专题08 数列 （8大考点突破+50题精练强化） 2025-2026学年高一数学春学期期末高分冲刺（沪教版2020必修第二册）

2025-2026学年高一数学春学期期末高分冲刺【培优课程】 专题08 数列期末复习讲义 考点01：等差数列及其通项公式 1.（24-25复兴高级中学高一下期末） 1和9的等差中项为_________ 2.（2026届高三长宁区一模）在等差数列中，，公差，，则_____. 3. （24-25复兴高级中学高一下期末）已知等差数列满足，则________． 4．在等差数列中，已知，则 . 5.（2026届高三黄埔区一模）已知数列是公差为2的等差数列,数列也为等差数列,且,则_____. 6．已知数列和数列满足，，则下列数列为等差数列的是（    ） A． B． C． D． 7．在公差为d的等差数列中，“”是“是递增数列”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．已知等差数列单调递增且满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．设正项数列的前项和为，满足（）. (1)求证：数列为等差数列； (2)求数列的通项公式. 考点02：等差数列的前n项和 10. （24-25南洋模范中学高一下期末）记为等差数列的前n项和，若，，则________. 11. （24-25控江中学高一下期末）（24-25控江中学高一下期末）已知等差数列的公差为1，前10项和为5，则_______. 12.（2026届高三静安一模）设等差数列的前项和为(为正整数),首项,则_____. 13. 已知数列的前n项和Sn满足，则数列的前12项和为______ 14. 若成等差数列，奇数项的和为75，偶数项的和为60，则该数列的项数为_______ 15. 已知等差数列的前项和分别为，若，则____ 16. （24-25上海交大附属中学高一下期末）等差数列的前项和为，已知，，当最大时，的值是______． 17. 已知数列的通项公式为，其中为常数，设数列的前项和为，若且，则的取值范围为________. 18. 已知数列的前项和满足， (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和的最大值. 19. 已知是等差数列的前项和. (1)证明：是等差数列； (2)设为数列的前项和，若，求. 考点03：等比数列及其通项公式 20. （24-25控江中学高一下期末）在等比数列中，，，则______． 21. （24-25华师大二附中高一下期中）已知等比数列中，，则等比数列的公比______． 22. 已知，，，，是各项均为实数的等比数列，则__________ 23.（2026届高三奉贤区一模）已知等比数列的各项均为正数,若,则该等比数列的公比为_____. 24. 设各项均为正数的等比数列满足，则等于 . 25. 设是等比数列，有下列四个命题： ①是等比数列；        ②是等比数列； ③是等比数列；        ④是等比数列. 其中正确命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 26. （24-25南洋模范中学高一下期末）已知为等比数列，，公比为，则“”是“对任意的正整数”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 27. （24-25黄浦区高一下期末）已知数列是公差不为零的等差数列，成等比数列，则=___ 28. （24-25复兴高级中学高一下期末）已知数列是等比数列，、、为正整数，则“”是“”的（ ）. A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 考点04：等比数列的前n项和 29. 已知是等比数列的前项和，，则（　　） A．18 B．21 C．24 D．27 30. 已知数列通项公式，则数列的前9项和为 . 31. 已知等比数列的前项和为，若，则 . 32.（24-25复兴高级中学高一下期末）等比数列的前项和为，则___. 33．计算：= ． 34.（24-25上海师大附中高一下期末）在等比数列中，，，则_____ 35. （2025复旦大学附属中学高三6月检测）已知数列为无穷项等比数列，为其前项的和，“，且”是“，总有”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不必要又不充分条件 36. （24-25上海交大附属中学高一下期末）设无穷等比数列所有奇数项之和为，则等比数列所有项的和的取值范围是___． 考点05：数列的概念与性质 37. 已知数列中，，，则（ ） A．1 B． C． D． 38.设为数列的前项和，“是递增数列”是“是递增数列”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 39.已知数列的通项，若是递增数列，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 40.（24-25高二上·上海·阶段练习）已知数列满足为正整数，则该数列的最大项是第 项. 41.（24-25南洋模范中学高一下期末）已知数列的通项公式为（为正整数），则数列的前项和的最小值为________. 42（24-25控江中学高一下期末）已知常数，有穷数列共有7项，其通项公式为.对于任意满足的正整数，记为中正数的个数，则下列情形不可能成立的是（ ）. A 且 B. 且 C. 且 D. 且 考点06：利用递推公式表示数列 43. 已知数列满足，则 . 44.（2025上海市崇明区高三三模） 在数列中，，且，则__________. 45.（2026届嘉定区高三一模）已知数列满足，且，则_____. 46. 在数列中，已知，，则_____ 47. 已知数列中,,（）则 . 48.（24-25上海师大附中高一下期末）若数列满足，则_____ 49. （24-25上海师大附中高一下期末）若数列满足，则最多有_____项 50. （1）数列的前项和为，且.求数列的通项公式； （2）数列的首项，满足.证明：数列为等比数列，并求数列的通项公式； （3） 数列满足，求数列的通项公式； 51. 已知数列，若，且. (1)证明数列是等比数列，并求出的通项公式； (2)若，且数列的前项的和为，求. 考点07：数学归纳法及应用 52.利用数学归纳法证明不等式的过程中，由到时，左边增加了（   ） A．项 B．项 C．k项 D．1项 53.（24-25华师大二附中高一下期中）记，在用数学归纳法证明对于任意正整数，的过程中，从到时，不等式左边的比增加了______项. 54.（24-25控江中学高一下期末）已知数列满足，且对任意正整数，恒有，则所有可能值的个数为_____. 55.（24-25高二上·上海·期中）已知等差数列的首项为，公差为，前项和为.若，用数学归纳法证明：. 考点08：数列在实际生活中的应用 56. （24-25静安区高一下期末）在第三十个世界读书日到来之际，为大力推广全民阅读，某书店开展图书促销活动，第一天卖出图书100本，此后每天比前一天多卖20本.若活动持续15天，则该书店在活动期间共卖出___________本图书． 57. （24-25控江中学高一下期末）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下记载：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，……”，意思是：有一个人要走378里路，第1天健步行走，从第2天起因为脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地.由此可得，该人第6天走了________里路. 58.（24-25黄浦区高一下期末）将面积为的正三角形（其内部为灰色）的三条边的中点两两相连，并将这三条线段所围成的三角形区域设置为白色，得到图①；将图①中的内部为灰色的小三角形都重复上述操作，得到图②；依此类推，可得图③，图④，…．设从左到右第n个图形中的白色三角形区域的总面积为，则满足的n的最小值为______． 59.（24-25静安区高一下期末）2021年年初正式发布本市将加快推进“五个新城”建设，某公司积极响应，将总部迁入其中一个新城．该公司2021年第一季度的营业收入为1.1亿元，利润为0.16亿元．预测显示：在以2021年为第一年的未来十年（每年春夏秋冬4个季度，共40个季度）内，该公司每一季度的营业收入比上一季度增加0.05亿元，由于投入成本的连续不断降低，每一季度的利润比上一季度增长4%．据此预测，解答以下问题： （1）求今年（2025年）冬季，该公司第20个季度营业收入多少亿元？ （2）该公司在哪年哪个季度的利润将首次超过该季度的营业收入的18%？ 60. （24-25控江中学高一下期末）某果园有两种水果种植方案.方案一：第1年种植苹果，预计收获量为6吨，以后每年收获量比上一年增加0.6吨；方案二：第1年种植梨，预计收获量为8吨，以后每年的收获量在上一年的基础上增加4%.果农小张在第1年初分别采用两种方案开始种植苹果和梨，设第（为正整数）年苹果的收获量为，梨的收获量为（单位：吨），可知，. （1）求数列，的通项公式； （2）求数列最大项的值（精确到0.1）以及相应项的序数，并说明其实际意义. 考点09：综合提升 61. （24-25复兴高级中学高一下期末）设{an}是等差数列，a1=–10，且a2+10，a3+8，a4+6成等比数列． （Ⅰ）求{an}的通项公式； （Ⅱ）记{an}的前n项和为Sn，求Sn的最小值． 62. （24-25华师大二附中高一下期中）已知数列满足，且，在数列中，，点在函数的图象上. （1）求和的通项公式； （2）将数列和的所有公共项从小到大排列得到数列，求数列的前项和. 63. （24-25金山中学高一下期末）记公差大于零的等差数列的前项和为，已知是与的等比中项. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和. 64.（2025行知中学高三6月模拟） 已知数列的首项为，且满足. （1）求证：是等比数列. （2）求数列的前项和. 65. （24-25上海师大附中高一下期末）（1）已知等差数列满足：，求实数的值； （2）已知数列的前项和满足：，证明：是等比数列，并求； （3）已知数列、满足：，用数学归纳法证明：对任意，点都在直线上． 考点10：数列新定义压轴问题 66. （24-25金山中学高一下期末）已知各项均为正实数的数列，若对任意的正整数，都存在唯一的正整数，使得（为的前项和），那么称为数列，记，称为的“和数列”，则下列命题中真命题的序号为（ ） ①存在等差数列为数列 ②存在等比数列为数列 ③若数列为严格增数列，则其“和数列”为严格增数列 ④若数列的“和数列”为严格增数列，则为增数列 A. ①②③ B. ①③④ C. ①③ D. ②③ 67. （24-25上海师大附中高一下期末）若“向量列”满足，则（ ） A. 是等比数列，是等比数列 B. 是等比数列，不是等比数列 C. 不是等比数列，是等比数列 D. 不是等比数列，不是等比数列 68.（24-25上师大附中高一下期末）给定无穷数列，若无穷数列满足：对任意，都有，则称与“接近”． （1）设是首项为1，公比为的等比数列，，判断数列是否与“接近”，并说明理由； （2）设数列的前三项为：，是一个与“接近”的数列，求集合的元素个数； （3）设是公差为的等差数列，若存在数列满足：与“接近”，且在中至少有100个为正数，求的取值范围． 69. 若实数列的项数为，则称项数为m的数列为的一个“配对和”数列，其中为的一个排列，即．例如：数列1，2，3，4，5，6的一个“配对和”数列为． （1）若为等差数列，求的所有常值“配对和”数列； （2）若为公比为正数的等比数列，且存在一个常值“配对和”数列，求等比数列的公比； （3）若数列的项数为6且各项均非零，问：是否存在两个“配对和”数列和，使得和分别是数列的前3项和后3项？若存在，求出所有的配对和；若不存在，说明理由． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学春学期期末高分冲刺【培优课程】 专题08 数列期末复习讲义 考点01：等差数列及其通项公式 1.（24-25复兴高级中学高一下期末） 1和9的等差中项为_________ 【答案】5； 【分析】由等差中项的定义可得，解之可得． 【详解】设1与9两数的等差中项为a， 则可得， 解得， 故答案为：5． 【点睛】本题主要考查了等差数列的性质，考查等差中项的定义和求法，属于容易题． 2.（2026届高三长宁区一模）在等差数列中，，公差，，则_____. 【解析】因为等差数列中，，公差 所以 3. （24-25复兴高级中学高一下期末）已知等差数列满足，则________． 【答案】 【分析】由等差数列性质结合题意可得答案. 【详解】，则. 故答案为：4 4．在等差数列中，已知，则 . 【答案】 【分析】利用等差数列的性质即可求出答案. 【详解】因为且，所以， 又因为，所以. 故答案为：. 5.（2026届高三黄埔区一模）已知数列是公差为2的等差数列,数列也为等差数列,且,则_____. 【答案】 【解析】 当时， 当均不符； 所以 6．已知数列和数列满足，，则下列数列为等差数列的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据等差数列的定义逐一判断即可. 【详解】依题意，对消去，得，等价于，所以， 所以是等差数列，故D正确，C错误；若是等差数列，则是等差数列，则是等差数列， 与是公差为1的等差数列矛盾，故B错误；因为，故A错误． 故选：D． 7．在公差为d的等差数列中，“”是“是递增数列”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用充分条件、必要条件的定义判定 【详解】若，则，，所以，是递增数列； 若是递增数列，则，，推不出， 则“”是“是递增数列”的充分不必要条件， 故选：A. 8．已知等差数列单调递增且满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设出公差，根据单调递增，得到，结合等差数列的性质得到，变形为，解不等式求出答案. 【详解】因为为等差数列，设公差为， 因为数列单调递增，所以， 所以， 则，解得：， 故选：C 9．设正项数列的前项和为，满足（）. (1)求证：数列为等差数列； (2)求数列的通项公式. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由，可得，两式相减可得 ，两式平方可得结论； （2）利用等差数列的通项公式结合（1）得：，配方求解可得，判断，可得结论. 【详解】（1）当时，，整理，又，所以. ，，， ，. ，数列为等差数列，首项为2，公差为4. （2）由（1）得：，，，. 由求根公式可知，. 考点02：等差数列的前n项和 10. （24-25南洋模范中学高一下期末）记为等差数列的前n项和，若，，则________. 【答案】95 【分析】利用等差数列通项公式得到方程组，解出，再利用等差数列的求和公式即可得到答案. 【详解】因为数列为等差数列，则由题意得，解得， 则. 故答案为：. 11. （24-25控江中学高一下期末）（24-25控江中学高一下期末）已知等差数列的公差为1，前10项和为5，则_______. 【答案】 【分析】根据等差数列前项和公式求解. 【详解】由题意，解得， 故答案为： 12.（2026届高三静安一模）设等差数列的前项和为(为正整数),首项,则_____. 【答案】42 【解析】由题意可知，故；所以， 故. 13. 已知数列的前n项和Sn满足，则数列的前12项和为______ 【分析】根据，先求出数列的通项公式，即可判断各项的正负，然后再直接求解数列的前12项的和即可. 【详解】由，得当时，， 当时，满足上式，则，当时，；当时，， 所以 ． 14. 若成等差数列，奇数项的和为75，偶数项的和为60，则该数列的项数为_______ 【分析】利用奇偶数项的和及等差数列的性质有，即可求项数. 【详解】由题设，则，显然， 所以，可得，则共有项. 15. 已知等差数列的前项和分别为，若，则____ 【分析】利用等差数列前项和公式以及下标和性质可得 【详解】由等差数列的前项和分别为且， 所以 16. （24-25上海交大附属中学高一下期末）等差数列的前项和为，已知，，当最大时，的值是______． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用等差数列性质求出公差，确定数列单调性即可求解. 【详解】令等差数列公差为，由，得， 则，解得，， 显然数列是递减数列，由，得，即数列前6项都为正，从第7项起为负， 所以最大时，的值是6. 故答案为：6 17. 已知数列的通项公式为，其中为常数，设数列的前项和为，若且，则的取值范围为________. 【答案】 【分析】由题意可得且，利用数列的通项公式列出不等式，求解即得. 【详解】由题意知且， 即且， 因，代入可得且， 解得且，故的取值范围为. 故答案为： 18. 已知数列的前项和满足， (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和的最大值. 【答案】(1) (2)42 【分析】（1）由与的关系式可得答案； （2）配方，结合二次函数最值可得答案. 【详解】（1）由 ，得 当 时，； 当 时，， 又 时，，符合上式， 故数列 的通项公式为 （）. （2）， 由于 为正整数，且 ，， 故 . 19. 已知是等差数列的前项和. (1)证明：是等差数列； (2)设为数列的前项和，若，求. 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）设等差数列的公差为，然后由等差数列的定义证明即可； （2）由（1）可知数列是等差数列，由求出其首项和第四项，然后求出公差，利用等差数列的前项和公式求解即可. 【详解】（1）证明：设等差数列的公差为， ，． ． 是等差数列． （2）， 数列的首项为2，第四项为． 数列的公差． ． 考点03：等比数列及其通项公式 20. （24-25控江中学高一下期末）在等比数列中，，，则______． 【答案】4 【分析】根据条件求出公比，即可求得答案. 【详解】在等比数列中，，， 则公比 ，所以， 故答案为：4 21. （24-25华师大二附中高一下期中）已知等比数列中，，则等比数列的公比______． 【答案】2或 【分析】根据等比数列的性质及通项公式计算得解. 【详解】因为， 所以，故， 即，化简得， 解得或， 故答案为：2或 22. 已知，，，，是各项均为实数的等比数列，则__________ 【答案】 【分析】根据等比数列的基本性质，求出公比，求出数列的项 【详解】设等比数列公比为，则，所以，所以. 故答案为：. 23.（2026届高三奉贤区一模）已知等比数列的各项均为正数,若,则该等比数列的公比为_____. 【答案】 【解析】由题知： 24. 设各项均为正数的等比数列满足，则等于 . 【答案】 【分析】利用等比数列的通项公式将转化为的等式，通过计算得到的值，即的值，利用等比数列的性质得到，代入计算得解. 【详解】是各项均为正数的等比数列，，， ，， ， . 故答案为：. 25. 设是等比数列，有下列四个命题： ①是等比数列；        ②是等比数列； ③是等比数列；        ④是等比数列. 其中正确命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】利用等比数列的定义判断即可. 【详解】设等比数列的公比为，则， ∵，∴是等比数列，①正确； ∵，∴是等比数列，②正确； ∵，∴是等比数列，③正确；         ∵，∴是等比数列，④正确. 故选：D. 26. （24-25南洋模范中学高一下期末）已知为等比数列，，公比为，则“”是“对任意的正整数”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】由等比数列通项公式得到的变形式，转化成关于公比的不等式，解得的取值范围，进而判定二者的关系. 【详解】由，即，即， ，可得，即. 所以不能推出，而可以推出， 所以是的必要不充分条件. 故选：B 27. （24-25黄浦区高一下期末）已知数列是公差不为零的等差数列，成等比数列，则=___ 【答案】 【解析】 【详解】设数列公差为非零常数d，由题意，即，解得. 所以. 故答案为： 28. （24-25复兴高级中学高一下期末）已知数列是等比数列，、、为正整数，则“”是“”的（ ）. A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 【答案】A 【分析】结合等比数列的性质判断“”和“”之间的逻辑推理关系，即可判断出答案. 【详解】由题意知数列是等比数列，设其公比为q， 则，， 当时，显然成立； 当时，不妨取，此时，满足， 但不成立， 故“”是“”的充分非必要条件， 故选：A 考点04：等比数列的前n项和 29. 已知是等比数列的前项和，，则（　　） A．18 B．21 C．24 D．27 【答案】B 【分析】根据题意结合等比数列性质求得，即可得结果. 【详解】已知数列是等比数列，又， 则公比，， 故选：B 30. 已知数列通项公式，则数列的前9项和为 . 【答案】 【分析】由通项公式可得，数列的奇数项成等差数列，偶数项成等比数列，利用分组求和求解. 【详解】， 数列的奇数项成等差数列，偶数项成等比数列． 则，． 则数列的前9项和 ． 故答案为：． 31. 已知等比数列的前项和为，若，则 . 【答案】 【分析】根据等比数列的片段和的性质可得也成等比数列，借助于等比中项列式求解即得. 【详解】等比数列中，， 因也成等比数列，则， 即，解得：. 故答案为: . 32.（24-25复兴高级中学高一下期末）等比数列的前项和为，则___. 【答案】 【解析】 【分析】根据等比数列得前项和公式可得，即可求出结果. 【详解】因为等比数列得前项和为，又因为，所以，即， 故答案为：. 33．计算：= ． 【答案】1 34.（24-25上海师大附中高一下期末）在等比数列中，，，则_____ 【答案】8或 【解析】 【分析】先求等比数列的第三项和公比，再根据无穷等比数列的求和公式计算即得. 【详解】设等比数列公比为， 由题意，. 所以或. 又. 当时，； 当时，. 故答案为：8或 35. （2025复旦大学附属中学高三6月检测）已知数列为无穷项等比数列，为其前项的和，“，且”是“，总有”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不必要又不充分条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】若，且， 则，，， 所以，由， 当或时，，， 所以； 当时，，总有； 当时，，，即. 综上，恒成立，故充分性成立； 若“，总有”，则且， 故必要性成立. 故选：C 36. （24-25上海交大附属中学高一下期末）设无穷等比数列所有奇数项之和为，则等比数列所有项的和的取值范围是___． 【答案】． 【解析】 【分析】根据给定条件，利用无穷等比数列所有项和公式，结合公比的范围分类求解. 【详解】设无穷等比数列的公比为，则， 由无穷等比数列所有奇数项之和为，得， 则该无穷等比数列所有项和为， 当时，，当时，， 所以所求范围. 故答案为：. 考点05：数列的概念与性质 37. 已知数列中，，，则（ ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】求出数列的前几项，根据规律总结数列是以3为周期的周期数列，即可根据周期求出答案． 【详解】，， 则， ， ， ， 即，， 故数列是以3为周期的周期数列， 则， 故选：A． 38.设为数列的前项和，“是递增数列”是“是递增数列”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 答案：D 39.已知数列的通项，若是递增数列，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，列出不等式组求解即可. 【详解】解：由已知得，即，解得. 故选：B. 40.（24-25高二上·上海·阶段练习）已知数列满足为正整数，则该数列的最大项是第 项. 【答案】2和3 【分析】结合对勾函数的单调性求解即可. 【详解】 在上单调递减，单调递增， 且故该数列的最大项是第二项和第三项. 故答案为：2和3 41.（24-25南洋模范中学高一下期末）已知数列的通项公式为（为正整数），则数列的前项和的最小值为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据数列的单调性，结合数列通项的正负得出数列和的最小值即可. 【详解】为单调递增的数列， 当时，当时， 所以. 故答案为：. 42（24-25控江中学高一下期末）已知常数，有穷数列共有7项，其通项公式为.对于任意满足的正整数，记为中正数的个数，则下列情形不可能成立的是（ ）. A 且 B. 且 C. 且 D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】利用二次函数的性质可得，逐项分别判断即可. 【详解】，又， 所以， 对于A，若且，则即可，故A是可能，不符合题意， 对于B，若，则可知，则，故B不可能，符合题意， 对于C，若且，则即可，故C是可能的，不符合题意， 对于D，若且，则即可，故D是可能的，不符合题意. 故选：B. 考点06：利用递推公式表示数列 43. 已知数列满足，则 . 【答案】 【分析】先求出，再根据递推公式求即可. 【详解】由题意可得，，则. 故答案为：. 44.（2025上海市崇明区高三三模） 在数列中，，且，则__________. 【答案】4 【分析】利用递推公式累加即可求解. 【详解】由题意可得， 所以，，……，， 累加得， 所以， 故答案为：4 45.（2026届嘉定区高三一模）已知数列满足，且，则_____. 【答案】 【解析】由题可得 所以是以为首项，为公差的等差数列； 所以 所以 所以 46. 在数列中，已知，，则_____ 【分析】根据递推公式依次代入计算即可求解. 【详解】已知，， 则，， ，. 47. 已知数列中,,（）则 . 【答案】7 【分析】由递推公式依次求得. 【详解】当时，， 当时，， 故答案为：7 48.（24-25上海师大附中高一下期末）若数列满足，则_____ 【答案】 【分析】根据并项求和,结合等差数列求和公式即可求解. 【详解】由可得， ， ，解得， 故答案为： 49. （24-25上海师大附中高一下期末）若数列满足，则最多有_____项 【答案】102 【解析】 【分析】根据题意可得数列是首项为，公差为的等差数列，结合求解即可. 【详解】，，即， 所以数列是首项为，公差为的等差数列， 所以，又， 所以， 当时，，即， 所以最多有102项. 故答案为：102. 50. （1）数列的前项和为，且.求数列的通项公式； （2）数列的首项，满足.证明：数列为等比数列，并求数列的通项公式； （3） 数列满足，求数列的通项公式； 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3） 【分析】（1）根据与的关系得数列是等比数列，进而求出通项； （2）根据等比数列的定义证明，再利用等比数列的通项公式求解； （3）由，得，两式相减即可求出答案. 【详解】（1）当时，，解得， 当，，所以， 即，所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以； （2）因为，所以， 所以， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以，所以， 所以； （3）当时，因为， 所以， 所以 ， 所以； 当时，，所以，也满足上式， 所以 51. 已知数列，若，且. (1)证明数列是等比数列，并求出的通项公式； (2)若，且数列的前项的和为，求. 【答案】(1)证明见解析， (2) 【分析】（1）根据数列的递推公式构造等比数列，再由等比数列的通项公式化简即得； （2）先求得，求出的通项，利用裂项相消法求和即得. 【详解】（1）因为， 所以，又，所以， 所以是以为首项、为公比的等比数列， 所以，则. （2）由（1）可得，所以， 故 . 考点07：数学归纳法及应用 52.利用数学归纳法证明不等式的过程中，由到时，左边增加了（   ） A．项 B．项 C．k项 D．1项 【答案】B 【解析】当时，不等式左边为， 当时，不等式左边为， 故增加的项数为：. 故选：B. 53.（24-25华师大二附中高一下期中）记，在用数学归纳法证明对于任意正整数，的过程中，从到时，不等式左边的比增加了______项. 【答案】3 【分析】根据给定条件，分析从到时式子的变化即可作答. 【详解】因为，， 所以不等式左边的比增加了，共3项. 故答案为：3 54.（24-25控江中学高一下期末）已知数列满足，且对任意正整数，恒有，则所有可能值的个数为_____. 【答案】4951 【分析】由题意，每个步骤有两种选择：0或，所以的最小为1，最大时，利用累加可求得最大值为14851，又，所以，而在区间中被3整除余1的有4951个即可求解. 【详解】由题意，每个步骤有两种选择：0或，所以的最小为1， 最大时，则， 累加得，即最大值为14851， 又， 我们用数学归纳法证明：在集合中，所有子集的和可以取到的所有整数（空集的元素和设为零，）. 证明：当时， ，此时有 四个子集，空集、， 它们的元素和为，故所有子集的和可以取到的所有整数， 设当时，在集合中，所有子集的和可以取到的所有整数， 则当时，集合， 此时中的每个整数为与某子集的元素的和的和， 又时，， 故所有子集的元素和为 由数学归纳法可知原命题成立. 由已证命题可得集合的所有子集的和可以取到的所有整数， 所以，而在区间中被3整除余1有4951个， 故答案为：4951. 55.（24-25高二上·上海·期中）已知等差数列的首项为，公差为，前项和为.若，用数学归纳法证明：. 【答案】证明见解析. 【分析】根据给定条件，求出等差数列的通项，前项和为，再利用数学归纳法证明. 【详解】等差数列中，，， 当时，，，原等式成立； 假设当时，原等式成立，即，， 则 ， 即当时，原等式成立， 所以对一切，等式成立. 考点08：数列在实际生活中的应用 56. （24-25静安区高一下期末）在第三十个世界读书日到来之际，为大力推广全民阅读，某书店开展图书促销活动，第一天卖出图书100本，此后每天比前一天多卖20本.若活动持续15天，则该书店在活动期间共卖出___________本图书． 【答案】3600 【分析】根据题意，这15天卖出的书成等差数列，利用等差数列的求和公式求解. 【详解】由题，这15天卖出的书成等差数列，设，， 则15天共卖出的书有. 该书店活动期间共卖出3600本图书. 故答案为：3600. 57. （24-25控江中学高一下期末）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下记载：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，……”，意思是：有一个人要走378里路，第1天健步行走，从第2天起因为脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地.由此可得，该人第6天走了________里路. 【答案】6 【分析】根据给定条件，利用等比数列前项和公式列式求解. 【详解】依题意，此人每天走的路程构成以为公比的等比数列，前6项和， 则，解得，所以（里）. 故答案为：6 58.（24-25黄浦区高一下期末）将面积为的正三角形（其内部为灰色）的三条边的中点两两相连，并将这三条线段所围成的三角形区域设置为白色，得到图①；将图①中的内部为灰色的小三角形都重复上述操作，得到图②；依此类推，可得图③，图④，…．设从左到右第n个图形中的白色三角形区域的总面积为，则满足的n的最小值为______． 【答案】33 【分析】由图形，再结合等比数列求和公式应用指数函数单调性计算即可； 【详解】记第n个图形中灰色区域的面积为. 由图知后一个图形中灰色区域的面积是前一个的倍，第一个三角形的面积为， 故是以为首项，为公比的等比数列，故， 第n个白色三角形区域的总面积为，，， 所以，所以， 因为单调递减，所以 则满足n的最小值为33. 故答案为：33. 59.（24-25静安区高一下期末）2021年年初正式发布本市将加快推进“五个新城”建设，某公司积极响应，将总部迁入其中一个新城．该公司2021年第一季度的营业收入为1.1亿元，利润为0.16亿元．预测显示：在以2021年为第一年的未来十年（每年春夏秋冬4个季度，共40个季度）内，该公司每一季度的营业收入比上一季度增加0.05亿元，由于投入成本的连续不断降低，每一季度的利润比上一季度增长4%．据此预测，解答以下问题： （1）求今年（2025年）冬季，该公司第20个季度营业收入多少亿元？ （2）该公司在哪年哪个季度的利润将首次超过该季度的营业收入的18%？ 【答案】（1）2.05亿元 （2）第7年第1个季度（即2026年春季） 【解析】 【分析】（1）直接计算即可； （2）设第n个季度的营业收入为，第n个季度的利润为，，，计算即可求得结论. 【小问1详解】 这是求首项为1.1，公差为0.05的等差数列第20项的通项问题，直接计算得： 1.1+190.05=2.05（亿元）． 答：该公司今年冬季，第20个季度营业收入2.05亿元． 【小问2详解】 设第n个季度的营业收入为，第n个季度的利润为， 则，， ， 设第n个季度的利润将首次超过该季度的营业收入的18%，根据题意得不等式： ， 由于每季度的利润和该季度的营业收入都是增加的，用计算器的列表功能，可得 第21季度营业收入的18%为0.378亿元，利润为0.351元仍小于0.378. 第25季度营业收入的18%为0.414亿元，利润为0.41013元仍小于0.414. 第26季度营业收入的18%为0.423亿元，利润为0.42653元首次超过0.423. 答：该公司在第7年第1个季度（即2026年春季）的利润将首次超过该季度的营业收入的18%． 60. （24-25控江中学高一下期末）某果园有两种水果种植方案.方案一：第1年种植苹果，预计收获量为6吨，以后每年收获量比上一年增加0.6吨；方案二：第1年种植梨，预计收获量为8吨，以后每年的收获量在上一年的基础上增加4%.果农小张在第1年初分别采用两种方案开始种植苹果和梨，设第（为正整数）年苹果的收获量为，梨的收获量为（单位：吨），可知，. （1）求数列，的通项公式； （2）求数列最大项的值（精确到0.1）以及相应项的序数，并说明其实际意义. 【答案】（1）； （2）；；答案见解析. 【解析】 【分析】（1）应用等差数列等比数列通项公式计算求解； （2）根据已知通项公式作差得出最大值是即可求解. 【小问1详解】 因为为以6为首项，以为公差的等差数列，所以； 因为为以8为首项，以为公比的等比数列，所以； 【小问2详解】 ， 当，即时，； 当，即时，； 所以当时，取得最大值，所以数列最大项的值为， 相应项的序数是，实际意义是第18年苹果的收获量比梨的收获量多的最大； 考点09：综合提升 61. （24-25复兴高级中学高一下期末）设{an}是等差数列，a1=–10，且a2+10，a3+8，a4+6成等比数列． （Ⅰ）求{an}的通项公式； （Ⅱ）记{an}的前n项和为Sn，求Sn的最小值． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）. 【解析】 【分析】(Ⅰ)由题意首先求得数列的公差，然后利用等差数列通项公式可得的通项公式； (Ⅱ)首先求得的表达式，然后结合二次函数的性质可得其最小值. 【详解】（Ⅰ）设等差数列的公差为， 因为成等比数列，所以， 即，解得，所以. （Ⅱ）由（Ⅰ）知, 所以； 当或者时，取到最小值. 【点睛】等差数列基本量的求解是等差数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等差数列的有关公式并能灵活运用. 62. （24-25华师大二附中高一下期中）已知数列满足，且，在数列中，，点在函数的图象上. （1）求和的通项公式； （2）将数列和的所有公共项从小到大排列得到数列，求数列的前项和. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据数列的递推式采用两式相减的方法可得，再结合等比数列定义即可得的通项公式，由点在函数的图象上，可得，结合等差数列定义可得的通项公式； （2）由题意可得，结合等比数列与等差数列求和公式分组计算即可得解. 【小问1详解】 因为， 所以当时，， 所以， 所以，所以，又，， 所以是首项为2，公比为2的等比数列，所以， 因为点在函数的图象上，所以，即， 又，所以是首项为2，公差为2的等差数列，所以； 【小问2详解】 因为是所有的正偶数，又，所以，所以 . 63. （24-25金山中学高一下期末）记公差大于零的等差数列的前项和为，已知是与的等比中项. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由等比中项的性质及等差数列的通项公式可得结果； （2）由等差数列的前项和公式及裂项相消法求前项和可得结果. 【小问1详解】 由已知，，即， 解得（舍）或， . 【小问2详解】 由（1）得，， ， 64.（2025行知中学高三6月模拟） 已知数列的首项为，且满足. （1）求证：是等比数列. （2）求数列的前项和. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）变形得到，从而得到为首项为，公比为的等比数列； （2）由（1）求得，结合等比数列的求和公式，即可求解. 【小问1详解】 由题意，数列满足，即， 则， 又由，可得， 所以数列是首项为，公比为的等比数列. 【小问2详解】 由（1）知，得到， 所以数列的前项和. 65. （24-25上海师大附中高一下期末）（1）已知等差数列满足：，求实数的值； （2）已知数列的前项和满足：，证明：是等比数列，并求； （3）已知数列、满足：，用数学归纳法证明：对任意，点都在直线上． 【答案】（1）；（2）证明见解析，；（3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用等差数列的性质即可求解； （2）利用第n项和前n项和的关系可得，继而变形为，结合等比数列定义即可证明结论，再利用等比数列的通项公式即可求得答案； （3）利用数学归纳法即可证明. 【详解】（1）由题意知等差数列满足：， 则， 则，即， 即. 经验证时满足题意，故. （2）由于， 故当时，，即， 则，即， 是以为首项，为公比的等比数列， 则，. （3）要证点在直线上，即证， 下面用数学归纳法证明． ①当时，，，等式成立， ②假设当（为正整数）时，等式成立，即，即， 那么当时，，等式也成立， 根据①和②，由数学归纳法可以断定对任意都成立， 故原命题成立. 考点10：数列新定义压轴问题 66. （24-25金山中学高一下期末）已知各项均为正实数的数列，若对任意的正整数，都存在唯一的正整数，使得（为的前项和），那么称为数列，记，称为的“和数列”，则下列命题中真命题的序号为（ ） ①存在等差数列为数列 ②存在等比数列为数列 ③若数列为严格增数列，则其“和数列”为严格增数列 ④若数列的“和数列”为严格增数列，则为增数列 A. ①②③ B. ①③④ C. ①③ D. ②③ 【答案】C 【分析】根据给定定义，举例说明判断命题①④；按公比分类判断命题②；结合单调性推理判断命题③. 【详解】对于①，设等差数列的首项为，公差为，当时，， 对于任意的正整数，令，即， 因为是正整数，所以对于每一个，都存在唯一的正整数使得， 因此存在等差数列为数列，①正确； 对于②，设等比数列的首项为，公比为， 若，则，由，得，当时，此方程无解； 若，令，即， 当变化时，很难保证对于任意的正整数，都存在唯一的正整数使得等式成立， 例如，当时，，方程无正整数解， 因此不存在等比数列为数列，②错误； 对于③，，对任意，知存在， 使得， 则，即，且数列为严格增数列，， 因此其“和数列”严格增数列，③正确； 对于④，例如，显然是所有正整数的排列， 且数列的“和数列”为严格增数列，但不是递增数列，④错误. 故选：C 67. （24-25上海师大附中高一下期末）若“向量列”满足，则（ ） A. 是等比数列，是等比数列 B. 是等比数列，不是等比数列 C. 不是等比数列，是等比数列 D. 不是等比数列，不是等比数列 【答案】A 【分析】先向量的求模公式得，利用等比数列的定义即可判断，利用等比数列的通项公式得，利用数量积的运算得，代入得，利用向量的性质得，代入即可求解. 【详解】由有：， 所以， 所以是以为公比，首项为的等比数列， 所以， ， ， 所以是以为公比的等比数列， 故选:A. 68.（24-25上师大附中高一下期末）给定无穷数列，若无穷数列满足：对任意，都有，则称与“接近”． （1）设是首项为1，公比为的等比数列，，判断数列是否与“接近”，并说明理由； （2）设数列的前三项为：，是一个与“接近”的数列，求集合的元素个数； （3）设是公差为的等差数列，若存在数列满足：与“接近”，且在中至少有100个为正数，求的取值范围． 【答案】（1）是，理由见解析 （2）3个 （3） 【解析】 【分析】（1）运用等比数列的通项公式和新定义“接近”，即可判断； （2）由新定义可得，求得的范围，即可得到所求个数； （3）运用等差数列的通项公式可得，讨论公差，，结合新定义“接近”，推理和运算，即可得到所求范围． 【小问1详解】 （1）是， 理由：是首项为1，公比为的等比数列， 可得，， 则， 可得数列与接近. 【小问2详解】 （2）与 “接近”，， ， 由于,其中, 互不相等，有3个元素. 【小问3详解】 与“接近”， ， 是公差为的等差数列，， ①当时，则，此时中无正数； ②当时，存在， 满足：，即与“接近”， 满足：， 即这100个都为正数； 综上，的取值范围是. 69. 若实数列的项数为，则称项数为m的数列为的一个“配对和”数列，其中为的一个排列，即．例如：数列1，2，3，4，5，6的一个“配对和”数列为． （1）若为等差数列，求的所有常值“配对和”数列； （2）若为公比为正数的等比数列，且存在一个常值“配对和”数列，求等比数列的公比； （3）若数列的项数为6且各项均非零，问：是否存在两个“配对和”数列和，使得和分别是数列的前3项和后3项？若存在，求出所有的配对和；若不存在，说明理由． 【答案】（1）有且只有一个常值“配对和”数列：； （2）1 （3）不存在，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据新定义及为等差数列分析即可得解； （2）分类讨论当时，，，同理可分析当时，也有得解； （3）根据新定义，列举不同情况，逐一验证，可得出结论。 【小问1详解】 一方面，数列的任意“配对和”数列的各项之和等于的各项之和， 所以若有两个常值“配对和”数列b，b，…，b以及c，c，…，c，则，即， 即只存在一个常值“配对和”数列． 另一方面，由等差数列性质，为的一个“配对和”数列， 因此，有且只有一个常值“配对和”数列：； 【小问2详解】 若，且，则递增， 所以的常值“配对和”数列只能是：， 否则必有两项不相等．注意到若，则， 由此可知，即，矛盾．同理，若此时，也矛盾． 因此，时有．同理，当时，也有． 综上，等比数列的公比． 【小问3详解】 由题意，此时，由于改变各项顺序不影响“配对和”数列的存在与否， 故不妨设的各项按照从小到大顺序依次为：． 注意到数列任意“配对和”数列的各项之和等于的各项之和． 因此，若假设存在两个“配对和”数列和， 使得和分别是数列的前3项和后3项， 那么数列的各项之和为0，又数列的各项均非零，故． 由于数列和构成数列，所以存在． 因为此时是数列中最小项，故且； 同理，存在，其中且． 由此可知，数列的大小排序为： 因为数列和的各项之和均为0，则有下面几种可能情况： 1．一组：由于，故只能写成中的某两个和， 则中的某一个，剩余两个和这与矛盾！ 2．一组：矛盾理由与情况1同理！ 3．一组：则只能， 由于可得， 而，故，故，矛盾； 同理：不能一组，故可得不能一组！ 同理：不能一组！ 而显然不能一组：如不然，则这与矛盾！ 同理：也显然不能一组！ 则可能情况只能还有以下两种可能： 4．一组：则，作差得矛盾！ 5．一组：由于，那么要由两两配对相加得到，这是不可能的，矛盾！ 因此各项非零的数列不存在两个“配对和”数列和，使得和分别是数列的前3项和后3项． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $