25.2.3 因式分解法-解一元二次方程（讲义，3大知识10大题型）数学新教材人教版九年级上册

第二十五章 一元二次方程 25.2.3 因式分解法 知识点一 因式分解法 定义：将一元二次方程因式分解，使方程化为两个一次因式乘积等于0的形式，再使这两个一次因式分别等于0，从而实现降次，这种解法叫做因式分解法. 关键：将一元二次方程因式分解，降次为一元一次方程. 依据：如果两个因式的乘积为0，那么这两个因式中至少一个为0，即若ab=0，则a=0或b=0. 用因式分解法解一元二次方程的一般步骤： 一般步骤 方法 典例 移项 将方程右边的各项移到方程左边，使方程右边为0 化积 将方程左边分解为两个一次因式相乘的形式 原方程变形为 转化 令两个一次式分别为零，得到两个一元一次方程 求解 解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解 即学即练 1．（25-26九年级上·辽宁丹东·期中）一元二次方程的根是______． 【答案】， 【分析】将原方程移项整理为一般形式，再用因式分解法求解一元二次方程，即可得到方程的根． 【详解】解： 移项，得， 提取公因式，得， ∴ 或 ， 解得，． 2．（25-26九年级上·四川泸州·月考）方程的两个根是__________． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的解法，包括直接开平方法、因式分解法、公式法．解题的关键是正确移项后因式分解转化为两个一次方程求解．题目给出方程．将方程展开并移项，得到．整理得利用十字相乘法因式分解得到两个一次方程，分别求解即可得到方程的两个根． 【详解】解：， 展开得， 移项得， 即， 整理得， 所以或， 解得或， 故答案为 3．（25-26九年级上·四川眉山·期中）方程的两个根是等腰三角形的腰和底，则该三角形的周长为________． 【答案】21 【分析】本题考查了解一元二次方程，等腰三角形的定义，三角形的三边关系，解题的关键是正确求解方程的两个根． 先解一元二次方程得到两个根，再根据等腰三角形的性质分类讨论腰和底的取值，利用三角形三边关系判断是否成立，最后计算周长． 【详解】解：， 解得，， 若腰为3、底为9，则三边长为3、3、9，但，不满足三角形任意两边之和大于第三边，故不成立； 若腰为9、底为3，则三边长为9、9、3，满足三角形三边关系，周长为， 故答案为：21． 知识点二 选用合适的方法解一元二次方程 方法 说明 直接开平方法 方程没有一次项时用直接开平方法较为简单（最直接的方法） 配方法 二次项系数为 1，一次项系数为偶数时，用此方法较为简单（最基本的方法） 公式法 在配方法和公式法中，当各项系数均为整数，且绝对值较小时，首选公式法（万能方法） 因式分解法 方程没有常数项时用因式分解法较为简单；当方程中含有括号时，不要急于去括号，应观察是否能看作整体，直接因式分解（最简便的方法） 即学即练 1．（24-25九年级上·安徽淮南·期末）解下列方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， 移项，得， 配方，得， 即， 得或， 解得； （2）解：  ， 移项，得， 因式分解，得， 即， ∴或 ∴解得． 2．（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·月考）解下列方程： (1) (2) (3) 【答案】(1)， (2)， (3)， 【详解】（1）解： 解得，； （2）解： ∴或 解得，； （3）解： ，， 解得，． 3．（25-26九年级上·辽宁鞍山·月考）解下列一元二次方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）利用配方法求解即可； （2）利用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解： ， ， ， 或， ，； （2）解： ， ， 或， ，． 题型01 提公因式法解一元二次方程 典｜例｜精｜析 1．（25-26九年级上·河南驻马店·期末）用因式分解法解方程，正确的是（   ） A．，， B．， C．，， D．， 【答案】A 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法．根据因式分解法求解方程即可． 【详解】解：， ， 或， 解得：，， 故选：A． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·吉林长春·期末）方程的解是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． 先移项，再根据因式分解法解一元二次方程求解即可． 【详解】解：， ， ， ∴或， ∴方程的解为． 故选：C． 2．（2026·内蒙古通辽·二模）已知一元二次方程的两个实数根为，则__________． 【答案】 【分析】解法一：根据因式分解法求出方程的解； 解法二：利用根与系数的关系求解． 【详解】解法一：， 解得 ； 解法二：在方程中，， 由根与系数的关系可得． 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）小华在解方程时，只得出一个根是，则被他漏掉的一个根是____． 【答案】0 【分析】利用因式分解法解一元二次方程，即可得到被漏掉的根. 【详解】解： 解得：或 因此被小华漏掉的一个根是. 题型02 公式法解一元二次方程 典｜例｜精｜析 1．（25-26九年级上·福建·期末）方程的根为（    ） A． B． C．， D． 【答案】C 【分析】本题考查了解一元二次方程，运用因式分解法解方程，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：C． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·甘肃武威·月考）方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查解一元二次方程，可通过因式分解法直接求解． 【详解】∵ ， ∴ ， ∴ 或 ， ∴ 或 ， 即解为 ， 故选：C． 2．（25-26九年级上·四川眉山·期中）方程的解是（   ） A．2或0 B．或0 C． D．或0 【答案】B 【分析】本题主要考查了因式分解法解高次方程，熟练掌握提取公因式法、平方差公式因式分解的方法是解题的关键． 先对方程左边提取公因式，再用平方差公式因式分解，最后利用零乘积性质求解方程的解． 【详解】∵， ∴， ∴， ∴或或． 故方程的解为或0． 故选：B． 3．（25-26九年级上·广东惠州·期中）我们规定一种运算：．依据以上规定计算：当____时，． 【答案】1 【分析】本题主要考查了新运算规则、解一元二次方程等知识点，理解新运算法则是解题的关键． 根据规定的运算规则将行列式转化为关于x的一元二次方程，然后解方程求得x的值即可． 【详解】解：由运算规则，得， 整理得：． 解得：． 故答案为1． 题型03 判断因式分解法解方程的正误 典｜例｜精｜析 1．（25-26九年级上·湖南长沙·期中）解方程的“规范”就像建筑的“地基”，错一步可能满盘皆错．学习解一元二次方程，必须严格遵守方程变形的基本法则．例如：下面解一元二次方程的过程所得出的错误结果，就是由于不遵守数学基本法则导致的．求解一元二次方程时，推理过程如下： 第一步：根据因式分解法，将右边分解为 ； 第二步：直接将方程两边同时除以，得到； 第三步：去括号，得到； 第四步：移项，得到； 第五步：系数化为1，解得 请你判断上述推理过程中，第__________步是错误的，它违背了数学的基本法则． 【答案】二 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程．第二步直接除以代数式，但可能为零，违背了方程变形的基本法则：等式两边不能除以可能为零的代数式，否则会丢失根，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：正确解法应从第一步开始， 移项得， 再因式分解得， 由因式分解法可得或， 解得或， 第二步直接除以时，未考虑的情况，导致丢失根，违背了方程变形的基本法则， 即第二步是错误的，它违背了数学的基本法则 故答案为：二 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·河南郑州·期中）下面是小刚同学和小颖同学解一元二次方程的过程， 请仔细阅读并完成相应的任务． 小刚同学： 解：第一步 第二步 第三步 解得第四步 小颖同学： 解：第一步 第二步 第三步 或第四步 解得第五步 任务一： ①小刚同学的解答过程中，从第___________步开始出现错误．错误的原因是___________； ②小颖同学的解答过程中，从第___________步开始出现错误．错误的原因是___________ 任务二：请直接写出该一元二次方程的正确的解___________ 任务三：解方程：； 【答案】任务一：①二，方程两边同时除以可能为0的代数式；②三，去括号时，括号前面是负号，中的2没有变号； 任务二：，； 任务三：，． 【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 任务一：①根据等式的性质即可判断求解；②根据去括号法则即可判断求解； 任务二：利用因式分解法解方程即可求解； 任务三：利用因式分解法解答即可求解． 【详解】解：任务一：①小刚同学的解答过程中，从第二步开始出现错误，错误的原因是方程两边同时除以可能为的代数式， 故答案为：二，方程两边同时除以可能为的代数式； ②小颖同学的解答过程中，从第三步开始出现错误，错误的原因是去括号时，括号前面是负号，中的没有变号， 故答案为：三；去括号时，括号前面是负号，中的没有变号； 任务二：， ， 即， 或， 解得，； 故答案为：，； 任务三：∵， ∴， ∴或， ∴，． 2．（25-26九年级上·河北唐山·期中）下面分别是甲、乙两位同学板演的解题过程． 甲同学： 解：，，    第一步 ∴        第二步 ∴                第三步 ，                第四步 乙同学：     第一步     第二步         第三步 (1)甲同学解一元二次方程的方法是 ； (2)甲乙两名同学板演都出现了错误，分别写出他们从第几步开始出现错误； (3)从甲、乙两位同学中任选一个方程进行正确解答． 【答案】(1)公式法 (2)甲从第三步，乙从第一步 (3)见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握公式法和因式分解法是解答本题的关键． （1）根据甲同学的解题步骤分析即可； （2）根据甲同学和乙同学的解题步骤分析即可； （3）分别根据公式法和因式分解法的步骤求解即可． 【详解】（1）解：甲同学解一元二次方程的方法是公式法， 故答案为：公式法； （2）根据可知甲从第三步开始出现错误；根据可能等于0可知乙从第一步开始出现错误； （3）选择甲或乙： 甲同学： 解：，， ∴ ∴ ， 乙同学： 或 ， 题型04 非标准形式方程，先整理再因式分解 典｜例｜精｜析 1．（25-26九年级上·江西萍乡·期中）对于实数p，q，我们用符号表示p，q两数中较小的数，如若，则（   ）． A．3或 B．或 C．或 D．3或 【答案】D 【分析】根据 的定义，分 和 两种情况讨论，分别解方程并验证条件是否满足． 本题考查新定义下的方程求解，根据取值范围分类讨论并验证，注意舍去不符合条件的解． 【详解】解：∵， 当时，， ∴ ， 整理得：， 解得：； ∵， ∴； 当 时，， ∴， 整理得：， ∴， 解得：，， ∵ ， ∴； 综上，或． 故选 ：D． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·山东聊城·月考）一元二次方程的解为______． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程． 通过因式分解法求解一元二次方程，先将方程右边进行因式分解，然后移项并提取公因式，最后转化为两个一次方程求解． 【详解】解：方程可变形为， ， ， ， 所以或， 解得，． 故答案为：，． 2．（24-25九年级上·甘肃酒泉·期中）若，则__________ 【答案】或2 【分析】本题考查了比例的基本性质，一元二次方程的解法，熟练掌握比例的性质，灵活解方程是解题的关键．转化为方程，求解即可． 【详解】解：， ， 解得，， 故答案为：或2． 3．（25-26九年级上·广东湛江·期末）解方程：． 【答案】 【分析】本题考查解一元二次方程因式分解法，解题的关键是掌握解一元二次方程的方法．方程整理后，利用因式分解法解方程即可． 【详解】解：整理，得， ， 则或， 解得． 题型05 因式分解法解含括号的方程 典｜例｜精｜析 1．（25-26九年级上·广东江门·期中）一元二次方程的解是_____． 【答案】 ， 【分析】将方程移项后，利用平方差公式分解因式，转化为两个一元一次方程，进而求解方程的根. 【详解】解：， ， ， 或 ； 解得 ，. 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·宁夏银川·期中）解下列方程 【详解】 解：， 两边同时开平方，得， ∴或， ∴，． 2．（25-26九年级上·河南洛阳·期末）用适当的方法解方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)，； (2)，； (3)，． 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握公式法，因式分解法解一元二次方程是解题的关键； （1）根据因式分解法求解即可； （2）先求出根的判别式，再根据求根公式求解即可； （3）利用直接开平方法求解即可． 【详解】（1）解：， 因式分解得， ∴，， 解得，； （2）解：， ，，， ， ∴， 解得，； （3）解：， 开方得， ∴，， 解得，． 3．（25-26九年级上·江西上饶·期末）解下列方程： (1)； (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的解法是解答本题的关键． （1）方程运用因式分解法求解即可； （2）方程移项后运用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解：， ， ，， 解得，； （2）解：， ， ， ， ，， ∴，． 题型06 十字相乘法解简单一元二次方程 十字相乘法是因式分解当中的一种方法，分解二次项系数和常数项为两数相乘的形式，竖排排列，十字交叉相乘并相加后的结果等于一次项系数，即分解完成，“数分成竖，交叉验;横写成因，不能乱”. 典｜例｜精｜析 1．（山东省菏泽市成武县2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题）若一元二次方程的两根分别是，，则这个方程可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的根与因式的关系，关键是灵活应用； 由两根写出方程的因式分解形式，再展开得到一般式，与选项对比即可． 【详解】解：∵ 方程的两根分别为 ，， ∴ 方程可写为 ， 展开得：， ∴ 这个方程可以是 ， 故答案选： B． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·宁夏固原·期中）已知关于的一元二次方程的两根分别是直角三角形的两直角边，则这个直角三角形的面积为（） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的知识；解题的关键是熟练掌握因式分解法解一元二次方程． 根据因式分解法解一元二次方程，然后利用面积公式求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴两根分别为和， 即两直角边长为2和3， ∴面积， 故选：D 2．（25-26九年级上·山东聊城·月考）我们将这样子的式子称为二阶行列式，它的运算法则公式表示就是，例如，若，则（    ） A．2 B．4 C．2或4 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了新定义，解一元二次方程，正确理解二阶行列式的运算法则是解题的关键． 根据二阶行列式的运算法则列出方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ， ， ∴或， 解得． 故选：C． 3．（25-26九年级上·山东聊城·月考）三角形的两边长分别是3和4，第三边长是方程的根，则该三角形的周长为______． 【答案】10 【分析】本题考查解一元二次方程，解题的关键是熟练求解一元二次方程，本题属于基础题型． 根据一元二次方程的解法以及三角形三边关系即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， 当时， 由于，故能围成三角形； 三角形的周长为， 当时， 由于，故不能围成三角形， 故答案为：10． 4．（河南省洛阳市宜阳县2025-2026学年上学期九年级数学期中考试试卷）已知，且，则的值为（    ） A．3 B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查求分式的值，利用因式分解法求出相关的关系式是解题的关键． 利用因式分解法求出关于x、y的关系式，进而可求解． 【详解】解：由题意得， ， ∴或， 解得， ∵， ∴或， 故选D． 5．（25-26九年级上·天津·期末）已知方程的两个解为，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查解一元二次方程、代数式求值，通过因式分解求出方程的两个根，然后代入表达式计算即可. 【详解】解：∵方程可因式分解为， ∴, ， ∴． 故选：A． 题型07 换元法解一元二次方程 换元法是一种数学的基本方法，一般用来简化运算，初中数学中常用的换元法有整体换元、部分换元、韦达换元、平均值换元、增量型换元等，正确运用换元法的前提是要对题目的特征有比较清晰合理的认识. 典｜例｜精｜析 1．（四川省射洪中学校2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题）若 , 则=（ ） A．或 B．或 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了换元法解一元二次方程，整体求出的值是解题的关键．通过设 ，将方程转化为关于的方程，求解后根据算术平方根的非负性排除无效解． 【详解】解：设，则原方程化为， ∵， ∴， ∴或， 又∵（算术平方根非负）， ∴不符合题意，舍去， ∴． 故选：D． 变｜式｜巩｜固 1．（湖北省应城市2025-2026学年九年级上学期期中考试数学试卷）已知，则 _________． 【答案】2 【分析】本题主要考查了换元法解一元二次方程，掌握运用换元法解一元二次方程是解题关键． 根据换元法可得一元二次方程，然后运用因式分解法解一元二次方程即可解答． 【详解】解：设， ∵ 则， ∴， 则或， ∴或（舍去）； ∴． 故答案为：2． 2．（25-26九年级上·江苏南京·月考）方程，则______． 【答案】 【分析】本题主要考查了换元法解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，熟知换元法是解题的关键． 利用换元法对所给方程进行求解，然后再根据一元二次方程根的判别式确定答案即可． 【详解】解：令， 则原方程可化为， 解得或， 当时， ， 则， 故此情况不符合题意； 当时， ， 则， 故此情况符合题意． 故答案为：． 3．（25-26九年级上·江苏扬州·月考）请阅读下列材料： 解方程． 解法如下： 将视为一个整体，然后设，则， 原方程可化为，解得，． （1）当时，，解得； （2）当时，，解得． 综合（1）（2），可得原方程的解为． 请你参考明明同学的思路，解方程． 【答案】， 【分析】设，则原方程化为一元二次方程：，先解出的值，再进一步解出的值． 【详解】解：设，则原方程可化为：， 解得：，， （1）当时，，解得，， （2）当时，，此方程无实数根， 综合（1）（2），可得原方程的解是：，． 4．（25-26九年级上·贵州遵义·期中）阅读材料，解答问题． 解方程：． 解：把视为一个整体，设， 则原方程化为， 解得，． 或． ，． 以上方法就叫做“换元法”，达到简化或降次的目的，体现了转化的思想． 请仿照材料解下列方程： (1)． (2)． 【答案】(1) ，，， (2) ，， 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程的方法，熟练运用换元法降次是解题的关键． （1）设，将方程转化为关于的一元二次方程求解，再解关于的方程； （2）设，将方程转化为关于的一元二次方程求解，再解关于的方程． 【详解】（1）解：设，则原方程化为， ， 或， 或， 或， 原方程的解为，，，； （2）解：原方程为， 即， 设，则原方程化为， ， 或， 或， 或， 对于，即， ， ， 对于，即， ， ， 原方程的解为，，． 题型08 因式分解法与含参问题综合 典｜例｜精｜析 1．（25-26九年级上·江西九江·期末）已知关于x的方程的一根为1，则该方程的另一根为_________． 【答案】 【分析】把代入方程，求出，再解方程即可． 【详解】把代入方程，得， 解得， 一元二次方程为， 两边同除以2，得， ， ，， 该方程的另一根为． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·山东济宁·期末）已知关于的一元二次方程的一个解是，则的值为__________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，解一元二次方程，将代入方程，得到关于的方程，求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：将代入方程，得， ∴，整理得， ∴，解得， 故答案为：． 2．（2025九年级上·全国·专题练习）用分解因式法解方程，将左边分解后有一个因式是，则的值是（   ） A． B．5 C． D．1 【答案】D 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握因式分解法解一元二次方程是解题的关键． 由于方程左边分解因式后有一个因式是，则是方程的一个根，代入原方程即可求出的值． 【详解】解：∵将方程左边分解后有一个因式是， ∴是方程的一个根， 代入得，， 解得， 故选：D． 3．（25-26九年级上·江苏徐州·月考）关于的一元二次方程有一根为0，则的值为_____． 【答案】1 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的概念，掌握此概念是关键． 将根代入方程，得到关于m的方程，解出m的值，并根据一元二次方程的定义排除无效值即可． 【详解】解：∵方程有一根为0， ∴将代入方程， 得 解得或． 又∵该方程是一元二次方程， ∴二次项系数， ∴不符合题意，舍去． 故． 故答案为：1． 题型09 选用合适的方法解一元二次方程 典｜例｜精｜析 1．（24-25八年级下·全国·课后作业）不解方程，指出用什么方法解下列一元二次方程比较合适． ①； ②； ③； ④． 【答案】①直接开平方法；②公式法；③因式分解法；④配方法 【分析】本题考查了解一元二次方程-因式分解法，配方法，公式法，直接开平方法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．根据方程的特点选择合适的方法即可． 【详解】解：①，选用直接开平方法比较合适； ②，选用公式法比较合适； ③，选用因式分解法比较合适； ④，选用配方法比较合适． 变｜式｜巩｜固 1．（22-23八年级下·山东泰安·月考）用合适方法解下列方程 (1)； (2)． (3) (4) 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】（1）利用公式法求解即可； （2）变形后，利用因式分解法求解； （3）利用因式分解法求解； （4）移项后，利用因式分解法求解． 【详解】（1）解：， 则，，， ∴， ∴， 解得：，； （2）， ∴， ∴， ∴， ∴或， 解得：，； （3）， ∴， ∴或， 解得：，； （4）， ∴， ∴， 即， ∴或， 解得：，． 【点睛】本题考查了一元二次方程的不同解法．一般有直接开平方法，配方法，求根公式法和因式分解法，要针对题目选用适当的方法求解． 2．（23-24九年级上·天津东丽·月考）（1）解方程：                               （2）解方程：   （3）解方程：                           （4）解方程： 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】（1）利用直接开平方法解答，即可求解； （2）利用直接开平方法解答，即可求解； （3）利用因式分解法解答，即可求解； （4）利用因式分解法解答，即可求解． 【详解】解：（1）， ∴，          即， 解得：； （2）， ∴ 解得：； （3） ∴， ∴， 解得：；                           （4） ∴， ∴， 解得：． 【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 题型10 解含绝对值/根号的一元二次方程 典｜例｜精｜析 1．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）阅读下面的例题：解方程， 解：当时，原方程化为，解得：，（不合题意，舍去）； 当时，原方程化为，解得：（不合题意，舍去），． 原方程的根是，． (1)解方程； (2)解方程． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了一元二次方程解法、解含绝对值的方程． （1）参照例题方法，根据绝对值的性质，将原方程化为两个一元二次方程求解，注意舍根； （2）根据绝对值的性质，将原方程化为两个一元二次方程求解，注意舍根． 【详解】（1）解：当时，原方程化为， 解得：，（不合题意，舍去）； 当时，原方程化为， 解得，（不合题意，舍去）； 原方程的根是，． （2）当，即时，原方程化为， 解得：，（不合题意，舍去）； 当，即时，原方程化为， 解得：，（不合题意，舍去）； 原方程的解是，． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·陕西西安·月考）真正的学习是自学的，下面是小诗同学的数学笔记，请认真学习笔记内容． 解方程：． 解：设，则原方程化为， 解得，（舍去）． 当时，， 解得，． 总结：①解方程的过程中，设，用到了换元法，把看作一个整体a，先解关于a的一元二次方程． ②注意取值范围，舍去不符合条件的a的值，再求出x的值． 根据小诗同学笔记本上的内容，解方程：． 【答案】，． 【分析】本题考查解一元二次方程．根据学习笔记内容设，则原方程化为，进一步计算，求出方程的解即可． 【详解】解：设，则原方程化为， 解得，（舍去）． 当时，， 解得，． 2．（22-23九年级上·湖北随州·月考）解方程： (1)； (2)； (3)； (4)阅读下列“问题”与“提示”后，将解方程的过程补充完整，求出的值． 【问题】解方程： 【提示】可以用“换元法”解方程． 解：设，则有，原方程可化为：． 【续解】 【答案】(1)，； (2)，； (3)，； (4)原方程的解为，． 【分析】（1）利用因式分解法求解即可； （2）两边直接开平方求解即可； （3）根据公式法求解即可． （4）利用因式分解法解方程得到（舍去），，再分别解方程，然后进行检验确定原方程的解． 【详解】（1）解：， ∴， ∴或， 解得：，； （2）解：， ∴， ∴或， 解得：，； （3）解：， ， ， ∴， 解得：，； （4）解：设，则有， 原方程可化为：． ∴， ∴或， ∴（舍去），， ∴，则， 配方得， 解得，； 经检验，原方程的解为，． 【点睛】本题考查直接开平方法和公式法解一元二次方程，求根公式为．也考查了用换元法解无理方程：解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法．注意：用乘方法来解无理方程，往往会产生增根，应注意验根． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十五章 一元二次方程 25.2.3 因式分解法 知识点一 因式分解法 定义：将一元二次方程因式分解，使方程化为两个一次因式乘积等于0的形式，再使这两个一次因式分别等于0，从而实现降次，这种解法叫做因式分解法. 关键：将一元二次方程因式分解，降次为一元一次方程. 依据：如果两个因式的乘积为0，那么这两个因式中至少一个为0，即若ab=0，则a=0或b=0. 用因式分解法解一元二次方程的一般步骤： 一般步骤 方法 典例 移项 将方程右边的各项移到方程左边，使方程右边为0 化积 将方程左边分解为两个一次因式相乘的形式 原方程变形为 转化 令两个一次式分别为零，得到两个一元一次方程 求解 解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解 即学即练 1．（25-26九年级上·辽宁丹东·期中）一元二次方程的根是______． 2．（25-26九年级上·四川泸州·月考）方程的两个根是__________． 3．（25-26九年级上·四川眉山·期中）方程的两个根是等腰三角形的腰和底，则该三角形的周长为________． 知识点二 选用合适的方法解一元二次方程 方法 说明 直接开平方法 方程没有一次项时用直接开平方法较为简单（最直接的方法） 配方法 二次项系数为 1，一次项系数为偶数时，用此方法较为简单（最基本的方法） 公式法 在配方法和公式法中，当各项系数均为整数，且绝对值较小时，首选公式法（万能方法） 因式分解法 方程没有常数项时用因式分解法较为简单；当方程中含有括号时，不要急于去括号，应观察是否能看作整体，直接因式分解（最简便的方法） 即学即练 1．（24-25九年级上·安徽淮南·期末）解下列方程： (1) (2) 2．（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·月考）解下列方程： (1) (2) (3) 3．（25-26九年级上·辽宁鞍山·月考）解下列一元二次方程： (1)； (2)． 题型01 提公因式法解一元二次方程 典｜例｜精｜析 1．（25-26九年级上·河南驻马店·期末）用因式分解法解方程，正确的是（   ） A．，， B．， C．，， D．， 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·吉林长春·期末）方程的解是（　　） A． B． C． D． 2．（2026·内蒙古通辽·二模）已知一元二次方程的两个实数根为，则__________． 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）小华在解方程时，只得出一个根是，则被他漏掉的一个根是____． 题型02 公式法解一元二次方程 典｜例｜精｜析 1．（25-26九年级上·福建·期末）方程的根为（    ） A． B． C．， D． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·甘肃武威·月考）方程的解为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·四川眉山·期中）方程的解是（   ） A．2或0 B．或0 C． D．或0 3．（25-26九年级上·广东惠州·期中）我们规定一种运算：．依据以上规定计算：当____时，． 题型03 判断因式分解法解方程的正误 典｜例｜精｜析 1．（25-26九年级上·湖南长沙·期中）解方程的“规范”就像建筑的“地基”，错一步可能满盘皆错．学习解一元二次方程，必须严格遵守方程变形的基本法则．例如：下面解一元二次方程的过程所得出的错误结果，就是由于不遵守数学基本法则导致的．求解一元二次方程时，推理过程如下： 第一步：根据因式分解法，将右边分解为 ； 第二步：直接将方程两边同时除以，得到； 第三步：去括号，得到； 第四步：移项，得到； 第五步：系数化为1，解得 请你判断上述推理过程中，第__________步是错误的，它违背了数学的基本法则． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·河南郑州·期中）下面是小刚同学和小颖同学解一元二次方程的过程， 请仔细阅读并完成相应的任务． 小刚同学： 解：第一步 第二步 第三步 解得第四步 小颖同学： 解：第一步 第二步 第三步 或第四步 解得第五步 任务一： ①小刚同学的解答过程中，从第___________步开始出现错误．错误的原因是___________； ②小颖同学的解答过程中，从第___________步开始出现错误．错误的原因是___________ 任务二：请直接写出该一元二次方程的正确的解___________ 任务三：解方程：； 2．（25-26九年级上·河北唐山·期中）下面分别是甲、乙两位同学板演的解题过程． 甲同学： 解：，，    第一步 ∴        第二步 ∴                第三步 ，                第四步 乙同学：     第一步     第二步         第三步 (1)甲同学解一元二次方程的方法是 ； (2)甲乙两名同学板演都出现了错误，分别写出他们从第几步开始出现错误； (3)从甲、乙两位同学中任选一个方程进行正确解答． 题型04 非标准形式方程，先整理再因式分解 典｜例｜精｜析 1．（25-26九年级上·江西萍乡·期中）对于实数p，q，我们用符号表示p，q两数中较小的数，如若，则（   ）． A．3或 B．或 C．或 D．3或 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·山东聊城·月考）一元二次方程的解为______． 2．（24-25九年级上·甘肃酒泉·期中）若，则__________ 3．（25-26九年级上·广东湛江·期末）解方程：． 题型05 因式分解法解含括号的方程 典｜例｜精｜析 1．（25-26九年级上·广东江门·期中）一元二次方程的解是_____． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·宁夏银川·期中）解下列方程 2．（25-26九年级上·河南洛阳·期末）用适当的方法解方程： (1)； (2)； (3)． 3．（25-26九年级上·江西上饶·期末）解下列方程： (1)； (2) 题型06 十字相乘法解简单一元二次方程 十字相乘法是因式分解当中的一种方法，分解二次项系数和常数项为两数相乘的形式，竖排排列，十字交叉相乘并相加后的结果等于一次项系数，即分解完成，“数分成竖，交叉验;横写成因，不能乱”. 典｜例｜精｜析 1．（山东省菏泽市成武县2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题）若一元二次方程的两根分别是，，则这个方程可以是（   ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·宁夏固原·期中）已知关于的一元二次方程的两根分别是直角三角形的两直角边，则这个直角三角形的面积为（） A．6 B．5 C．4 D．3 2．（25-26九年级上·山东聊城·月考）我们将这样子的式子称为二阶行列式，它的运算法则公式表示就是，例如，若，则（    ） A．2 B．4 C．2或4 D．或 3．（25-26九年级上·山东聊城·月考）三角形的两边长分别是3和4，第三边长是方程的根，则该三角形的周长为______． 4．（河南省洛阳市宜阳县2025-2026学年上学期九年级数学期中考试试卷）已知，且，则的值为（    ） A．3 B． C． D．或 5．（25-26九年级上·天津·期末）已知方程的两个解为，则的值为（   ） A． B． C． D． 题型07 换元法解一元二次方程 换元法是一种数学的基本方法，一般用来简化运算，初中数学中常用的换元法有整体换元、部分换元、韦达换元、平均值换元、增量型换元等，正确运用换元法的前提是要对题目的特征有比较清晰合理的认识. 典｜例｜精｜析 1．（四川省射洪中学校2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题）若 , 则=（ ） A．或 B．或 C． D． 变｜式｜巩｜固 1．（湖北省应城市2025-2026学年九年级上学期期中考试数学试卷）已知，则 _________． 2．（25-26九年级上·江苏南京·月考）方程，则______． 3．（25-26九年级上·江苏扬州·月考）请阅读下列材料： 解方程． 解法如下： 将视为一个整体，然后设，则， 原方程可化为，解得，． （1）当时，，解得； （2）当时，，解得． 综合（1）（2），可得原方程的解为． 请你参考明明同学的思路，解方程． 4．（25-26九年级上·贵州遵义·期中）阅读材料，解答问题． 解方程：． 解：把视为一个整体，设， 则原方程化为， 解得，． 或． ，． 以上方法就叫做“换元法”，达到简化或降次的目的，体现了转化的思想． 请仿照材料解下列方程： (1)． (2)． 题型08 因式分解法与含参问题综合 典｜例｜精｜析 1．（25-26九年级上·江西九江·期末）已知关于x的方程的一根为1，则该方程的另一根为_________． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·山东济宁·期末）已知关于的一元二次方程的一个解是，则的值为__________． 2．（2025九年级上·全国·专题练习）用分解因式法解方程，将左边分解后有一个因式是，则的值是（   ） A． B．5 C． D．1 3．（25-26九年级上·江苏徐州·月考）关于的一元二次方程有一根为0，则的值为_____． 题型09 选用合适的方法解一元二次方程 典｜例｜精｜析 1．（24-25八年级下·全国·课后作业）不解方程，指出用什么方法解下列一元二次方程比较合适． ①； ②； ③； ④． 变｜式｜巩｜固 1．（22-23八年级下·山东泰安·月考）用合适方法解下列方程 (1)； (2)． (3) (4) 2．（23-24九年级上·天津东丽·月考）（1）解方程：                               （2）解方程：   （3）解方程：                           （4）解方程： 题型10 解含绝对值/根号的一元二次方程 典｜例｜精｜析 1．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）阅读下面的例题：解方程， 解：当时，原方程化为，解得：，（不合题意，舍去）； 当时，原方程化为，解得：（不合题意，舍去），． 原方程的根是，． (1)解方程； (2)解方程． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·陕西西安·月考）真正的学习是自学的，下面是小诗同学的数学笔记，请认真学习笔记内容． 解方程：． 解：设，则原方程化为， 解得，（舍去）． 当时，， 解得，． 总结：①解方程的过程中，设，用到了换元法，把看作一个整体a，先解关于a的一元二次方程． ②注意取值范围，舍去不符合条件的a的值，再求出x的值． 根据小诗同学笔记本上的内容，解方程：． 2．（22-23九年级上·湖北随州·月考）解方程： (1)； (2)； (3)； (4)阅读下列“问题”与“提示”后，将解方程的过程补充完整，求出的值． 【问题】解方程： 【提示】可以用“换元法”解方程． 解：设，则有，原方程可化为：． 【续解】 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $