小． 【答案】(1)300千米 (2)， (3)证明见解析，， 【分析】（1）根据频率分布直方图中平均数的计算公式即可求解， （2）根据正态分布的对称性即可求解（ⅰ），根据二项分布的期望公式即可求解. （3）根据可得为等比数列，即可求解通项，利用作差即可求解和的大小. 【详解】（1）（千米）, （2）（ⅰ）因为服从正态分布所以， （ⅱ）因为服从二项分布所以， （3）由题意可知，汽车模型移动到第格的情况有且也只有两种： ①汽车模型先到第格，又挪出3，6点，其概率为， ②汽车模型先到第格，又挪出1，2，4，5点，其概率为， 所以则 又， 则数列是以为首项，以为公比的等比数列， 所以， ， 则，当时，也满足上式， 所以， 特别地，汽车模型移动到第26格的情况仅有一种，从第24格连跳2格至第26格， ，所以， 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$