第五章 分式与分式方程（必备知识+12题型+分层检测）（复习讲义）数学新教材北师大版八年级下册

第五章 分式与分式方程（复习讲义） 1. 了解分式及分式方程的意义，体会分式与分数的相似性（基本性质、约分、通分）以及分式方程与整式方程在解法上的联系与区别。 2. 能用分式的基本性质进行约分、通分，能熟练进行分式的乘除、加减及混合运算，并注意运算顺序及结果化为最简分式。 3. 理解并利用“去分母”法解分式方程，掌握“一化二解三检验”的步骤，能正确判断并舍去增根。 4. 能根据实际问题中的工程、行程、销售等数量关系建立分式方程模型并求解，注意检验解的合理性，避免漏乘常数项、忘记检验等易错点。 知识清单01 分式的概念及基本性质 1.分式的概念 （1）分式的概念：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式． （2）因为0不能做除数，所以分式的分母不能为0． （3）分式是两个整式相除的商，分子就是被除式，分母就是除式，而分数线可以理解为除号，还兼有括号的作用． （4）分式的分母必须含有字母，而分子可以含字母，也可以不含字母，亦即从形式上看是的形式，从本质上看分母必须含有字母，同时，分母不等于零，且只看初始状态，不要化简． 2．分式有意义的条件 （1）分式有意义的条件是分母不等于零． （2）分式无意义的条件是分母等于零． （3）分式的值为正数的条件是分子、分母同号． （4）分式的值为负数的条件是分子、分母异号． 3．分式的值为零的条件 分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零． 4．分式的基本性质 （1）分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变． （2）分式中的符号法则：分子、分母、分式本身同时改变两处的符号，分式的值不变． 5.约分 （1）约分的定义：约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分． （2）确定公因式要分为系数、字母、字母的指数来分别确定． ①分式约分的结果可能是最简分式，也可能是整式． ②当分子与分母含有负号时，一般把负号提到分式本身的前面． ③约分时，分子与分母都必须是乘积式，如果是多项式的，必须先分解因式． 6.通分 （1）通分的定义：把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分． （2）通分的关键是确定最简公分母． ①最简公分母的系数取各分母系数的最小公倍数． ②最简公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次幂的积． 7.最简分式 最简分式的定义：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式． 8.最简公分母 （1）最简公分母的定义：通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母． 知识清单02 分式的运算 1．分式的加减法 （1）同分母分式加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减． （2）异分母分式加减法法则：把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式，叫做通分，经过通分，异分母分式的加减就转化为同分母分式的加减． 2．分式的乘除法 （1）分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作积的分子，分母的积作积的分母． （2）分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘． （3）分式的乘方法则：把分子、分母分别乘方． （4）分式的乘、除、乘方混合运算．运算顺序应先把各个分式进行乘方运算，再进行分式的乘除运算，即“先乘方，再乘除”． 3．分式的混合运算 （1）分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的． （2）最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式． （3）分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律进行灵活运算． 4．分式的化简求值 先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值． 在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式． 知识清单03 分式方程定义及解法 1．分式方程的定义 分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程． 判断一个方程是否为分式方程主要是看这个方程的分母中是否含有未知数． 2．分式方程的解 求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解． 3．解分式方程 （1）解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论． （2）解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0，所以应如下检验： ①将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解． ②将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值为0，则整式方程的解不是原分式方程的解． 所以解分式方程时，一定要检验． 4．换元法解分式方程 （1）解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法． 换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理． （2）我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现． 5．分式方程的增根 （1）增根的定义：在分式方程变形时，有可能产生不适合原方程的根，即代入分式方程后分母的值为0或是转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值的根，叫做原方程的增根． （2）增根的产生的原因：对于分式方程，当分式中，分母的值为零时，无意义，所以分式方程，不允许未知数取哪些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件．当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根． （3）检验增根的方法：把由分式方程化成的整式方程的解代入最简公分母，看最简公分母是否为0，如果为0，则是增根；如果不是0，则是原分式方程的根． 知识清单04 分式方程的应用 1．分式方程的应用 （1）列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答． 必须严格按照这5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整，要写出单位等． （2）要掌握常见问题中的基本关系，如行程问题：速度＝路程时间；工作量问题：工作效率＝工作量工作时间等等． 列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能力． 【题型一】分式、最简分式、最简公分母 【例1】（25-26八年级上·湖南娄底·期末）代数式，，，，，中，属于分式的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查了分式的判断等知识点，解题关键是掌握分式的定义． 根据分式的定义，对每个代数式逐一分析，再作出判断． 【详解】解：是整式，它不是分式； 中是常数，分母不含字母，它是整式，它不是分式； 分母含字母，它是分式； 是整式，它不是分式； 分母含字母，它是分式； 分母含字母，它是分式， ∴属于分式的有、、，共3个， 故选：B． 【变式1-1】（25-26八年级上·湖北荆州·期末），，的最简公分母是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了最简公分母，根据求最简公分母的方法，先确定各分母系数的最小公倍数，再确定各字母因式的最高次幂，两者的积即为最简公分母． 【详解】解：，，的最简公分母是． 故选：B． 【变式1-2】（25-26八年级上·湖北孝感·期末）下列各式是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了最简分式，掌握相关知识点是解题的关键．根据分子与分母是否存在非零公因式，判断是否可约分，即可求解． 【详解】解：A、的分子9与分母无公因式，是最简分式，故选项A符合题目要求； B、，分子分母有公因式，不是最简分式，故选项B不符合题目要求； C、，分子分母有公因式，不是最简分式，故选项C不符合题目要求； D、，分子分母有公因式，不是最简分式，故选项D不符合题目要求． 故选：A． 【变式1-3】（25-26八年级上·山东济宁·期末）在，，，，中，分式的个数是（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查分式的判断，解题的关键是掌握：如果、为整式，且中含有字母，那么式子是分式，据此逐一判断即可． 【详解】解：在，，，，中， 其中，是分式， ∴分式的个数是． 故选：B． 【题型二】分式的有无意义的条件 【例2】（25-26八年级上·湖南株洲·期末）若分式的值存在，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式有意义，分式的值存在要求分母不为0，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：∵分式的值存在， ∴分母不能为0，即， 解得． 【变式2-1】（25-26八年级上·新疆和田·期末）若分式无意义，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式无意义的条件，根据分式无意义当分母为零，因此求解分母 即可． 【详解】解：∵分式无意义当分母为零， ∴令， 解得， ∴当 时，分式无意义． 故选：B． 【变式2-2】（25-26九年级上·广东惠州·期末）若代数式有意义，则m的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】根据二次根式被开方数为非负数、分式分母不为0的性质，列不等式组求解m的取值范围即可． 【详解】∵二次根式有意义， ∴需满足， 解，得， 解，得， ∴的取值范围是且， 故选：C． 【变式2-3】（25-26八年级上·湖南邵阳·期末）已知为任意实数，下列各式中，在实数范围内一定有意义的是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件（被开方数为非负数）及分式有意义的条件（分母不为0），逐一判断各选项在为任意实数时是否有意义． 【详解】解：对选项A：要使有意义，需，即，当时无意义，不符合题意 对选项B：分母，当时式子无意义，虽分子中，但为任意实数包含，不符合题意 对选项C：要使有意义，需，即，当时无意义，不符合题意 对选项D：∵为任意实数，，∴，被开方数始终为正，∴在实数范围内一定有意义，符合题意 故选：D． 【题型三】分式的值为0的条件 【例3】（25-26八年级上·河北衡水·期末）若分式的值为，则的值为___________． 【答案】 【分析】本题考查分式的值为的条件，掌握分式值为的两个条件是解题关键． 若分式的值为，则分子为且分母不为． 【详解】解：分式的值为，则分子且分母，故，且． 故答案为：． 【变式3-1】（25-26八年级上·山东淄博·期中）若分式的值为零，则______． 【答案】 【分析】本题考查了分式值为零的条件等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 根据分式值为零需分子为零且分母不为零求解即可． 【详解】解：∵分式的值为零， ∴且分母， 解得：或， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式3-2】（25-26八年级上·北京石景山·期末）已知分式（m，n为常数）满足表格中的信息，则的值为_________． x的值 1 分式的值 不存在 0 【答案】 【分析】本题考查了分式无意义的条件及分式的值为零的条件，根据分式无意义的条件（分母为零）和分式值为零的条件（分子为零且分母不为零），分别求出和的值，再计算． 【详解】解：当时，分式无意义，则，即，解得． 当时，分式的值为0，则分子，即，解得． 所以． 故答案为：． 【变式3-3】（25-26七年级上·上海·期末）如果分式的值为零，那么x的值为_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的值为零的条件，分式的值为零的条件是分子为零且分母不为零，据此列式求解即可． 【详解】解：∵分式的值为零， ∴，且， 或， 解得或， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； 综上所述，， 故答案为：． 【题型四】利用分式的基本性质判断分式值的变化 【例4】（25-26八年级上·四川泸州·期末）分式可变形为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式的符号变形法则，利用分式的基本性质，提取分子的负号即可得到正确结果． 【详解】解：∵==． 【变式4-1】（25-26八年级上·河北石家庄·期末）若把分式中的x和y都扩大2倍，那么分式的值（　　） A．扩大2倍 B．不变 C．缩小2倍 D．缩小4倍 【答案】A 【分析】根据题意，将扩大后的x、y代入原分式，化简后和原分式比较，即可判断分式值的变化． 【详解】解：由题意，将原分式中x换为，y换为，===， ∴ 新分式的值是原分式值的2倍 ． 【变式4-2】（25-26八年级上·安徽铜陵·期末）如果把分式中的a、b都扩大为原来的2倍，那么分式的值（    ） A．缩小为原来的 B．扩大为原来的2倍 C．扩大为原来的4倍 D．不变 【答案】B 【分析】先根据题意对分式进行变形，再依据分式的性质进行化简，将化简后的分式与原分式进行对比即可． 【详解】解：由题意得，故分式的值扩大为原来的2倍． 【变式4-3】（25-26八年级上·河南周口·期末）下列变形中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式的基本性质，需依据“分式的分子与分母同时乘（或除以）同一个不为的整式，分式的值不变”这一性质，逐一分析各选项的变形是否正确，掌握分式的基本性质是解题的关键． 【详解】解：∵分式的基本性质为：分式的分子与分母同时乘（或除以）同一个不为的整式，分式的值不变， ∴、将的分子分母同乘，得，与不相等，故该选项变形错误，不符合题意； 、，又，故该选项变形正确，符合题意； 、化简得（），与选项中的结果符号相反，故该选项变形错误，不符合题意； 、当时，无意义，不满足分式基本性质中“乘不为的整式”的要求，故该选项变形错误，不符合题意； 故选：． 【题型五】分式的混合运算 【例5】（25-26八年级上·山东淄博·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查分式的混合运算，掌握其运算法则是关键． （1）根据同分母分式加减运算计算，再约分即可； （2）根据异分母分式的加减运算法则先算括号，再算乘除即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式5-1】（25-26八年级上·山东泰安·期末）计算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的混合运算，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算法则． （1）先计算除法，再计算减法； （2）先计算括号内减法，再计算除法． 【详解】（1）解： ， ； （2）解： ． 【变式5-2】（25-26八年级上·重庆江北·期末）计算 (1) (2) 【答案】(1)b (2) 【分析】本题考查了分式的乘除混合运算，分式的加减乘除混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先整理式子，再把除法化为乘法，运用分式的乘法进行计算，即可作答． （2）先通分括号内，再运算括号内的减法，然后把除法化为乘法，运用分式的乘法进行计算，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式5-3】（25-26八年级上·山东滨州·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的混合运算：分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的；最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式． （1）先算乘方，然后把除法转化为乘法，分子、分母约分即可； （2）先计算括号内减法，再计算乘法． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【题型六】分式化简求值 【例6】（25-26九年级上·江西九江·期末）先化简，再求值，其中 【答案】；4 【详解】解：原式 ， 把代入得，原式． 【变式6-1】（25-26八年级上·甘肃甘南·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】先根据负指数幂求得x的值，再根据分式的混合运算法则化简，然后将x的值代入计算即可． 【详解】解：， ． 当时，原式． 【变式6-2】（25-26八年级上·河南安阳·期末）先化简，再从，，中选一个合适的数代入求值． 【答案】， 【分析】本题主要考查了分式的混合运算、分式有意义的条件以及代数式求值，熟练掌握分式的运算法则和分式有意义的条件是解题的关键． 先对括号内的分式进行通分并计算减法，再将除法转化为乘法，对分子、分母进行因式分解后约分，得到最简分式；然后根据分式有意义的条件，从，，中选取合适的数代入最简分式求值． 【详解】解： ， 若使分式有意义，，， ，，， 取时，原式． 【变式6-3】（25-26八年级上·湖南株洲·期末）先化简，再求值：，取不等式的正整数解其中的一个代入求值． 【答案】；1 【分析】本题考查了分式化简求值，分式加减乘除混合运算，求一元一次不等式的整数解，分式有意义的条件，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 先将中括号里的通分，再将除法转化为乘法计算，然后求得不等式的正整数解，根据分式有意义，得到字母a的值，再代入求值即可． 【详解】解：原式 解不等式，得， 不等式的正整数解为1，2，3， ∵要使分式有意义， ∴，，，， ∴且且， ∴可以取1或3， 当时， 原式 ； 当时， 原式 ． 【题型七】分式方程的定义 【例7】（25-26八年级上·内蒙古巴彦淖尔·期末）下列方程中是分式方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了分式方程的定义，分母中含有未知数的方程叫做分式方程，据此可得答案． 【详解】解：由分式方程的定义可知，四个选项中，只有D选项中的方程是分式方程， 故选：D． 【变式7-1】（25-26八年级上·广西贺州·期末）下列方程中，属于分式方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式方程的定义，掌握知识点是解题的关键． 分式方程是指分母中含有未知数的方程，根据此定义判断各选项即可． 【详解】解：分式方程需满足分母中含有未知数， 选项A：，分母无未知数，不是分式方程； 选项B：，分母x是未知数，是分式方程； 选项C：，分母2是常数，不是分式方程； 选项D：，分母无未知数，不是分式方程． 故选：B． 【变式7-2】（25-26七年级上·上海普陀·期末）下列方程中，哪些是分式方程（    ） ①；②；③；④ A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【分析】本题主要考查分式方程的定义．分母里含有字母的方程叫做分式方程．根据分式方程的定义判断即可． 【详解】解：①，符合分式方程的定义，是分式方程； ②，符合分式方程的定义，是分式方程； ③，分母里不含有字母，不符合分式方程的定义，不是分式方程； ④，符合分式方程的定义，是分式方程； 故选：B． 【变式7-3】（25-26八年级上·甘肃嘉峪关·期末）下列方程是分式方程的有（ ） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了分式方程的定义，熟练掌握定义是解题的关键． 根据分母中含有未知数的方程叫做分式方程，判断即可． 【详解】解：①分母中不含有未知数，故不是分式方程； ②分母中含有未知数，故是分式方程； ③分母中不含有未知数，故不是分式方程； ④分母中含有未知数，故是分式方程． 综上所述：分式方程有②④，共2个， 故选：B． 【题型八】解分式方程 【例8】（25-26八年级上·河南驻马店·期末）解分式方程： (1) (2) 【答案】(1) (2)无解 【分析】本题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解.解分式方程一定注意要验根． （1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解，得到x的值，经检验即可得到分式方程的解； （2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】（1）解：， 去分母，得：， 解之，得：， 检验，当时，， 所以，是原方程的根． （2）解：， 去分母，得：， 即， 解之，得：， 检验，当时，， 所以，是原方程的增根，原方程无解． 【变式8-1】（25-26八年级上·山东德州·期末）解分式方程 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解分式方程；注意去分母时，单独的一个数也要乘最简公分母；互为相反数的两个式子为分母，最简公分母应为其中的一个． （1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解； （2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】（1）解：， 原方程去分母得：， 解这个方程得， 检验：当时，， ∴是分式方程根； （2）解：， 方程两边都乘以，得， 解得， 检验：当时，， ∴原分式方程的解为． 【变式8-2】（25-26八年级上·四川绵阳·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解分式方程，解题关键是熟练掌握解分式方程的一般步骤，注意最后一定要检验． （1）先对分母分解因式，并写成含有的形式，然后方程两边同乘最简公分母，把分式方程化成整式方程，解方程求出x，最后进行检验即可； （2）方程两边同乘，把分式方程化成整式方程，解方程求出x，最后进行检验即可． 【详解】（1）解：， ， ， 方程两边同乘，得：， 解得， 检验：当时，， ∴是原分式方程的解； （2）解：， 方程两边同乘，得：， ， 整理得：， 解得， 检验：当时，， ∴是原分式方程的解． 【变式8-3】（25-26八年级上·山东聊城·期末）解分式方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)原分式方程无解 【分析】本题考查解分式方程，掌握解分式方程的一般步骤是解题的关键． （1）方程两边同乘以，将原方程转化为整式方程，求解并检验后可得出答案； （2）方程两边同乘以，将原方程转化为整式方程，求解并检验后可得出答案． 【详解】（1）解：将原方程整理，得： 方程两边同乘以， 得：， 解得：， 检验：把代入，得：， ∴是原分式方程的解； （2）解：将原方程整理，得：， 方程两边同乘以， 得：， 解得：， 检验：把代入，得：， ∴是原分式方程的增根， ∴原分式方程无解． 【题型九】根据分式方程根的情况求参数 【例9】（25-26八年级上·山东临沂·期末）若关于的分式方程有解，则需满足的条件是__________． 【答案】且 【分析】解题关键是掌握分式方程无解的两种情况：①整式方程本身无解；②分式方程产生增根．根据分式方程无解的情况可知，分式方程有解需满足分母不为零且化简后的方程有解，通过乘以公分母化简方程，讨论整式方程的系数并排除使解为增根的情况，即可求解． 【详解】解： 方程两边同乘，得， 展开并整理，得， 当，即时，方程无解， ∴， 当时，， 又∵分母不为零，需且， 检验增根：若方程有增根，则或， 若，代入整式方程，得，化简得，不成立，所以解不可能是， 若，代入整式方程得，解得，故当时，方程产生增根，无解， 因此，分式方程有解的条件为且． 【变式9-1】（25-26七年级上·上海·期末）若关于的方程有增根，则的值为________． 【答案】或22 【分析】本题考查了分式方程的增根．首先把分式方程化为整式方程，然后根据分式方程有增根，得到或，据此求出或，分别代入整式方程求出m的值即可． 【详解】解：方程两边都乘以，得 ， ∵方程有增根， ∴或， 解得或， 当时，， 解得； 当时，， 解得； 故答案为：或22． 【变式9-2】（25-26八年级上·河南商丘·期末）已知关于的分式方程的解为负数，则的取值范围是________． 【答案】且 【分析】本题考查了分式方程的解，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 先求出方程的解，再根据解为负数列不等式即可． 【详解】解：， ∴且， 由题意知，， 解得且． 故答案为：且． 【变式9-3】（25-26八年级上·黑龙江大兴安岭·期末）若关于x的分式方程无解，则满足条件的k值为_____． 【答案】或 【分析】本题考查了分式方程无解，理解分式方程无解的含义是解题的关键． 分式方程无解的情况有两种：一是化简后的整式方程无解；二是整式方程的解是增根（使原方程分母为零），分别求解即可． 【详解】解：方程两边同时乘以最简公分母 ，得： 整理得： 移项得： 当 即 时， 方程左边为 ，右边为 ，即 ，矛盾，整式方程无解，故原分式方程无解， 当 时，， 若解为增根，则 或 ， 当 时，，解得 ，即 ，得 ，不成立，无解， 当 时，，解得 ，即 ，整理得 ，所以 ，此时解为增根，故原方程无解， 综上，满足条件的 值为 或 ． 故答案为： 或 ． 【题型十】分式方程的实际应用 【例10】（25-26八年级上·黑龙江双鸭山·期末）近年来，新能源汽车受到越来越多消费者的关注．小明家里计划购置一辆新车，看中了售价相同的A款纯电动汽车和B款燃油车，已知B款车每千米行驶费用比A款车多元． (1)两款车在相同路段且行驶里程相同时，A款车的总行驶费用为元，B款车的总行驶费用为元．求纯电动汽车和燃油车的每千米行驶费用； (2)已知A款车保险费：6500元/年，保养费用：1230元/年，B款车保险费：2900元/年，保养费：0.075元/千米，综合考虑行驶费用和其它费用，小明家年平均行驶里程为多少千米时，买电动车较为划算？ 【答案】(1)纯电动汽车的每千米行驶费用为元，燃油车的每千米行驶费用为元 (2)小明家年平均行驶里程超过时，购买纯电动汽车比较划算 【分析】本题考查分式方程与一元一次不等式在实际购车费用问题中的应用，解题关键是根据 “行驶里程相同”“费用比较” 等条件建立方程或不等式，理清费用的组成部分． （1）根据两款车行驶里程相同，建立分式方程求解每千米行驶费用，注意分式方程解完后必须检验； （2）根据年使用费用的构成（行驶费用 + 保险费 + 保养费），分别列出两款车的年费用表达式，再根据 “电动车更划算” 的条件建立一元一次不等式求解． 【详解】（1）解：设A款车每千米行驶费用a元，则B款车每千米行驶费用为元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， , 答：纯电动汽车的每千米行驶费用为元，燃油车的每千米行驶费用为元． （2）解：设小明家年平均行使里程为， 纯电动汽车的年使用费用为元， 燃油车的年使用费用为元， 根据题意得：， 解得：， 答：当小明家年平均行驶里程超过时，购买纯电动汽车比较划算． 【变式10-1】（25-26八年级上·陕西延安·期末）2025年春晚舞台上，宇树人形机器人表演扭秧歌，吸引了大量的关注，并带动整个人形机器人行业的畅销，某公司推出了、两款人形机器人在网上进行预约销售，每件款人形机器人的售价比每件款人形机器人的售价少，根据网上预约的情况，该公司售出的这两款人形机器人的销售额都为900万元时，款人形机器人比款人形机器人多售出5件． (1)求该公司每件款、款人形机器人在网上的售价分别是多少万元？ (2)若该公司在网上进行预约销售了、两款人形机器人共25件，且总销售额不低于470万元，则最少预约销售了款人形机器人多少件？ 【答案】(1)每件A款人形机器人售价为20万元.每件B款人形机器人售价为18万元 (2)最少预约销售了A款人形机器人10件 【分析】（1）设每件A款人形机器人的售价为x万元，则每件B款人形机器人的售价为万元，再根据相同销售额下销量差为5件列分式方程求解即可； （2）设预约销售A款人形机器人m件，则预约销售B款人形机器人件，根据总销售额的要求列一元一次不等式，求解得到最小销售数量． 【详解】（1）解：设每件A款人形机器人的售价为x万元，则每件B款人形机器人的售价为万元，根据题意得 ， 解得 ， 检验：当时，，所以是原分式方程的解， 则， 答：每件A款人形机器人售价为20万元，每件B款人形机器人售价为18万元； （2）解：设预约销售A款人形机器人m件，则预约销售B款人形机器人件，根据题意得 ， 解得， 答：最少预约销售了A款人形机器人10件． 【变式10-2】（25-26八年级上·湖南邵阳·期末） 2020年4月，我市各中小学校安全有序开学复课，为了切实做好安全防控工作，开学前夕，我市某中学准备在大药房采购一批口罩和水银温度计供师生使用．已知每盒口罩有100只，每盒水银温度计有10支，每盒口罩价格比每盒水银温度计价格高150元，且用1200元购买的口罩盒数与用300元购买的水银温度计盒数相同． (1)求每盒口罩的价格和每盒水银温度计的价格分别是多少元？ (2)采购员带着3200元钱准备采购口罩和水银温度计共计20盒，由于水银温度计紧缺，药房规定，至少采购两盒口罩才能采购一盒水银温度计，请你帮忙计算采购员可以采购口罩和水银温度计分别多少盒？ 【答案】(1)每盒水银温度计价格50元，每盒口罩价格200元 (2)可以购买14盒口罩，6盒水银温度计 【分析】（1）设每盒水银温度计价格x元，则每盒口罩价格元，根据“用1200元购买的口罩盒数与用300元购买的水银温度计盒数相同”建立分式方程求解； （2）设购买y盒口罩，则购买盒水银温度计，根据题意建立不等式组求解即可． 【详解】（1）解：设每盒水银温度计价格x元，则每盒口罩价格元， 由题意得： ，       解得：， 经检验是原方程的解，且符合题意， ， 答：每盒水银温度计价格50元，每盒口罩价格200元； （2）解：设购买y盒口罩，则购买盒水银温度计， 由题意得： 解得 y只能取整数， ， 答：可以购买14盒口罩，6盒水银温度计． 【变式10-3】（24-25八年级上·重庆北碚·期末）随着气温的逐步降低，电热毯成为了许多家庭的必需品，某商场最新购进的A、B两款电热毯凭借智能定时，排潮除湿，双温双控等便捷操控功能，迅速赢得了消费者们的青睐．已知A款电热毯的进价比B款电热毯的进价高，且商场用8400元购进的A款电热毯的床数比用4500元购进的B款电热毯的床数多20床． (1)A、B两款电热毯的进价分别为每床多少元？ (2)若商场购进A、B两款电热毯共100床（两款电热毯均要购买），且花费的总价不高于10000元，购进后，A、B两款电热毯均按高于进价的定价出售．若电热毯全部售完，设商场购进A款电热毯a床，总利润为W元，求W与a之间的函数关系式，并利用一次函数的知识，求出最大利润． 【答案】(1)A款电热毯的进价为每床120元，B款电热毯的进价为每床90元 (2)最大利润为1998元 【分析】（1）设B款电热毯的进价为每床x元，则A款电热毯的进价用含x的代数式表示出来，根据题意列关于x的分式方程并求解即可； （2）列出关于a的一元一次不等式并求其解集；分别计算A、B两款电热毯的售价，再根据“总利润款电热毯的总利润款电热毯的总利润”写出W与a之间的函数关系式，由一次函数的增减性和a的取值范围，确定当a取何值时W最大，求出其最大值即可． 【详解】（1）解：设B款电热毯的进价为每床x元，则A款电热毯的进价为每床元， 根据题意，得， 解得：， 经检验，是所列分式方程的解， （元）． 答：A款电热毯的进价为每床120元，B款电热毯的进价为每床90元． （2）解：根据题意，得：， 解得：， A款电热毯的售价为（元）， B款电热毯的售价为（元）， 则， ∵， ∴W随a的增大而增大， ∵且x为正整数， ∴当时，W的值最大，． 答：最大利润为1998元． 【题型十一】分式运算有关的规律性问题 【例11】（24-25七年级下·安徽滁州·期末）观察下列等式： ①； ②； ③； ．．． (1)根据以上规律写出第④个等式：___________； (2)用含字母（为正整数）的等式表示你发现的规律，并说明规律的正确性； (3)利用你发现的规律，计算：． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【分析】本题主要考查规律型：数字的变化类，有理数的混合运算，列代数式，解答的关键是得出所给的数字的规律． （1）根据等式的规律写出第④个等式即可； （2）根据等式的规律写出第n个等式，把等式右边进行运算即可证明； （3）所求的式子变形为，利用发现的规律进行运算即可． 【详解】（1）解：第④个等式为：， 故答案为：． （2）解：①； ②； ③； ④； …… ∴第n个式子为：． 证明：∵右边左边， ∴成立． （3）解： ． 【变式11-1】（24-25八年级上·江苏泰州·期末）观察下列式子，并探索它们的规律： ①，②，③…… (1)请写出第④个等式：__________； (2)试写出第n个等式表示这个规律，并加以证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】本题主要考查了分式类规律题，分式的加减运算，明确题意，准确得到规律是解题的关键． （1）观察给出的3个等式，找出分数的分子、分母的变化规律，即可求解； （2）用含n的等式表示（1）中发现的规律，写出第n个等式，再根据异分母的分式加法法则计算化简即可证明． 【详解】（1）解：由题意得：第④个等式为， 故答案为：； （2）解：由题意得，第n个等式为：， 证明： ． 【变式11-2】（24-25八年级下·宁夏中卫·期末）下面是按一定规律排列的一列等式： ①；②；③；④ (1)根据上面等式的规律补全等式：； (2)用含（为正整数）的式子表示上述第个等式：______； (3)请证明（2）中等式的正确性； (4)根据上述等式的规律，直接写出下面算式的计算结果： ． 【答案】(1)； (2) (3)证明见解析 (4) 【分析】本题考查规律性：数字的变化类， （1）通过给出的等式，发现：左边被减数的分母与右边第一个乘数相同，第二个乘数是第一个乘数加，减数的分母是被减数的分母加，减数与被减数的分子都是； （2）通过前几项的规律，用含的代数式表示第个等式； （3）将等式左边的式子通分并化简，再与等式右边的式子进行比较即可； （4）结合（2）的结论，将分式的和转化为连续项的差，利用抵消法简化计算； 解题的关键是找到规律，然后利用规律进行推理计算．也考查了分式的加减运算． 【详解】（1）解：∵等式左边被减数的分母为，则减数的分母为：，等式右边分母为， ∴等式为：， 故答案为：；； （2）根据给出的等式，发现规律：左边被减数的分母与右边第一个乘数相同，第二个乘数是第一个乘数加，减数的分母是被减数的分母加，减数与被减数的分子都是， ∴第个等式为：， 故答案为：； （3）证明：左边 ， ∴左边右边， ∴原等式成立； （4）解： ． 【变式11-3】（24-25八年级下·安徽合肥·期中）观察下列各式： ； ； ； …… 请你根据上面三个等式提供的信息，猜想： (1) ； (2)请你按照上面每个等式反映的规律，写出用n（n为正整数）表示的等式： ； (3)利用上述规律计算：（仿照上式写出过程）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了实数的运算规律探究．分式的加减运算，根据题意推导规律计算求解是解题的关键． （1）根据，计算求解即可； （2）由题意知，； （3）根据，计算求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，． 故答案为：； （2）解：由题意知，． 故答案为：； （3）解：由题意知，． 【题型十二】分式方程有关的规律性问题 【例12】（25-26八年级上·广东汕头·期末）（1）【观察】；； 【猜想】若为正整数，请你猜想第个等式（用含的式子表示），并证明． （2）【拓展】 ①利用你发现的规律计算：； ②利用上述规律解答：若的值为，求n的值． 【答案】（1），证明见解析；（2）①；②25 【分析】本题考查了分式规律探究，异分母减法，分式方程，理解题意，观察得到规律，并熟练掌握分式的运算法则是解题关键． （1）由题意给的规律即可通过分式的减法进行证明； （2）①根据裂项，每项拆分为两个分数之差，将所有项相加，中间项相互抵消即可求解； ②根据题目的意思，裂项合并后，得到分式方程即可求解． 【详解】（1）解：第n个等式为：； 证明如下： ． （2）解：① ． ②∵ ， ∴， 解得， 经检验是分式方程的解， 的值为25． 【变式12-1】（24-25七年级下·山东济南·期末）观察下列各式：； ； ； 请你根据上面三个等式反映的规律，回答下列问题： (1)________； (2)请你按利用发现的规律计算：； (3)利用上面规律解方程：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了解分式方程和数字的变化类． （1）根据已知条件中的等式，找出规律即可； （2）按照（1）中的规律进行计算即可； （3）按照（1）中的规律计算方程的左边，再按照解分式方程的方法求出x，并进行检验即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：原式 ； （3）解：， ， ， 解得：， 经检验，是原方程的解， 原方程的解是． 【变式12-2】（25-26八年级上·广西防城港·期末）探究与应用 【特例分析】 （1）填空： ①的解为x= ； ②的解为x= ； ③的解为x= ； ...... 【总结规律】 （2）根据你发现的规律直接写出第4个分式方程及它的解： ． 【解决问题】 （3）请你按照上述规律写出第n（n为正整数）个分式方程，并求出它的解．（写出解答过程） 【答案】①②③；（2）第4个分式方程为，解为；（3）第个分式方程为，解为 【分析】本题考查分式的规律以及分式方程，本题通过三个具体的分式方程，引导学生观察并归纳解的规律．首先解出前三个方程的解，从中发现解与序号之间的关系，进而推广到第四个方程，并最终写出第个方程及其解．解题的关键在于观察方程结构和解的变化规律，理解分式方程的解法过程，并进行代数推导与归纳总结． （1）①两边同乘以，去括号，移项合并即可，注意代入检验增根； ②两边同乘以，去括号，移项合并即可，注意代入检验增根； ③两边同乘以，去括号，移项合并即可，注意代入检验增根； （2）直接根据规律写出第四个分式方程及它的解即可； （3）根据规律，第n个方程为：，两边同乘，移项整理即可． 【详解】（1）解：①解方程：， 两边同乘以，得： 去括号：， 移项合并得：， 检验：当时，分母，解成立， 所以解为； 故答案为：； ②解方程：， 两边同乘以，得： 去括号：， 移项合并得：， 检验：当时，分母，解成立， 所以解为； 故答案为：； ③解方程：， 两边同乘以，得：， 去括号：， 移项合并得：， 检验：当时，分母，解成立， 所以解为， 故答案为：； （2）观察前三个方程： ①， ②， ③， 规律：左边分子为，右边分子为，且结构为， 因此第4个方程为： 解法同上： 两边同乘：， 整理，得：， 移项合并得：， 检验成立，解为， 所以第4个方程是，解为； 故答案为：，； （3）根据规律，第n个方程为：， 解方程： 两边同乘： 移项整理：， 解得：， 检验：当时，（因n为正整数），分母不为零，解成立， 所以第n个方程的解为． 【变式12-3】（25-26八年级上·福建福州·期末）【问题初探】 小菲在学习有理数运算时，通过具体运算发现：，，，…，在学习二次根式运算时，小菲根据学习有理数运算积累的活动经验，类比探究了二次根式的运算规律，请将探究过程补充完整： 特例1：；特例2：； 特例3：________________________（填写一个符合上述运算特征的式子） 【发现规律】 ______．（，且n为整数） 【应用规律】 （1）计算：； （2）如果（，且为整数）的小数部分是，求出整数部分． 【答案】问题初探： 发现规律： 应用规律：（1）；（2）9 【分析】问题初探：直接通过计算求解即可； 发现规律：通过计算，化去根号即可； 应用规律：（1）利用规律求解； （2）先利用规律化简，再根据小数部分求得，进而求出整数部分． 【详解】问题初探：解： 故答案为：； 发现规律：解： 故答案为：； 应用规律：（1）解： （2）解： 当小数部分是时， ， 解得：， 经检验是分式方程的根， ∴整数部分是． 基础巩固通关测 一、单选题 1．（25-26八年级下·河南周口·期中）下列各式中，不属于分式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】若，是整式，且中含有字母，则式子叫做分式，据此逐项判断即可． 【详解】解：A．由分母含有字母，即选项A是分式，不符合题意； B．分母含有字母，即选项B是分式，不符合题意； C．分母是，是常数，不含字母，即选项C不是分式，符合题意； D．分母含有字母，即选项D是分式，不符合题意． 2．（2026年河北保定市部分学校中考二模九年级数学试卷）化简分式的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分式的减法进行计算即可． 【详解】解：原式 ． 3．（2026·湖南益阳·二模）分式方程的解是（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，然后检验即可得到分式方程的解． 【详解】解：， ， ， 检验：当时，， ∴分式方程的解是． 4．（2026·河北·一模）已知，则下列判断正确的是（    ） A．的计算结果为 B．当时， C．当时，的值为正数 D．若是整数，则或 【答案】A 【分析】先对原式因式分解，将除法转化为乘法约分得到化简结果，再结合分式有意义的条件逐个判断选项即可． 【详解】解： ，故A正确； 选项B：时原算式中两个分母均为0，无意义，故B错误； 选项C：当时，，， ∴ ，为负数，故C错误； 选项D：若为整数，只需为整数，例如时，也为整数，故D错误． 二、填空题 5．（25-26八年级下·河南周口·期中）计算：_______ 【答案】 【分析】本题考查分式的约分，根据分式的基本性质，约去分子分母中的公因式即可得到结果． 【详解】解：． 6．（2026·安徽芜湖·二模）函数中自变量的取值范围是____． 【答案】 【分析】根据函数、二次根式、分式有意义的条件列出不等式组求解即可． 【详解】解：根据二次根式被开方数为非负数，分式分母不为零，可得，解得：． 7．（2026年四川成都市部分中学中考一模试卷数学）关于的分式方程的解为，则的值为_____． 【答案】2 【详解】解：将解代入方程得：， 解得：． 8．（25-26八年级下·四川成都·期中）若关于x的分式方程 无解，则________ 【答案】5 【分析】先把分式方程化为整式方程得到，由于关于的分式方程无解，即可求解． 【详解】解：， 去分母，得， ． 关于的分式方程无解， 当时，原方程无意义， ∴． 三、解答题 9．（25-26八年级下·河南周口·期中）解下列分式方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ∴x ∴ 解得： 经检验，是原方程的解； （2）解： ∴ ∴ ∴ 解得： 经检验，是原方程的解． 10．（25-26八年级下·河南周口·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 11．（25-26九年级下·陕西咸阳·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把代入计算即可求出值． 【详解】解：化简： ， 把代入计算，原式． 12．（25-26九年级下·重庆江津·月考）列方程解下列问题： “百年弦歌，薪火相传；鼎山毓秀，几水涵芳”，在某中学迎来建校周年华诞之际，七年级一班学生自发定制画册与文化衫两类伴手礼，赠予返校校友留念．已知定制本画册和件文化衫共需元，定制本画册和件文化衫共需元． (1)定制一本画册、一件文化衫的单价分别为多少元？ (2)该伴手礼广受校友好评，学校决定加大定制规模以回馈校友．因对内容与品质提出更高要求，画册与文化衫的定制单价均有上调，其中每本画册增加的费用是每件文化衫增加费用的倍．最终，学校花费元定制的画册数量，是花费元定制的文化衫数的，求每件文化衫增加的费用． 【答案】(1)定制一本画册单价为元，一件文化衫单价为元 (2)元 【分析】（）设定制一本画册的单价为元，一件文化衫的单价为元，根据题意列出方程组解答即可求解； （）设每件文化衫增加的费用为元，则每本画册增加的费用为元，调整单价后画册单价为 元，文化衫单价为 元，根据题意列出方程解答即可求解； 本题考查了二元一次方程组的应用，分式方程的应用，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】（1）解：设定制一本画册的单价为元，一件文化衫的单价为元， 由题意得，， 解得， 答：定制一本画册单价为元，一件文化衫单价为元； （2）解：设每件文化衫增加的费用为元，则每本画册增加的费用为元，调整单价后画册单价为 元，文化衫单价为 元， 由题意得，， 整理得，， 解得， 经检验是原分式方程的解， 答：每件文化衫增加的费用为元． 能力提升进阶练 一、单选题 1．（25-26八年级下·四川宜宾·期中）下列分式是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据最简分式的定义，即分子分母没有公因式的分式，对各选项约分后即可判断结果． 【详解】解：选项A、，分子分母含有公因式，不是最简分式； 选项B、，分子分母含有公因式，不是最简分式； 选项C、，分子为，分母为，二者没有公因式，因此是最简分式； 选项D、，分子分母含有公因式，不是最简分式． 2．（25-26八年级下·河南周口·期中）下列说法正确的是（   ） A．当时，分式有意义 B．分式与的最简公分母是 C．无论x为何值，的值总为正数 D．当分式值为0时， 【答案】C 【分析】本题考查分式的相关概念，包括分式有意义的条件，最简公分母的确定，分式值为零的条件及分式值的正负判断，解题关键是掌握分式相关的基本性质。 【详解】解：A选项，因为分式有意义的条件是分母不为，即，不是，所以A错误； B选项，因为确定最简公分母需取系数最小公倍数与各字母因式最高次幂的乘积，所以分式与的最简公分母是，不是，所以B错误； C选项，因为对任意都有，所以，分子，所以恒成立，所以C正确； D选项，因为分式值为需满足分子为且分母不为，由得，又即，所以，D错误． 3．（25-26八年级下·四川乐山·阶段检测）若方程有增根，则a的值为（   ） A． B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】先将分式方程化为整式方程，再根据增根定义确定增根的值，代入增根计算得到a的值． 【详解】解：， 方程两边同乘去分母，得， 去括号得， 则， ∵原分式方程分母为，方程有增根， ∴增根满足，即， 将代入整式方程，得， 解得：． 4．（25-26八年级下·河南周口·期中）某书店购进一批教辅资料，用3000元购进第一批，用3600元购进第二批，第二批每本进价是第一批的倍，购进数量比第一批少10本．设第一批每本进价为x元，列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设第一批每本进价为元，则第二批每本进价为元 ∴第一批购进数量为本，第二批购进数量为本 又∵第二批购进数量比第一批少本 ∴ 5．（2026·河南商丘·二模）定义新运算：对于两个非零代数式，规定，例如．则化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据新定义代入式子，再根据异分母分式进行加减运算即可． 【详解】解：∵ ∴ 二、填空题 6．（2026·湖北·模拟预测）计算的结果是__________． 【答案】 【分析】先利用平方差公式分解第一个分式的分母，再确定最简公分母通分，合并分子后约分，得到计算结果． 【详解】解： ． 7．（25-26八年级下·江苏南京·期中）分式，，的最简公分母是____________． 【答案】 【分析】 取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母，据此求解即可． 【详解】解：各分式的分母分别为，，，则最简公分母为． 8．（25-26八年级下·山东临沂·月考）若式子有意义，则的取值范围是______． 【答案】且 【分析】本题考查二次根式与分式有意义的条件，根据二次根式的被开方数为非负数，分式的分母不等于0，即可求解． 【详解】解：要使有意义，需满足且 ∴且， 因此的取值范围是． 9．（2026·宁夏银川·一模）关于的方程无解，则的值为___________． 【答案】 【分析】先将分式方程化为整式方程，再根据分式方程无解确定整式方程的解为增根，代入增根即可求出参数的值． 【详解】解：方程两边同乘最简公分母得：， 去括号得：， 移项合并同类项得：， 原分式方程无解， ∴是原分式方程的增根， 令，得增根， 将代入得， 解得． 10．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）若关于x的不等式组有解，且关于y的分式方程的解为非负整数，则所有满足条件的负整数a的值之和为______． 【答案】 【分析】根据不等式组有解，求出的范围，再根据分式方程的解为非负整数，求出所有满足条件的负整数a，求和即可． 【详解】解：解，得， ∵关于x的不等式组有解， ∴， ∴， ∴， ∵， 解得， ∵关于y的分式方程的解为非负整数， ∴且，能被2整除， ∴且， ∴且， 又∵能被2整除， ∴满足条件的负整数， ∴． 三、解答题 11．（25-26八年级下·四川眉山·期中）计算：； 【答案】原分式方程无解 【分析】本题考查分式方程的求解，解题思路是先整理方程，再通过去分母将分式方程转化为整式方程求解，最后根据分式有意义的条件检验所得的根，判断原方程是否有解，用到分式方程的基本解法． 【详解】解：将原方程整理得 方程两边同乘，去分母得 展开括号得 移项合并同类项得 解得 检验：当时，，原分式的分母为0，分式无意义 因此是原方程的增根，原分式方程无解． 12．（2026·陕西咸阳·一模）先化简，再求值：，并从、0、1、3中选一个合适的数代入求值． 【答案】，当时，原式 【分析】括号内先通分，再将除法转化为乘法，约分即可化简，再代入合适的值计算即可得出结果． 【详解】解： ， 要使原式有意义，则分母不能为0，即，， ∴，， ∴当时，原式． 13．（25-26八年级下·福建泉州·期中）下面是小明同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成任务： 化简：． 解：原式…第一步 …第二步 …第三步 ．…第四步 任务一： (1)以上化简步骤中，第______步是进行分式的通分，其依据是______． (2)第______步开始出现错误，出现错误的原因是______． 任务二： (3)请直接写出该分式化简后的正确结果：______． 【答案】(1) 一，分式的基本性质 (2) 二，去括号时，括号前为负号，括号内各项未全部变号 (3) 【分析】（1）化简时把化为是通分把异分母分式化为同分母分式，通分时利用的是分式的基本性质； （2）第二步出现错误，分子中去第二个括号时，括号前是负号，只把第一项的符号改变了，后两项符号没有改变； （3）根据分式的性质进行计算得到正确结果． 【详解】（1）解：化简步骤中，第一步是通分，依据是分式的基本性质； （2）解：第二步中，分子去括号出现错误， 错误原因是括号前面是负号，去括号时括号中各项符号没有全部变号； （3）解： ． 14．（25-26九年级下·山东菏泽·期中）今年端午节来临之际，某商场预测一品牌枣粽能够畅销．根据预测，每千克枣粽节前的进价比节后多2元，节前用2000元购进枣粽的数量与节后用1600元购进的数量相同．根据以上信息，解答下列问题： (1)该商场节前每千克枣粽的进价是多少元？ (2)如果该商场在节前和节后共准备购进枣粽500千克，且总费用不超过4800元，并按照节前每千克16元，节后每千克12元全部售出，那么该商场节前购进多少千克枣粽获得利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)该商场节前每千克枣粽的进价是10元 (2)该商场节前购进400千克枣粽获得利润最大，最大利润是2800元 【分析】（1）根据节前用2000元购进枣粽的数量与节后用1600元购进的数量相等这一等量关系，列出分式方程求解即可； （2）根据总费用不超过4800元列出不等式得到节前购进数量的取值范围，再列出利润关于购进数量的一次函数，根据一次函数的增减性即可求出最大利润． 【详解】（1）解：设该商场节后每千克枣粽的进价是元，则节前每千克枣粽的进价是元， 由题意得： 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， 则节前进价为 （元）， 答：该商场节前每千克枣粽的进价是10元． （2）解：设该商场节前购进千克枣粽，则节后购进千克枣粽， 由题意得： 解得， 设总利润为元， 由题意得： ， 随着的增大而增大， 当时，取得最大值，最大值为 （元）， 答：该商场节前购进400千克枣粽获得利润最大，最大利润是2800元． 15．（25-26八年级下·河南鹤壁·月考）根据发现的规律回答问题 (1)解下列方程 的解为_____； 的解为_____； 的解为_____； 的解为_____； (2)根据上述规律和形式继续写出： ________________；_____________； (3)请根据上述规律写出第个（为正整数）方程及它的解，并写出解题过程． 【答案】(1)；；；； (2)的解为；的解为； (3)第个（为正整数）方程为解为，解方程见解析． 【分析】（）根据解分式方程的方法分别进行求解即可； （）观察上述方程及解的规律可得到第个方程并求解即可； （）根据上述规律，第个方程为，再对该分式方程进行求解即可． 【详解】（1）解： ， 经检验：是原方程的解， ∴原方程的解为：， 故答案为：； ， 经检验：是原方程的解， ∴原方程的解为：， 故答案为：； ， 经检验：是原方程的解， ∴原方程的解为：， 故答案为：； ， 经检验：是原方程的解， ∴原方程的解为：， 故答案为：； （2）解：根据上述规律和形式可得 ， 经检验：是原方程的解， 故答案为：的解为； ， 经检验：是原方程的解， 故答案为：的解为； （3）解：根据上述规律得第个（为正整数）方程为 ， 经检验：是原方程的解， ∴原分式方程的解为：． 16．（24-25七年级下·全国·单元测试）（1）【探索规律】 观察下面的式子，探索它们的规律． 用含正整数n的等式表示这个规律： ； （2）【问题解决】 一容器装有水，按照如下方式把水倒出：第一次倒出水，第二次倒出的水量是水的，第三次倒出的水量是水的，第四次倒出的水量是水的，……，第n次倒出的水量是水的．这水能否倒完？请说明理由； （3）【拓展探究】 解方程：． 【答案】（1）；（2）这水不能倒完，见解析；（3） 【分析】本题考查规律型：数字的变化类，解分式方程，分式的混合运算，解答本题的关键是根据所给式子找出规律，并利用规律解答． （1）归纳总结得到一般性规律，写出即可； （2）根据题意列出关系式，利用得出的规律化简即可； （3）①方程变形后，利用得出的规律化简，计算即可求出解； 【详解】解：（1）根据题意得：规律为； （2）这水不能倒完． 理由如下： 前n次倒出的总水量为 ． 因为，所以这水不能倒完． （3）整理方程，得， 所以，即， 解得：． 经检验，是原分式方程的解， 所以原分式方程的解为． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 第五章分式与分式方程（复习讲义) 单元目标聚焦·明核心 1.了解分式及分式方程的意义，体会分式与分数的相似性（基本性质、约分、通分）以及分式方程与整式 方程在解法上的联系与区别。 2.能用分式的基本性质进行约分、通分，能熟练进行分式的乘除、加减及混合运算，并注意运算顺序及结 果化为最简分式。 3.理解并利用“去分母”法解分式方程，掌握“一化二解三检验”的步骤，能正确判断并舍去增根。 4.能根据实际问题中的工程、行程、销售等数量关系建立分式方程模型并求解，注意检验解的合理性，避 免漏乘常数项、忘记检验等易错点。 知识图谱梳理，因基础 定义一 一分式方程的念 分式的定义 一般形式 有意义的条件 与整式方程区别 一分子分母同乘除 基本思路 分式的基本性质 ~约分与通分依据 去分母 解分式方程 三、分式方程 一、分式的概念与性质 找公因式 检验增根 分式的约分 化为最简分式 列方程步骤 一找最简公分母 工程问题 分式方程的应用 分式的通分 化为同分母分式 行程问题 常见问题类型 销售问题 乘法法则 分式的乘除 一除法法则 分式有意义的条件 乘方运算 分式的基本性质应用 分式与分式方程 分式的四则运算 四、高频考点 二、分式的运算 广同分母加减 分式的加减 异分母加减 解分式方程及检验 运算顺序 分式方程的实际应用 分式的混合运算 化简求值 忽略分母不为委 广乘除直接的分 通分时漏乘 一分式运算口决 加减先通分 去分母时漏乘常数项 五、高频易错点 六、解题方法与口诀 解分式方程步骤 一去二解三检验 忘记检验塔根 应用题建模思路一审设列解验答 应用题单位不统一 教材要点精析•夯重点 知识清单01分式的概念及基本性质 1.分式的概念 (1)分式的概念：一般地，如果A,B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子会叫做分式。 (2)因为0不能做除数，所以分式的分母不能为0. (3)分式是两个整式相除的商，分子就是被除式，分母就是除式，而分数线可以理解为除号，还兼有括号 的作用. 1/17 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (4)分式的分母必须含有字母，而分子可以含字母，也可以不含字母，亦即从形式上看是A的形式，从本 质上看分母必须含有字母，同时，分母不等于零，且只看初始状态，不要化简. 2.分式有意义的条件 (1)分式有意义的条件是分母不等于零. (2)分式无意义的条件是分母等于零. (3)分式的值为正数的条件是分子、分母同号. (4)分式的值为负数的条件是分子、分母异号. 3.分式的值为零的条件 分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零. 4.分式的基本性质 (1)分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变， (2)分式中的符号法则：分子、分母、分式本身同时改变两处的符号，分式的值不变. 5.约分 (1)约分的定义：约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分 (2)确定公因式要分为系数、字母、字母的指数来分别确定， ①分式约分的结果可能是最简分式，也可能是整式 ②当分子与分母含有负号时，一般把负号提到分式本身的前面. ③约分时，分子与分母都必须是乘积式，如果是多项式的，必须先分解因式. 6.通分 (1)通分的定义：把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式，这样的分式变形叫做 分式的通分 (2)通分的关键是确定最简公分母. ①最简公分母的系数取各分母系数的最小公倍数. ②最简公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次幂的积. 7最简分式 最简分式的定义：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式. 8.最简公分母 (1)最简公分母的定义：通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公 分母叫做最简公分母. 2117 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 知识清单02分式的运算 1.分式的加减法 (1)同分母分式加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减 (2)异分母分式加减法法则：把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式，叫做通分，经过通分，异分 母分式的加减就转化为同分母分式的加减： 2.分式的乘除法 (1)分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作积的分子，分母的积作积的分母 (2)分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。 (3)分式的乘方法则：把分子、分母分别乘方 (4)分式的乘、除、乘方混合运算.运算顺序应先把各个分式进行乘方运算，再进行分式的乘除运算，即 “先乘方，再乘除” 3.分式的混合运算 (1)分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有 括号的先算括号里面的。 (2)最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式， (3)分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律进行灵活运 算. 4.分式的化简求值 先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值 在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简，化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果 要化成最简分式或整式 知识清单03分式方程定义及解法 1.分式方程的定义 分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。 判断一个方程是否为分式方程主要是看这个方程的分母中是否含有未知数. 2.分式方程的解 求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解 3.解分式方程 (1)解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验：④得出结论 (2)解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0，所以应如下检验： 3/17 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ①将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解， ②将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值为0，则整式方程的解不是原分式方程的解. 所以解分式方程时，一定要检验 4.换元法解分式方程 (1)解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法 换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对 象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理， (2)我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而 简化问题，当然有时候要通过变形才能发现 5.分式方程的增根 (1)增根的定义：在分式方程变形时，有可能产生不适合原方程的根，即代入分式方程后分母的值为0或 是转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值的根，叫做原方程的增根 (2)增根的产生的原因：对于分式方程，当分式中，分母的值为零时，无意义，所以分式方程，不允许未 知数取哪些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件，当把分式方程转化为整式 方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是 原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根， (3)检验增根的方法：把由分式方程化成的整式方程的解代入最简公分母，看最简公分母是否为0，如果 为0，则是增根；如果不是0，则是原分式方程的根， 知识清单04分式方程的应用 1.分式方程的应用 (1)列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答 必须严格按照这5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整，要写出单位 等 (2)要掌握常见问题中的基本关系，如行程问题：速度=路程时间；工作量问题：工作效率=工作量工作 时间等等 列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能力. 考点题型突破，拓思维 【题型一】分式、最简分式、最简公分母 4/17 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 312 【例1】(25-26八年级上湖南娄底期末)代数式-一x,二 4 方”2。，x2-，二，中，属于分式的 3’x’x+2 有() A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 【变式1-1】(25-26八年级上湖北荆州期末) 3y1 y’2x,6z 的最简公分母是() A.xy'z B.6x2yz C.2x2y D.6xyz 【变式1-2】(25-26八年级上湖北孝感期末)下列各式是最简分式的是() B.xy C.x+y D.r2-2x+1 4x x2-y2 x2-3x+2 【变式1-3】 (25-26八年级上山东济宁期末)在，-1，，2四，2中，分式的个数是() x’3,4 πm+n A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【题型二】分式的有无意义的条件 【例2】(2526八年级上湖南株洲期木)若分式3的位存在，则的取值范围是（) A.x≠3 B.x=3 C. D.x=-3 【变式2-1】(25-26八年级上新疆和田期未)若分式-4无意义，则x的值是() x-2 A.x=0 B.x=2 C.x=-2 D.x=±2 【变式22】(25-26九年级上广东惠州期末)若代数式Vm+2有意义，则m的取值范围是() m+1 A.m≥-2 B.m>-2 C.m2-2且m≠-1D.m≤-2且m≠1 【变式2-3】(25-26八年级上·湖南邵阳·期末)已知x为任意实数，下列各式中，在实数范围内一定有意义 的是() A.2x B. V2x2+1 C.5+x D.x2+1 【题型三】分式的值为0的条件 【例3】25-26八年级上河北衡水期末)若分式的值为0，则k的值为 【变式3-1】(25-26八年级上山东淄博期中)若分式-9的值为零，则x= x-3 【变式32】(25-26八年级上北京石景山期末)已知分式5x+ :(m,n为常数)满足表格中的信息，则 x+m m+n的值为 5/17 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 x的值 -2 1 分式的值 不存在 0 【变式33】25-26七年级上上海期末)如果分式+3引川：-的值为零，那么x的值为 x2-1 【题型四】利用分式的基本性质判断分式值的变化 【例4】(25-26八年级上四川泸州期末)分式b可变形为() "a-b A.b B.b C.b a-b D.b -a-b a+b a+b 【变式41】(25-26八年级上河北石家庄期末)若把分式少中的x和y都扩大2倍，那么分式的值() x+y A.扩大2倍B.不变 C.缩小2倍 D.缩小4倍 【变式42】(25.26八年级上安微铜酸期末)如果把分式2。口生)中的Q、b时大为原米的2倍， 那么分式的值() A.缩小为原来的 B.扩大为原来的2倍 C.扩大为原来的4倍 D.不变 【变式4-3】(25-26八年级上·河南周口·期末)下列变形中，正确的是() A.0.2a-b-2a-b B.a-b-b-0=-1 0.3a+2b3a+2b b-a a-b C.ia -(a-1)1 a2-1(a+1(a-1a+1 D.B=bc a ac 【题型五】分式的混合运算 【例5】（25-26八年级上·山东淄博·期末)计算： (①)0+b0-b ab ab a+b a-b)a-b 【变式5-1】(25-26八年级上山东泰安期末)计算 (01-m+L。m2-1 m-2m2+4-4m 6/17 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (2)1 -1-+3）x-9 2-6x+9x2-3x÷x-3 【变式5-2】(25-26八年级上·重庆江北期末)计算 (D)(a2-ab).a-b:a2-2ab+b2 a2 ab 2-6xy+9y2 (2) 5y2 x+2y- 2v-x x-2y 【变式5-3】(25-26八年级上山东滨州·期中)计算： ()/ 2ab3)2 6a2/ -3c a b2 3 (2)a+1- 2a-2 a-1 a+2 【题型六】分式化简求值 【例6】(2526九年级上江西九江期未)先化简，再球值(÷兰女小产2 ,其中x=2 【变式6-1】(25-26八年级上·甘肃甘南·期末)先化简，再求值： 【变式6-2】(25-26八年级上河南安阳期未)先化简1-1） x+1 2,再从-山，0,1中选一个合适 的数代入求值， 【变式6-3】(25-26八年级上·湖南株洲·期末)先化简，再求值： a+2a-1÷a4,a取不等 a2-2aa2-4a+4°a 式2a-1<6的正整数解其中的一个代入求值. 【题型七】分式方程的定义 【例7】(25-26八年级上·内蒙古巴彦淖尔·期末)下列方程中是分式方程的是() A.t5=1B.2x=5-x D.2+二=x 32 C.x2+1=0 【变式7-1】(25-26八年级上广西贺州期末)下列方程中，属于分式方程的是() A.2x+3=5 B.2-1=3 c1-3 D.2x+y=5 【变式7-2】(25-26七年级上上海普陀期末)下列方程中，哪些是分式方程() @,e,@2兰04中 x-4x+2 A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④ 7/17 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【变式7-3】(25-26八年级上·甘肃嘉峪关期末)下列方程是分式方程的有() ①=1：②x,=x+2 2 x2=3x@x5⑦2 =1. 2 x A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【题型八】解分式方程 【例8】(25-26八年级上·河南驻马店期末)解分式方程： ①5-3 x-2 x 21=1-x-3 x-22-x 【变式8-1】(25-26八年级上山东德州期末)解分式方程 0)3-2-7x-2 x-22-x (2) 3x+1+X=1. x2+xx+1 【变式8-2】(25-26八年级上四川绵阳期末)解方程： (①)x+3 =-2； x-1'2-2x 2x2 =1 2x-52x+5 【变式8-3】(25-26八年级上山东聊城期末)解分式方程： 031 5 23x-16x-21 ②)1-2.12 x+33-xx2-91 【题型九】根据分式方程根的情况求参数 【例9】(25-26八年级上山东临沂期末)若关于x的分式方程1。 k 2+X+2白X2二4有解，则k需 足的条件是 【变式911(25.26七年级上上海期末)若关于的方程，3，十42+m有蝶银，则m的值为 x-4x+4x2-16 【变式9-2】(25.26八年级上河南商丘期末)已知关于x的分式方程长+2x+人=1的解为负数，则k的 x+1x+1 取值范围是 8/17 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【变式93】(25-26八年级上黑龙江大兴安岭期末)若关于x的分式方程1 -2x+2二4无解， k 3 则满足条件的k值为。 【题型十】分式方程的实际应用 【例10】(25-26八年级上黑龙江双鸭山期末)近年来，新能源汽车受到越来越多消费者的关注，小明家 里计划购置一辆新车，看中了售价相同的A款纯电动汽车和B款燃油车，己知B款车每千米行驶费用比A 款车多0.45元. (1)两款车在相同路段且行驶里程相同时，A款车的总行驶费用为7.5元，B款车的总行驶费用为18.75元.求 纯电动汽车和燃油车的每千米行驶费用； (2)已知A款车保险费：6500元/年，保养费用：1230元/年，B款车保险费：2900元/年，保养费：0.075元/ 千米，综合考虑行驶费用和其它费用，小明家年平均行驶里程为多少千米时，买电动车较为划算？ 【变式10-1】(25-26八年级上·陕西延安·期末)2025年春晚舞台上，宇树人形机器人表演扭秧歌，吸引了 大量的关注，并带动整个人形机器人行业的畅销，某公司推出了A、B两款人形机器人在网上进行预约销售， 每件B款人形机器人的售价比每件A款人形机器人的售价少10%，根据网上预约的情况，该公司售出的这 两款人形机器人的销售额都为900万元时，B款人形机器人比A款人形机器人多售出5件， (1)求该公司每件A款、B款人形机器人在网上的售价分别是多少万元？ (2)若该公司在网上进行预约销售了A、B两款人形机器人共25件，且总销售额不低于470万元，则最少预 约销售了A款人形机器人多少件？ 【变式10-2】(25-26八年级上·湖南邵阳·期末)2020年4月，我市各中小学校安全有序开学复课，为了 切实做好安全防控工作，开学前夕，我市某中学准备在大药房采购一批口罩和水银温度计供师生使用.已 知每盒口罩有100只，每盒水银温度计有10支，每盒口罩价格比每盒水银温度计价格高150元，且用1200 元购买的口罩盒数与用300元购买的水银温度计盒数相同. (I)求每盒口罩的价格和每盒水银温度计的价格分别是多少元？ (②)采购员带着3200元钱准备采购口罩和水银温度计共计20盒，由于水银温度计紧缺，药房规定，至少采 购两盒口罩才能采购一盒水银温度计，请你帮忙计算采购员可以采购口罩和水银温度计分别多少盒？ 【变式10-3】(24-25八年级上·重庆北碚期末)随着气温的逐步降低，电热毯成为了许多家庭的必需品， 某商场最新购进的A、B两款电热毯凭借智能定时，排潮除湿，双温双控等便捷操控功能，迅速赢得了消费 者们的青睐。已知4款电热毯的进价比B款电热毯的进价高子且商场用840元购进的A款电热毯的床数 比用4500元购进的B款电热毯的床数多20床， 9/17 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (1)A、B两款电热毯的进价分别为每床多少元？ (2)若商场购进A、B两款电热毯共100床（两款电热毯均要购买），且花费的总价不高于10000元，购进后， A、B两款电热毯均按高于进价的20%定价出售.若电热毯全部售完，设商场购进A款电热毯α床，总利润 为W元，求W与α之间的函数关系式，并利用一次函数的知识，求出最大利润. 【题型十一】分式运算有关的规律性问题 【例11】(24-25七年级下·安徽滁州·期末)观察下列等式： ①2=11 1x3i3 ②、2=11 2×4241 ③，2=11 3×535 (I)根据以上规律写出第④个等式： (②)用含字母n(为正整数)的等式表示你发现的规律，并说明规律的正确性； 同利用你发理的规徐，计第：店45…+ 1 【变式11-1】(24-25八年级上·江苏泰州期末)观察下列式子，并探索它们的规律： ①2+24 x×3+3×5=5’②)2+24 3×干一=一，③二+24 ©5x77x9=45… (I)请写出第④个等式： ； (②)试写出第n个等式表示这个规律，并加以证明。 【变式11-2】(24-25八年级下，宁夏中卫期末)下面是按一定规律排列的一列等式： 252x5:®13 @1-2@时g 363x6:@13 9474×7 11 3 ①)根据上面等式的规律补全等式：300（)) (②)用含n(n为正整数)的式子表示上述第n个等式： (3)请证明（2)中等式的正确性； (④)根据上述等式的规律，直接写出下面算式的计算结果： 11 1 1 1×4+4×7+7x10+ -+ 100×103 【变式11-3】(24-25八年级下，安微合肥期中)观察下列各式： 10/17 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 11 1++2=1+行 11 2+37=1+ 1=2 236 11 111 V1+3+1+ -=1 3412 请你根据上面三个等式提供的信息，猜想： 11 1).1+ 1 (②)请你按照上面每个等式反映的规律，写出用n(n为正整数)表示的等式： (n+12: (3)利用上述规律计算： 50.1 (仿照上式写出过程). V4964 【题型十二】分式方程有关的规律性问题 例2】2526八年级上产东汕头期末)D【恩察】X211人：1 1-232×3233x434 【猜想】若n为正整数，请你猜想第n个等式（用含的式子表示），并证明. (2)【拓展】 ①利用你发现的规律计算： 1 +11 1 +…十 1×2'2×33×4 2025×2026 1,11 1 ②利用上述规律解答：若2×4十4×66x8 十 2m2m+2的值为25 9104'求n的值. 【变式121)】(24-25七年级下山东济南期末)观察下列各式：)=1， 111 2×323 111 3×4349 请你根据上面三个等式反映的规律，回答下列问题： 1 ()n(n+ 1,1,1, ②请你按利用发现的规律计算：2十6+12 1 n(n+19 1 1 1 1 ⊙)利用上面规律解方程：x-2xxx+2(x+2(x+4 (x+2024)(x+2026)x+2026 【变式12-2】(25-26八年级上·广西防城港·期末)探究与应用 【特例分析】 11/17 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (1)填空： ①1 、2 x+1x+1 -1的解为x- ②、2 4 x+1x+1 -1的解为x=_ ③3 6 x+1x+1 -1的解为x- 【总结规律】 (2)根据你发现的规律直接写出第4个分式方程及它的解：一· 【解决问题】 (3)请你按照上述规律写出第n(n为正整数)个分式方程，并求出它的解.（写出解答过程） 【变式12-3】(25-26八年级上·福建福州期末)【问题初探】 小菲在学习有理数运算时，通过具体运算发现： x2111111 2’2x3233x434’,在学习二次 根式运算时，小菲根据学习有理数运算积累的活动经验，类比探究了二次根式的运算规律，请将探究过程 补充完整： 特例1： 11 1=1+-；特例2： 11 11 1 11 1+ 22 =1+ 1× 12 ++家1+2x31+2 V1 特例3： (填写一个符合上述运算特征的式子) 【发现规律】 1 1 (n-10 (n≥2，且n为整数) 【应用规律】 (1)计算： 11 1+ 2+3+ 32+42+…+ + 202522026 ,11 1 2)如果V++7京++京+++m-2+n- (n≥10，且n为整数)的小数部分是0.1， 求出整数部分 12/17 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 分层阶梯训练提能力 基础巩固通关测 一、单选题 1.(25-26八年级下·河南周口期中)下列各式中，不属于分式的是() 5 A. B. x2+1 C.2x-1 2-x 5 m 2.(2026年河北保定市部分学校中考二模九年级数学试卷)化简分式 4x2 x2-9x-3 的结果为(） 2 A. B.x-3 x-3 C.2 D.x+3 x+3 3.(2026湖南益阳二模)分式方程2x+4=0的解是() 6-x A.x=-2 B.x=2 C.x=-6 D.x=6 4.(2026河北一模)已知A=x-9 ÷x,则下列判断正确的是（) x2+6x+9'x+3 A.A的计算结果为-3 B.当x=-3时，A=2 C.当0<x<3时，A的值为正数 D.若A是整数，则A=3或A=1 二、填空题 5.(25-26八年级下河南周口期中)计算：3ab 6ab2 6.(2026安微芜湖二模)函数y=V2x3中自变量x的取值范围是一· x-1 7.(2026年四川成都市部分中学中考一模试卷数学)关于x的分式方程m+X=1的解为x=-3,则m “x-1x+1 的值为· 8.(25-26八年级下四川成都期中)若关于x的分式方程2r-)+,m=1无解，则m= x-33-x 三、解答题 9.(25-26八年级下·河南周口期中)解下列分式方程： 04=3 x x-1 ②)2x3 x+12-7=2 13/17 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 10.(25-26八年级下河南周口·期中)计算： (①0g。1 a+1a+1 (2)-6x+9x-3 x+2 x2-4 11.（25-26九年级下陕西咸阳期中)先化简，再求值： 12.（25-26九年级下·重庆江津·月考)列方程解下列问题： “百年弦歌，薪火相传；鼎山毓秀，几水涵芳”，在某中学迎来建校120周年华诞之际，七年级一班学生自发 定制画册与文化衫两类伴手礼，赠予返校校友留念.己知定制3本画册和2件文化衫共需66元，定制4本画 册和5件文化衫共需123元. (1)定制一本画册、一件文化衫的单价分别为多少元？ (②)该伴手礼广受校友好评，学校决定加大定制规模以回馈校友，因对内容与品质提出更高要求，画册与文 化衫的定制单价均有上调，其中每本画册增加的费用是每件文化衫增加费用的3倍.最终，学校花费6000元 定制的▣册数量。是花费800元定制的文化衫数的，求每件文化衫增加的费用。 能力提升进阶练 一、单选题 1.(25-26八年级下·四川宜宾期中)下列分式是最简分式的是() A日 6 B. 3y D.+1 x2-1 2. (25-26八年级下·河南周口期中)下列说法正确的是() A.当x+-2时，分式+2有意义 B.分式3与2的最简公分母是2x2 C.无论x为何值， 的值总为数D.当分式m一1值为0附，m垫 m+4 且226八年级下四乐山阶段检测》若方程三2+“4有增根，则α的值为 x-4 A.-4 B.4 C.3 D.2 4.(25-26八年级下·河南周口·期中)某书店购进一批教辅资料，用3000元购进第一批，用3600元购进第 二批，第二批每本进价是第一批的1.2倍，购进数量比第一批少10本.设第一批每本进价为x元，列方程正 确的是() A.3000_3600=10 B.3600_300=10 1.2x 1.2xx 14/17 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 C. 3000_3600=10 D.3000+360=10 1.2xx x1.2x 5.(2026-河南商丘·二模)定义新运算：对于两个非零代数式，规定M※N=2+1, NM'例如 十 2※3=2+1_7 3+26 则化简(1-x)※x2-1)的结果是() 1 A. B.x+1 x-1 D.、1 x+1 x+1 二、填空题 6.(2026湖北模拟预测)计算2，+1的结果是 a2-1a+1 7（公6八年级下江苏南家期中》分式十·】·己的最简公分想处 11 8.(25-26八年级下山东临沂月考)若式子+2有意义，则x的取值范围是」 x-1 9.（2026宁夏银一核)关于的方程=2+，无解，则m的值为 10.(25-26八年级下江苏无锡期中)若关于x的不等式组 3引x一1+x有解，且关于v的分式方程 2 x-2a≥1 y-a+y+6=2的解为非负整数，则所有满足条件的负整数a的值之和为 1-yy-1 三、解答题 11.（25-26八年级下·四川眉山期中)计算： 1 x-2 +3=1x 2-x 12.(2026陕西咸阳一模)先化简，再求值： 1,1.x-2 29+x中3+5，并从-1、0.1、3中选一个合适的 数代入求值 13. (25-26八年级下·福建泉州期中)下面是小明同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成任务： 化简： 保片年 =2-2x+1+2x+1.-1第二步 （x+1)(x-1) 15/17 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 2 (x+1第三步 2 = x2+x 。第四步 任务一： ()以上化简步骤中，第 步是进行分式的通分，其依据是 (2)第 步开始出现错误，出现错误的原因是 任务二： (3)请直接写出该分式化简后的正确结果： 14.(25-26九年级下山东菏泽·期中)今年端午节来临之际，某商场预测一品牌枣粽能够畅销.根据预测， 每千克枣粽节前的进价比节后多2元，节前用2000元购进枣粽的数量与节后用1600元购进的数量相同.根 据以上信息，解答下列问题： (1)该商场节前每千克枣粽的进价是多少元？ (2)如果该商场在节前和节后共准备购进枣粽500千克，且总费用不超过4800元，并按照节前每千克16元， 节后每千克12元全部售出，那么该商场节前购进多少千克枣粽获得利润最大？最大利润是多少？ 15.(25-26八年级下·河南鹤壁·月考)根据发现的规律回答问题 (1)解下列方程 ①12 x+1x+1 -1的解为x=: ②24 x+1x+1 -1的解为x=； ③3、6 x+1x+1 -1的解为x=一 @4=8 -1的解为x=; x+1x+1 (2)根据上述规律和形式继续写出⑤⑥： ⑤ ；⑥ ； (3)请根据上述规律写出第n个(n为正整数)方程及它的解，并写出解题过程， 16.(24-25七年级下.全国.单元测试)(1)【探索规律】 观察下面的式子，探索它们的规律。 高13时 用含正整数n的等式表示这个规律：一： (2)【问题解决】 16/17 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 一容器装有L水，按照如下方式把水倒出：第一次倒出士水，第二次倒出的水量是水的字第三次倒 出的水最是水的子，第四次偏出的水量是宁水的·…第n次每出的水最是片水的，这L水 4 能否倒完？请说明理由； (3)【拓展探究】 解方程：+，+1+11 3x15x35x63xx+1 17/17