函数恒成立求参数问题讲义-2025-2026学年高二下学期数学人教B版选择性必修第三册

函数恒成立求参数问题讲义 函数恒成立求参数问题讲义 知识点解析 一、核心原理 将函数不等式恒成立条件转化为函数最值的判定与求解，核心依据：对定义域内任意，恒成立；恒成立（为参数）。本质是通过导数研究函数的单调性、极值、最值，结合参数分离、分类讨论等方法，确定参数与函数最值的不等关系，核心是定最值，以最值定参数边界。 二、通用解题思路（两大主流法，优先参数分离，复杂情况分类讨论） 方法1：参数分离法（首选，无分类冗余，核心：分参→求函数最值→定范围） 适用场景 参数可单独分离到不等式一侧，分离后函数部分不含参数，且定义域内函数表达式有意义。 四步解题思路 1. 分离参数：将不等式变形为、或、形式（为参数，仅含自变量），注意不等号方向随系数符号同步反转（如）。 2. 确定的定义域：明确原函数的定义域，即为的有效定义域。 3. 求的最值/确界：用导数法研究的单调性、极值，求出其在定义域上的最小值或最大值；若函数无最值（如单调趋近于某常数），则求下确界/上确界（极限值）。 4. 定参数范围：根据分离结果直接推导—— - 恒成立； - 恒成立； - 严格不等号（/）结合函数能否取到最值判定是否含等号。 方法2：分类讨论法（适用于参数无法分离/分离后函数复杂，核心：构函数→求导分类→定最值→解不等式） 适用场景 参数与函数自变量紧密结合（如含参二次函数、含参指数/对数函数），无法分离或分离后形式复杂，求最值难度更高。 五步解题思路 1. 构造含参函数：将不等式移项整理为或（定义域为），确定研究对象。 2. 求导分析单调性：对求关于的导数，化简后根据参数的临界值（如导数为0的根、导数系数为0的值）将参数划分为不同区间。 3. 分类讨论函数最值：对每个参数区间，判断的符号，确定在定义域上的单调性、极值点，进而求出该区间下的最小值或最大值。 4. 列恒成立不等式：令各区间下的（或），解关于的不等式，得到该区间下的参数取值范围。 5. 整合范围：取各区间下参数范围的交集/并集（根据分类标准），得到最终参数范围。 三、三大高频考向及专属解法 考向1：单变量初等函数恒成立（一次/二次/指对/分式函数，定义域为/区间） · 二次函数（上）：直接用配方法求最值，结合开口方向定参数（如恒成立且）； · 指对/分式函数：优先参数分离，再用导数求分离后函数的最值，避免分类讨论。 考向2：含参导数型函数恒成立（如在恒成立） · 解法：若分离参数得，令，求导得，定在处取最小值，故； · 关键：分离后函数的导数化简难度低，优先分参。 考向3：定义域为闭区间的恒成立（如在上恒成立） · 核心：求函数在闭区间上的最值（不仅看极值点，还需比较极值点与区间端点的函数值）； · 解法：用导数找区间内的极值点，计算极值点和、处的函数值，取最小/最大值定参数范围。 四、核心技巧与注意事项 1. 参数分离的细节：分离时确保参数系数的符号固定，若系数含（如，），系数符号随变，不可直接分离，换分类讨论法。 1. 导数法求最值的步骤：定义域→求导→找导数零点→划分单调区间→判断极值（极大/极小）→结合定义域定最值（闭区间必较端点）。 1. 确界与最值的区别：若函数单调递增且，则，无最大值，上确界为，此时恒成立。 1. 分类讨论的临界值选取：优先选导数为0的根是否在定义域内、导数系数为0、函数单调性反转的参数值，确保分类不重不漏。 1. 验证边界值：求出参数范围后，取边界值代入原不等式，验证是否满足恒成立，排除增解；取范围外的数验证，确认不成立。 1. 多变量恒成立：若含两个自变量（如，，），转化为，分别求两个函数的最值即可。 例题分析 例1．（25-26高二下·陕西商洛·月考）已知定义在上的函数. (1)求函数在上的最大值； (2)若对于任意的，恒成立，求整数的最大值. 例2．（25-26高二下·山东青岛·月考）已知函数 (1)讨论的单调性． (2)若恒成立，求实数的取值范围； 例3．（2026·河北廊坊·一模）已知函数，． (1)讨论的单调性； (2)若恒成立，求实数的取值范围． 例4．（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)求在区间上的值域； (3)若对任意的恒成立，求的取值范围． 变式训练 变式1．（2026·辽宁抚顺·模拟预测）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，求的单调区间； (3)若不等式恒成立，求的最大值. 变式2．（25-26高二下·广东佛山·月考）已知函数. (1)当时，证明； (2)当时，求函数的单调区间； (3)若对于任意，都有成立，求实数的取值范围. 变式3．（25-26高二下·天津静海·月考）已知函数，（）. (1)若， ①求的极值； ②求证：在上恒成立； (2)若，且不等式在上恒成立，求a的最小值. 变式4．（2026·北京平谷·一模）已知函数． (1)当，求曲线在点处的切线方程； (2)若，求函数极值点的个数； (3)若对任意的实数恒成立，求实数的取值范围． 实战演练 1．（2026·山东滨州·一模）已知函数． (1)证明：在曲线的所有切线中，有且仅有一条切线的斜率与直线的斜率相等； (2)当时，不等式恒成立，求实数的取值范围． 2．（25-26高二下·天津静海·月考）已知，其中. (1)当时，求函数在的切线方程； (2)函数，若不等式对任意的恒成立，求的取值范围. 2 学科网（北京）股份有限公司 $函数恒成立求参数问题讲义 函数恒成立求参数问题讲义 知识点解析 一、核心原理 将函数不等式恒成立条件转化为函数最值的判定与求解，核心依据：对定义域内任意，恒成立；恒成立（为参数）。本质是通过导数研究函数的单调性、极值、最值，结合参数分离、分类讨论等方法，确定参数与函数最值的不等关系，核心是定最值，以最值定参数边界。 二、通用解题思路（两大主流法，优先参数分离，复杂情况分类讨论） 方法1：参数分离法（首选，无分类冗余，核心：分参→求函数最值→定范围） 适用场景 参数可单独分离到不等式一侧，分离后函数部分不含参数，且定义域内函数表达式有意义。 四步解题思路 1. 分离参数：将不等式变形为、或、形式（为参数，仅含自变量），注意不等号方向随系数符号同步反转（如）。 2. 确定的定义域：明确原函数的定义域，即为的有效定义域。 3. 求的最值/确界：用导数法研究的单调性、极值，求出其在定义域上的最小值或最大值；若函数无最值（如单调趋近于某常数），则求下确界/上确界（极限值）。 4. 定参数范围：根据分离结果直接推导—— - 恒成立； - 恒成立； - 严格不等号（/）结合函数能否取到最值判定是否含等号。 方法2：分类讨论法（适用于参数无法分离/分离后函数复杂，核心：构函数→求导分类→定最值→解不等式） 适用场景 参数与函数自变量紧密结合（如含参二次函数、含参指数/对数函数），无法分离或分离后形式复杂，求最值难度更高。 五步解题思路 1. 构造含参函数：将不等式移项整理为或（定义域为），确定研究对象。 2. 求导分析单调性：对求关于的导数，化简后根据参数的临界值（如导数为0的根、导数系数为0的值）将参数划分为不同区间。 3. 分类讨论函数最值：对每个参数区间，判断的符号，确定在定义域上的单调性、极值点，进而求出该区间下的最小值或最大值。 4. 列恒成立不等式：令各区间下的（或），解关于的不等式，得到该区间下的参数取值范围。 5. 整合范围：取各区间下参数范围的交集/并集（根据分类标准），得到最终参数范围。 三、三大高频考向及专属解法 考向1：单变量初等函数恒成立（一次/二次/指对/分式函数，定义域为/区间） · 二次函数（上）：直接用配方法求最值，结合开口方向定参数（如恒成立且）； · 指对/分式函数：优先参数分离，再用导数求分离后函数的最值，避免分类讨论。 考向2：含参导数型函数恒成立（如在恒成立） · 解法：若分离参数得，令，求导得，定在处取最小值，故； · 关键：分离后函数的导数化简难度低，优先分参。 考向3：定义域为闭区间的恒成立（如在上恒成立） · 核心：求函数在闭区间上的最值（不仅看极值点，还需比较极值点与区间端点的函数值）； · 解法：用导数找区间内的极值点，计算极值点和、处的函数值，取最小/最大值定参数范围。 四、核心技巧与注意事项 1. 参数分离的细节：分离时确保参数系数的符号固定，若系数含（如，），系数符号随变，不可直接分离，换分类讨论法。 1. 导数法求最值的步骤：定义域→求导→找导数零点→划分单调区间→判断极值（极大/极小）→结合定义域定最值（闭区间必较端点）。 1. 确界与最值的区别：若函数单调递增且，则，无最大值，上确界为，此时恒成立。 1. 分类讨论的临界值选取：优先选导数为0的根是否在定义域内、导数系数为0、函数单调性反转的参数值，确保分类不重不漏。 1. 验证边界值：求出参数范围后，取边界值代入原不等式，验证是否满足恒成立，排除增解；取范围外的数验证，确认不成立。 1. 多变量恒成立：若含两个自变量（如，，），转化为，分别求两个函数的最值即可。 例题分析 例1．（25-26高二下·陕西商洛·月考）已知定义在上的函数. (1)求函数在上的最大值； (2)若对于任意的，恒成立，求整数的最大值. 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）由已知得， 则， 当时，，则函数在上单调递增， 当时，，则函数在上单调递减， 所以； （2）由题设知对于任意，恒成立， 即，所以恒成立， 设，则， 令，则， 又，所以恒成立，所以在上单调递增， 又，，所以存在，使得， 即，所以， 所以时，，所以，所以在上单调递减， 所以时，，所以，所以在上单调递增， 则 设，易知在上单调递增， 又，，所以， 所以恒成立， 又，所以整数的最大值为. 例2．（25-26高二下·山东青岛·月考）已知函数 (1)讨论的单调性． (2)若恒成立，求实数的取值范围； 【答案】(1)当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增，在和上单调递减； 当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增，在和上单调递减. (2) 【详解】（1）因为，， 所以. 当时，由，由， 所以在上单调递增，在上单调递减； 当时，由，由或， 所以在上单调递增，在和上单调递减； 当时，在上恒成立，所以在上单调递减； 当时，由，由或， 所以在上单调递增，在和上单调递减. 综上可得：当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增，在和上单调递减； 当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增，在和上单调递减. （2）因为，. 所以，. 设，，则， 由，由. 所以在上单调递增，在上单调递减. 所以， 所以，即实数的取值范围为. 例3．（2026·河北廊坊·一模）已知函数，． (1)讨论的单调性； (2)若恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)当时，在上单调递减；当时，在上单调递减；在上单调递增 (2) 【详解】（1）由题意得， 当时，，在上单调递减， 当时，令，，是增函数， 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增. 综上，当时，在上单调递减；当时，在上单调递减；在上单调递增. （2）当时，由（1）知在上单调递减，不合题意， 当时，恒成立， 当时，由（1）知在上单调递减；在上单调递增， ， 即，解得， 综上，实数m的取值范围为. 例4．（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)求在区间上的值域； (3)若对任意的恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)当时，在上单调递减；当时， 在上单调递增，在上单调递减 (2) (3) 【详解】（1）由题意知， 当时，，所以在上单调递减； 当时，令，解得，令，解得， 所以在上单调递增，在上单调递减． （2）因为，所以是奇函数， 又，当时，，，所以， 令，所以， 当时，，所以即在上单调递减， 又，，所以，使得， 所以当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 又，，， 所以当时，， 又是奇函数，所以当时，． 综上，在区间上的值域为． （3）若对任意的恒成立， 即对任意的恒成立， 记，即对任意的恒成立， ，，， 当时，当，令，则， 所以在上单调递增， 令，则，故在上单调递增， 则，所以当时，， 又，， 故存在唯一的，使得， 当时，，在上单调递减， 所以，此时，不符合题意． 当时，（i）若，令，，则， 故在上单调递增，则， 所以，则在上单调递增， 所以恒成立，即成立，符合题意； （ii）当时，若，则在上单调递增， 又，，所以存在唯一的，使得， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 又，，故存在唯一的，使， 故当时，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 又，， 所以时，，则在上单调递增， 故，即恒成立． 综上，的取值范围是． 变式训练 变式1．（2026·辽宁抚顺·模拟预测）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，求的单调区间； (3)若不等式恒成立，求的最大值. 【答案】(1) (2)单调递增区间为，单调递减区间为 (3) 【详解】（1）当时，，则， 得.又， 故曲线在点处的切线方程为，即. （2）当时，，得， 令，得或（舍去）， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 即的单调递增区间为，单调递减区间为. （3）恒成立，即恒成立， 即恒成立. 令，则， 当时，则，函数在上单调递增， 因为，不符合题意； 当时，由，得，则函数在上单调递增， 由，得，则函数在上单调递减， 故的最大值为， 由和，解得. 综上可得，的最大值为. 变式2．（25-26高二下·广东佛山·月考）已知函数. (1)当时，证明； (2)当时，求函数的单调区间； (3)若对于任意，都有成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2)当时，函数的单调增区间是，无单调减区间；当时，函数的单调减区间是，单调增区间是. (3) 【详解】（1）当时，， 令，时，. 单调递增；单调递减. 则函数，故. 因为，则，故； （2）因为， 则. ①当时，因为，所以， 的单调增区间是，无单调减区间； ②当时，令，解得， 当时，；当， 所以函数的单调减区间是，单调增区间是. 综上，当时，函数的单调增区间是，无单调减区间； 当时，函数的单调减区间是，单调增区间是； （3）因为对于任意，都有成立， 所以，即对于恒成立， 即对于恒成立. 令，，则， 令， 则，所以在区间上单调递增. 故，进而， 所以在区间上单调递增，函数， 要使对于恒成立，只要， 所以，即实数的取值范围是. 变式3．（25-26高二下·天津静海·月考）已知函数，（）. (1)若， ①求的极值； ②求证：在上恒成立； (2)若，且不等式在上恒成立，求a的最小值. 【答案】(1)①极大值为，不存在极小值；②证明见解析 (2)1 【详解】（1）①若，则，， 由得；得； 则在上单调递增，在上单调递减， 故的极大值为，不存在极小值. ②要证，即证，即证， 令，则， 故在上单调递减，则， 故，命题得证； （2）因为不等式在上恒成立， 所以在上恒成立， 所以在上恒成立. 令， 则 因为，所以，， 又在上是增函数，， 所以存在，使得， 当时，，；当时，，； 则在上单调递增，在上单调递减， 则，所以， 因为，所以, 又因为，所以a的最小值为. 变式4．（2026·北京平谷·一模）已知函数． (1)当，求曲线在点处的切线方程； (2)若，求函数极值点的个数； (3)若对任意的实数恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)2个 (3) 【详解】（1）当时，，所以． 所以． 所以曲线在点处的切线方程为， 即． （2）由，得， 令，则． 当时，，当时，， 所以在区间上是减函数，在区间上是增函数． 所以的最小值为． ， 又在单调递减，在单调递增， 故存在，使得， 所以，在区间上，在区间上． 所以，在区间上单调递增，在区间上单调递减， 故是函数的极大值点． 同理：存在，使得， 所以，在区间上，在区间上． 所以，在区间上单调递减，在区间上单调递增， 故是函数的极小值点． 综上：函数极值点有2个． （3）对任意的实数恒成立， 等价于在上恒成立，得， 令，则． 令，则．因为，所以， 所以在上是增函数，所以，所以， 所以在上是增函数，所以的最小值为．所以， 即实数的取值范围． 实战演练 1．（2026·山东滨州·一模）已知函数． (1)证明：在曲线的所有切线中，有且仅有一条切线的斜率与直线的斜率相等； (2)当时，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）函数的定义域为. . 令，则. 令，得，所以； 令，得，所以. 所以在上单调递减，在上单调递增. 所以在处取得最小值，最小值为. 当时，，所以. 又，所以当时，. 当时，. 其简图如下： 所以有唯一解，即在曲线的图象上，有且仅有一个点处的斜率等于， 即在曲线的所有切线中，有且仅有一条切线的斜率与直线的斜率相等. （2）当时，不等式恒成立，即. 令，则 . 令，则. 因为，所以， 又，所以. 所以是增函数，所以. 因为，所以恒成立，所以是增函数， 所以，即的最小值为. 所以实数的取值范围是． 2．（25-26高二下·天津静海·月考）已知，其中. (1)当时，求函数在的切线方程； (2)函数，若不等式对任意的恒成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）当时，， 则，所以， 又， 所以切线方程为，即； （2）不等式即为， 可得对任意的恒成立， 所以，， 令， 则，令，解得； 当时，，因此在上单调递增， 当时，，因此在上单调递减， 所以在时取得极大值，也是最大值，即， 因此，即的取值范围为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $