专题02 解三角形期末复习讲义 （7大考点突破+40题精练强化）2025-2026学年高一数学下学期期末高分冲刺（沪教版2020必修第二册）

2025-2026学年高一数学春学期期末高分冲刺【培优课程】 专题02 解三角形期末复习讲义 考点01：正弦定理 1．（24-25高三上·上海徐汇·期中）在中，若，，，则 ． 2.已知的内角所对的边分别为，若，则_____ 3.在中，内角的对边分别为，根据下列条件解三角形，其中有两解的是（    ） A． B． C． D． 4.在中，已知，，若该三角形有两个解，则AC的取值范围是 ． 5.（2023·上海普陀·一模）在中，角，，所对的边分别为，，，若，且，则该三角形外接圆的半径为（    ） A．1 B． C．2 D． 考点02：余弦定理 6. （24-25高一下·湖北荆州·期中）中，内角所对的边分别为，若，则的大小为________ 7.在中，若，，，则的最小角为 ． 8.已知的三条边长分别为a，b，c，且，则此三角形的最大角与最小角之和为_______ 9．的内角所对的边满足，且，则的最小值为______ 10.是钝角三角形，内角所对的边，则最大边的取值范围是________ 11.在中，若，，边上的中线长为，则 . 考点03：利用正余弦定理边角互化 12.（24-25黄浦区高一下期末）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a+c＝2b，3sinB＝5sinA，则C＝_____． 13.在中，角的对边分别是，若，则 ____ 14.已知的内角，，的对边分别为，，，，，则 . 15.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，则 16.（24-25高一下·上海·期中）已知，，分别为三个内角，，的对边，且.则角 . 考点04：利用正余弦定理判断三角形形状 17.在中，已知，则的形状是 ． 18．在中，内角的对边分别为.若，则的形状为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 19．（23-24高一下·上海·期中）在△ABC中，三个角A、B、C所对的边分别为a、b、c，下列四个条件中有几个是△ABC为直角三角形的充分条件（    ） ①； ②； ③； ④. A．1 B．2 C．3 D．4 20．（24-25高一下·上海青浦·阶段练习）已知中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，下列命题中，真命题的个数是（    ） （1）若，则是等腰三角形； （2）若，则是直角三角形； （3）若，则是钝角三角形； （4）若，则是等边三角形． A．1 B．2 C．3 D．4 考点05：三角形面积公式的应用 21.在中，角，，所对的边分别为，，，且． (1)求角； (2)若，，求及的面积． 22.已知的内角所对的边分别为，且 (1)求角A； (2)若的周长为，且，求的面积. 23.（24-25晋元高级中学高一下期末）在中，角，，的对边分别为，，． （1）若，求的大小； （2）若，，，求的面积． 考点06：正弦定理与余弦定理解三角形 24.已知的内角A，B，C的对边为a，b，c，且． (1)求； (2)设的面积为，，判断的形状． 25. （24-25上师大附属虹口中学高一下期末）已知的周长为，且， （1）求边长的值； （2）若，求角的大小， 26．（23-24高一下·上海·阶段练习）在中，设角、及所对边的边长分别为、及．已知． (1)求角的大小； (2)当，时，求边长． 27．（23-24高一下·上海徐汇·期中）在中，角A，B，C的对边长分别为a，b，c，满足． (1)求的值； (2)求的值． 28.锐角三角形的内角的对边分别为，已知． (1)求； (2)若，求的周长的取值范围. 考点07：实际运用 29. （24-25晋元高级中学高一下期末）如图，自动卸货汽车采用液压机构．已知车厢的最大仰角为，油泵顶点与车厢支点之间的距离为，的长为，与过的水平线交于点，的长为.则与水平线之间的夹角的大小为______________.（以角度制表示，精确到） 30.（24-25华师大二附中高一下期中）如图，、是某水域的两直线型岸边，，是的角平分线，且．某养殖户准备经过点安装一直线型隔离网（、分别在、上），围成△养殖区．若、都不超过，则隔离网长度的取值范围是________． 31. （24-25金山中学高一下期末）已知点是外接圆圆心，角所对的边分别为，且有，若，则实数的值为___________. 32．（2024·上海金山·二模）某临海地区为保障游客安全修建了海上救生栈道，如图，线段、是救生栈道的一部分，其中，，在的北偏东方向，在的正北方向，在的北偏西方向，且．若救生艇在处载上遇险游客需要尽快抵达救生栈道，则最短距离为 m．(结果精确到1 m) 33.（24-25高一下·上海普陀·期中）某公司要在一条笔直的道路边安装路灯，要求灯柱与地面垂直，灯杆与灯柱所在的平面与道路垂直，路灯采用锥形灯罩，射出的光线与平面的部分截面如图中阴影部分所示.已知，，路宽米，设. (1)求灯柱的高（用表示）； (2)此公司应该如何设置的值，才能使制造路灯灯柱与灯杆所用材料的总长度最小？并求出此最小值.（精确到0.01米） 34．（2024高一下·上海·专题练习）某校开展数学专题实践活动，要求就学校新建的体育馆进行研究，为了提高研究效率，小王和小李打算分工调查测量并绘图，完成两个任务的研究． (1)小王获得了以下信息： ．教学楼和体育馆之间有一条笔直的步道； ．在步道上有一点，测得到教学楼顶的仰角是，到体育馆楼顶的仰角是； ．从体育馆楼顶测教学楼顶的仰角是； ．教学楼的高度是20米． 请帮助小王完成任务一：求体育馆的高度． (2)小李获得了以下信息： ．体育馆外墙大屏幕的最低处到地面的距离是4米； ．大屏幕的高度是2米； ．当观众所站的位置到屏幕上下两端，所张的角最大时，观看屏幕的效果最佳． 请帮助小李完成任务二：求步道上观看屏幕效果最佳地点的位置． 35．（高一下·上海闵行·开学考试）某个公园有个池塘，其形状为直角三角形，，米，米. (1)现在准备养一批供游客观赏的鱼，分别在上取点D､E､F，并且，，（如图1），游客要在内喂鱼，希望面积越大越好.设（米），用x表示面积S，并求出S的最大值； (2)现在准备新建造一个走廊，方便游客通行，分别在上取点D､E､F，建造正走廊（不考虑宽度）（如图2），游客希望周长越小越好.设，用表示的周长L，并求出L的最小值. 36.（24-25黄浦区高一下期末）某公园拟在一块扇形空地上建造一个四边形花卉园DEFG，若已知扇形的圆心角（即）为，半径m，点D，E分别为CA，CB的中点，F，G是上的动点，且四边形DEFG是矩形或以DE、GF为底的梯形． （1）若四边形DEFG是矩形，试求的正弦值； （2）设四边形DEFG的面积为y（单位：m2），FG的中点为H．试从与中选择一个角并设其大小为x，写出y随x变化的函数表达式，并求y的最大值． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学春学期期末高分冲刺【培优课程】 专题02 解三角形期末复习讲义 考点01：正弦定理 1．（24-25高三上·上海徐汇·期中）在中，若，，，则 ． 【答案】或 【知识点】正弦定理解三角形 【分析】根据正弦定理即可求解. 【详解】根据正弦定理可得：，解得 ，且，或 故答案为：或 2.已知的内角所对的边分别为，若，则_____ 【分析】根据正弦定理解三角形，求出角的正弦值，判断角的大小即可. 【详解】由正弦定理知，，即，解得， 又，所以，所以． 3.在中，内角的对边分别为，根据下列条件解三角形，其中有两解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正弦定理判断三角形解的情况. 【详解】A选项，三角形的三个角确定，一条边确定，则三角形只有一个解，故A错； B选项，，所以三角形无解，故B错； C选项，，所以三角形有两个解，故C正确； D选项，，所以,三角形只有一个解，故D错. 故选：C. 4.在中，已知，，若该三角形有两个解，则AC的取值范围是 ． 【答案】 【分析】结合正弦定理，根据三角形有两解的条件列不等式求解即可. 【详解】因为三角形有两个解，所以， 即，解得， 故答案为：. 5.（2023·上海普陀·一模）在中，角，，所对的边分别为，，，若，且，则该三角形外接圆的半径为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、正弦定理求外接圆半径、正弦定理边角互化的应用 【分析】先应用正弦定理及两角和的正弦公式化简求出角A,再根据正弦定理求出外接圆半径即可. 【详解】. , 设该三角形外接圆的半径为 由正弦定理得 故选：A. 考点02：余弦定理 6. （24-25高一下·湖北荆州·期中）中，内角所对的边分别为，若，则的大小为________ 【分析】利用余弦定理求解即得. 【详解】在中，由余弦定理得，而， 所以. 7.在中，若，，，则的最小角为 ． 【答案】 【分析】根据边长分析可知最小内角为角，利用余弦定理运算求解即可. 【详解】因为，，，则， 可知，即最小内角为角， 且， 又因为，所以. 故答案为：. 8.已知的三条边长分别为a，b，c，且，则此三角形的最大角与最小角之和为_______ 【分析】先分析出角最大，角最小，再根据余弦定理求出角即可得解. 【详解】由大边对大角，小边对小角可知角最大，角最小. 因为，所以设， 则由余弦定理 可得， 又因为，所以； 因为，所以， 所以三角形的最大角与最小角之和为. 9．的内角所对的边满足，且，则的最小值为______ 【分析】由已知条件变形结合余弦定理可得，再利用均值不等式即可求解. 【详解】由得， 根据余弦定理可得， 所以，解得， 所以，当且仅当时等号成立， 所以的最小值为， 10.是钝角三角形，内角所对的边，则最大边的取值范围是________ 【分析】根据给定条件利用余弦定理建立不等关系即可计算作答. 【详解】因是钝角三角形，，且是最大边， 则由余弦定理得：， 于是得，，解得， 又有，即， 所以最大边的取值范围是：. 11.在中，若，，边上的中线长为，则 . 【答案】18 【分析】根据余弦定理结合题意可得，代入数据计算可得的值. 【详解】中，， 在中，， 即 故， ∵，所以 设，又，，边上的中线长为， 代入数值，得，解得. ∴. 故答案为：18. 考点03：利用正余弦定理边角互化 12.（24-25黄浦区高一下期末）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a+c＝2b，3sinB＝5sinA，则C＝_____． 【答案】 【分析】由正余弦定理可得的余弦值，进而求出的值. 【详解】因为，则由正弦定理可得，所以， 又，所以， 由余弦定理可得， 又因为， 所以， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了正余弦定理的应用，考查了运算能力，属于中档题． 13.在中，角的对边分别是，若，则 ____ 【分析】由余弦定理计算可得. 【详解】由余弦定理可得，化简可得， 因为，所以. 故选：A 14.已知的内角，，的对边分别为，，，，，则 . 【答案】或2 【分析】由余弦定理得，解方程即可得解. 【详解】由余弦定理有，所以， 解得 或2. 故答案为：或2. 15.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，则 【答案】 【分析】根据题意整理可得，结合余弦定理即可得结果. 【详解】因为，整理可得， 则， 且，所以. 故答案为：. 16.（24-25高一下·上海·期中）已知，，分别为三个内角，，的对边，且.则角 . 【答案】 【分析】由已知及余弦边角关系得，再应用余弦定理求角的大小. 【详解】由题设，，则， 所以，，则. 故答案为： 考点04：利用正余弦定理判断三角形形状 17.在中，已知，则的形状是 ． 【答案】等腰三角形 【分析】利用正弦定理和余弦定理将角转化为边求解. 【详解】根据正弦定理和余弦定理，可化为， ∴，即，则， ∴为等腰三角形． 故答案为：等腰三角形 18．在中，内角的对边分别为.若，则的形状为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 【答案】B 【分析】根据余弦定理把题中条件化为边的关系式，即可判定. 【详解】根据余弦定理知， ， 所以，则, 故三角形为直角三角形， 故选： 19．（23-24高一下·上海·期中）在△ABC中，三个角A、B、C所对的边分别为a、b、c，下列四个条件中有几个是△ABC为直角三角形的充分条件（    ） ①； ②； ③； ④. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【知识点】正、余弦定理判定三角形形状、充分条件的判定及性质、正弦定理边角互化的应用 【分析】分别对各选项化简，分析是否能得出△ABC为直角三角形即可. 【详解】①由正弦定理，，则，即， 故或，即或， 故不能推出△ABC为直角三角形，故①错误； ②，则， 即，故. 因为，故或， 即（舍）或，则不能推出△ABC为直角三角形，故②错误； ③，则， 即， 故， 即， 即，故. 因为，故，即，则△ABC为直角三角形，故③正确； ④，则， 即， 故， 故， 即，故. 因为，故，即，则△ABC为直角三角形，故④正确. 综上有③④是△ABC为直角三角形的充分条件. 故选：B 20．（24-25高一下·上海青浦·阶段练习）已知中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，下列命题中，真命题的个数是（    ） （1）若，则是等腰三角形； （2）若，则是直角三角形； （3）若，则是钝角三角形； （4）若，则是等边三角形． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【知识点】三角函数的化简、求值——诱导公式、正弦定理边角互化的应用、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、三角恒等变换的化简问题 【分析】利用三角形的性质、正弦定理、同角三角函数的基本关系进行计算求解. 【详解】中，，由正弦定理有： ，因为中， 所以，即，即， 所以或，故（1）错误； 中，因为，所以， 所以或，故（2）错误； 中，，当时， ，，，显然不满足； 当中有1为负，2个为正，不妨设， 则，，，所以是钝角三角形；故（3）正确； 中，，所以， 所以 因为， 所以，所以， 则是等边三角形，故（4）正确；故A，C，D错误. 故选：B. 考点05：三角形面积公式的应用 21.在中，角，，所对的边分别为，，，且． (1)求角； (2)若，，求及的面积． 【答案】(1)； (2)，. 【解题思路】（1）根据给定条件，利用正弦定理及同角公式化简求得角. （2）由正弦定理求出即得，再利用两角和的正弦公式及三角形的面积公式求解. 【解答过程】（1）在中，由及正弦定理得， 则，而，所以. （2）由（1）知，而，由正弦定理得， 由，得，则， ， 所以的面积. 22.已知的内角所对的边分别为，且 (1)求角A； (2)若的周长为，且，求的面积. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）由正弦定理边化角得，根据两角和的正弦公式、诱导公式，可得，根据角A的范围，即可得答案. （2）根据题意，可得，根据余弦定理，可得的值，代入面积公式，即可得答案. 【解答过程】（1）由正弦定理边化角得， 所以， 因为，所以， 所以，又， 所以. （2）因为周长为，且，所以， 由余弦定理得， 所以，解得， 所以的面积. 23.（24-25晋元高级中学高一下期末）在中，角，，的对边分别为，，． （1）若，求的大小； （2）若，，，求的面积． 【答案】（1）或 （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理，边化角，即可求解； （2）解法1：首先根据正弦定理求角，再求角，最后代入面积公式，即可求解；解法2：首先根据余弦定理求，再代入面积公式，即可求解. 【小问1详解】 由正弦定理可得， ，，或； 【小问2详解】 解法1：由正弦定理可得，，或 当时，，故， 当时，，故. 解法2：由余弦定理可得：，即，或. 当时，，， 当时， . 考点06：正弦定理与余弦定理解三角形 24.已知的内角A，B，C的对边为a，b，c，且． (1)求； (2)设的面积为，，判断的形状． 【答案】(1) (2)为钝角三角形. 【分析】（1）根据正弦定理以及余弦定理可得，再根据以及求解即可. （2）由三角形面积公式可求得，求解与，再由，，的关系即可求解. 【详解】（1）由题意可得，，根据正弦定理可得， 即， 所以，由，可得， 因为，所以，可得. （2）因为的面积为，所以，所以，因为，， 所以，解得或，所以或， 当，时，根据余弦定理，即， 同理当，时，解得， 因为，可得为钝角三角形. 25. （24-25上师大附属虹口中学高一下期末）已知的周长为，且， （1）求边长的值； （2）若，求角的大小， 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理的边角变换与的周长得到关于的关系式，解之即可； （2）利用三角形面积公式得到，结合（1）中结论得到，从而利用余弦定理即可得解. 【小问1详解】 因为，则由正弦定理得， 又周长为，则， 将代入上式，解得， 所以边长. 【小问2详解】 ，，则， 又（1）知， ， 因此所求角的大小是. 26．（23-24高一下·上海·阶段练习）在中，设角、及所对边的边长分别为、及．已知． (1)求角的大小； (2)当，时，求边长． 【答案】(1) (2) 【知识点】正弦定理解三角形、正弦定理边角互化的应用、已知两角的正、余弦，求和、差角的正弦 【分析】（1）借助正弦定理将边化为角，结合及两角和的正弦公式计算化简即可得； （2）根据正弦定理即可计算出，结合可求出，再使用正弦定理即可得到. 【详解】（1）由正弦定理得， 由于，则， 展开得， 即，因为， 化简得，则， 又，所以； （2）由正弦定理，得，即有， 因为，所以是锐角，即， 所以， ， 所以. 27．（23-24高一下·上海徐汇·期中）在中，角A，B，C的对边长分别为a，b，c，满足． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)； (2)4. 【知识点】用和、差角的余弦公式化简、求值、正弦定理边角互化的应用、用和、差角的正弦公式化简、求值、二倍角的余弦公式 【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理边化角，再利用和差角的正余弦公式计算即得. （2）由（1）的信息，利用和差角的余弦公式、二倍角的余弦公式化简即得. 【详解】（1）在中，由及正弦定理，得， 即 则，而， 因此，， 则，所以. （2）由（1）知，， . 28.锐角三角形的内角的对边分别为，已知． (1)求； (2)若，求的周长的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据题意，由正弦定理和三角恒等变换的公式，化简得到，求得，即可求解； （2）设外接圆的半径为，得到，得到，由为锐角三角形，求得，结合三角函数的性质，求得的范围，进而求得的周长的取值范围. 【解答过程】（1）解：因为， 由正弦定理得， 又因为，所以， 所以， 因为为锐角三角形，可得，所以， 所以，可得. （2）解：设外接圆的半径为， 由（1）知，因为，可得， 所以， 则 ， 因为为锐角三角形，可得，解得， 可得，所以，则， 即，所以的周长， 所以的周长的取值范围为. 考点07：实际运用 29. （24-25晋元高级中学高一下期末）如图，自动卸货汽车采用液压机构．已知车厢的最大仰角为，油泵顶点与车厢支点之间的距离为，的长为，与过的水平线交于点，的长为.则与水平线之间的夹角的大小为______________.（以角度制表示，精确到） 【答案】 【分析】首先在中求和，再在中，根据正弦定理，即可求解. 【详解】中，根据余弦定理， ，则， 中，根据余弦定理，即，得， 则，所以. 故答案为： 30.（24-25华师大二附中高一下期中）如图，、是某水域的两直线型岸边，，是的角平分线，且．某养殖户准备经过点安装一直线型隔离网（、分别在、上），围成△养殖区．若、都不超过，则隔离网长度的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】设，，，利用结合三角形的面积公式可得出，由，，求出的取值范围，可求出的取值范围，利用余弦定理结合二次函数的基本性质可求得的取值范围，即为所求. 【详解】设，，，由题意可得，且， 因为，即， 可得，由题意可知，，， 所以，，由，解得， 所以，， 令，因为函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，当时，，则， 由余弦定理可得 ，故， 因此，的长的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：求三角形有关代数式的取值范围也是一种常见的类型，主要方法有两类： （1）找到边与边之间的关系，利用基本不等式来求解； （2）利用正弦定理，转化为关于某个角的三角函数，利用函数思想求解. 31. （24-25金山中学高一下期末）已知点是外接圆圆心，角所对的边分别为，且有，若，则实数的值为___________. 【答案】 【分析】利用半角公式结合余弦定理计算得，根据外心的性质，结合向量数量积的运算律计算得，代入计算可得结果. 【详解】由半角公式可得， 又由余弦定理可得， 则. 设为中点，因为为外接圆的圆心，则有， 因为， 由可得， 即， 可得，即， 即，故. 故答案为：. 32．（2024·上海金山·二模）某临海地区为保障游客安全修建了海上救生栈道，如图，线段、是救生栈道的一部分，其中，，在的北偏东方向，在的正北方向，在的北偏西方向，且．若救生艇在处载上遇险游客需要尽快抵达救生栈道，则最短距离为 m．(结果精确到1 m) 【答案】 【知识点】距离测量问题、正弦定理解三角形 【分析】先在中求出AC，再利用正弦定理，在中求出，进而转化到中求解即可. 【详解】解：作交于E，由题意可得如图： ， 所以， ， 在中，由正弦定理可得： ， 所以， 所以， ， 在直角中，， 故答案为：475. 33.（24-25高一下·上海普陀·期中）某公司要在一条笔直的道路边安装路灯，要求灯柱与地面垂直，灯杆与灯柱所在的平面与道路垂直，路灯采用锥形灯罩，射出的光线与平面的部分截面如图中阴影部分所示.已知，，路宽米，设. (1)求灯柱的高（用表示）； (2)此公司应该如何设置的值，才能使制造路灯灯柱与灯杆所用材料的总长度最小？并求出此最小值.（精确到0.01米） 【答案】(1), (2)当时，取得最小值米 【知识点】求三角形中的边长或周长的最值或范围、正弦定理解三角形、三角函数在生活中的应用、几何中的三角函数模型 【分析】（1）在中先用正弦定理表示出，然后在中利用正弦定理表示出； （2）在中利用正弦定理表示出，从而得到的表达式，再利用三角函数的性质求解最小值即可. 【详解】（1）由题意知，在中，， 由正弦定理，得. 在中，由正弦定理， 得，. （2）在中，由正弦定理，得， 故， 由于，故， 所以当时，取得最小值米. 34．（2024高一下·上海·专题练习）某校开展数学专题实践活动，要求就学校新建的体育馆进行研究，为了提高研究效率，小王和小李打算分工调查测量并绘图，完成两个任务的研究． (1)小王获得了以下信息： ．教学楼和体育馆之间有一条笔直的步道； ．在步道上有一点，测得到教学楼顶的仰角是，到体育馆楼顶的仰角是； ．从体育馆楼顶测教学楼顶的仰角是； ．教学楼的高度是20米． 请帮助小王完成任务一：求体育馆的高度． (2)小李获得了以下信息： ．体育馆外墙大屏幕的最低处到地面的距离是4米； ．大屏幕的高度是2米； ．当观众所站的位置到屏幕上下两端，所张的角最大时，观看屏幕的效果最佳． 请帮助小李完成任务二：求步道上观看屏幕效果最佳地点的位置． 【答案】(1)10米 (2)ND为米 【知识点】正弦定理解三角形、高度测量问题、角度测量问题、基本（均值）不等式的应用 【分析】（1）先得到，，由正弦定理求出，求出； （2）设，则，，利用正切差角公式表达出，由基本不等式求出最值，得到答案. 【详解】（1）由题意知，⊥，由勾股定理得， 且可知， ， 由正弦定理可得， 则体育馆的高度为10米. （2）设，则，， ， 当且仅当时，取到最大值，即米时，观看效果最佳． 35．（高一下·上海闵行·开学考试）某个公园有个池塘，其形状为直角三角形，，米，米. (1)现在准备养一批供游客观赏的鱼，分别在上取点D､E､F，并且，，（如图1），游客要在内喂鱼，希望面积越大越好.设（米），用x表示面积S，并求出S的最大值； (2)现在准备新建造一个走廊，方便游客通行，分别在上取点D､E､F，建造正走廊（不考虑宽度）（如图2），游客希望周长越小越好.设，用表示的周长L，并求出L的最小值. 【答案】(1)，平方米； (2)（其中是满足的锐角），米. 【分析】（1）因为，则可求CE，BE，DE，求得，利用基本不等式可求的面积的最大值； （2）设等边三角形边长为，在中，由正弦定理可得（其中是满足的锐角），即可求得的周长及其最小值． 【详解】（1）在中，，米，米， 所以，， 因为，，所以， 在中，因为，则，故， 所以在中，， 所以， 由基本不等式得，， 当且仅当，即时，等号成立，的面积有最大值平方米； （2）设正的边长为，因为， 则，， 在中，，， 因为为平角，所以， 所以， 所以在中，， 整理得（其中是满足的锐角）， 所以的周长， 当时，的周长有最小值米. 36.（24-25黄浦区高一下期末）某公园拟在一块扇形空地上建造一个四边形花卉园DEFG，若已知扇形的圆心角（即）为，半径m，点D，E分别为CA，CB的中点，F，G是上的动点，且四边形DEFG是矩形或以DE、GF为底的梯形． （1）若四边形DEFG是矩形，试求的正弦值； （2）设四边形DEFG的面积为y（单位：m2），FG的中点为H．试从与中选择一个角并设其大小为x，写出y随x变化的函数表达式，并求y的最大值． 【答案】（1） （2）答案见解析. 【解析】 【分析】（1）在中，由正弦定理可求得，进而利用两角和的正弦定理可求得； （2）法一：设，利用梯形的面积公式可得，进而利用换元法可求面积的最大值.法二：设，则可得，利用梯形的面积公式可得，进而利用换元法可求面积的最大值. 【小问1详解】 因为，点D，E分别为CA，CB的中点，所以， 若四边形DEFG是矩形，则，又，， 在中，由正弦定理可得，即， 所以，因为，所以， 所以 ； 【小问2详解】 法一：设，由垂径定理可得，且平分， 所以，，， 所以梯形的高为， 所以梯形的面积为 ， 设，又因为，所以， 所以，所以， 所以 ， 当时，. 法二：设，则可得， 由垂径定理可得，且平分， 所以，，， 所以梯形的高为， 所以梯形的面积为 ， 设， 又因为，所以， 所以 ，所以， 所以 ， 当时，. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $