期末复习：数列不等式恒成立问题复习讲义-2025-2026学年高二数学下学期人教B版选择性必修第三册

期末复习：数列不等式恒成立问题复习讲义 期末复习：数列不等式恒成立问题复习讲义 知识点解析 一、核心思路 数列恒成立：， / / 恒成立 等价转化最值： 1. 恒成立 1. 恒成立 1. 恒成立 （有上界、放缩求和） 二、第一步：判断数列单调性（求最值前提） 1. 作差法（最常用） ： · ：递增，最小值 ，无最大值（趋向极限） · ：递减，最大值 ，无最小值 · 先负后正：存在极小值点，全局最小在拐点 2. 作商法（正项数列） 递增 3. 函数法 把 换 ，构造 ，导数看单调性（注意 是正整数，端点取邻近整数） 三、四大必考题型 题型 1：等差、等比基础型恒成立 例： 等差， 对 恒成立，求 步骤： 1. 写出通项 1. 递增：， 1. 递减： 趋向 ，无下界 1. 常数列： 题型 2：递推数列通项 + 恒成立 例：， 恒成立 1. 先求通项（构造等比、累乘、累加） 1. 判断单调性，取最小项，参数小于最小值 题型 3：前 n 项和不等式恒成立（高频难点） 形式： 对所有 恒成立 两种路线： 1. 求出 解析式 看单调性：若 递增，则极限 1. 裂项放缩求和（无法直接求 时） 标准放缩模板： · · · 放缩后裂项相消，得到 某常数，再对比参数。 题型 4：含参数分离型恒成立（压轴主流） 式子： 对 恒成立 分离参数法万能步骤 1. 把含 放一边，其余移另一边： 或 1. 问题转为求 的最大/最小值 1. ； 示例： 恒成立 令 ，判断递减，，得 四、特殊难点：奇偶分段数列 奇偶表达式不同，要分开求： 奇时求一组最值， 偶时求一组最值； 恒成立要求两组条件同时满足，参数取交集。 五、放缩关键原则（极易扣分） 1. 放缩尺度不能过大：要保证放缩后能收敛到定值 1. 有时第一项不动，从 开始放缩，精度更高 1. 证明 ：全部放大；证明 ：全部缩小 六、标准答题模板 1. 整理不等式，能分离参数优先分离 1. 构造 ，作差 判单调性 1. 算出 最大/最小值 1. 写出参数范围 若无法求通项：先放缩→裂项求和→找和的上/下界→对比参数。 例题分析 例1．（25-26高二上·北京西城·期中）已知为数列的前项和，满足，.数列是等差数列，且，. (1)求数列和的通项公式； (2)设，求数列的前项和； (3)若，不等式恒成立，直接写出实数的最大值. 例2．（24-25高二下·北京延庆·期中）已知等差数列的前项和为，且，. (1)求的通项公式及的最大值； (2)无穷数列的首项为3，前项和为，在下列三个条件中选择一个，使得数列为等比数列. 条件①：，；条件②：；条件③：，. （i）求数列的前项和； （ii）若对都有，直接写出的取值范围（不要求计算过程）. 例3．（25-26高二下·辽宁大连·期中）设是数列的前项和，已知，. (1)证明：是等比数列； (2)若，求数列的前项和，证明：； (3)记，若不等式恒成立，求实数的范围. 例4．（2026·辽宁抚顺·二模）已知数列和满足. (1)若，求的值； (2)若，且恒成立，求t的取值范围. 变式训练 变式1．（24-25高二下·北京西城·月考）已知等差数列满足：，且成等比数列，数列的前n项和为． (1)求数列的通项公式，前n项和； (2)是否存在正整数n，使得？若存在，求n的最小值；若不存在，说明理由． 变式2．（24-25高二下·北京石景山·期中）已知数列为等差数列，且满足，，数列的前项和为，且，. (1)求数列的通项公式； (2)证明数列是等比数列，并求的通项公式； (3)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围. 变式3．（24-25高二下·辽宁大连·阶段检测）已知数列满足： (1)求，，的值； (2)求数列的前n项和公式； (3)令，如果对任意，都有，求实数t的取值范围． 变式4．（25-26高二下·辽宁铁岭·期中）已知数列满足． (1)证明：单调递减； (2)证明：，并求的前n项和； (3)记前n项的平均数为，中位数为，讨论时与的大小． 实战演练 1．（25-26高二下·江西九江·期中）已知数列的前项和为，，数列满足点在直线上. (1)求数列，的通项和； (2)令，求数列的前项和； (3)已知，求对所有的正整数都有成立的的范围. 2．（25-26高二下·辽宁沈阳·开学考试）已知数列满足，令且数列的前项和为， (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和为； (3)若对，不等式恒成立，求实数的取值范围． 2 学科网（北京）股份有限公司 $期末复习：数列不等式恒成立问题复习讲义 期末复习：数列不等式恒成立问题复习讲义 知识点解析 一、核心思路 数列恒成立：， / / 恒成立 等价转化最值： 1. 恒成立 1. 恒成立 1. 恒成立 （有上界、放缩求和） 二、第一步：判断数列单调性（求最值前提） 1. 作差法（最常用） ： · ：递增，最小值 ，无最大值（趋向极限） · ：递减，最大值 ，无最小值 · 先负后正：存在极小值点，全局最小在拐点 2. 作商法（正项数列） 递增 3. 函数法 把 换 ，构造 ，导数看单调性（注意 是正整数，端点取邻近整数） 三、四大必考题型 题型 1：等差、等比基础型恒成立 例： 等差， 对 恒成立，求 步骤： 1. 写出通项 1. 递增：， 1. 递减： 趋向 ，无下界 1. 常数列： 题型 2：递推数列通项 + 恒成立 例：， 恒成立 1. 先求通项（构造等比、累乘、累加） 1. 判断单调性，取最小项，参数小于最小值 题型 3：前 n 项和不等式恒成立（高频难点） 形式： 对所有 恒成立 两种路线： 1. 求出 解析式 看单调性：若 递增，则极限 1. 裂项放缩求和（无法直接求 时） 标准放缩模板： · · · 放缩后裂项相消，得到 某常数，再对比参数。 题型 4：含参数分离型恒成立（压轴主流） 式子： 对 恒成立 分离参数法万能步骤 1. 把含 放一边，其余移另一边： 或 1. 问题转为求 的最大/最小值 1. ； 示例： 恒成立 令 ，判断递减，，得 四、特殊难点：奇偶分段数列 奇偶表达式不同，要分开求： 奇时求一组最值， 偶时求一组最值； 恒成立要求两组条件同时满足，参数取交集。 五、放缩关键原则（极易扣分） 1. 放缩尺度不能过大：要保证放缩后能收敛到定值 1. 有时第一项不动，从 开始放缩，精度更高 1. 证明 ：全部放大；证明 ：全部缩小 六、标准答题模板 1. 整理不等式，能分离参数优先分离 1. 构造 ，作差 判单调性 1. 算出 最大/最小值 1. 写出参数范围 若无法求通项：先放缩→裂项求和→找和的上/下界→对比参数。 例题分析 例1．（25-26高二上·北京西城·期中）已知为数列的前项和，满足，.数列是等差数列，且，. (1)求数列和的通项公式； (2)设，求数列的前项和； (3)若，不等式恒成立，直接写出实数的最大值. 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）由递推关系判断数列为等比数列进行求解，再由是等差数列进行求解； （2）分组进行求和； （3）不等式转化为，令，判断单调性进行求解． 【详解】（1）因为①， 故当时，，得； 当时，②， ①－②得，，即. 由，得，所以数列为等比数列，公比. 因为，所以. 设等差数列的公差为. 由于， 所以，解得. 所以. （2）由题意知， 所以. （3）由得，， 得， 令， 则， 当时，， 当时，， 即， 则当时，取得最小值为：， 故， 即实数的最大值． 例2．（24-25高二下·北京延庆·期中）已知等差数列的前项和为，且，. (1)求的通项公式及的最大值； (2)无穷数列的首项为3，前项和为，在下列三个条件中选择一个，使得数列为等比数列. 条件①：，；条件②：；条件③：，. （i）求数列的前项和； （ii）若对都有，直接写出的取值范围（不要求计算过程）. 【答案】(1)，最大值； (2)（i）选择条件③，；（ii）. 【分析】（1）根据等差数列的通项公式和前项和公式计算出即可求解； （2）先根据等比数列的定义，判断出选择条件③使得数列为等比数列，（i）根据分组求和法求数列的前项和即可；（ii）分类讨论当为奇数和偶数时，利用分离参数法求解恒成立问题即可得出的取值范围. 【详解】（1）设等差数列的公差为，因为，， 所以，解得， 所以. 令，得，所以当或时，取最大值； （2）选择条件③. 对于条件①：，，，故数列为等差数列； 对于条件②：，无法判定数列为等比数列； 对于条件③：， 因为，，，所以. 所以，即，故数列是首项为3，以为公比的等比数列. （i）记数列的前项和为， 则 （ii）由（1）知，数列是首项为3，以为公比的等比数列， 所以数列的前项和为， 由得， 当为偶数时，，即，令，则，又在单调递增，故，所以； 当为奇数时，，即，令，则，又，所以； 综上所述，. 例3．（25-26高二下·辽宁大连·期中）设是数列的前项和，已知，. (1)证明：是等比数列； (2)若，求数列的前项和，证明：； (3)记，若不等式恒成立，求实数的范围. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据和的关系，通过作差法，求出递推公式，构造数列，通过定义法证明是等比数列即可； （2）根据裂项公式对数列进行化简，再根据裂项求和法，求出数列的前项和，说明即可； （3）根据数列通项公式，求出不等式，再根据参变分离法，求出参数满足的条件，进而构造函数，根据作差法，求出函数最大值，进而判断参数范围； 【详解】（1）已知，当时，， 两式相减得：， 整理得：，即， 当时，，解得， 可知满足条件， 又，因此是首项为1，公比为2的等比数列. （2）由（1）可知，所以， 所以 所以， 因为，所以. （3）由得：，因此， 化简不等式左边：， 因此， 不等式恒成立，等价于对任意恒成立， 设，则， 当时，解得，即时，； 当时，解得，即时，， 因此的最大值为，故， 即的取值范围为. 例4．（2026·辽宁抚顺·二模）已知数列和满足. (1)若，求的值； (2)若，且恒成立，求t的取值范围. 【答案】(1)98 (2) 【分析】（1）直接利用通项公式与递推关系计算即可； （2）根据等差数列求和公式及裂项相消法先计算和，再解不等式即可. 【详解】（1）因为，所以，，， 所以. （2）因为， 所以 则， 所以， 因为，所以，即. 由恒成立，可得， 则，得， 则，即t的取值范围为. 变式训练 变式1．（24-25高二下·北京西城·月考）已知等差数列满足：，且成等比数列，数列的前n项和为． (1)求数列的通项公式，前n项和； (2)是否存在正整数n，使得？若存在，求n的最小值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)答案见解析 (2)存在，n＝41 【分析】（1）由已知列式求解公差，可得数列的通项公式及前n项和； （2）把Sn分类代入，求解得答案． 【详解】（1）设等差数列的公差为d， 由，且成等比数列， 得，解得或， 当时，，； 当时，，． （2）当时，，此时不存在正整数n，使得成立； 当时，由，得，解得或． 此时存在正整数，使得成立． 变式2．（24-25高二下·北京石景山·期中）已知数列为等差数列，且满足，，数列的前项和为，且，. (1)求数列的通项公式； (2)证明数列是等比数列，并求的通项公式； (3)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2)证明见解析，； (3). 【分析】（1）根据等差数列定义求出其公差即可得通项公式； （2）由数列中与的关系式，利用等比数列定义可证明结论，即可写出等比数列的通项公式； （3）依题意可得恒成立，利用作差法得出其单调性即可得的最大值为，可求得实数的取值范围. 【详解】（1）设数列的公差为， 由，可得，解得； 所以， 即数列的通项公式为； （2）由可得， 两式相减可得，即可得， ，则为定值， 因此可知数列是以为首项，公比的等比数列， 可得，显然首项也符合上式； 即的通项公式为； （3）由（2）可知； 由可得， 因此可得恒成立， 令，则； 显然可知当时，为递增，当，为递减； 且易知，，因此可知的最大值为， 可得， 即实数的取值范围为. 变式3．（24-25高二下·辽宁大连·阶段检测）已知数列满足： (1)求，，的值； (2)求数列的前n项和公式； (3)令，如果对任意，都有，求实数t的取值范围． 【答案】(1)，， (2)； (3). 【分析】（1）分别令求解即可； （2）利用和的关系求出递推公式，然后使用构造法证明为等比数列，根据等比数列求和公式可得； （3）记则，分析正负求得最大值，然后可解. 【详解】（1）由①， 令得，得； 令得，得； 令得，得. （2）当时，②， ①-②得：，即，即， 又，所以数列是以为首项和为公比的等比数列， 所以数列的前n项和为. （3）由（2）可知，所以， 因为对任意恒成立， 即对任意恒成立， 记则， 令，解得， 令，解得， 令，解得， 所以当时单调递增，时单调递减， 即有， 所以，故，即， 解得或，所以t的取值范围为. 变式4．（25-26高二下·辽宁铁岭·期中）已知数列满足． (1)证明：单调递减； (2)证明：，并求的前n项和； (3)记前n项的平均数为，中位数为，讨论时与的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析， (3)当时，，当时， 【分析】（1）通过作商比较法求出,利用组合数公式化简组合数比值,推导出比值为,小于1且数列各项为正,由此证得数列单调递减. （2）构造辅助函数,借助组合数恒等式化简,再结合组合数关系式变形,证得裂项恒等式成立；利用裂项相消求和,中间项全部抵消,代入的值,直接得出数列前项和. （3）先由数列单调性推出相邻两项差值构成的数列也单调递减,依据中位数定义,分、为奇数、为偶数三种情况讨论；利用递减差数列的项大小关系放缩,配对首尾项作不等式累加,结合前项和与中位数的关系式,比较平均数和中位数的大小. 【详解】（1）由题意可得 因为， 所以． 因为且，所以，故单调递减． （2）令，则， 因为， 所以. 因为，所以． 则，所以得证． ， 又．所以． （3）由（1）可知，设， ，且. 所以，故单调递减． 当时，； 当时，分奇偶情况讨论： 若n为奇数，设，，中位数， 对于任意满足的正整数k，有，，两等式的右端均含有项， 由于单调递减，所以，即， 将这个不等式相加得， 两边同时加上，有， 两边同时除以n，； 若n为偶数，设，，中位数， 对于任意满足的正整数k，有，， 同理，两等式含有的项数相同且递减， 故，即， 将这个不等式相加得， 加上中间两项，得， 两边同时除以n．得． 综上，当时，，当时，． 实战演练 1．（25-26高二下·江西九江·期中）已知数列的前项和为，，数列满足点在直线上. (1)求数列，的通项和； (2)令，求数列的前项和； (3)已知，求对所有的正整数都有成立的的范围. 【答案】(1)，； (2) (3) 【分析】（1）根据与的关系，结合等比数列的定义求的通项公式，结合等差数列的定义求的通项公式； （2）由（1）可得，再利用错位相减法求解即可； （3）由（1）可得，根据数列的单调性可得最大值为，结合题意可得恒成立，进而利用基本不等式运算求解即可. 【详解】（1）， 当时，，即， 当时，，， ，， 数列是首项为，公比为2的等比数列. ，， 又点在直线上， ，即，又， 数列是首项为，公差为2的等差数列. . （2）， ，① ，② 因此①②得：. 即 . （3）由（1）知当，， ， 数列为单调递减数列， 当时，，即最大值为， 由可得， 而，当且仅当时取等号， . 2．（25-26高二下·辽宁沈阳·开学考试）已知数列满足，令且数列的前项和为， (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和为； (3)若对，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据退位作差即可求得的通项公式； （2）由（1）求得，利用裂项相消法求得； （3）由（2）将不等式转化为对恒成立，令，判断的单调性，求出的最小值，得解. 【详解】（1）因为，① 所以，，② ①②得，整理得，， 又当时，， 所以. （2）由（1），，，， ， . （3）由（2），， 所以不等式，即对恒成立， 令，则，， 所以当时，，即， 当时，， 当时，，即， 所以， 所以的最小值为，所以，即的取值范围为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $