5.3分式方程 讲义 2025--2026学年北师大版八年级数学下册

本初中数学讲义聚焦分式方程核心知识点，构建从概念认知到实际应用的完整学习支架。先明确分式方程定义及判断关键（分母含未知数且不化简判断），再通过实例学习列方程，系统讲解解法步骤（去分母转化整式方程、解整式方程、验根、处理增根），最后结合工程行程等问题强化应用。 本资料特色在于强化概念辨析与实际应用结合，通过《四元玉鉴》“买椽多少”等传统文化问题引导学生用数学眼光观察现实，在解分式方程步骤（如验根必要性）中培养严谨推理思维，以分层练习助力课中教学与课后巩固，提升学生用数学语言表达问题的能力。

5.3分式方程 考点1: 分式方程的概念 定义：分母中含有未知数的方程叫作分式方程 · ①判断一个方程是不是分式方程的关键是看原方程分母中是否含有未知数，如中，分母中含有未知数x，是分式方程，注意不能化简后再判断. ②分母中含有字母的方程未必是分式方程. 考点2: 根据实际问题列分式方程：正确理解题目的含义→找出其中的数量关系和等量关系→列出分式方程 练习1. 1. 下列式子：①＝1；②＝；③＋；④＝9；⑤＝1；⑥－2＝x(x≠0)．其中，是关于x的分式方程有( ). A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2. 下列关于x的方程中①＝3；②＝1＋；③＋＝2；④－3＝4＋a；⑤＋1＝0，其中是分式方程的有( ). A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3. 已知甲厂烧100吨煤与乙厂烧120吨煤所用的天数相同，已知甲、乙两厂每天一共烧煤33吨，求甲、乙两厂每天分别烧煤多少吨？若设甲厂每天烧x吨煤，则根据题意列方程为 ． 4. 李老师购置了一辆电动汽车，他驾车上班所需的时间比乘公交车少用了12分钟，李老师家到学校的距离为8千米.已知电动汽车的平均速度是公交车的2倍，若设乘公交车平均每小时走x千米，则可列方程 为 ． 考点3: 解分式方程 1. 解分式方程的基本思路：通过去分母把分式方程转化为整式方程. 2. 解分式方程的一般步骤： 解分式方程的步骤 示例 去分母(方程两边同乘最简公分母)→化成整式方程 解方程：－＝0. 解：方程的两边同乘(x－1)(x＋1)，得：3(x＋1)－(x＋3)＝0 解得：x＝0 检验：当x＝0时，(x－1)(x＋1)＝－1≠0 ∴原方程的解为x＝0 解整式方程(得x＝a) 检验最简公分母 写：①为0→x＝a是分式方程的增根(无解) ②不为0→x＝a是分式方程的根 · 验根是解分式方程必不可少的一个解题步骤，解分式方程必须验根. 3. 分式方程的增根：将分式方程转化成整式方程，若整式方程的解使得原分式方程的分母为零，则这个解叫作原方程的增根. · 得到的解是增根的两个条件： ①增根满足去分母得到的整式方程.②增根使得分式方程的最简公分母为0.两个条件缺一不可. 练习2. 1. 将分式方程－＝转化为整式方程时，方程两边都应乘以( ). A．x－1 B．x＋1 C．(x－1)( x＋1) D．(x－1)(x2－1)( x＋1) 2. 解分式方程－2＝时，去分母正确的是( ). A．1－2(x－2)＝1＋x　　　 B．1－2(x－2)＝－1＋x C．1－2(x－2)＝－1－x　　 D．－1－2(x－2)＝1＋x 3. 方程＝的解为( ). A．x＝－2　　　　B．x＝2 C．x＝－4　　　　D．x＝4 4. 解分式方程＝2＋的步骤：①方程两边都乘最简公分母x－3；②得整式方程x－1＝2(x－3)＋2； ③解得x＝3；④故原方程的解为x＝3.其中有误的一步为( ). A.①　 B.②　 C.③ D.④ 5. 已知x＝3是分式方程＝的解，则a的值为( ). A．－1 B．1 C．3 D．－3 6. 已知关于x的分式方程＝2－的解是负数，那么m的取值范围是( ). A．m＜6　　　　B．m＞6且m≠9 C．m＞3　　　　D．m＞6 7. 已知关于x的分式方程＋＝1的解是正数，则a的取值范围为 . 8. 解分式方程：(1)－＝；(2)＋＝1． 9. 若关于x的分式方程＝2＋有增根，则m＝ .  10. 若关于x的分式方程＝2m＋无解，则m＝ 　. 考点4: 列分式方程解决实际问题 列分式方程解决实际问题的一般步骤 (1)审：审清题意，弄清已知量和未知量； (2)设：设未知数； (3)列：列出分式方程； (4)解：解分式方程； (5)验：既要检验求得的解是不是分式方程的解，又要检验其是否符合实际情况； (6)答：写出答案. · ①列分式方程常用的等量关系： 工程问题：工作效率×工作时间＝工作量；总工作量＝各工作量之和. 利润问题：利润＝售价－进价；利润率＝×100%；总利润＝单件的利润×销售的数量. 行程问题：速度×时间＝路程. ②列分式方程解决实际问题时，需注意“双重检验”，既要检验求出的未知数的值是不是分式方程的根，又要检验求出的未知数的值是否符合题意. 练习3. 1. 四元玉鉴是我国古代数学重要著作之一，为元代数学家朱世杰所著．该著作记载了“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽”大意是：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？(椽，装于屋顶以支持屋顶盖材料的木杆)设这批椽有x株，则符合题意的方程是( ). A．＝3 B．＝3 C．＝3x－1 D．＝3(x－1) 2. 某车行经销的A型自行车去年6月份销售总额为1.6万元，今年由于改造升级每辆车售价比去年增加200元，今年6月份与去年同期相比，销售数量相同，销售总额增加25%．今年A，B两种型号车的进价和售价如下表： A型车 B型车 进货价格(元) 800 950 销售价格(元) 今年的销售价格 1200 (1)求今年A型车每辆售价多少元？ (2)该车行计划7月份新进一批A型车和B型车共50辆，且A型车辆至少30辆，应如何进货才能使这批车售完后获利最多？ 巩固练习： 1. 下列判断正确的是( ). A．解分式必定产生增根 B．若分式方程的根是零，则必定是增根 C．解分式方程必须验根 D．x＝3是方程＝2－的根 2. 把分式方程－＝0转化为整式方程时，方程两边需都乘( ). A. x　　 B. x＋4 C. x(x－4) D. x(x＋4) 3. 若关于x的分式方程＝m－有增根，则m的值为( ). A.－5 B.5 C.－1 D.1 4. 若关于x的分式方程＋＝1有解，则a的取值范围是( ). A.a≠ B.a≠－1 C. a＝－1 D. a≠且a≠－1 5. 某市开发区在一项工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书，工程领导小组根据甲、乙两队的投标书测算，共有三种施工方案：①甲队单独完成这项工程，刚好如期完工；②乙队单独完成此项工程要比规定工期多用5天；③，剩下的工程由乙队单独做，也正好如期完工．某同学设规定的工期为x天，根据题意列出了方程：＋＝1，则方案③中被墨水污染的部分应该是( ). A.甲乙合作了4天 B.甲先做了4天 C.甲先做了工程的 D.甲乙合作了工程的 6. 若关于x的分式方程－＝0的解为 x＝2，则常数a＝ . 7. 一艘轮船在静水中的最大航速为30km/h，它以最大航速沿江顺流航行120km所用的时间与以最大航速逆流航行60km所用的时间相同，则江水的流速为 . 8. 已知关于x的分式方程－2＝的解是正数，则m的取值范围是 . 9. 《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译为白话文是：把一份文件送到900里(1里＝0.5千米)外的城市，如果用慢马送，需要的时间比规定的时间多1天；如果用快马送，需要的时间比规定的时间少3天．已知快马的速度是慢马速度的2倍，求规定的时间．设规定的时间为x天，则可列方程为 ． 10. 小李与小王是社区图书馆整理图书的志愿者，他们在清点图书时，小王平均每分钟比小李多清点5本，小李清点200本图书所用的时间与小王清点300本图书所用的时间相同． (1)求小王平均每分钟清点图书的本数； (2)周末，该图书馆要求他们两人同时清点完3 600本图书，用时不超过3小时．但小王有事需提前离开，在两人清点图书速度不变的情况下，小王至少清点多少本图书才能离开？ 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.3分式方程 考点1: 分式方程的概念 定义：分母中含有未知数的方程叫作分式方程 · ①判断一个方程是不是分式方程的关键是看原方程分母中是否含有未知数，如中，分母中含有未知数x，是分式方程，注意不能化简后再判断. ②分母中含有字母的方程未必是分式方程. 考点2: 根据实际问题列分式方程：正确理解题目的含义→找出其中的数量关系和等量关系→列出分式方程 练习1. 1. 下列式子：①＝1；②＝；③＋；④＝9；⑤＝1；⑥－2＝x(x≠0)．其中，是关于x的分式方程有( B ). A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2. 下列关于x的方程中①＝3；②＝1＋；③＋＝2；④－3＝4＋a；⑤＋1＝0，其中是分式方程的有( A ). A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3. 已知甲厂烧100吨煤与乙厂烧120吨煤所用的天数相同，已知甲、乙两厂每天一共烧煤33吨，求甲、乙两厂每天分别烧煤多少吨？若设甲厂每天烧x吨煤，则根据题意列方程为____＝_______． 4. 李老师购置了一辆电动汽车，他驾车上班所需的时间比乘公交车少用了12分钟，李老师家到学校的距离为8千米.已知电动汽车的平均速度是公交车的2倍，若设乘公交车平均每小时走x千米，则可列方程为_ _＝＋___． 考点3: 解分式方程 1. 解分式方程的基本思路：通过去分母把分式方程转化为整式方程. 2. 解分式方程的一般步骤： 解分式方程的步骤 示例 去分母(方程两边同乘最简公分母)→化成整式方程 解方程：－＝0. 解：方程的两边同乘(x－1)(x＋1)，得：3(x＋1)－(x＋3)＝0 解得：x＝0 检验：当x＝0时，(x－1)(x＋1)＝－1≠0 ∴原方程的解为x＝0 解整式方程(得x＝a) 检验最简公分母 写：①为0→x＝a是分式方程的增根(无解) ②不为0→x＝a是分式方程的根 · 验根是解分式方程必不可少的一个解题步骤，解分式方程必须验根. 3. 分式方程的增根：将分式方程转化成整式方程，若整式方程的解使得原分式方程的分母为零，则这个解叫作原方程的增根. · 得到的解是增根的两个条件： ①增根满足去分母得到的整式方程.②增根使得分式方程的最简公分母为0.两个条件缺一不可. 练习2. 1. 将分式方程－＝转化为整式方程时，方程两边都应乘以( C ). A．x－1 B．x＋1 C．(x－1)( x＋1) D．(x－1)(x2－1)( x＋1) 2. 解分式方程－2＝时，去分母正确的是( C ). A．1－2(x－2)＝1＋x　　　 B．1－2(x－2)＝－1＋x C．1－2(x－2)＝－1－x　　 D．－1－2(x－2)＝1＋x 3. 方程＝的解为( A ). A．x＝－2　　　　B．x＝2 C．x＝－4　　　　D．x＝4 4. 解分式方程＝2＋的步骤：①方程两边都乘最简公分母x－3；②得整式方程x－1＝2(x－3)＋2； ③解得x＝3；④故原方程的解为x＝3.其中有误的一步为( D ). A.①　 B.②　 C.③ D.④ 5. 已知x＝3是分式方程＝的解，则a的值为( A ). A．－1 B．1 C．3 D．－3 6. 已知关于x的分式方程＝2－的解是负数，那么m的取值范围是( D ). A．m＜6　　　　B．m＞6且m≠9 C．m＞3　　　　D．m＞6 7. 已知关于x的分式方程＋＝1的解是正数，则a的取值范围为 a＞且a≠3 . 8. 解分式方程：(1)－＝；(2)＋＝1． 解：(1)无解；(2) x＝1 9. 若关于x的分式方程＝2＋有增根，则m＝　　－2　　.  10. 若关于x的分式方程＝2m＋无解，则m＝　　－2或　　. 考点4: 列分式方程解决实际问题 列分式方程解决实际问题的一般步骤 (1)审：审清题意，弄清已知量和未知量； (2)设：设未知数； (3)列：列出分式方程； (4)解：解分式方程； (5)验：既要检验求得的解是不是分式方程的解，又要检验其是否符合实际情况； (6)答：写出答案. · ①列分式方程常用的等量关系： 工程问题：工作效率×工作时间＝工作量；总工作量＝各工作量之和. 利润问题：利润＝售价－进价；利润率＝×100%；总利润＝单件的利润×销售的数量. 行程问题：速度×时间＝路程. ②列分式方程解决实际问题时，需注意“双重检验”，既要检验求出的未知数的值是不是分式方程的根，又要检验求出的未知数的值是否符合题意. 练习3. 1. 四元玉鉴是我国古代数学重要著作之一，为元代数学家朱世杰所著．该著作记载了“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽”大意是：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？(椽，装于屋顶以支持屋顶盖材料的木杆)设这批椽有x株，则符合题意的方程是( D ). A．＝3 B．＝3 C．＝3x－1 D．＝3(x－1) 2. 某车行经销的A型自行车去年6月份销售总额为1.6万元，今年由于改造升级每辆车售价比去年增加200元，今年6月份与去年同期相比，销售数量相同，销售总额增加25%．今年A，B两种型号车的进价和售价如下表： A型车 B型车 进货价格(元) 800 950 销售价格(元) 今年的销售价格 1200 (1)求今年A型车每辆售价多少元？ (2)该车行计划7月份新进一批A型车和B型车共50辆，且A型车辆至少30辆，应如何进货才能使这批车售完后获利最多？ 解：(1)今年A型车每辆售价1000元；(2)应进A型车30辆，B型车20辆.售完后获利最多 巩固练习： 1. 下列判断正确的是( C ). A．解分式必定产生增根 B．若分式方程的根是零，则必定是增根 C．解分式方程必须验根 D．x＝3是方程＝2－的根 2. 把分式方程－＝0转化为整式方程时，方程两边需都乘( D ). A. x　　 B. x＋4 C. x(x－4) D. x(x＋4) 3. 若关于x的分式方程＝m－有增根，则m的值为( C ). A.－5 B.5 C.－1 D.1 4. 若关于x的分式方程＋＝1有解，则a的取值范围是( D ). A.a≠ B.a≠－1 C. a＝－1 D. a≠且a≠－1 5. 某市开发区在一项工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书，工程领导小组根据甲、乙两队的投标书测算，共有三种施工方案：①甲队单独完成这项工程，刚好如期完工；②乙队单独完成此项工程要比规定工期多用5天；③，剩下的工程由乙队单独做，也正好如期完工．某同学设规定的工期为x天，根据题意列出了方程：＋＝1，则方案③中被墨水污染的部分应该是( A ). A.甲乙合作了4天 B.甲先做了4天 C.甲先做了工程的 D.甲乙合作了工程的 6. 若关于x的分式方程－＝0的解为 x＝2，则常数a＝　－1　. 7. 一艘轮船在静水中的最大航速为30km/h，它以最大航速沿江顺流航行120km所用的时间与以最大航速逆流航行60km所用的时间相同，则江水的流速为 10km/h . 8. 已知关于x的分式方程－2＝的解是正数，则m的取值范围是　m＞－2且m≠－1　. 9. 《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译为白话文是：把一份文件送到900里(1里＝0.5千米)外的城市，如果用慢马送，需要的时间比规定的时间多1天；如果用快马送，需要的时间比规定的时间少3天．已知快马的速度是慢马速度的2倍，求规定的时间．设规定的时间为x天，则可列方程为_ _×2＝___． 10. 小李与小王是社区图书馆整理图书的志愿者，他们在清点图书时，小王平均每分钟比小李多清点5本，小李清点200本图书所用的时间与小王清点300本图书所用的时间相同． (1)求小王平均每分钟清点图书的本数； (2)周末，该图书馆要求他们两人同时清点完3 600本图书，用时不超过3小时．但小王有事需提前离开，在两人清点图书速度不变的情况下，小王至少清点多少本图书才能离开？ 解：(1)小王平均每分钟清点图书15本.(2)小王至少清点1 800本图书才能离开． 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $