26.2 二次函数的图像和性质（一）（知识解读）-2026-2027学年人教版九年级数学上册《知识解读·题型专练》

本讲义聚焦二次函数的图像和性质核心知识点，系统梳理y=ax²等几种特殊形式的顶点坐标、对称轴、最值及开口单调性，结合图像画法与平移规律，构建从基础形式到应用的递进学习支架。 资料以8类图象与性质题型为主线，例题与变式题结合，通过表格直观呈现知识点培养几何直观（数学眼光），通过推理分析提升推理意识（数学思维），随堂检测助力知识应用（数学语言）。课中辅助教师系统授课，课后帮助学生查漏补缺。

26.2 二次函数的图像和性质（一）（知识解读） 【新教材人教版】 题型归纳 【题型1 二次函数的图象】 2 【题型2 二次函数的性质】 3 【题型3 二次函数的图象】 4 【题型4 二次函数的性质】 5 【题型5 二次函数的图象】 5 【题型6 二次函数的性质】 6 【题型7 二次函数的图象】 6 【题型8 二次函数的性质】 7 【随堂检测】 8 知识点1 二次函数几种特殊形式的图象和性质 1. 二次函数的图象和性质 函数形式 顶点坐标 对称轴 最值 开口、单调性 （，） y轴 ，时，； ，时， 时，抛物线开口向上； 在对称轴右侧时,y随x的增大而增大； 在对称轴左侧时，y随x的增大而减小； 时，抛物线开口向下； 在对称轴左侧时，y随x的增大而增大； 在对称轴侧右时，y随x的增大而减小 （，） 轴 ，时，； ，时， （，） ，时，； ，时， （，） ，时，； ，时， 2. 二次函数 的图象的画法 （1）列表：以为中心，对称选取x值，求出对应的函数值． （2）描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点． （3）连线：用平滑的曲线顺次连接各点． （4）在画二次函数的图象时，取的点越密集，画出的图象就越精确，但取点越多计算量就越大，故一般在顶点的两侧各取2~4个点即可．在连线时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲线将各个点连接起来，两端无限延伸．画抛物线的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法画出二次函数图象的一侧，再利用对称性画另一侧． 3. 几种二次函数图象间的平移规律 例如：的图象是由的图象先向上平移3个单位长度得到的图象，再向右平移5个单位长度得到的．反之，由的图象先向下平移3个单位长度得到的图象，再向左平移5个单位长度得到的图象． 【题型1 二次函数的图象】 【例1】抛物线的图像大致是（   ） A．B． C． D． 【变式1-1】函数与在同一平面直角坐标系中的大致图像可能是（   ）． A．B．C．D． 【变式1-2】如图，四个二次函数的图像中，分别对应的是：①；②；③；④，则a，b，c，d的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】已知h关于t的函数关系式为h=gt2（g为正常数，t为时间）， 则如图中函数的图像为（ ） A． B． C． D． 【题型2 二次函数的性质】 【例2】关于函数的表述正确的一项是（） A．无论为任何实数，的值总为正数 B．它的图象在第一、二象限内 C．当的值增大时，的值也增大 D．它的图象关于轴对称 【变式2-1】二次函数的图象过点，则a的值是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【变式2-2】已知二次函数，当时，随增大而减小，则实数的取值范围是（        ） A． B． C． D． 【变式2-3】若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【题型3 二次函数的图象】 【例3】如图，点，和点，分别在和的图像上．若点，的横坐标均为，点，的横坐标均为4，则线段，与两条抛物线围成的阴影部分的面积是______． 【变式3-1】在平面直角坐标系中，二次函数的图象大致是（    ） A．B．C．D． 【变式3-2】已知二次函数的大致图象如图所示，则的大致图象为（   ） A．B．C．D． 【变式3-3】如图，正方形的顶点，在抛物线上，点在轴上．若，两点的横坐标分别为，，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【题型4 二次函数的性质】 【例4】关于二次函数，下列说法错误的是（    ）． A．抛物线开口向上 B．抛物线的顶点坐标为 C．抛物线的对称轴为轴 D．当时，随的增大而增大 【变式4-1】已知抛物线，则当时，的最大值是（　　） A．1 B． C． D．-2 【变式4-2】抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】二次函数，当时，y的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【题型5 二次函数的图象】 【例5】已知二次函数，那么它的图象大致为（     ） A．B．C．D． 【变式5-1】如图，抛物线y＝（x﹣h）2与x轴只有一个交点M，且与平行于x轴的直线l交于A、B两点，若AB＝3，则点M到直线l的距离是（　　）    A． B． C． D． 【变式5-2】在平面直角坐标系中，点A是抛物线与y轴的交点，点B是这条抛物线上的另一点，且轴，则以AB为边的等边三角形ABC的周长为_____． 【变式5-3】在平面直角坐标系中，二次函数的图象可能是（    ） A．B．C． D． 【题型6 二次函数的性质】 【例6】已知抛物线，下列说法不正确的是（      ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．顶点坐标为 D．当时，随的增大而减小 【变式6-1】抛物线的对称轴是（    ） A．y轴 B．直线 C．直线 D．直线 【变式6-2】已知、和都在抛物线上，那么、和的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【变式6-3】已知二次函数，当时，y随着x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，当时，y的值为(   ) A． B． C． D．0 【题型7 二次函数的图象】 【例7】二次函数的图像大致是（    ） A．B．C．D． 【变式7-1】在平面直角坐标系中，二次函数的图象可能是（　　） A．B．C． D． 【变式7-2】为了美观，在加工太阳镜时将下半部分轮廓制作成抛物线的形状（如图所示），对应的两条抛物线关于y轴对称，左轮廓所在抛物线的解析式为．则右轮廓所在抛物线的解析式为（   ） A． B． C． D． 【变式7-3】如图，点，的坐标分别为和，抛物线的顶点在线段上运动，与轴交于两点（在的左侧），点的横坐标最小值为，则点的横坐标最大值为（    ） A．3 B．5 C．8 D．10 【题型8 二次函数的性质】 【例8】关于抛物线，下列说法错误的是（   ） A．顶点坐标为 B．当时，随的增大而减小 C．开口方向向上 D．函数最小值是 【变式8-1】二次函数图象的顶点坐标（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】二次函数（c为常数）的图像经过，，三点，则，，的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式8-3】若二次函数，当时，随的增大而增大，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 随堂检测c 一、单选题 1．二次函数图象的对称轴是直线（    ） A． B． C． D． 2．下列函数中，y的值随x值的增大而减小的是（    ） A． B． C． D． 3．抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 4．，、是抛物线上的三点，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 5．抛物线与轴的交点坐标是(   ) A． B． C． D． 6．已知点、、在抛物线，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 7．对于二次函数，下列结论正确的是（    ） A．当时，有最大值为7 B．图象的对称轴是直线 C．图象的对称轴是直线 D．当时，随的增大而增大 8．抛物线，当时，y的最大值与最小值的差为7，则a的值为（    ） A．1 B． C．或 D．或 二、填空题 9．已知二次函数的图象开口向上，请写出一个符合要求的实数a，则_________． 10．在函数中，当时，y随x的增大而增大，则实数m的值可以是______．（写出一个满足条件的m值） 11．如图，二次函数的图象经过正方形的三个顶点，则的值为_______． 12．二次函数在内的最小值是______． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 26.2 二次函数的图像和性质（一）（知识解读） 【新教材人教版】 题型归纳 【题型1 二次函数的图象】 2 【题型2 二次函数的性质】 5 【题型3 二次函数的图象】 6 【题型4 二次函数的性质】 10 【题型5 二次函数的图象】 12 【题型6 二次函数的性质】 14 【题型7 二次函数的图象】 16 【题型8 二次函数的性质】 18 【随堂检测】 21 知识点1 二次函数几种特殊形式的图象和性质 1. 二次函数的图象和性质 函数形式 顶点坐标 对称轴 最值 开口、单调性 （，） y轴 ，时，； ，时， 时，抛物线开口向上； 在对称轴右侧时,y随x的增大而增大； 在对称轴左侧时，y随x的增大而减小； 时，抛物线开口向下； 在对称轴左侧时，y随x的增大而增大； 在对称轴侧右时，y随x的增大而减小 （，） 轴 ，时，； ，时， （，） ，时，； ，时， （，） ，时，； ，时， 2. 二次函数 的图象的画法 （1）列表：以为中心，对称选取x值，求出对应的函数值． （2）描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点． （3）连线：用平滑的曲线顺次连接各点． （4）在画二次函数的图象时，取的点越密集，画出的图象就越精确，但取点越多计算量就越大，故一般在顶点的两侧各取2~4个点即可．在连线时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲线将各个点连接起来，两端无限延伸．画抛物线的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法画出二次函数图象的一侧，再利用对称性画另一侧． 3. 几种二次函数图象间的平移规律 例如：的图象是由的图象先向上平移3个单位长度得到的图象，再向右平移5个单位长度得到的．反之，由的图象先向下平移3个单位长度得到的图象，再向左平移5个单位长度得到的图象． 【题型1 二次函数的图象】 【例1】抛物线的图像大致是（   ） A．B． C． D． 【答案】A 【分析】根据的开口方向和顶点坐标即可判断． 本题主要考查了而函数图像与性质，熟练掌握图像与性质是解题的关键 【详解】解：∵抛物线中，， ∴图像开口向上，且顶点为坐标原点， 故选：A． 【变式1-1】函数与在同一平面直角坐标系中的大致图像可能是（   ）． A．B．C．D． 【答案】B 【分析】本题考查的知识点是一次函数的图像与二次函数的图像，理解掌握函数图像的性质是解此题的关键．先根据一次函数的性质确定与两种情况分类讨论抛物线的顶点位置即可得出结论． 【详解】解：A．函数图像可得，则 开口方向向下正确，但顶点坐标应交于原点，而不是交轴正半轴，故选项A不正确； B．函数图像可得，则 开口方向向下正确，顶点坐标为，故选项B正确； C．函数图像可得，则 开口方向向上正确，但顶点坐标应交于原点，故选项C不正确； D．函数图像可得，则 开口方向向上正确，但顶点坐标应交于原点，故选项D不正确； 故选：B． 【变式1-2】如图，四个二次函数的图像中，分别对应的是：①；②；③；④，则a，b，c，d的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质：①抛物线的开口大小由决定，越大，抛物线的开口越窄，越小，抛物线的开口越宽；②抛物线的开口方向由决定，当时，抛物线开口向上，当时，抛物线开口向下．根据以上抛物线性质即可分析出的大小关系． 【详解】解：抛物线、开口向上， 且抛物线的开口更窄， ， 抛物线、开口向下， 且抛物线的开口更窄， ， ． 故选C． 【变式1-3】已知h关于t的函数关系式为h=gt2（g为正常数，t为时间）， 则如图中函数的图像为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】因为g为正常数，t为时间，也是正数，所以函数h的值也是正数，图象只能是抛物线在第一象限的部分． 【详解】函数关系式h=gt2，（g为正常数，t为时间）是一个二次函数，图象应是抛物线； 又因为t的值只能为正，图象只是抛物线在第一象限的部分． 故选A． 【点睛】本题考查了二次函数的图象，熟练掌握二次函数性质是解题的关键. 【题型2 二次函数的性质】 【例2】关于函数的表述正确的一项是（） A．无论为任何实数，的值总为正数 B．它的图象在第一、二象限内 C．当的值增大时，的值也增大 D．它的图象关于轴对称 【答案】D 【分析】本题考查了是二次函数的图像和性质，熟知二次函数的开方向，顶点坐标，对称轴，增减性，是解答此题的关键．根据二次函数的性质得出函数的对称轴及其增减性即可得出结论． 本题考查二次函数的性质．该函数是二次函数，开口向上，顶点在原点，对称轴为轴，当时，随增大而减小；当时，随增大而增大，逐一判断即得． 【详解】∵是二次函数，且， ∴函数图象开口向上，顶点为，对称轴为轴． A：当时，，不是正数， 故A错误． B：图象经过原点，原点不在任何象限内， 故B错误． C：当时，随增大而减小；当时，随增大而增大， 故C错误． D：∵，∴图象关于轴对称， 故D正确． 故选：D． 【变式2-1】二次函数的图象过点，则a的值是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】本题考查的是二次函数的性质，将点代入二次函数解析式，直接求解a的值． 【详解】解：∵ 点在函数上， ∴ ， 即 ， ∴ ． 因此，a的值为1． 故选：D 【变式2-2】已知二次函数，当时，随增大而减小，则实数的取值范围是（        ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象的性质．根据二次函数图象的性质，当抛物线开口向上时，在对称轴左侧随增大而减小，结合条件即可求解． 【详解】解：∵二次函数，当时，随增大而减小， ∴抛物线开口向上， ∴． 故选：C． 【变式2-3】若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式． 直接计算各点的纵坐标值，并比较大小． 【详解】解：∵点，，在二次函数的图象上， ∴，，． ∴， 即． 故选：A． 【题型3 二次函数的图象】 【例3】如图，点，和点，分别在和的图像上．若点，的横坐标均为，点，的横坐标均为4，则线段，与两条抛物线围成的阴影部分的面积是______． 【答案】24 【分析】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征．依据题意，分别连接、，从而若点A，C的横坐标均为，点B，D的横坐标均为4，进而可得轴，又上面的抛物线为向下平移可得4个单位可得下面的抛物线，从而，可得四边形为平行四边形，结合平移的性质，从而阴影部分的面积为平行四边形的面积，进而得解． 【详解】解：如图，分别连接、． ∵若点A，C的横坐标均为，点B，D的横坐标均为4， ∴轴． 又∵上面的抛物线为向下平移可得4个单位可得下面的抛物线， ∴． ∴四边形为平行四边形． 又由平移可得， ∴阴影部分的面积为平行四边形的面积． 故答案为：24． 【变式3-1】在平面直角坐标系中，二次函数的图象大致是（    ） A．B．C．D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数图象的判断，二次函数的图象形状由二次项系数和顶点坐标决定． 先根据解析式确定抛物线的开口方向，再计算顶点坐标，即可确定函数图象的大致位置． 【详解】解：二次函数中，， 二次项系数， 该二次函数的图象开口向下， ，， 该二次函数的顶点坐标为， 选项符合题意． 故选：． 【变式3-2】已知二次函数的大致图象如图所示，则的大致图象为（   ） A．B．C．D． 【答案】A 【详解】由原图可知，抛物线图象开口向上， ∴ 抛物线图象交于轴负半轴， ∴ ∴的图象开口向下，交于轴的正半轴 故答案选A 【变式3-3】如图，正方形的顶点，在抛物线上，点在轴上．若，两点的横坐标分别为，，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．依据题意，连接、交于点，过点作轴于点，过点作轴于点，先证明．可得，．再根据，．得，，由列出m、n得关系式即可求解． 【详解】解：如图，连接、交于点，过点作轴于点，过点作轴于点， ， ， 四边形是正方形， ，， ∴， ． ． ，． 点、的横坐标分别为、， ，． ∴，， ∵， ∴， ． ， ． ． 故选：B． 【题型4 二次函数的性质】 【例4】关于二次函数，下列说法错误的是（    ）． A．抛物线开口向上 B．抛物线的顶点坐标为 C．抛物线的对称轴为轴 D．当时，随的增大而增大 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，根据二次函数的性质可以判断各个选项中的说法是否正确． 【详解】解：二次函数中， ， 抛物线开口向上，故A正确，不符合题意； 函数对称轴是y轴，故选项C正确，不符合题意； 把代入中，得， ∴图象的顶点坐标为，故选项B错误，符合题意； ∵图象开口向上，对称轴是y轴， ∴时，y随x的增大而增大，故选项D正确，不符合题意； 故选：B． 【变式4-1】已知抛物线，则当时，的最大值是（　　） A．1 B． C． D．-2 【答案】B 【分析】根据抛物线解析式判断出函数的增减性，然后选取x值代入即可． 【详解】由抛物线可知，抛物线的对称轴为， ∴抛物线开口向下，当时，y随x的增大而减小， ∴在的范围内，当时，y的值最大，， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，判断出二次函数的增减性是解题关键． 【变式4-2】抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的顶点坐标，根据的顶点坐标为，进行作答即可． 【详解】解：依题意，抛物线的顶点坐标是． 故选：B． 【变式4-3】二次函数，当时，y的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的性质，由抛物线解析式可得抛物线的对称轴为直线，抛物线开口向下，再结合的取值范围可得当时，取得最大值，再分别计算出当时和当时的值，即可得解，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵二次函数的解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴抛物线开口向下， ∵， ∴当时，取得最大值，当时，，当时，， ∴当时，y的取值范围是， 故选：A． 【题型5 二次函数的图象】 【例5】已知二次函数，那么它的图象大致为（     ） A．B．C．D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．根据顶点式的顶点坐标为求解即可． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， ∵， ∴开口向上，故B正确． 故选：B． 【变式5-1】如图，抛物线y＝（x﹣h）2与x轴只有一个交点M，且与平行于x轴的直线l交于A、B两点，若AB＝3，则点M到直线l的距离是（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数顶点坐标M为（h，0），设点M到直线l的距离为a，则有y＝（x﹣h）2＝a，求出A、B坐标即可求解． 【详解】解：∵抛物线y＝（x﹣h）2与x轴只有一个交点M， ∴函数顶点坐标M为（h，0）， 设点M到直线l的距离为a， 则y＝（x﹣h）2＝a，解得：x＝h， 即A（h﹣，a），B（h+，a）， ∵AB＝3，∴h+﹣（h﹣）＝3， 解得：a＝， 故选B． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点、抛物线上点的坐标特征、坐标与图形性质；熟练掌握相关的知识点是解题的关键． ． 【变式5-2】在平面直角坐标系中，点A是抛物线与y轴的交点，点B是这条抛物线上的另一点，且轴，则以AB为边的等边三角形ABC的周长为_____． 【答案】24 【分析】根据抛物线的解析式即可确定对称轴，则可以确定AB的长度，然后根据等边三角形的周长公式即可求解． 【详解】抛物线的对称轴是 过点作于点，如下图所示 则，则 则以为边的等边的周长为． 故答案为24． 【点睛】此题考查了二次函数的性质，根据抛物线的解析式确定对称轴，从而求得AB的长是关键． 【变式5-3】在平面直角坐标系中，二次函数的图象可能是（    ） A．B．C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的顶点坐标为，它的顶点坐标在x轴上，即可解答． 【详解】解：二次函数的顶点坐标为，它的顶点坐标在x轴上 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的图象，解决本题的关键是求得二次函数的顶点坐标． 【题型6 二次函数的性质】 【例6】已知抛物线，下列说法不正确的是（      ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．顶点坐标为 D．当时，随的增大而减小 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，根据抛物线顶点式，当时，开口向上；当时，开口向下，对称轴是直线，顶点坐标为；当时，在对称轴左侧()，随的增大而减小；在对称轴右侧()，随的增大而增大，根据所给顶点式即可逐个判断进而得解，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 【详解】解：由题意，根据抛物线顶点式， ∴， ∴抛物线开口向上，选项A正确； 对称轴是直线，选项B错误； 顶点为，选项C正确； ∵，对称轴是直线， ∴当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，选项D正确； 故A、C、D均不符合题意，B符合题意． 【变式6-1】抛物线的对称轴是（    ） A．y轴 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】B 【分析】本题考查抛物线的对称轴问题，核心是熟练掌握顶点式的性质． 由已知结合抛物线顶点式的对称轴为直线，即可求解． 【详解】解：抛物线， 对称轴为直线． 故选：B． 【变式6-2】已知、和都在抛物线上，那么、和的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象上点的特征，准确计算是解题的关键．通过直接计算各点在抛物线上的值，比较大小即可． 【详解】解： ∵、和都在抛物线上， ∴，，， ∴， 故选：A． 【变式6-3】已知二次函数，当时，y随着x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，当时，y的值为(   ) A． B． C． D．0 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象及性质，根据题意得二次函数的对称轴为：，进而可得，进而可得，当时，代入二次函数即可求解，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键． 【详解】解：依题意得：二次函数的对称轴为：， ， ， 当时，， 故选A． 【题型7 二次函数的图象】 【例7】二次函数的图像大致是（    ） A．B．C．D． 【答案】C 【分析】分别根据抛物线的开口方向、对称轴的位置及抛物线与y轴的交点位置逐一分析判断即可． 【详解】解：在中由可知抛物线的开口向上，故选项A错误； 其对称轴为直线，在y轴的左侧，故选项B错误； 二次函数，当时，，即该抛物线与y轴的交点坐标为（0，-2），在y轴负半轴上，故选项D错误； 该抛物线开口向上，对称轴为直线，与y轴的交点在y轴负半轴上，符合以上条件的只有选项C． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了对二次函数的图像和性质的应用，运用数形结合思想的分析问题是解题关键． 【变式7-1】在平面直角坐标系中，二次函数的图象可能是（　　） A．B．C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．根据二次函数图象的开口向上、顶点的纵坐标为进行判断即可得． 【详解】解：∵二次函数的解析式为， ∴这个二次函数图象的开口向上、顶点的纵坐标为， 观察四个选项可知，只有选项A符合， 故选：A． 【变式7-2】为了美观，在加工太阳镜时将下半部分轮廓制作成抛物线的形状（如图所示），对应的两条抛物线关于y轴对称，左轮廓所在抛物线的解析式为．则右轮廓所在抛物线的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的应用，正确地理解题意是解题的关键．先根据左边抛物线的解析式得出其顶点C的坐标，进而可得右边抛物线的顶点F的坐标，再根据左右轮廓相同可得右轮廓所在抛物线的解析式． 【详解】解：∵左轮廓所在抛物线的解析式为， ∴左边抛物线的顶点C的坐标为， ∴右边抛物线的顶点F的坐标为， 故右边抛物线的解析式为， 故选：B． 【变式7-3】如图，点，的坐标分别为和，抛物线的顶点在线段上运动，与轴交于两点（在的左侧），点的横坐标最小值为，则点的横坐标最大值为（    ） A．3 B．5 C．8 D．10 【答案】C 【分析】根据抛物线的顶点在线段上运动可以确定抛物线为．在抛物线移动的过程中，当抛物线顶点在时，点的横坐标会取得最小值，因此，将点、代入抛物线解析式即可求出，从而得到抛物线解析式为；当抛物线顶点在时，点的横坐标会取得最大值，令，即可求出此时最靠右的点的横坐标． 【详解】解：∵抛物线的顶点在线段上运动，点，的坐标分别为和， ∴抛物线为． 当抛物线顶点经过点时，点的横坐标会取得最小值， 即此时抛物线经过点． 将点代入抛物线解析式得：， 解得：． ∴抛物线的解析式为． 当抛物线经过点时，点的横坐标会取得最大值，则此时抛物线解析式为． 令，即， 解得：，． ∴点的横坐标最大值为． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数顶点式的图象与性质，待定系数法求二次函数解析式，二次函数与轴的交点坐标，理解题意分析出何种情况取得最值，以及根据题意正确求出二次函数的解析式是解题关键． 【题型8 二次函数的性质】 【例8】关于抛物线，下列说法错误的是（   ） A．顶点坐标为 B．当时，随的增大而减小 C．开口方向向上 D．函数最小值是 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据的图象和性质进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， ∴当时，函数有最小值为，当时，随的增大而增大； 综上：只有选项B说法错误，符合题意； 故选B． 【变式8-1】二次函数图象的顶点坐标（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵ 二次函数的顶点式形式为 ，其顶点坐标为 ， 又∵ 给定二次函数解析式为， 对比顶点式可得 ，， ∴ 该二次函数图象的顶点坐标为 ． 【变式8-2】二次函数（c为常数）的图像经过，，三点，则，，的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，掌握二次函数的图像与性质是解题的关键． 通过计算各点到对称轴的距离，由于二次函数开口向上，距离对称轴越远的点，函数值越大． 【详解】解：∵ 二次函数 的对称轴为，且开口向上， ∴ 点离对称轴越远，y 值越大． 对于点 ，； 对于点 ，； 对于点，． ∵， ∴． 故选：D． 【变式8-3】若二次函数，当时，随的增大而增大，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，由二次函数的解析式可知二次函数开口向下，对称轴为直线，在对称轴左侧随增大而增大，要求当时随增大而增大，故需对称轴在直线右侧或重合，即． 【详解】解： 二次函数中， 抛物线开口向下，对称轴为直线， 当时，随增大而增大， 当时，随的增大而增大， ． 故选：A． 随堂检测c 一、单选题 1．二次函数图象的对称轴是直线（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据顶点式的对称轴为直线，即可直接得出结果． 【详解】解：二次函数图象的对称轴是直线． 2．下列函数中，y的值随x值的增大而减小的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A．中，，∴y随x的增大而增大，不符合题意； B．中，，∴y随x的增大而减小，符合题意； C．是二次函数，开口向下，对称轴为y轴，时y随x的增大而增大，时y随x的增大而减小，不是对所有x都满足y随x的增大而减小，不符合题意； D．是二次函数，开口向上，对称轴为y轴，时y随x的增大而减小，时y随x的增大而增大，不是对所有x都满足y随x的增大而减小，不符合题意． 3．抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】抛物线顶点式的顶点坐标为，直接根据解析式即可求出顶点坐标． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是． 4．，、是抛物线上的三点，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先判断抛物线的开口方向和对称轴，根据开口向下的抛物线，点离对称轴越远对应函数值越小，通过计算三点到对称轴的距离即可比较函数值大小. 【详解】解：抛物线中，， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， ∵点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为，开口向下时，点离对称轴越远，对应函数值越小，且， ∴. 5．抛物线与轴的交点坐标是(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查抛物线与y轴交点坐标的求解，y轴上所有点的横坐标为0，因此只需令，计算出对应的y值，即可得到交点坐标． 【详解】解：∵抛物线与y轴交点的横坐标为0， ∴令，代入抛物线解析式， 得， ∴抛物线与y轴的交点坐标是， 6．已知点、、在抛物线，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用二次函数的性质比较函数值大小，先确定抛物线的开口方向和对称轴，再根据开口向下时，点到对称轴的距离越大，函数值越小，计算各点到对称轴的距离即可比较大小． 【详解】解：∵抛物线解析式为中，， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， ∵，，，且， ∴． 7．对于二次函数，下列结论正确的是（    ） A．当时，有最大值为7 B．图象的对称轴是直线 C．图象的对称轴是直线 D．当时，随的增大而增大 【答案】B 【详解】解：∵二次函数，， ∴当时，有最大值为7，故A选项说法错误，不符合题意； 图象的对称轴是直线，故B选项说法正确，符合题意；C选项说法错误，不符合题意； 当时，y随x的增大而减小，故D选项说法错误，不符合题意． 8．抛物线，当时，y的最大值与最小值的差为7，则a的值为（    ） A．1 B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】分和两种情况讨论，根据抛物线的性质分别求出y的最大值与最小值，进而列出关于的方程，即可求解． 【详解】解：若， ∵， ∴抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为， ∴y的最小值为， ∵，，， ∴当时，y取得最大值，最大值为， ∵y的最大值与最小值的差为7， ∴， 解得； 若， ∵， ∴抛物线开口向下，对称轴为，顶点坐标为， ∴y的最大值为， ∵，，， ∴当时，y取得最小值，最小值为， ∵y的最大值与最小值的差为7， ∴， 解得； 综上，a的值为或． 二、填空题 9．已知二次函数的图象开口向上，请写出一个符合要求的实数a，则_________． 【答案】1（答案不唯一） 【详解】解：∵二次函数的图象开口向上， ∴， ∴写出一个符合要求的实数a，则（答案不唯一）． 10．在函数中，当时，y随x的增大而增大，则实数m的值可以是______．（写出一个满足条件的m值） 【答案】1（答案不唯一，满足即可） 【分析】根据二次函数的性质得到m的取值范围，任取一个范围内的值即可． 【详解】解：函数是开口向上的二次函数，其对称轴为直线， ∵开口向上的二次函数，在对称轴右侧，y随x的增大而增大，且当时，y随x的增大而增大， ∴， ∴m的值可以是1． 11．如图，二次函数的图象经过正方形的三个顶点，则的值为_______． 【答案】2 【分析】由题意易得点C、B关于y轴对称，点，进而根据正方形的性质可得点，然后代入二次函数解析式进行求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∴C、B关于y轴对称， ∵四边形是正方形， ∴，与相互平分， 令时，则有， ∴点， ∴， ∴点， 把点C代入得：，解得：或， ∵， ∴． 12．二次函数在内的最小值是______． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数图象的性质是解题的关键．由于二次函数开口向下，在给定区间内，最小值出现在端点处，通过计算比较函数值可得． 【详解】解：函数的二次项系数，对称轴为轴， 时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小； 当时，函数的最大值为； 在自变量范围内， 当时，；当时，． 二次函数在内的最小值为． 故答案为：． 题型归纳 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $