精品解析：江苏扬州市江都区第三中学2025-2026学年八年级下学期5月阶段测试数学试题

江都区第三中学2025-2026学年第二学期八年级数学学科阶段练习 （试卷满分：150分 考试时间：120分钟）2026.5 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列调查中，最适合采用普查的是（ ） A. 调查江苏省中学生的睡眠时间 B. 调查溱湖的水质情况 C. 调查某批次新能源汽车的智能驾驶状况 D. 调查全班同学的视力情况 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列式子从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列各式从左到右变形正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列说法中错误的是（ ） A. 对角线互相垂直的四边形是菱形 B. 菱形的对角线平分一组对角 C. 平行四边形的对边相等 D. 矩形的对角线互相平分 6. 甲、乙两人制作手工艺品，已知甲制作一件手工艺品比乙多花小时，甲小时制作手工艺品的数量与乙小时制作手工艺品的数量相同．若甲制作一件手工艺品需要小时，则根据题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，平行四边形中，对角线、相交于，过点作交于点，若，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，矩形纸片，点M、N分别在矩形的边、上，将矩形纸片沿直线折叠，使点C落在矩形的边上，记为点P，点D落在G处，连接，交于点Q，连接．下列结论：①四边形是菱形；②点P与点A重合时，；③的面积S的取值范围是．其中所有正确结论的序号是（ ） A. ①②③ B. ①② C. ①③ D. ②③ 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 9. 为了解某区八年级6000名学生期末测试成绩的情况，从中抽取了600名学生的测试成绩进行统计分析，则这次调查的样本容量是_____． 10. 在一次数学测试中，将某班50名学生的成绩分为六组，第一组到第五组的频数分别为6，8，9，12，10，则第六组的频率是____． 11. 若+在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是_____． 12. 分解因式：_______． 13. 计算的结果是______． 14. 已知与最简二次根式是同类二次根式，则___________． 15. 已知关于的分式方程的解是正数，则的取值范围是__________． 16. 如图，矩形的对角线和相交于点O，，则______． 17. 如图，在平面直角坐标系中，边长为4的菱形的顶点分别在轴，轴的正半轴上移动，点之间的距离为4，连接，则线段长度的最大值为_________． 18. 如图，在正方形与正方形中，．连接为的中点，连接．正方形绕着点旋转过程中，的最小值是_________． 三、解答题（本大题共10小题，共96分） 19. 因式分解： （1）； （2）． 20. 计算 （1）； （2）． 21. 解方程： （1） （2） 22. 先化简：，然后x在，，0，1，2五个数中选一个你认为合适的数代入求值． 23. 如图，P、Q是方格纸中的两格点，请按要求画出以PQ为对角线的格点四边形.（顶点都在格点上的四边形称为格点四边形） （1）在图①中画出一个面积最小的中心对称图形PAQB， （2）在图②中画出一个四边形PCQD，使其是轴对称图形但不是中心对称图形，且另一条对角线CD由线段PQ以某一格点为旋转中心旋转得到. 24. 如图，在平行四边形中，点E，F分别在边上，，连接 （1）求证：四边形为平行四边形． （2）若，求四边形的面积． 25. 2025年4月27日，第20届中国电影华表奖在山东青岛市举行颁奖典礼．某文创店准备采购一批华表奖主题纪念品用于推广：已知“经典套装A型”的进价比“豪华套装B型”的进价低80元．如果文创店同样用6000元购进A型套装的数量是B型套装的数量的2倍． （1）求A型套装和B型套装的进价分别是多少元？ （2）文创店计划购买A型套装和B型套装共400件，且A型套装的数量不少于B型套装数量的3倍，将A型套装和B型套装分别按进价提高销售，如何购买这两种型号套装才能使全部售出后总利润最大？ 26. 在中，的平分线交直线于点，交直线于点． （1）在图1中证明； （2）在图2中，若是的中点，求的度数； 27. 阅读理解: 定义：若分式和分式满足（为正整数），则称是的“差分式”． 例如： 我们称 是 的“差分式”， 解答下列问题： （1）分式 是分式 的“ 差分式”． （2）分式 是分式 的“差分式”． ① （含的代数式表示）； ②若 的值为正整数，为正整数，求的值． （3）已知，分式 是 的“差分式”（其中为正数），求的值． 28. 如图1，在正方形中，点，分别在边，上，连接，，．若，将绕点顺时针旋转,点D与点B重合，得到． （1）求证：； （2）如图2，在正方形中，若点在射线上，点在射线上，，试探究线段，，之间的数量关系，请作出结论并予以证明． （3）如图3，正方形的边长为，，分别在，上，，连接分别交，于点M，N．若点M恰好为线段的四等分点，且，求线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江都区第三中学2025-2026学年第二学期八年级数学学科阶段练习 （试卷满分：150分 考试时间：120分钟）2026.5 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列调查中，最适合采用普查的是（ ） A. 调查江苏省中学生的睡眠时间 B. 调查溱湖的水质情况 C. 调查某批次新能源汽车的智能驾驶状况 D. 调查全班同学的视力情况 【答案】D 【解析】 【详解】解：A中调查江苏省中学生的睡眠时间，调查范围过大，不适合普查； B中调查溱湖的水质情况，无法开展全面普查，适合抽样调查； C中调查某批次新能源汽车的智能驾驶状况，调查具有破坏性，不适合普查； D中调查全班同学的视力情况，范围小，易操作，最适合采用普查． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算．根据二次根式的运算法则，逐一进行计算，判断即可． 【详解】解：A、，选项错误； B、，选项错误； C、，选项正确； D、不能合并，选项错误； 故选C． 3. 下列式子从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】因式分解是把一个多项式化成几个整式的积的形式，据此判断各选项即可． 【详解】解：A、是整式的乘法运算，故选项不符合题意； B、右边不是整式积的形式，故选项不符合题意； C、，分解错误，故选项不符合题意； D、，符合因式分解的定义，故选项符合题意． 4. 下列各式从左到右变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据分式的基本性质和分式乘方运算，逐一判断选项即可得到正确结果． 【详解】解：A、，故选项变形错误； B、分式有意义，则，即，可得，故选项变形正确； C、，故选项变形错误； D、是最简分式，，故选项变形错误． 5. 下列说法中错误的是（ ） A. 对角线互相垂直的四边形是菱形 B. 菱形的对角线平分一组对角 C. 平行四边形的对边相等 D. 矩形的对角线互相平分 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查特殊四边形的判定与性质，根据平行四边形、菱形、矩形的性质和判定，逐一判断各选项即可． 【详解】解：A、对角线互相垂直的平行四边形才是菱形，对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，故此选项说法错误，符合题意； B、菱形的性质包含对角线平分一组对角，故此选项说法正确，不符合题意； C、平行四边形的性质包含对边相等，故此选项说法正确，不符合题意； D、矩形是特殊的平行四边形，平行四边形对角线互相平分，∴矩形对角线互相平分，故此选项说法正确，不符合题意． 6. 甲、乙两人制作手工艺品，已知甲制作一件手工艺品比乙多花小时，甲小时制作手工艺品的数量与乙小时制作手工艺品的数量相同．若甲制作一件手工艺品需要小时，则根据题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先由甲的单件制作时间表示出乙的单件制作时间，再根据甲小时制作手工艺品的数量与乙小时制作手工艺品的数量相等，进而列出方程． 【详解】解：若甲制作一件手工艺品需要小时，则乙制作一件手工艺品需要小时，则． 7. 如图，平行四边形中，对角线、相交于，过点作交于点，若，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理以及勾股定理的逆定理，证明是直角三角形是解题的关键．连接，根据已知条件证明是直角三角形，进而可得是等腰直角三角形，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，连接， 平行四边形中，， 垂直平分， ，，， ，， ，， ， 是直角三角形，是等腰直角三角形， ． 故选B． 8. 如图，矩形纸片，点M、N分别在矩形的边、上，将矩形纸片沿直线折叠，使点C落在矩形的边上，记为点P，点D落在G处，连接，交于点Q，连接．下列结论：①四边形是菱形；②点P与点A重合时，；③的面积S的取值范围是．其中所有正确结论的序号是（ ） A. ①②③ B. ①② C. ①③ D. ②③ 【答案】C 【解析】 【分析】根据矩形的性质与折叠的性质，证明出，，通过等量代换，得到PM=CN，则由一组邻边相等的平行四边形是菱形得到结论正确；用勾股定理，，由菱形的性质对角线互相垂直，再用勾股定理求出；当过点D时，最小面积，当P点与A点重合时，S最大为，得出答案． 【详解】解：①如图1， ∵， ∴， ∵折叠，∴，NC=NP ∴， ∴， ∴PM=CN， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴平行四边形为菱形， 故①正确，符合题意； ②当点P与A重合时，如图2所示 设，则， 在中，， 即， 解得：， ∴，， ∴， 又∵四边形为菱形， ∴，且， ∴ ∴， 故②错误，不符合题意． ③当过点D时，如图3所示： 此时，最短，四边形的面积最小，则S最小为， 当P点与A点重合时，最长，四边形的面积最大，则S最大为， ∴，故③正确，符合题意． 故答案为：①③． 故选：C 【点睛】本题主要考查了菱形的判定与性质、折叠问题、勾股定理的综合应用，熟练掌握菱形的判定定理与性质定理、勾股定理是解决本题的关键． 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 9. 为了解某区八年级6000名学生期末测试成绩的情况，从中抽取了600名学生的测试成绩进行统计分析，则这次调查的样本容量是_____． 【答案】600 【解析】 【分析】根据样本容量是样本中包含的个体的数目，不带单位，直接求解即可． 【详解】解：由题意可知，抽取了600名学生的测试成绩进行统计分析， 因此这次调查的样本容量是． 10. 在一次数学测试中，将某班50名学生的成绩分为六组，第一组到第五组的频数分别为6，8，9，12，10，则第六组的频率是____． 【答案】0.1 【解析】 【分析】一个容量为50的样本，把它分成6组，第一组到第五组的频数分别为6，8，9，12，10，用样本容量减去前五组的频数，得到第六组的频数．进而计算第六组的频率. 【详解】∵一个容量为50的样本， 把它分成6组， 第一组到第五组的频数分别为6，8，9，12，10， ∴第六组的频数是50−6−8−9−12−10=5. 第六组的频率是： 故答案为0.1. 【点睛】考查频数与频率，掌握频率与频数之间的关系式是解题的关键. 11. 若+在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是_____． 【答案】x≥1且x≠3 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件可得x﹣1≥0，根据分式有意义的条件可得x﹣3≠0，再解即可． 【详解】解：由题意得：x﹣1≥0，且x﹣3≠0， 解得：x≥1且x≠3， 故答案为：x≥1且x≠3． 【点睛】此题主要考查了二次根式有意义和分式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数，分式有意义的条件是分母不等于零． 12. 分解因式：_______． 【答案】 【解析】 【分析】原式为两个整式的平方差，符合平方差公式的特征，可利用平方差公式进行因式分解． 【详解】解： ． 13. 计算的结果是______． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 14. 已知与最简二次根式是同类二次根式，则___________． 【答案】0 【解析】 【分析】本题考查同类二次根式，先利用二次根式的性质化简，再根据最简二次根式的被开方数相同即为同类二次根式求解即可． 【详解】解：∵与最简二次根式是同类二次根式，且， ∴，则， 故答案为：0． 15. 已知关于的分式方程的解是正数，则的取值范围是__________． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查解分式方程，分式方程的解，解一元一次不等式，先解分式方程得到关于的表达式，再根据分式方程的解为正数且分式有意义，列出关于的不等式，求解即可得到的取值范围． 【详解】解：方程两边同乘，得 整理得 ∵方程的解是正数， ∴，即， 解得， ∵分式有意义时分母不为零， ∴，即，解得， ∴的取值范围是且． 16. 如图，矩形的对角线和相交于点O，，则______． 【答案】3 【解析】 【分析】根据矩形的对角线相等且互相平分，可得，进而得到是等边三角形，求解即可． 【详解】解：∵是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴是等边三角形， ∴． 17. 如图，在平面直角坐标系中，边长为4的菱形的顶点分别在轴，轴的正半轴上移动，点之间的距离为4，连接，则线段长度的最大值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】取的中点E，连接，，，先证明和是等边三角形，即可求出的长，再在中利用斜边中线性质求出，最后根据确定当三点共线时最大，最大值为，据此求解即可． 【详解】解：连接，由题意得， ∴和是等边三角形， ∴， 如图，取的中点E，连接，， ∵边长为4的菱形，的中点E， ∴，， ∴， ∵在中，， ∴， ∴当三点共线时最大，最大值为， 故答案为： ． 【点睛】本题考查了勾股定理，等边三角形的性质与判定，菱形的性质，坐标与图形，化为最简二次根式，作出合适的辅助线是解本题的关键． 18. 如图，在正方形与正方形中，．连接为的中点，连接．正方形绕着点旋转过程中，的最小值是_________． 【答案】 【解析】 【分析】延长至点，使得，连接，根据中位线的性质得到，将的最小值问题转化为的最小值问题，利用勾股定理可得的长，当点三点共线时，且点在线段上时，取最小值，最小值为，即可得解． 【详解】解：如图，延长至点，使得，连接， ∵为的中点，为的中点， ∴是的中位线， ∴，故要求的最小值，即需求的最小值即可， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴，为定值， 当点三点共线时，且点在线段上时，取最小值，最小值为 ∴的最小值是． 三、解答题（本大题共10小题，共96分） 19. 因式分解： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：， ； 【小问2详解】 解：， ， ， ． 20. 计算 （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式，平方差公式，准确熟练地进行计算是解题的关键． 先把每一个二次根式化成最简二次根式，然后再进行计算即可解答； 利用完全平方公式，平方差公式进行计算，即可解答． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 21. 解方程： （1） （2） 【答案】（1）； （2）无解． 【解析】 【分析】（1）根据解分式方程的方法求解即可； （2）根据解分式方程的方法求解即可． 【小问1详解】 解：， ∴， 整理得：， 解得：， 经检验，是原方程的解； 【小问2详解】 解：， ∴， 整理得：， 解得：， 经检验，是增根， ∴原方程无解． 22. 先化简：，然后x在，，0，1，2五个数中选一个你认为合适的数代入求值． 【答案】，当时，原式（或当时，原式） 【解析】 【分析】先化简原分式，再根据分式有意义的条件取合适的值代入即可． 【详解】解： ， 根据分式有意义的条件可知且， ∴或， 当时，原式； 当时，原式． 23. 如图，P、Q是方格纸中的两格点，请按要求画出以PQ为对角线的格点四边形.（顶点都在格点上的四边形称为格点四边形） （1）在图①中画出一个面积最小的中心对称图形PAQB， （2）在图②中画出一个四边形PCQD，使其是轴对称图形但不是中心对称图形，且另一条对角线CD由线段PQ以某一格点为旋转中心旋转得到. 【答案】（1）画图见解析；（2）画图见解析. 【解析】 【分析】（1）利用方格纸的特点及几何图形的计算方法，利用割补法，把四边形PAQB的面积转化为△PAQ与△PBQ的面积之和，根据两个三角形的底PQ一定时，要使面积最小，则满足高最小，且同时满足顶点都在格点上即可得答案；（2）根据题意，画出的四边形是轴对称图形但不是中心对称图形，且另一条对角线CD由线段PQ以某一格点为旋转中心旋转得到可知此四边形是等腰梯形，根据方格纸的特点，作出满足条件的图形即可. 【详解】（1）∵PQ为对角线， ∴S四边形PAQB=S△PAQ+S△PBQ， ∵PQ一定时，高最小时，△PAQ与△PBQ的面积最小，A、B在格点上， ∴高为1， ∴四边形PAQB如图①所示： （2）∵四边形PCQD是轴对称图形但不是中心对称图形，且另一条对角线CD由线段PQ以某一格点为旋转中心旋转得到， ∴四边形PCQD是等腰梯形， ∴四边形PCQD如图②所示： 【点睛】本题考查了作图——旋转变化及利用割补法计算几何图形的面积，熟练掌握旋转的性质及方格纸的特点是解题关键. 24. 如图，在平行四边形中，点E，F分别在边上，，连接 （1）求证：四边形为平行四边形． （2）若，求四边形的面积． 【答案】（1）见解析 （2）24 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，勾股定理，掌握知识点是解题的关键． （1）先证明，继而证明，则四边形是平行四边形，即可解答； （2）先证明四边形是菱形，则，，继而求出，则四边形的面积，即可解答． 【小问1详解】 证明：∵四边形平行四边形， ∴． 又∵， ∴， ∴． 又∵， ∴四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是菱形， 如图，连接交于O， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的面积． 25. 2025年4月27日，第20届中国电影华表奖在山东青岛市举行颁奖典礼．某文创店准备采购一批华表奖主题纪念品用于推广：已知“经典套装A型”的进价比“豪华套装B型”的进价低80元．如果文创店同样用6000元购进A型套装的数量是B型套装的数量的2倍． （1）求A型套装和B型套装的进价分别是多少元？ （2）文创店计划购买A型套装和B型套装共400件，且A型套装的数量不少于B型套装数量的3倍，将A型套装和B型套装分别按进价提高销售，如何购买这两种型号套装才能使全部售出后总利润最大？ 【答案】（1）A型套装的进价是80元，B型套装的进价是160元 （2）购买A型300件，B型100件，总利润最大 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用、一次函数的应用，理解题意正确列出方程和不等式是解题的关键． （1）设A型套装的进价是元，则B型套装的进价是元，根据题意列出分式方程，解出的值即可解答； （2）设购买A型套装件，B型套装件，根据题意得到，解得，设总利润为元，列式可得，再利用一次函数的性质即可解答． 【小问1详解】 解：设A型套装的进价是元，则B型套装的进价是元， 由题意得，， 解得：， 经检验，是方程的解且符合题意， 则， 答：A型套装的进价是80元，B型套装的进价是160元 【小问2详解】 解：设购买A型套装件，B型套装件， 由题意得，， 解得：， 设总利润为元， 则 ， ， 随a增大而减小， 当时，W取最大值，此时400－300＝100（件）， 答：购买A型300件，B型100件，总利润最大． 26. 在中，的平分线交直线于点，交直线于点． （1）在图1中证明； （2）在图2中，若是的中点，求的度数； 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先根据角平分线的定义得到两个角相等，再根据平行四边形的性质、平行线的性质得到角之间的关系，然后根据等腰三角形的性质得到结果； （2）先根据矩形的性质和（1）中的结论可得到等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质以及角平线的定义、等腰三角形的判定与性质得到，最后在利用全等三角形得到等腰直角三角形，即可得到结果． 【小问1详解】 证明：∵是平行四边形， ，， ， 平分， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：连接，如图所示： ， ∵是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵是平行四边形，， ∴四边形是矩形， ， ， 在中，，为中点， ， ， ∴，， ， 在和中， ， ， ， ， ∴， 即， ． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形全等的判定及性质，构造出两个全等三角形是解题的关键． 27. 阅读理解: 定义：若分式和分式满足（为正整数），则称是的“差分式”． 例如： 我们称 是 的“差分式”， 解答下列问题： （1）分式 是分式 的“ 差分式”． （2）分式 是分式 的“差分式”． ① （含的代数式表示）； ②若 的值为正整数，为正整数，求的值． （3）已知，分式 是 的“差分式”（其中为正数），求的值． 【答案】（1） （2）①；②，则；，则； （3） 【解析】 【分析】本题主要考查定义新运算，分式的混合运算，乘法公式的运用， （1）根据材料提示进行计算即可求解； （2）根据“差分式”的计算方法可得，结合分式的混合运算即可求解； （3）根据“差分式”的计算方法可得，根据分式的混合运算，乘法公式的运算可得，结合，由此即可求解． 【小问1详解】 解：， 故答案为：； 【小问2详解】 解：①， ∴， 解得，； ②，为正整数， ∴当时，，则； 当时，，则； 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，不符合题意，舍去； ∴的值为或； 【小问3详解】 解：， ，且， ∴， ∵为正数， ∴， ∴的值为． 28. 如图1，在正方形中，点，分别在边，上，连接，，．若，将绕点顺时针旋转,点D与点B重合，得到． （1）求证：； （2）如图2，在正方形中，若点在射线上，点在射线上，，试探究线段，，之间的数量关系，请作出结论并予以证明． （3）如图3，正方形的边长为，，分别在，上，，连接分别交，于点M，N．若点M恰好为线段的四等分点，且，求线段的长． 【答案】（1）见解析 （2），证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）证明，由全等三角形的性质得出，从而可求得；再证明即可； （2）将绕点A顺时针旋转到，连接，证明，由全等三角形的性质得出，，证明，由全等三角形的性质得出； （3）将绕点A顺时针旋转，得到，证明，得，再证，然后由勾股定理得出，即可解决问题． 【小问1详解】 证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． 【小问2详解】 解：． 证明如下：如图（2），在上截取，连接． 在和中， ， ， ，， 即， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：如图（3），将绕点顺时针旋转得到，连接． 四边形是正方形， ，，， ， ， ， 由旋转可得， ，，，， ， ，， ． ． ， ． 设，则． 在中， 解得：， ． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质综合，旋转的性质，勾股定理等知识，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $