精品解析：上海市梅陇中学2025～2026学年下学期八年级5月学情自测数学卷

作业2 一．选择题（本大题共6小题，每题4分，满分24分） 1. 下列函数中属于一次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 中，的度数为100°，则（ ） A. 60° B. 80° C. 100° D. 120° 3. 已知四边形是平行四边形，对角线相交于点O，下列条件中，不能判定四边形是矩形的是（ ） A. B. C. D. 4. 一次函数的图象一定不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 5. 若点，在反比例函数的图象上，则，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 6. 如图1，在矩形中，，．正方形的顶点E在的延长线上，，点G在边上，O为正方形的中心，如果过点O的一条直线平分这个组合图形的面积，且这条直线分别交、于点M、N，那么线段的长为（ ） A. B. C. D. 13 二．填空题（本大题共小题，每题4分，共48分） 7. 七边形的内角和是________度． 8. 在平面直角坐标系中，已知点在y轴上，那么___________． 9. 点与点关于轴对称，则_______． 10. 如图，矩形的边，，则的长为______． 11. 如图所示，菱形的对角线相交于点，，垂足为．若则的长为______． 12. 恺撒密码应用：若密文“”由恺撒密码（加密密钥为）加密得到，则明文为________． 13. 如图，直线与轴的交点为，则关于的不等式的解集是________． 14. 如图所示，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB＝90°，若AB＝6，BC＝10，则EF的长为_____． 15. 如图在中，是三角形的重心，，，则的长为______． 16. 已知正比例函数，当时，函数有最大值3，则k的值为 __． 17. 对于任意三角形，如果存在一个菱形，使得这个菱形的一条边与三角形的一条边重合，且三角形的这条边所对的顶点在菱形的这条边的对边上，那么称这个菱形为该三角形的“友好菱形”．问题：如图，在中， ，且的面积为S．如果存在“友好菱形”为菱形，那么S的取值范围是________． 18. 如图，中，于，于，是三条高的交点，已知，，，则________． 三．解答题（本大题共题，满分78分） 19. 已知是的正比例函数，是的反比例函数．且当时，；当时，．求关于的函数关系式． 20. 王老师驾车从地到景点游玩，在途中的景点游玩一段时间后，又驾车按原速度行驶小时到达景点．王老师离景点的距离（千米）与行驶的时间（小时）之间的函数图象如图所示． （1）地到景点的路程为______千米，在景点游玩了______小时； （2）求的值． 21. 如图，在平面直角坐标系中，已知、是反比例函数的图像上的两点，连接． （1）求反比例函数的解析式； （2）线段的垂直平分线交轴于点，求点的坐标． 22. 如图，在中，点E为的中点．仅用无刻度直尺在给定图形中画图． （1）在图1中，画的中点M； （2）在图2中，点P为边上一点，在上找点N，使得． 23. 如图，在中，，，分别是，的中点，连接，过点作，过点作． （1）求证：四边形是菱形； （2）连接交于点，连接，若，，求的长． 24. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于，两点，以线段为一边向直线左侧作正方形． （1）求直线的表达式； （2）若为轴上的一点，且的纵坐标小于，当的面积为时，求点的坐标； （3）在（2）的条件下，点是直线上的一点，点是坐标平面内一点，当以点、、、为顶点的四边形是菱形，直接写出点的坐标． 25. 综合与实践 【问题情境】某数学兴趣小组研究了课本教材中的《折纸与数学》，思索折纸与角的关系，寻求新的折纸方法，其内容如下： 如果我们身旁没有量角器或三角尺，又需要作、、等大小的角，可以采用下面的方法（如图）： （1）对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平． （2）再一次折叠纸片，使点落在上，并使折痕经过点，得到折痕，点、的对应点分别为、，把纸片展平． （1）【知识运用】请根据上述过程，连接、、，观察图中、、，试猜想这三个角的大小关系是； （2）【拓展提升】兴趣小组成员继续探究五等分线段的方法：如图，将边长为正方形纸片对折，得到折痕，再将翻折到的位置，得到折痕，连接，将纸片沿翻折，使点落在点处，连接并延长，交边于点，求证：是线段的一个五等分点． （3）【延伸探究】如图，兴趣小组成员又在一个边长为的正方形的边上取点（不与，重合），并将四边形沿翻折，使得点的对应点恰好落在边上，连接，小组成员探讨发现：线段与的长度之和，即存在最小值，请求出该最小值及此时线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 作业2 一．选择题（本大题共6小题，每题4分，满分24分） 1. 下列函数中属于一次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一次函数的判断，根据一次函数的定义：形如（，，为常数）的函数叫做一次函数，逐一判断选项即可． 【详解】解：∵选项A中，含和项，不符合一次函数定义，∴ A错误； ∵选项B中，的最高次数为2，不符合一次函数定义，∴ B错误； ∵选项C中，符合一次函数（）的形式，∴ C正确； ∵选项D中，未说明，当时不是一次函数，∴ D错误． 2. 中，的度数为100°，则（ ） A. 60° B. 80° C. 100° D. 120° 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形的对角相等的性质即可求解． 【详解】解：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴∠A=∠C， ∵∠A=100°， ∴∠C=100°． 故选：C． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，注意掌握平行四边形的对角相等的性质． 3. 已知四边形是平行四边形，对角线相交于点O，下列条件中，不能判定四边形是矩形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了添加一个条件是矩形，添加一个条件是菱形，平行四边形的性质，解题关键是掌握上述判定与性质． 根据添加一个条件是矩形，添加一个条件是菱形，平行四边形的性质，对四个条件逐一分析，再作判断． 【详解】解：四边形是平行四边形， 添加，根据对角线相等的平行四边形是矩形， 可判定四边形是矩形，故A不符合； 添加，可得， 根据对角线相等的平行四边形是矩形， 可判定四边形是矩形，故B不符合； 添加，可得出四边形是菱形， 不能判定四边形是矩形，故C符合； ∵四边形是平行四边形， ∴， 添加，可得出， 根据一个角是直角的平行四边形是矩形， 可判定四边形是矩形，故D不符合， 故选：C． 4. 一次函数的图象一定不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一次函数的性质，根据一次函数的解析式判断出直线经过的象限，即可得出结果．熟练掌握一次函数的性质，是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴一次函数的图象经过二、三、四象限，不经过第一象限； 故选A． 5. 若点，在反比例函数的图象上，则，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接代入横坐标求出对应纵坐标，再比较大小即可． 【详解】解：∵点，在反比例函数的图象上， ∴将代入解析式，得 ， 将代入解析式，得 ， ∵，且、都小于， ∴，故选D． 6. 如图1，在矩形中，，．正方形的顶点E在的延长线上，，点G在边上，O为正方形的中心，如果过点O的一条直线平分这个组合图形的面积，且这条直线分别交、于点M、N，那么线段的长为（ ） A. B. C. D. 13 【答案】B 【解析】 【分析】连接，交于点，过点和点的直线平分该组合图形的面积，交于，取中点，取中点，连接，，过点作于，由三角形中位线定理可求，，，，，，由平行线分线段成比例可得，由勾股定理可求的长，即可求解． 【详解】解：如图，连接，交于点，过点和点的直线平分该组合图形的面积，交于，取中点，取中点，连接，，过点作于， 四边形是矩形， ， 是中点， ，，， 四边形是正方形，， ， 同理可求，，， ，， ，， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ， 二．填空题（本大题共小题，每题4分，共48分） 7. 七边形的内角和是________度． 【答案】900 【解析】 【分析】本题主要考查了多边形内角和定理．应用多边形的内角和公式计算即可． 【详解】解：七边形的内角和， 故答案为：900． 8. 在平面直角坐标系中，已知点在y轴上，那么___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据y轴上的点的坐标特点即可求解． 【详解】根据平面直角坐标系中y轴上点的特点，可知其横坐标为0，因此可得， 解得． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查点的坐标特点，解题的关键是熟知y轴上的点的坐标特点． 9. 点与点关于轴对称，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查关于x轴对称的点的坐标特征，利用横坐标不变，纵坐标互为相反数即可求解． 【详解】解：点与点关于轴对称， 是的相反数， 即． 10. 如图，矩形的边，，则的长为______． 【答案】8 【解析】 【分析】先判定是等边三角形，再根据矩形的性质求解即可． 【详解】解：因为矩形的边， 故， ， 故是等边三角形， 故 故的长为． 11. 如图所示，菱形的对角线相交于点，，垂足为．若则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用菱形的面积公式：，即可解决问题．本题考查菱形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用面积法求线段的长，属于中考常考题型． 【详解】解：四边形是菱形， ，，， ， ， ， ， 故答案为：． 12. 恺撒密码应用：若密文“”由恺撒密码（加密密钥为）加密得到，则明文为________． 【答案】 【解析】 【分析】恺撒密码加密规则为：密文字母对应数字 ，其中为明文字母对应数字，为加密密钥．由加密密钥为可得，找出密文对应的数字，代入计算即可． 【详解】解：设为明文字母，为密文字母，则， 将26个英文字母按顺序对应数字到，即A对应，B对应，…，Z对应． 可得密文对应，密文对应， 当时，有，解得：，对应字母为． 当时，有，解得：，对应字母为． ∴明文为． 13. 如图，直线与轴的交点为，则关于的不等式的解集是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一次函数和一元一次不等式的关系，结合函数图象求不等式的解集． 【详解】解：不等式表示一次函数图象在x轴下方的部分， 根据图象，当，函数图象在x轴下方， 故不等式的解集是． 故答案是：． 【点睛】本题考查一次函数与一元一次不等式的关系，解题的关键是掌握根据函数图象解不等式的方法． 14. 如图所示，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB＝90°，若AB＝6，BC＝10，则EF的长为_____． 【答案】2 【解析】 【分析】由三角形中位线定理可得DE的长，再由直角三角形斜边上中线的性质可得DF的长，则可得EF的长． 【详解】解：∵DE为△ABC的中位线， ∴DE＝BC＝5， ∵∠AFB＝90°，D是AB 的中点， ∴DF＝AB＝3， ∴EF＝DE﹣DF＝2． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理与直角三角形斜边上中线的性质，掌握这两个知识点是本题的关键所在． 15. 如图在中，是三角形的重心，，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形重心的性质及其应用问题，延长交于点H，证明，，即可解决问题． 【详解】解：延长交于点H， 则H是的中点， ∴， 又∵是三角形的重心， ∴， 故答案为：． 16. 已知正比例函数，当时，函数有最大值3，则k的值为 __． 【答案】或 【解析】 【分析】根据函数的增减性，再由x的取值范围得出时，或时，，分别代入代入函数解析式得出k的值即可． 【详解】解：当时，函数y随x的增大而增大， ∴当时，， ∴，解得； 当时，函数y随x的增大而减小， ∴当时，， ∴，解得． ∴k的值为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查的是一次函数的性质，熟知一次函数的增减性是解答此题的关键． 17. 对于任意三角形，如果存在一个菱形，使得这个菱形的一条边与三角形的一条边重合，且三角形的这条边所对的顶点在菱形的这条边的对边上，那么称这个菱形为该三角形的“友好菱形”．问题：如图，在中， ，且的面积为S．如果存在“友好菱形”为菱形，那么S的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】由的面积为S可得的高为，然后再分三角形的高取最小值和最大值两种情况求解即可． 【详解】解：∵的面积为S， ∴， ∴边上的高为， 如图：当高取最小值时，为等边三角形，A与M或N或上重合， 如图：过A作，垂足为D， ∵等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴，即； 如图：当高取最大值时，菱形为正方形， ∴A在中点， ∴，即 ∴． 故填：． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质、正方形的性质、等边三角形的性质以及勾股定理，考查知识点较多，灵活应用相关知识成为解答本题的关键． 18. 如图，中，于，于，是三条高的交点，已知，，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，过点作于点，连接，构造平行四边形、矩形、平行四边形，利用平行四边形的性质推知，最后利用勾股定理求出，即可得解． 【详解】解：连接，过点作于点，连接，如图所示： ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， ∵四边形是平行四边形， ， ， ， ∴四边形是矩形， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， 是三条高的交点， ， ， ， 在中，，则由勾股定理可得， ， 在中，，则由勾股定理可得， ． 三．解答题（本大题共题，满分78分） 19. 已知是的正比例函数，是的反比例函数．且当时，；当时，．求关于的函数关系式． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正比例和反比例函数的定义，并且考查了二元一次方程组的解法，熟练掌握正比例和反比例的定义是解题的关键． 根据正比例和反比例函数的定义设表达式，再根据给出自变量和函数的对应值求出待定的系数则可． 【详解】解：设，，则 时，；时， ， 解得， ∴y关于x的函数关系式是． 20. 王老师驾车从地到景点游玩，在途中的景点游玩一段时间后，又驾车按原速度行驶小时到达景点．王老师离景点的距离（千米）与行驶的时间（小时）之间的函数图象如图所示． （1）地到景点的路程为______千米，在景点游玩了______小时； （2）求的值． 【答案】（1），； （2）的值为． 【解析】 【分析】（）根据函数图象即可求解； （）由题意得，王老师驾车从地到景点的速度与从景点到景点的速度相同，再结合图象列出方程，然后解方程即可． 【小问1详解】 解：由函数图象可知，地到景点的路程为千米，在景点游玩了（小时）， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：由题意得，王老师驾车从地到景点的速度与从景点到景点的速度相同， 由图象可知，， 解得：， ∴的值为． 21. 如图，在平面直角坐标系中，已知、是反比例函数的图像上的两点，连接． （1）求反比例函数的解析式； （2）线段的垂直平分线交轴于点，求点的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数图像上点的坐标特征，线段垂直平分线的性质，熟练掌握待定系数法以及线段垂直平分线的性质是解题的关键． （1）利用待定系数法求得即可； （2）由反比例函数的解析式求得点的坐标，设点的坐标为，根据垂直平分线的性质得出，即可得出，解方程即可． 【小问1详解】 解：是反比例函数的图像上的点， ， 反比例函数的解析式为； 【小问2详解】 把代入得，， ， 设点的坐标为， 线段的垂直平分线交轴于点， ， ， 解得， 点的坐标为． 22. 如图，在中，点E为的中点．仅用无刻度直尺在给定图形中画图． （1）在图1中，画的中点M； （2）在图2中，点P为边上一点，在上找点N，使得． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）连接，交于点O，连接，延长交于点M，点M即为所求； （2）连接交于点O，连接，交于点J，连接，延长交于点N，点N即为所求． 【小问1详解】 解：如图中，点M即为所求； 理由：在中，，点是的中点， ∴是和的中位线， ∴， ∴， ∴四边形和四边形是平行四边形， ∴ 又点E为的中点． ∴， ∴，即点M是的中点； 【小问2详解】 解：如图，点N即为所求． 理由：由（1）得是的中位线，则是的中位线， ∴ ∴． 23. 如图，在中，，，分别是，的中点，连接，过点作，过点作． （1）求证：四边形是菱形； （2）连接交于点，连接，若，，求的长． 【答案】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵，分别是，的中点， ∴，， ∵， ∴， ∴是菱形． （2） 【解析】 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再根据三角形中位线的性质得到，即可得证； （2）由菱形的性质得出，，由勾股定理可求出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图， 四边形是菱形，， ，， ，分别是，的中点， ， ， ∵点E是的中点， ， ∵， ∴在中，． 24. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于，两点，以线段为一边向直线左侧作正方形． （1）求直线的表达式； （2）若为轴上的一点，且的纵坐标小于，当的面积为时，求点的坐标； （3）在（2）的条件下，点是直线上的一点，点是坐标平面内一点，当以点、、、为顶点的四边形是菱形，直接写出点的坐标． 【答案】（1） （2） （3）点Q的坐标为或或或 【解析】 【分析】（1）运用待定系数法求解即可； （2）过点D作轴于点E，证明得到，，可得，设（），运用待定系数法求出直线解析式为，过点D作轴，交于点H，则，，根据列出方程，求解即可； （3）分三种情况求解：①是对角线；②是对角线；③是对角线． 【小问1详解】 解：设直线l的表达式为， ∵直线l过点，， ∴，解得， ∴直线l的表达式为． 【小问2详解】 解：过点D作轴于点E，则， ∵，， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴． ∵为轴上的一点，且的纵坐标小于， ∴设（）， 设过点，的直线解析式为， ∴，解得， ∴直线解析式为． 过点D作轴，交于点H，则， ∴， ∵，即， 解得， ∴点M的坐标为． 【小问3详解】 解：∵，， ∴， ∵点P在直线上， 设， ①若是对角线，则，如图 ∵，， ∴，解得， 当时，， ∴， ∵在菱形中，，， ∴由平移可得． 当时，， ∴， ∵在菱形中，，， ∴由平移可得． ②若是对角线，则，垂直平分，如图 ∵，， ∴点P的纵坐标为， 把代入直线，得，解得， ∴， ∵菱形关于y轴对称， ∴． ③若是对角线，则，如图 ∵，， ∴， 整理，得，解得或（不合题意，舍去） 当时，， ∴， ∵在菱形中，，， ∴由平移可得． 综上所述，点Q的坐标为或或或． 25. 综合与实践 【问题情境】某数学兴趣小组研究了课本教材中的《折纸与数学》，思索折纸与角的关系，寻求新的折纸方法，其内容如下： 如果我们身旁没有量角器或三角尺，又需要作、、等大小的角，可以采用下面的方法（如图）： （1）对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平． （2）再一次折叠纸片，使点落在上，并使折痕经过点，得到折痕，点、的对应点分别为、，把纸片展平． （1）【知识运用】请根据上述过程，连接、、，观察图中、、，试猜想这三个角的大小关系是； （2）【拓展提升】兴趣小组成员继续探究五等分线段的方法：如图，将边长为正方形纸片对折，得到折痕，再将翻折到的位置，得到折痕，连接，将纸片沿翻折，使点落在点处，连接并延长，交边于点，求证：是线段的一个五等分点． （3）【延伸探究】如图，兴趣小组成员又在一个边长为的正方形的边上取点（不与，重合），并将四边形沿翻折，使得点的对应点恰好落在边上，连接，小组成员探讨发现：线段与的长度之和，即存在最小值，请求出该最小值及此时线段的长． 【答案】（1） （2）证明：连接, ∵四边形是边长为的正方形， ∴，， 由折叠可得，，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴． 设，则， ∴， ∵在中，， ∴，解得， ∴， ∵， ∴， ∴是线段的一个五等分点． （3）的最小值为， 【解析】 【分析】（1）由折叠的性质可推出，可证明是等边三角形，得到，由折叠得到，从而根据“三线合一”得到，再由矩形的性质和角的和差关系可得，则； （2）连接，由折叠可得，，，从而，，，即可证明，得到，设，则，，在中根据勾股定理构造方程，求解得到，即可得证； （3）连接，交于点K，过点F作于点H，证明得到，则的最小值，就是的最小值．延长至点，使，连接，．根据是的垂直平分线，得到，根据勾股定理求出，从而，得到的最小值为，即的最小值为．当取得最小值时，点A，，三点共线，证明，得到，设，则，，在中根据勾股定理构造方程，求解即可． 【小问1详解】 解：由折叠可得是的垂直平分线， ∴， 又由折叠有， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 又由折叠有，，， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：连接，交于点K，过点F作于点H． ∵四边形是边长为4的正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 由折叠可得点B与关于对称， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值，就是的最小值． 延长至点，使，连接，． ∵，， ∴是的垂直平分线， ∴． ∵，，， ∴在中，， ∴， ∴的最小值为，即的最小值为． 当取得最小值时，点A，，三点共线，如图， ∵，，， ∴， ∴， 设，则，， ∵在中，， 即，解得， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $