25.1 一元二次方程（知识解读）-2026-2027学年九年级数学上册《知识解读·题型专练》（人教版）

本初中数学讲义聚焦一元二次方程核心知识，系统梳理定义（含整式方程、一个未知数、最高次数2三个条件）、一般形式（ax²+bx+c=0，a≠0）及解的概念，形成从概念理解到规范表达再到应用的学习支架。 资料以题型归纳为亮点，含5类题型及变式训练，通过辨析概念（如题型1）、参数求解（题型2）等培养抽象能力与推理意识，例题与随堂检测结合，课中辅助教师互动教学，课后助力学生查漏补缺，提升应用能力。

25.1 一元二次方程（知识解读） 【新教材人教版】 题型归纳 【题型1 一元二次方程的概念】.....................................................................................................................1 【题型2 根据一元二次方程的概念求参数】.................................................................................................3 【题型3 一元二次方程的一般形式】............................................................................................................5 【题型4 一元二次方程的解】.......................................................................................................................6 【题型5 已知一元二次方程的解整体带入求值】.........................................................................................8 【随堂检测】..................................................................................................................................................9 知识点1 一元二次方程的定义 1.定义：如果方程中只含有一个未知数，且含有未知数的式子都是整式，未知数的最高次数是2，这样的方程叫作一元二次方程. 2.一元二次方程必须同时满足三个条件：是整式方程、只含有一个未知数、未知数的最高次数是2. 例如：=2，，，，均不是一元二次方程. 【题型1 一元二次方程的概念】 【例1】下列是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】一元二次方程需满足：是整式方程，只含一个未知数，未知数最高次数为2且二次项系数不为0． 【详解】解：A、含有和两个未知数，不符合定义，∴A错误； B、满足定义，只含一个未知数，最高次数为2，且是整式方程，∴B正确； C、未说明二次项系数，若，方程不是一元二次方程，∴C错误； D、分母含有未知数，属于分式方程，不是整式方程，不符合定义，∴D错误． 【变式1-1】下列各式中，属于一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A．是不等式，不是方程，故A不符合要求． B．分母含有未知数，是分式方程，不是整式方程，故B不符合要求． C．整理后为，未知数最高次数为2，是一元二次方程，故C符合要求． D．含有两个未知数，是二元一次方程，故D不符合要求． 【变式1-2】下列方程中，一元二次方程的个数有（   ） （1）；（2）；（3）；（4）． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】根据一元二次方程的定义，逐个判断每个方程是否符合要求，统计符合定义的方程个数即可，一元二次方程需满足：只含一个未知数，未知数最高次数为2，是整式方程． 【详解】解：（1）对于， ∵只含有1个未知数x，未知数最高次数为2，且是整式方程， ∴是一元二次方程； （2）对于， ∵含有x和y两个未知数， ∴不是一元二次方程； （3）对于， ∵只含有1个未知数x，未知数最高次数为2，且是整式方程， ∴是一元二次方程； （4）对， ∵分母含有未知数x，不是整式方程， ∴不是一元二次方程． 综上，一元二次方程共有2个． 【变式1-3】若方程 是关于的一元二次方程，则“”可以是(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的定义，需明确一元二次方程需满足只含一个未知数、未知数最高次数为2、是整式方程这几个条件，据此逐一分析选项即可． 【详解】解：∵一元二次方程的定义为只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程 ∴对各选项分析如下： A选项：代入后方程为，含有两个未知数和，不符合一元二次方程定义； B选项：代入后方程为，整理得，未知数最高次数为1，是一元一次方程，不符合题意； C选项：代入后方程为，整理得，只含一个未知数，且的最高次数为2，符合一元二次方程定义，符合题意； D选项：代入后方程为，整理得，未知数最高次数为1，是一元一次方程，不符合题意； 故选：C． 【题型2 根据一元二次方程的概念求参数】 【例2】若方程是关于的一元二次方程，则的值为（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】一元二次方程需满足两个条件：未知数的最高次数为，且二次项系数不为，据此列关系式求解即可． 【详解】∵方程是关于的一元二次方程. ∴，解得：， ∴． 【变式2-1】若关于x的方程是一元二次方程，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D．a为任意实数 【答案】B 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴． 【变式2-2】若关于x的方程是一元二次方程，则m的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一元二次方程的定义，需满足两个条件：最高次项的次数为2，且二次项系数不为0，据此列等式和不等式求解即可． 【详解】解：方程是一元二次方程， ∴且， 解得且， ∴． 【变式2-3】若关于x的方程是关于x的一元二次方程，则m的取值是（    ） A．任意实数 B．1或 C．1 D． 【答案】C 【分析】根据一元二次方程的定义求解，一元二次方程需满足条件，未知数最高次数为2，且二次项系数不为0，据此计算m的取值即可 【详解】解：∵关于x的方程是关于x的一元二次方程， ∴， 解得或， ∵ ∴， ∴． 知识点2 一元二次方程的一般形式 1.一元二次方程的一般形式是()，其中是二次项，是二次项系数;是一次项，是一次项系数；是常数项. 2.（1）是一元二次方程一般形式的重要条件，但是b，c可以为0；（2）任何一个一元二次方程都可以化成一般形式；（3）一元二次方程的各项都包含它前面的符号. 3.一元二次方程的特殊形式. （1)当b=0时，得()； （2)当c=0时，得()； （3)当b=0且c=0时,得(). 【题型3 一元二次方程的一般形式】 【例3】把一元二次方程化成一般形式，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次方程的一般形式（，，，为常数），先展开多项式乘法，再移项合并同类项即可得到结果． 【详解】解：原方程为， 展开左边得， 整理得， 移项合并同类项得． 【变式3-1】把一元二次方程化成一般式，则a，b，c的值分别是（     ） A．，2，5 B．2，， C．1，4， D．，， 【答案】B 【分析】将原方程整理为的形式，即可确定，，的值. 【详解】解：原方程为， 展开左边得， 移项整理为一般式得， ，，． 【变式3-2】一元二次方程的二次项系数和一次项系数分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】一元二次方程的一般形式为 ，其中a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项． 【详解】解：一元二次方程的二次项系数和一次项系数分别为5和． 【变式3-3】把方程化成一般形式，得到，则的值为（   ） A．3 B． C．7 D． 【答案】A 【分析】将方程化为一般形式，比较系数即可解答． 【详解】解：， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， ∴． 知识点3 一元二次方程的解（根） 1.定义：使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根. 2.一元二次方程可能没有实数根，可能有两个相等的实数根，也可能有两个不相等的实数根.若，是一元二次方程()的两个实数根，则下列两个等式成立，并可利用这两个等式求解未知参数：()，(). 【题型4 一元二次方程的解】 【例4】已知是关于的一元二次方程的一个根，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将已知根代入原方程，得到关于的一元一次方程，解方程即可求解． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个根， ∴， 解得． 【变式4-1】若是方程的解，则的值是（     ） A． B．3 C． D．1 【答案】B 【分析】根据方程的解的定义，将已知的解代入原方程，即可计算出的值． 【详解】解：∵是方程的解， ∴ 将代入原方程得 计算得． 【变式4-2】如果一元二次方程满足，那么，我们称这个方程为“凤凰方程”，已知是“凤凰”方程且有一个解为，则下列结论正确的是（    ） A．， B．， C．， D． 【答案】C 【分析】本题考查了新定义，一元二次方程的解． 根据凤凰方程的定义得，根据方程且有一个解为得，通过加减消元即可求解． 【详解】解：∵方程是凤凰方程， ∴． ∵是方程的解， ∴，即． 将两式相加：，得 ， ∴，即． 将两式相减：，得 ， ∴． 故且， 故选C． 【变式4-3】已知，则一元二次方程（）必有一个根是（　　） A．1 B． C．0 D． 【答案】D 【分析】本题考查的是一元二次方程的根，即方程的解的定义．解题的关键是要掌握一元二次方程中几个特殊值的特殊形式：时，；时，．一元二次方程中几个特殊值的特殊形式：时，；时，．只需把代入一元二次方程中验证即可． 【详解】解：把代入一元二次方程中得， 所以当，且，则一元二次方程必有一个定根是． 故选：D． 【题型5 已知一元二次方程的解整体带入求值】 【例5】若m是方程的一个根，则的值是（    ） A．2028 B．2027 C．2026 D．2025 【答案】C 【分析】根据m是方程的一个根得到，再代入计算即可． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴， 即， ∴． 【变式5-1】若是方程的一个实数根，则的值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的根、代数式求值，熟练掌握一元二次方程的根的定义是解题关键．先根据一元二次方程的根的定义可得，再代入计算即可得． 【详解】解：∵是方程的一个实数根， ∴，即， ∴ ． 故选：D． 【变式5-2】若是关于的方程的解，则的值是（    ） A．2020 B．2022 C．2021 D．2024 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的解，代数式求值，注意整体思想的运用． 将 代入方程，求出 的值，再整体代入所求表达式计算． 【详解】解：是方程的解， ， ． ． 故选： B． 【变式5-3】设是方程的一个实数根，则的值为（    ） A．2026 B．2028 C．2030 D．2032 【答案】C 【详解】解：∵是方程的实数根， ∴，即， 对所求代数式变形得： ， 将代入得： 原式 ， 故选C 随堂检测c 1．下列方程中是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次方程需满足的三个条件：只含一个未知数，未知数最高次数为2，是整式方程，逐一判断各选项即可. 【详解】解：选项A： 满足全部三个条件，是一元二次方程； 选项B： 中未知数最高次数为1，不符合定义； 选项C： 含有x和y两个未知数，不符合定义； 选项D： 是分式方程，不是整式方程，不符合定义. 2．若关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【详解】解：∵是一元二次方程 的一个根， ∴将代入原方程得， 解得． 3．一元二次方程化为一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（   ） A．6，5， B．6，4， C．6，，4 D．6，，5 【答案】B 【分析】一元二次方程的一般形式为（），其中为二次项系数，为一次项系数，为常数项，将原方程整理为一般形式即可确定对应系数． 【详解】解：∵原方程为 移项整理得一般形式： ∴二次项系数为，一次项系数为，常数项为． 4．若是一元二次方程的根，则代数式的值为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先化简原方程，将代入方程得到关于的等式，变形求出，最后代入代数式计算结果． 【详解】解：，整理得：． ∵是该一元二次方程的根， ∴，移项得：， ∴． 5．小冀与小豫一起写作业，在解同一道一元二次方程时，小冀在化简过程中写错了常数项，得到方程的两个根是2和1；小豫在化简过程中写错了一次项的系数，得到方程的两个根是和．已知原方程的二次项系数为1，则（    ） A．原方程的一次项系数为3 B．原方程的常数项为 C．1是原方程的一个根 D．是原方程的一个根 【答案】C 【分析】本题根据两人写错系数的情况，分别得到正确的一次项系数和常数项，结合已知二次项系数得到原方程，再逐一判断选项，用到一元二次方程因式分解形式的初中知识点． 【详解】解：设原一元二次方程为 ，题目已知二次项系数为． ∵ 小冀写错常数项，一次项系数 正确，且小冀得到的两根为 和 ， ∴ 小冀写的方程为 ，展开得 ， ∴ 可得正确的一次项系数 ． ∵ 小豫写错一次项系数，常数项 正确，且小豫得到的两根为 和 ， ∴ 小豫写的方程为 ，展开得 ， ∴ 可得正确的常数项 ． 因此原方程为 ，因式分解得 ，原方程的根为 ． 逐一判断选项： A.原方程一次项系数为 ，A 错误． B.原方程常数项为 ，B 错误． C. 是原方程的一个根，C 正确． D. 不是原方程的根，D 错误． 6．已知代数式的值如下表，则关于的一元二次方程的根为(   ) A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查的解一元二次方程，从表格中直接读取代数式的值为时对应的值，即为方程的根． 【详解】解：当时，代数式的值为；当时，代数式的值也为， 方程的根为或． 故选：C． 7．已知是关于x的一元二次方程，则m的值为________． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的定义，得到未知数最高次数为，且二次项系数不为，据此列方程即可求解． 【详解】解：方程是关于的一元二次方程； 解得，即； 由得． ． 8.在一元二次方程的研究中小明发现，小红发现，而小刚听完他们的发现后直接说出了方程的两个解，则这个方程的根为__________． 【答案】 【详解】解：依题意，当时，代入方程左边得：，已知，即左边右边，所以是方程的一个解． 当时，代入方程左边得：，已知，即左边右边，所以是方程的一个解． 所以这个方程的根为，． 9．若是关于的方程的解，则多项式的值是_______． 【答案】2025 【分析】本题考查一元二次方程的解，将代入方程得到 的值，然后整体代入多项式求值． 【详解】解：∵是关于的方程的解， ∴， ∴， 则． 故答案为：2025． 10．关于x的二次三项式，满足下表中的对应关系：则一元二次方程的两个整数根是_____________． x … 0 1 2 4 5 … … 16 7 7 16 … 【答案】3； 【分析】本题考查的是一元二次方程的特殊解法，根据表格中的数据可知当时，，当时，，因此方程在和之间有一个整数根 ．同理，当时，，当时，．方程在和之间有一个整数根，根据两根互为相反数，这两个整数根分别为和 ． 【详解】解：由表格数据可知， 当和时，； 当和时，； 当和时，； 当和时，． ∴方程的两个根互为相反数 ． ∵当时，；当时，， ∴在范围内存在的一个根 ． ∵根为整数， ∴该根为 ． 同理，当时，；当时，， 故在范围内存在的一个根，且为整数 ． 综上，一元二次方程的两个整数根为3和 ． 故答案为3和． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 25.1 一元二次方程（知识解读） 【新教材人教版】 题型归纳 【题型1 一元二次方程的概念】.....................................................................................................................1 【题型2 根据一元二次方程的概念求参数】.................................................................................................2 【题型3 一元二次方程的一般形式】............................................................................................................2 【题型4 一元二次方程的解】.......................................................................................................................3 【题型5 已知一元二次方程的解整体带入求值】.........................................................................................3 【随堂检测】..................................................................................................................................................4 知识点1 一元二次方程的定义 1.定义：如果方程中只含有一个未知数，且含有未知数的式子都是整式，未知数的最高次数是2，这样的方程叫作一元二次方程. 2.一元二次方程必须同时满足三个条件：是整式方程、只含有一个未知数、未知数的最高次数是2. 例如：=2，，，，均不是一元二次方程. 【题型1 一元二次方程的概念】 【例1】下列是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】下列各式中，属于一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】下列方程中，一元二次方程的个数有（   ） （1）；（2）；（3）；（4）． A．个 B．个 C．个 D．个 【变式1-3】若方程 是关于的一元二次方程，则“”可以是(   ) A． B． C． D． 【题型2 根据一元二次方程的概念求参数】 【例2】若方程是关于的一元二次方程，则的值为（   ）． A． B． C． D． 【变式2-1】若关于x的方程是一元二次方程，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D．a为任意实数 【变式2-2】若关于x的方程是一元二次方程，则m的值是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】若关于x的方程是关于x的一元二次方程，则m的取值是（    ） A．任意实数 B．1或 C．1 D． 知识点2 一元二次方程的一般形式 1.一元二次方程的一般形式是()，其中是二次项，是二次项系数;是一次项，是一次项系数；是常数项. 2.（1）是一元二次方程一般形式的重要条件，但是b，c可以为0；（2）任何一个一元二次方程都可以化成一般形式；（3）一元二次方程的各项都包含它前面的符号. 3.一元二次方程的特殊形式. （1)当b=0时，得()； （2)当c=0时，得()； （3)当b=0且c=0时,得(). 【题型3 一元二次方程的一般形式】 【例3】把一元二次方程化成一般形式，正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】把一元二次方程化成一般式，则a，b，c的值分别是（     ） A．，2，5 B．2，， C．1，4， D．，， 【变式3-2】一元二次方程的二次项系数和一次项系数分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式3-3】把方程化成一般形式，得到，则的值为（   ） A．3 B． C．7 D． 知识点3 一元二次方程的解（根） 1.定义：使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根. 2.一元二次方程可能没有实数根，可能有两个相等的实数根，也可能有两个不相等的实数根.若，是一元二次方程()的两个实数根，则下列两个等式成立，并可利用这两个等式求解未知参数：()，(). 【题型4 一元二次方程的解】 【例4】已知是关于的一元二次方程的一个根，则的值为（     ） A． B． C． D． 【变式4-1】若是方程的解，则的值是（     ） A． B．3 C． D．1 【变式4-2】如果一元二次方程满足，那么，我们称这个方程为“凤凰方程”，已知是“凤凰”方程且有一个解为，则下列结论正确的是（    ） A．， B．， C．， D． 【变式4-3】已知，则一元二次方程（）必有一个根是（　　） A．1 B． C．0 D． 【题型5 已知一元二次方程的解整体带入求值】 【例5】若m是方程的一个根，则的值是（    ） A．2028 B．2027 C．2026 D．2025 【变式5-1】若是方程的一个实数根，则的值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 【变式5-2】若是关于的方程的解，则的值是（    ） A．2020 B．2022 C．2021 D．2024 【变式5-3】设是方程的一个实数根，则的值为（    ） A．2026 B．2028 C．2030 D．2032 随堂检测c 1．下列方程中是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．若关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（   ） A．1 B． C．2 D． 3．一元二次方程化为一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（   ） A．6，5， B．6，4， C．6，，4 D．6，，5 4．若是一元二次方程的根，则代数式的值为（  ） A． B． C． D． 5．小冀与小豫一起写作业，在解同一道一元二次方程时，小冀在化简过程中写错了常数项，得到方程的两个根是2和1；小豫在化简过程中写错了一次项的系数，得到方程的两个根是和．已知原方程的二次项系数为1，则（    ） A．原方程的一次项系数为3 B．原方程的常数项为 C．1是原方程的一个根 D．是原方程的一个根 6．已知代数式的值如下表，则关于的一元二次方程的根为(   ) A． B． C．或 D．或 7．已知是关于x的一元二次方程，则m的值为________． 8.在一元二次方程的研究中小明发现，小红发现，而小刚听完他们的发现后直接说出了方程的两个解，则这个方程的根为__________． 9．若是关于的方程的解，则多项式的值是_______． 10．关于x的二次三项式，满足下表中的对应关系：则一元二次方程的两个整数根是_____________． x … 0 1 2 4 5 … … 16 7 7 16 … 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $