奇偶数列问题讲义-2025-2026学年高二下学期数学人教B版选择性必修第三册

奇偶数列问题讲义 奇偶数列问题讲义 知识点解析 一、核心原理 奇偶数列是按项数的奇偶性拆分的分段数列，核心是数列的通项、递推关系随为奇数/偶数呈现不同规律，解题本质是拆分奇偶段，分别求规律，再整合结论；依托等差数列、等比数列的通项与求和公式，结合奇偶项的递推关联，实现分段求解、整体作答，核心是分奇偶、定类型、求通和、再整合。 二、通用解题思路（四步法：判特征→分奇偶→求通和→答问题） 1. 判定奇偶数列特征，明确分段依据 观察数列的通项公式或递推关系，若出现以下特征，判定为奇偶数列： · 通项含、（奇偶项符号/表达式不同）； · 递推式分奇/偶给出不同关系（如）； · 奇偶项分别成等差/等比数列（如奇数项为公差2的等差，偶数项为公比3的等比）。 核心判定：的奇偶性决定数列的项规律。 1. 拆分奇偶段，分别设列定初始 将原数列拆分为奇数项子列（，对应）和偶数项子列（，对应）； 从原数列中提取两个子列的初始项：（奇数列首项）、（偶数列首项）； 关键：子列的项数为，与原数列项数的对应关系为（奇）、（偶）。 1. 分析子列规律，求奇偶段的通项/前项和 分别判断奇数项、偶数项子列的数列类型（等差/等比/常数列），结合已知条件求子列的通项和子列的前项和，核心公式： · 若为等差：，前项和； · 若为等比：，前项和（）； 若奇偶项间有递推关联（如），先求一个子列通项，再推导另一个子列。 1. 整合奇偶结论，回应题干问题 根据题干要求（求通项、求前项和、求某项值、判定单调性等），结合原数列项数的奇偶性，整合子列结论： · 求通项：分为奇数/偶数分别写出表达式； · 求前项和：分为奇数/偶数，分别计算“奇数列和+偶数列和”； · 求某项值：判断的奇偶，代入对应子列通项计算； · 其他问题（最值、单调性）：分别分析奇偶子列的性质，再整合原数列规律。 三、高频延伸考向：通项含的奇偶数列 核心处理技巧 1. 消去：通过和赋值作和/作差，构造奇偶子列的等差/等比关系； 例：，则奇时，偶时，拆分后分别累加求通项。 1. 分组求和：求前项和时，将相邻奇偶项分为一组，先求每组和，再求总组数的和； 例：，前项和；前项和。 四、关键技巧与注意事项 1. 项数对应精准：原数列前项中，奇偶子列的项数易数错——（偶）时奇偶项各项；（奇）时奇数项项、偶数项项，切勿颠倒。 1. 初始项提取准确：子列的首项是原数列的（奇）、（偶），递推关联时需从原递推式中代入求，避免主观赋值。 1. 通项还原正确：子列通项用表示，还原为原数列通项时，需将用表示（奇：；偶：），确保代入后与原项对应。 1. 分组求和适用场景：当奇偶项可两两配对且每组和有规律时，优先分组求和，比分别求奇偶和更简洁（如含的数列）。 1. 递推消元技巧：奇偶项递推关联时，优先对、赋值，作差/作和消去交叉项，快速得到子列的规律，避免逐项计算。 例题分析 例1．（25-26高三下·湖南长沙·月考）已知数列{an}的前n项和为，数列{bn}满足 (1)求数列的通项公式; (2)若数列满足，求数列的前n项和. 例2．（25-26高二下·广东佛山·月考）已知等差数列的前项和为，数列是等比数列，. (1)求数列和的通项公式； (2)若，设数列的前项和为，求； (3)求. 例3．（25-26高二下·江西景德镇·月考）若正项数列满足，则称数列是的平方差数列.已知数列是的平方差数列，且. (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和； (3)若求数列的前项和. 例4．（25-26高三下·山东·月考）已知等差数列和正项等比数列满足，，． (1)求和的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前项和． 变式训练 变式1．（25-26高二下·陕西宝鸡·月考）已知递增的等差数列满足，数列的各项均为正数，，且． (1)求数列的通项公式； (2)设求数列的前项和． 变式2．（25-26高二下·广东江门·月考）在等差数列中，已知，公差为1，在数列中，设前项和为， (1)求数列和的通项公式； (2)设求数列的前项和. 变式3．（25-26高二下·福建厦门·月考）已知数列的前n项和为，且. (1)证明：数列是等比数列，并求的通项公式. (2)已知，求数列的前项和. 变式4．（25-26高二下·湖北·月考）已知数列的前n项和． (1)求数列的通项公式； (2)设，记数列的前n项和为，求． 实战演练 1．（25-26高三上·浙江·期末）已知数列是等差数列，其前项和，数列是等比数列，若. (1)求数列的通项公式； (2)设数列满足，求的前项和. 2．（25-26高二上·安徽六安·期末）已知满足，且 (1)求和； (2)求的前项的和； (3)若，求. 2 学科网（北京）股份有限公司 $奇偶数列问题讲义 奇偶数列问题讲义 知识点解析 一、核心原理 奇偶数列是按项数的奇偶性拆分的分段数列，核心是数列的通项、递推关系随为奇数/偶数呈现不同规律，解题本质是拆分奇偶段，分别求规律，再整合结论；依托等差数列、等比数列的通项与求和公式，结合奇偶项的递推关联，实现分段求解、整体作答，核心是分奇偶、定类型、求通和、再整合。 二、通用解题思路（四步法：判特征→分奇偶→求通和→答问题） 1. 判定奇偶数列特征，明确分段依据 观察数列的通项公式或递推关系，若出现以下特征，判定为奇偶数列： · 通项含、（奇偶项符号/表达式不同）； · 递推式分奇/偶给出不同关系（如）； · 奇偶项分别成等差/等比数列（如奇数项为公差2的等差，偶数项为公比3的等比）。 核心判定：的奇偶性决定数列的项规律。 1. 拆分奇偶段，分别设列定初始 将原数列拆分为奇数项子列（，对应）和偶数项子列（，对应）； 从原数列中提取两个子列的初始项：（奇数列首项）、（偶数列首项）； 关键：子列的项数为，与原数列项数的对应关系为（奇）、（偶）。 1. 分析子列规律，求奇偶段的通项/前项和 分别判断奇数项、偶数项子列的数列类型（等差/等比/常数列），结合已知条件求子列的通项和子列的前项和，核心公式： · 若为等差：，前项和； · 若为等比：，前项和（）； 若奇偶项间有递推关联（如），先求一个子列通项，再推导另一个子列。 1. 整合奇偶结论，回应题干问题 根据题干要求（求通项、求前项和、求某项值、判定单调性等），结合原数列项数的奇偶性，整合子列结论： · 求通项：分为奇数/偶数分别写出表达式； · 求前项和：分为奇数/偶数，分别计算“奇数列和+偶数列和”； · 求某项值：判断的奇偶，代入对应子列通项计算； · 其他问题（最值、单调性）：分别分析奇偶子列的性质，再整合原数列规律。 三、高频延伸考向：通项含的奇偶数列 核心处理技巧 1. 消去：通过和赋值作和/作差，构造奇偶子列的等差/等比关系； 例：，则奇时，偶时，拆分后分别累加求通项。 1. 分组求和：求前项和时，将相邻奇偶项分为一组，先求每组和，再求总组数的和； 例：，前项和；前项和。 四、关键技巧与注意事项 1. 项数对应精准：原数列前项中，奇偶子列的项数易数错——（偶）时奇偶项各项；（奇）时奇数项项、偶数项项，切勿颠倒。 1. 初始项提取准确：子列的首项是原数列的（奇）、（偶），递推关联时需从原递推式中代入求，避免主观赋值。 1. 通项还原正确：子列通项用表示，还原为原数列通项时，需将用表示（奇：；偶：），确保代入后与原项对应。 1. 分组求和适用场景：当奇偶项可两两配对且每组和有规律时，优先分组求和，比分别求奇偶和更简洁（如含的数列）。 1. 递推消元技巧：奇偶项递推关联时，优先对、赋值，作差/作和消去交叉项，快速得到子列的规律，避免逐项计算。 例题分析 例1．（25-26高三下·湖南长沙·月考）已知数列{an}的前n项和为，数列{bn}满足 (1)求数列的通项公式; (2)若数列满足，求数列的前n项和. 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）当时，， 当时，，满足上式， 所以； 由得， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以，所以； （2）当为偶数时， ， 当为奇数时， ， 所以 例2．（25-26高二下·广东佛山·月考）已知等差数列的前项和为，数列是等比数列，. (1)求数列和的通项公式； (2)若，设数列的前项和为，求； (3)求. 【答案】(1)，. (2) (3) 【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为， ， 解得 ，. （2） （3）由（2）可知 若为偶数，则 若为奇数，若 若，则 综上，. 例3．（25-26高二下·江西景德镇·月考）若正项数列满足，则称数列是的平方差数列.已知数列是的平方差数列，且. (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和； (3)若求数列的前项和. 【答案】(1), (2) (3) 【详解】（1）因为，故， 故，所以为常数列， 而，故，故即. 故，所以， 由累加法可得，而， 故，而，故. （2）, 当为偶数时，. 当为奇数时，. 故. （3）当为奇数时，，当为偶数时，， 而， 令， 则， 故， 故 ， 故. 而，则， 故， 故， 故. 例4．（25-26高三下·山东·月考）已知等差数列和正项等比数列满足，，． (1)求和的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前项和． 【答案】(1)；， (2) 【详解】（1）设的公差为，数列的公比为， 由，得， 因为，，所以，，得，， 故，； （2）由（1）可知，， 则 变式训练 变式1．（25-26高二下·陕西宝鸡·月考）已知递增的等差数列满足，数列的各项均为正数，，且． (1)求数列的通项公式； (2)设求数列的前项和． 【答案】(1)； (2) 【详解】（1）设等差数列的公差为，则， 又，所以， 又，所以，由， 所以是方程的两个实根，又， 所以，所以， 所以， 又因为数列的各项均为正数，且， 所以，即， 所以数列是以为首项，2为公比的等比数列， 所以； （2）由（1）得， 令， 当为偶数时，， 令 ， 所以. 变式2．（25-26高二下·广东江门·月考）在等差数列中，已知，公差为1，在数列中，设前项和为， (1)求数列和的通项公式； (2)设求数列的前项和. 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）因为数列为等差数列，且，，故； 当时，， 当，时，， 所以，. （2）由（1），得， 所以 . 变式3．（25-26高二下·福建厦门·月考）已知数列的前n项和为，且. (1)证明：数列是等比数列，并求的通项公式. (2)已知，求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析， (2) 【详解】（1）， 由， 得， 两式相减，得， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以. （2）因为， 所以， 所以 变式4．（25-26高二下·湖北·月考）已知数列的前n项和． (1)求数列的通项公式； (2)设，记数列的前n项和为，求． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）当时，； 当时，，则． 经检验，当时也满足该式．综上， （2）由题意知， 数列的奇数项成等比数列，偶数项成等差数列，分组求和可得 ． 实战演练 1．（25-26高三上·浙江·期末）已知数列是等差数列，其前项和，数列是等比数列，若. (1)求数列的通项公式； (2)设数列满足，求的前项和. 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）设数列的公差为的公比为， 由题意得，解得，所以， 又，解得，所以. （2）由条件得， 所以的前项和 . 2．（25-26高二上·安徽六安·期末）已知满足，且 (1)求和； (2)求的前项的和； (3)若，求. 【答案】(1), (2) (3) 【详解】（1）当 n 为奇数时，；当 n 为偶数时，， 于是：，，故， 即， 数列是首项为，公比为2的等比数列， 所以. . （2） 奇数项的和：， 偶数项的和：， 所以. （3）， ，，则. ，， 两式相减可得， . 所以. 2 学科网（北京）股份有限公司 $