精品解析：江苏宿迁市沭阳县外国语实验学校2025～2026学年下学期第二次定时作业数学学科

2025~2026学年度第二学期第二次定时作业 初二年级数学学科 （考试时间：120分钟 试卷分值：150分） 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上．） 1. 因式分解：（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解．利用平方差公式进行因式分解，即可求解． 【详解】解：． 故选：A 2. 下列四个等式从左至右的变形中，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据因式分解的定义，即把一个多项式化为几个整式的积的形式，逐一判断各选项即可. 【详解】解：A、是整式的乘法，不符合题意； B、等式的右边不是积的形式，不符合题意； C、是因式分解，符合题意； D、等式的右边不是整式的积的形式，不符合题意. 3. 以下说法合理的是（ ） A. 小明在抛图钉10次的试验中发现有4次钉尖朝上，由此他说钉尖朝上的概率是 B. 掷一枚骰子，掷出点6的概率是，意思是每掷6次就有1次掷得点数为6 C. 某彩票的中奖机会是百分之五，那么买100张彩票一定会有5张中奖 D. 甲、乙两组同学分别进行抛掷硬币的试验，正面朝上的频率分别为和 【答案】D 【解析】 【分析】概率是事件发生可能性大小的度量，只有大量重复试验后，才可利用频率估计概率，概率不代表有限次试验的结果一定发生，据此逐一判断选项． 【详解】解：∵只有大量重复试验才可利用频率估计概率，10次试验次数过少，不能确定钉尖朝上的概率为，∴A错误； ∵掷骰子得到6点的概率为，表示大量重复试验时，平均每6次试验会出现1次6点朝上，并非每掷6次就一定有1次掷出6点，∴B错误； ∵彩票中奖机会是，表示每张彩票中奖的可能性为，买100张彩票不一定会有5张中奖，∴C错误； ∵不同小组进行有限次试验，得到的正面朝上频率可以不同，只要在概率附近都合理，和都接近真实概率，∴D正确． 4. 若把分式中的和都扩大到原来的2倍，那么分式的值（ ） A. 扩大2倍 B. 不变 C. 缩小为原来的 D. 缩小为原来的 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查分式的性质，将和都扩大到原来的2倍代入求解即可得到答案； 【详解】解：当和都扩大到原来的2倍时， ， 缩小为原来的， 故选：C． 5. 化简的结果是（ ） A. 0 B. 1 C. a D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据同母分式加法法则进行计算即可． 【详解】解：， 故选：B． 【点睛】本题考查同分母的分式加法，熟练掌握运算法则是解决问题的关键． 6. “若a为自然数，下列关于分式的值的结论正确的是（ ） A. 有最大值是1 B. 有最大值是2 C. 有最小值是1 D. 有最小值，没有最大值 【答案】B 【解析】 【分析】先对分式因式分解约分，根据分式有意义的条件确定自然数的取值范围，再分析分式的取值，判断最值. 【详解】解：∵ 分式有意义要求分母不为0， ∴ ，得 ， ∵ 为自然数，∴ ， 的可取值为 ， ∵， 当时，， 当为大于等于2的自然数时，，，且越大，越小， 因此分式的值的最大值为，无最小值，只有B选项结论正确. 7. 如图，在中，点是对角线上一点，过点作分别交于点，于点，连接、，若，则下列面积一定可以求得结果的是（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，掌握平行四边形的判定与性质成为解题的关键． 如图，过点作于于，交于，由是平行四边形可得，；进而得到四边形是平行四边形、四边形是平行四边形、四边形是平行四边形、四边形是平行四边形，再根据平行四边形的性质以及三角形面积间的关系即可解答． 【详解】解：如图，过点作交于，交于， 四边形是平行四边形， ，， ， ， 四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，四边形是平行四边形， ，， ∵ ， ， ． 故选：B． 8. 如图，在中，，，，P为边上一动点，于E，于F，M为中点，当点P从点B运动到点C，最小值为（ ） A. B. 4 C. D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】勾股定理逆定理得到，进而推出四边形是矩形，连接，则，证明，进而得到最小时，最小，进而得到时，最小，等积法求出的长即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵M为中点， ∴， ∵于E，于F， ∴四边形是矩形， 连接，则在上，， ∴， ∴当最小时，最小， ∵垂线段最短， ∴当时，最小， 此时，即：， ∴， ∴的最小值为． 二、填空题（本大题共有10小题，每题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡的相应位置上．） 9. 分解因式：_______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 原式提取7，再利用平方差公式分解即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 10. 分式和的最简公分母是________． 【答案】 【解析】 【分析】分别求出分母系数的最小公倍数与各字母因式的最高次幂，再将二者相乘得到最简公分母. 【详解】解：首先求分母系数的最小公倍数，和的最小公倍数为； 再确定各字母的最高次幂：的最高次幂为，的最高次幂为，单独出现的字母需要计入， 因此可得分式和的最简公分母是. 11. 已知，则的值为________． 【答案】2 【解析】 【分析】先对所求分式进行通分变形，再将已知等式整体代入化简求值即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴． 12. 当分式的值为正数时，写出一个满足条件的x的值为______． 【答案】0（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查了根据分式的值的情况求参数，根据题意可得，则，据此可得答案． 【详解】解：∵分式的值为正数， ∴， ∴， ∴满足题意的x的值可以为0， 故答案为：0（答案不唯一）． 13. 若一个三角形的三边长为、、，满足，则三角形的形状为_________. 【答案】等边三角形 【解析】 【分析】把变形为（a-b）2+（b-c）2=0，由此判断三角形为等边三角形 【详解】解：∵a2+2b2+c2-2ab-2bc=0， ∴（a2-2ab+b2）+（b2-2bc+c2）=0， 即（a-b）2+（b-c）2=0． ∵（a-b）2≥0，（b-c）2≥0， ∴a=b，b=c ∴a=b=c． ∴该三角形是等边三角形． 【点睛】此题是对完全平方公式的灵活应用，也是历来考试经常出现的题目，应掌握解法． 14. 一个不透明的袋子中仅有3个红球、2个黄球和1个白球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出一个球，摸出的球是白球或黄球的概率是_______． 【答案】 【解析】 【分析】先求出白球与黄球的总数量，再除以球的总数量即可得到所求概率． 【详解】解：由题意得，袋子中球的总个数为，白球和黄球的总个数为， 因此随机摸出一个球，摸出的球是白球或黄球的概率为． 15. 已知，，代数式的值为_______． 【答案】##0.25 【解析】 【分析】本题考查代数式求值，先根据已知条件将所有字母用同一个字母表示，再代入所求代数式约分求解即可； 【详解】解： ，， ，， 将，代入代数式得： 原式； 16. 已知平行四边形中，，，的平分线，分别与边交于点E，F，且，则的长为_______． 【答案】或 【解析】 【分析】利用平行四边形的性质得到，，，根据角平分线定义和平行线的性质推出，由等角对等边得，同理可得，分两种情况讨论点与点的位置，计算的长即可. 【详解】解：∵平分， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 同理可得：， 如图，当点在点、之间时， ∵， ∴ 如图，当点在点、之间时， ∵， ∴； 综上所述，的长为或． 17. 如图，在四边形中，，，，M、N分别是边、上的动点，E、F分别是线段、的中点，则的取值范围为_______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，由勾股定理可得，由三角形中位线定理可得，当最长时，长度最大，即当点N与点B重合时，最长，当最短时，长度最小，即当点N与点A重合时，最短，由此即可求得答案． 【详解】解：如图，连接，   ∵，，， ∴， ∵点、分别为、的中点， ∴， ∴当最长时，长度的最大，即当点N与点B重合时，最长， 此时, ∴, 当最短时，长度的最小，即当点N与点A重合时，最短，此时, ∴, 故． 18. 已知，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】利用已知条件，对后两个分式进行变形，将三个分式化为同分母分式，再合并化简即可得到结果； 【详解】解：， ， 将代入第三个分式变形得：，原式 ； 三、解答题（本大题共有10小题，共96分．请在指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 因式分解： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 20. 如图，已知，，分别是和上的点，．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】根据平行线的性质和判定证得，再根据平行四边形的判定即可证得结论． 【详解】证明：， ， 又， ， ， ， 四边形是平行四边形． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质和判定，平行四边形的判定，根据平行线的性质和判定证得是解决问题的关键． 21. 先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【解析】 【分析】题目主要考查分式的化简求值，先计算分式的除法运算，然后计算加减法，最后代入求值即可，熟练掌握运算法则是解题关键． 【详解】解： ， 当时，原式． 22. 实践任务：测量不规则草地的面积（如图阴影部分）． 方案设计：在草地的外围画一个长5米，宽4米的长方形，在不远处向长方形内掷石子，并记录石子落点的情况（石子扔在界线上或长方形区域外不计试验结果），记录结果如表： 数据分析： 实验分组 一组 二组 三组 四组 五组 六组 七组 石子落在草地上的次数 40 67 115 149 180 209 252 投掷石子总次数 120 240 360 480 600 720 840 石子落在草地上的频率 （1）通过各组实验可以发现，石子落在草地上的概率大约是 ． （2）请你根据所学概率的相关知识估算出草地的面积，并写出估算过程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了频率估计概率及其综合应用，理解频率和概率的定义是解题关键． （1）根据石子落在草地内的次数占投掷石子总次数比，即可估计石子落在草地内的概率； （2）根据概率公式估算出草地面积即可． 【小问1详解】 解：根据表格中的数据可知：随着投掷次数的增多，石子落在草地内的频率稳定在左右，所以石子落在草地内的概率大约是． 故答案为：． 【小问2详解】 解：∵长方形的面积为，石子落在草地内的概率大约是， ∴草地的面积大约为：． 23. 中国新能源产业异军突起．中国车企在政策引导和支持下，瞄准纯电、混动和氢燃料等多元技术路线，加大研发投入形成了领先的技术优势，2023年，中国新能源汽车产销量均突破900万辆，连续9年位居全球第一．在某次汽车展览会上，工作人员随机抽取了部分参展人员进行了“我最喜欢的汽车类型”的调查活动（每人限选其中一种类型），并将数据整理后，绘制成下面有待完成的统计表、条形统计图和扇形统计图 类型 人数 百分比 纯电 m 混动 n 氢燃料 3 油车 5 请根据以上信息，解答下列问题： （1）本次调查活动随机抽取了_____人；表中______，______； （2）请补全条形统计图； （3）请计算扇形统计图中“混动”类所在扇形的圆心角的度数； （4）若此次汽车展览会的参展人员共有4000人，请你估计喜欢新能源（纯电、混动、氢燃料）汽车的有多少人？ 【答案】（1）50；30，6 （2）见解析 （3） （4）人 【解析】 【分析】本题考查统计表、条形统计图和扇形统计图的综合，理解题意，能从统计图中获取有用信息是解答的关键． （1）用喜欢油车人数除以其所占的百分比可求得调查人数，用喜欢氢燃料人数除以调查人数可求得b，进而用1减去喜欢其他车型所占的百分比可求解a； （2）先求得n，进而可补全条形统计图； （3）用360度乘以喜欢混动所占的百分比即可求解； （4）用总人数乘以样本中喜欢新能源汽车所占的百分比即可求解． 【小问1详解】 解：本次调查活动随机抽取人数为（人）， ，则， ，则， 故答案为：50；30，6； 【小问2详解】 解：∵， ∴补全条形统计图如图所示： 【小问3详解】 解：扇形统计图中“混动”类所在扇形的圆心角的度数为； 【小问4详解】 解：（人）． 答：估计喜欢新能源（纯电、混动、氢燃料）汽车的有3600人． 24. 已知，，求代数式的值． 【答案】 【解析】 【分析】先将原式进行因式分解，再整体代入求值即可． 【详解】解： ∵， ∴原式 ． 25. 如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．四边形的四个顶点都在格点上，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图（保留作图痕迹，画图过程用虚线，画图结果用实线）． （1）在图1中画一条线段，使它平分四边形面积； （2）在图2的边上画点E，使． 【答案】（1）见解析（答案不唯一，过对角线交点O即可） （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质． （1）根据对边平行且相等的四边形是平行四边形，证明四边形是平行四边形，根据平行四边形作图即可； （2）如图，点向右4个格点，向下3个格点为，连接，则是等腰直角三角形，则，与的交点即为所求； 【小问1详解】 解：由题意知，，，， ∴四边形是平行四边形； 则连接，交于O，做一条过O的线段即可； 【小问2详解】 解：如图，取格点M，连接交于E，点即为所求； 证明：由勾股定理可知：，，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 即． 26. 我们已经学过将一个多项式分解因式方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法、字相乘法等等，将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫做分组分解． 例如： 利用这种分组的思想方法解决下列问题： （1）分解因式； （2）三边a，b，c满足判断的形状，并说明理由． 【答案】（1）；（2）是等腰三角形，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意，先将原多项式分组，分别因式分解后再利用提公因式法因式分解即可； （2）先将等式左侧因式分解，再根据两式相乘等于0，则至少有一个式子的值为0和三角形的三边关系即可得出结论． 【详解】解：（1） = = = （2）是等腰三角形，理由如下 ∵ ∴ ∴ ∴ ∵a，b，c是△ABC的三边 ∴ ∴ ∴ ∴是等腰三角形 【点睛】此题考查的是用分组法因式分解和因式分解的应用，掌握因式分解的各个方法是解决此题的关键． 27. 定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，那么称这个分式为“和谐分式”．如：，则是“和谐分式”． （1）下列分式中，属于“和谐分式”的是________（填序号）； ①；②；③；④． （2）将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式：＝________； （3）应用：先化简，并回答：x取什么整数时，该式的值为整数？ 【答案】（1）①③④ （2） （3）， 【解析】 【分析】本题考查分式的化简，熟练掌握新定义，是解题的关键： （1）根据新定义，逐一进行判断即可； （2）根据新定义，进行计算即可； （3）除法变乘法，约分化简后，进行加减运算，再根据新定义，进行求解即可． 【小问1详解】 解：；故①是和谐分式； 不能化成一个整式与一个分子为常数的分式；故②不是和谐分式； ；故③是和谐分式； ；故④是和谐分式； 故答案为：①③④ 【小问2详解】 ； 故答案为：； 【小问3详解】 原式 ； ∵， ∴当时，分式的值为整数， ∴， ∵时，分式无意义， ∴当时，分式的值为整数． 28. 如图．在四边形中，，，，，，点从点出发，沿射线以每秒个单位长度的速度运动．点从点出发，沿方向以每秒个单位长度的速度向终点运动．、两点同时出发，当点到达点时，点也随之停止运动．设点运动时间为秒． （1）求线段的长 （用含的代数式表示）． （2）当以、、、为顶点的四边形为平行四边形时，求的值． （3）如图，若点为边上一点，且，当是以为腰的等腰三角形时，直接写出的值． 【答案】（1） （2）或 （3）当是以为腰的等腰三角形时，的值为或或 【解析】 【分析】（1）点运动到点时，共用了，总共运动了，分两种情况讨论：当时，当时，进行计算即可求解； （2）若四边形平行四边形，则，根据题意得，分两种情况讨论：当时，当时，进行计算即可求解； （3）过点作于点，根据矩形的判定与性质以及勾股定理求出，根据等腰三角形的性质得，当，则，进行计算即可；当，过点作，则，，在中，根据勾股定理得进行计算即可． 【小问1详解】 解：点运动到点时，共用了，总共运动了， 当时，， 当时，， 综上，； 【小问2详解】 若四边形为平行四边形，则， 由（2）得，， 根据题意得，， 当时，解得：， 当时，解得：， 综上，当以、、、为顶点的四边形为平行四边形时，或． 【小问3详解】 过点作于点， ， ，， ， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ， 当时， 则， ， 解得：， 当，如图所示，过点作， 则四边形是矩形， ，， ， 在中，根据勾股定理得，即， 解得：或； 综上，当是以为腰的等腰三角形时，的值为或或． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质性质，平行四边形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握这些知识点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度第二学期第二次定时作业 初二年级数学学科 （考试时间：120分钟 试卷分值：150分） 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上．） 1. 因式分解：（ ） A. B. C. D. 2. 下列四个等式从左至右的变形中，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 3. 以下说法合理的是（ ） A. 小明在抛图钉10次的试验中发现有4次钉尖朝上，由此他说钉尖朝上的概率是 B. 掷一枚骰子，掷出点6的概率是，意思是每掷6次就有1次掷得点数为6 C. 某彩票的中奖机会是百分之五，那么买100张彩票一定会有5张中奖 D. 甲、乙两组同学分别进行抛掷硬币的试验，正面朝上的频率分别为和 4. 若把分式中的和都扩大到原来的2倍，那么分式的值（ ） A. 扩大2倍 B. 不变 C. 缩小为原来的 D. 缩小为原来的 5. 化简的结果是（ ） A. 0 B. 1 C. a D. 6. “若a为自然数，下列关于分式的值的结论正确的是（ ） A. 有最大值是1 B. 有最大值是2 C. 有最小值是1 D. 有最小值，没有最大值 7. 如图，在中，点是对角线上一点，过点作分别交于点，于点，连接、，若，则下列面积一定可以求得结果的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，，，P为边上一动点，于E，于F，M为中点，当点P从点B运动到点C，最小值为（ ） A. B. 4 C. D. 5 二、填空题（本大题共有10小题，每题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡的相应位置上．） 9. 分解因式：_______． 10. 分式和的最简公分母是________． 11. 已知，则的值为________． 12. 当分式的值为正数时，写出一个满足条件的x的值为______． 13. 若一个三角形的三边长为、、，满足，则三角形的形状为_________. 14. 一个不透明的袋子中仅有3个红球、2个黄球和1个白球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出一个球，摸出的球是白球或黄球的概率是_______． 15. 已知，，代数式的值为_______． 16. 已知平行四边形中，，，的平分线，分别与边交于点E，F，且，则的长为_______． 17. 如图，在四边形中，，，，M、N分别是边、上的动点，E、F分别是线段、的中点，则的取值范围为_______． 18. 已知，则_______． 三、解答题（本大题共有10小题，共96分．请在指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 因式分解： （1）； （2）． 20. 如图，已知，，分别是和上的点，．求证：四边形是平行四边形． 21. 先化简，再求值：，其中． 22. 实践任务：测量不规则草地的面积（如图阴影部分）． 方案设计：在草地的外围画一个长5米，宽4米的长方形，在不远处向长方形内掷石子，并记录石子落点的情况（石子扔在界线上或长方形区域外不计试验结果），记录结果如表： 数据分析： 实验分组 一组 二组 三组 四组 五组 六组 七组 石子落在草地上的次数 40 67 115 149 180 209 252 投掷石子总次数 120 240 360 480 600 720 840 石子落在草地上的频率 （1）通过各组实验可以发现，石子落在草地上的概率大约是 ． （2）请你根据所学概率的相关知识估算出草地的面积，并写出估算过程． 23. 中国新能源产业异军突起．中国车企在政策引导和支持下，瞄准纯电、混动和氢燃料等多元技术路线，加大研发投入形成了领先的技术优势，2023年，中国新能源汽车产销量均突破900万辆，连续9年位居全球第一．在某次汽车展览会上，工作人员随机抽取了部分参展人员进行了“我最喜欢的汽车类型”的调查活动（每人限选其中一种类型），并将数据整理后，绘制成下面有待完成的统计表、条形统计图和扇形统计图 类型 人数 百分比 纯电 m 混动 n 氢燃料 3 油车 5 请根据以上信息，解答下列问题： （1）本次调查活动随机抽取了_____人；表中______，______； （2）请补全条形统计图； （3）请计算扇形统计图中“混动”类所在扇形的圆心角的度数； （4）若此次汽车展览会的参展人员共有4000人，请你估计喜欢新能源（纯电、混动、氢燃料）汽车的有多少人？ 24. 已知，，求代数式的值． 25. 如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．四边形的四个顶点都在格点上，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图（保留作图痕迹，画图过程用虚线，画图结果用实线）． （1）在图1中画一条线段，使它平分四边形的面积； （2）在图2的边上画点E，使． 26. 我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法、字相乘法等等，将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫做分组分解． 例如： 利用这种分组的思想方法解决下列问题： （1）分解因式； （2）三边a，b，c满足判断的形状，并说明理由． 27. 定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，那么称这个分式为“和谐分式”．如：，则是“和谐分式”． （1）下列分式中，属于“和谐分式”的是________（填序号）； ①；②；③；④． （2）将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式：＝________； （3）应用：先化简，并回答：x取什么整数时，该式的值为整数？ 28. 如图．在四边形中，，，，，，点从点出发，沿射线以每秒个单位长度的速度运动．点从点出发，沿方向以每秒个单位长度的速度向终点运动．、两点同时出发，当点到达点时，点也随之停止运动．设点运动时间为秒． （1）求线段的长 （用含的代数式表示）． （2）当以、、、为顶点的四边形为平行四边形时，求的值． （3）如图，若点为边上一点，且，当是以为腰的等腰三角形时，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $