精品解析：2026年安徽合肥市滨湖世纪城中学（合肥市第四十八中学滨湖校区）2025-2026学年下学期九年级数学练习　

九年级数学练习 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的． 1. 若a是实数，则下列一定是非负数的是（ ） A. a的倒数 B. a的相反数 C. a的平方根 D. a的绝对值 【答案】D 【解析】 【分析】根据实数相关概念与非负数的定义，判断是否一定满足大于等于即可． 【详解】解：A选项：当时，的倒数为负数，不符合要求； B选项：当时，的相反数，是负数，不符合要求； C选项：当时，实数范围内没有平方根，不符合要求； D选项：根据绝对值的性质，对任意实数，都有，一定是非负数． 2. 据报道，2025年我国跨区域人员流动达到668.6亿人次，同比增长，数据亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先将亿转化为，再根据科学记数法的定义，将其写为（，为整数）的形式，即可得到答案． 【详解】解：亿， 亿． 根据科学记数法的要求整理得，， 因此亿用科学记数法表示为． 3. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：． 4. 如图正面摆放的正五棱柱，其左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：如图正面摆放的正五棱柱，其左视图是． 5. 把多项式(a+b)(a+4b)﹣9ab分解因式正确的是( ) A. (a﹣2b)2 B. (a+2b)2 C. a(a﹣3b)2 D. ab(a+3)(a﹣3) 【答案】A 【解析】 【分析】先根据多项式乘多项式的方法化简，再根据完全平方公式因式分解即可． 【详解】原式=a2+5ab+4b2﹣9ab =a2﹣4ab+4b2 =(a﹣2b)2． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了运用公因法分解因式以及多项式乘多项式，熟练掌握完全平方公式是解答本题的关键． 6. 甲乙两地修建智能化高速铁路，运行里程由原来的缩短为，运行时间缩短为原来的一半，平均速度比原来快千米/小时，设原来的运行时间为小时，则以下方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据速度路程时间，分别表示出原来和现在的速度，再利用“现在平均速度比原来快千米/小时”的等量关系列方程即可． 【详解】解：设原来的运行时间为小时， 根据题意得． 7. 紫色石蕊试剂遇到酸性溶液会变红，遇到碱性溶液会变蓝，现从盐酸溶液、硫酸溶液、氢氧化钠溶液（碱性）、氢氧化钙溶液（碱性）四种溶液中随机选两种溶液与紫色石蕊试剂进行实验，则恰好一种溶液变红另一种溶液变蓝的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先明确四种溶液中酸性溶液和碱性溶液各有种，再利用树状图得出所有等可能的结果，进一步得出满足条件的结果数，代入概率公式计算即可． 【详解】解：将盐酸溶液（酸性）、硫酸溶液（酸性）、氢氧化钠溶液（碱性）、氢氧化钙溶液（碱性）分别记为，，，，从四种溶液中随机选两种溶液，画树状图如下： 由树状图可得，共种等可能的结果，其中满足“恰好一种溶液变红另一种溶液变蓝”即“恰好一种溶液是酸性另一种溶液是碱性”的结果有种， 所求概率． 8. 如图，中，点E为的中点，连接，，点F为的中点，连接交为G，若，则的长为（ ）． A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】取中点H，根据平行四边形的性质（对边平行且相等）及三角形中位线得出四边形是平行四边形，利用平行四边形对角线平分且相等进而求出的长． 【详解】解：取中点为H，连接，如图所示， ∵点F为的中点，点H为的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵点E为的中点， ∴， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴． 【点睛】构造三角形中位线． 9. 已知一次函数y＝﹣2x﹣2与x轴交于A点，与反比例函数y＝的图象交于第二象限的B点，过B作y轴的垂线，垂足为C，若OC＝2OA，则k的值为（ ） A. 2 B. ﹣2 C. 4 D. ﹣4 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件确定点B的坐标即可解决问题． 【详解】解：如图； ∵一次函数y＝-2x-2与x轴交于A点， ∴A（-1，0）， ∴OA＝1， ∵BC⊥y轴，OC＝2OA， ∴OC＝2， ∴C（0，2）， ∴B（-2，2）， ∵点B在y＝上， ∴k＝-4， 故选：D． 【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 10. 如图，中，，点为的边上或内部一动点，满足，连接，若的最小值是，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据，可知点在以为直径的上，根据的最小值是，求出，因为当点在上时，最大，利用勾股定理可得方程设，则，解方程求出的值即为的最大值． 【详解】解：如下图所示， ， 点在以为直径的上， 当点在上时，最小， 、是的半径， ， 设，则， ，点是的中点， ， 在中，， ， 解得：， ， 当点在上时，最大， 设，则， ， 即， 解得：． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 不等式的解集为______． 【答案】 【解析】 【分析】先对不等式移项，再合并同类项，最后将系数化为1，即可得到不等式的解集． 【详解】解： ， 移项得 ， 合并同类项得 ， 系数化为得 ． 12. 如图，一束平行光线照射在等边三角形上，若，则的度数为______． 【答案】##160度 【解析】 【分析】根据等边三角形的性质求出，根据平行线的性质求出，再根据三角形外角性质求解即可． 【详解】解：如图， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 13. 如图，中，，以为圆心，以长为半径画弧交于，若，则弧的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】先利用等腰三角形性质设角，求出，套用弧长公式计算弧长． 【详解】解：设， ， ， ， ， ，， 又， ， 在中，内角和：， 解得， ， 弧的长． 14. 已知二次函数（其中b，c为常数），当自变量x依次取正整数1，2，3，…，n时，对应的函数值分别为，，…，．相邻两个函数值的差为． （1）的值为______； （2）若，则的值为______． 【答案】 ①. 2 ②. 10300 【解析】 【分析】（1）根据的定义，先推导的一般表达式，再计算即可； （2）利用累加抵消的方法，将到的和转化为，代入计算即可. 【详解】解：（1）由题意得，对任意正整数， ， ， ， 当时， ， 当时， ， ； （2） ， 将代入得 ， ， ． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解：原式． 16. 在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，的顶点A、B、C均在格点上，O为格点，请在网格内完成以下作图任务： （1）将先向右平移8个单位，再向下平移9个单位，画出平移后； （2）画出关于点O的中心对称图形； （3）尺规作图：在边上求作一点P，使．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）平移作图依据∶平移变换性质：图形平移时所有顶点同步沿指定方向、指定距离移动，向右、向下，依次平移、三点得到对应、、,顺次连接三点即； （2）中心对称作图依据：中心对称性质：点关于的对称点满足是中点，同理作出、,连接三点得到； （3）作，则可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 先锋水果店以25元/的价格批发一批优质车厘子进行销售，两周售完．第一周销售量为200，每天的售价相同．第二周的销售量比第一周增加了，每千克的售价比第一周降低了3元，第一周和第二周的销售总额相同，求先锋水果店销售完这批车厘子所获得的利润． 【答案】2700元 【解析】 【分析】设第一周的售价为x元/，由题意列出一元一次方程并求解，进而确定第二周售价，然后计算销售完这批车厘子的总利润即可． 【详解】解：设第一周的售价为x元/，由题意得 ，解得， 第一周的售价为33元/，第二周售价为30元/， 则（元）， 答：销售完这批车厘子共获利润2700元． 18. 安庆市迎江寺内有一座振风塔，至今已有多年的历史，享有“万里长江第一塔”的盛誉，振风塔不仅是佛教建筑，还具有导航引渡的功能，彰显着地域文化魅力与历史底蕴．某校社会实践小组选择了一处开阔平坦的区域进行测量活动．如图，是水平地面，在处用高的测角仪测得振风塔顶的仰角为，然后沿方向前行到达处，在处用测角仪测得振风塔顶的仰角为．根据以上测得的数据，求振风塔顶到水平地面的高约为多少米．（参考数据：，，，，，．） 【答案】米 【解析】 【分析】由题意知，三点共线，，，设，则，分别解和，得到，，进而得到，解方程求出的值即可求解． 【详解】解：由题意知，三点共线，，， 设，则， 在中，，， ∴， 在中，，， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴， 答：振风塔顶到水平地面的高约为米． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 为了解甲、乙两款智能机器人的性能表现，现从两款机器人中各随机选了台进行测试，记录两款机器人在两项核心性能（运动响应速度和图像识别精准度）的测试得分，并进行整理、描述和分析． 【数据收集】 a．甲、乙两款智能机器人运动响应速度测试得分统计表： 得分台数/分数 5分 6分 7分 8分 9分 10分 甲款台数 3 4 5 4 3 1 乙款台数 2 3 5 4 4 2 b．甲、乙两款智能机器人图像识别精准度测试得分统计图： 【数据分析】 c．对甲、乙两款智能机器人两项测试成绩分析如下： 智能机器人 运动响应速度测试得分 图像识别精准度测试得分 平均数 中位数 众数 平均数 甲 m 7 7 5.6 乙 7.4 n 7 4.9 【数据运用】 根据以上信息，解答下列问题： （1）表格中______，______． （2）根据图像识别精准度的测试得分统计图可知甲机器人的精准度高于乙机器人，若这两款机器人各生产了台，求甲款机器人图像识别精准度高于乙款机器人的台数； （3）甲款机器人研发团队针对图像识别精准度测试成绩评分不超过7分的机器人进行精准训练，这样第二轮测试时，这些机器人的测试评分均提高分，原评分超过分的机器人分数不变．与第一轮测试评分数据相比，第二轮评分数据的众数将______，方差将______（填“增大”“减小”或“不变”）． 【答案】（1） （2）台 （3）增大；减小 【解析】 【分析】（1）是平均数，直接由甲所有成绩求和÷样本总数算出；是中位数，数据从小到大排序后，取中间两个数平均值； （2）由图象可知，甲机器人图像识别精准度表现更优的次数为次，再用占比，得到台里甲精度更高的台数； （3）原本分低分机器人被训练提分，原来出现次数最多的分数被拉高，众数上升；低分数据向高分靠拢，整组数据波动变小，方差反映波动大小，波动越小方差越小． 【小问1详解】 解：， 乙的得分中第个数为，第个数为，因此：； 【小问2详解】 根据图像识别精准度测试得分统计图，甲机器人图像识别精准度表现更优的次数为次，台测试中，甲表现更优的台数为：台； 【小问3详解】 原甲图像识别得分中，分出现次数最多（次），众数为．训练后分、分各出现次，为新的众数，因此众数增大．训练后，低分数据整体提高，数据更集中在高分段，离散程度减小，因此方差减小． 20. 如图，是直径，为切线，连接交于点D，点E在上，，连接交于点F． （1）求证：； （2）连接，若，，求的半径． 【答案】（1）证明：如图所示，连接， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）由直径所对的圆周角是直角和切线的性质得到，则可得到，，再证明，即可证明，得到； （2）根据垂径定理得到，根据三线合一得到，证明，求出即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， 由（1）知， 又∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴ ， ∴， ∴的半径． 六、（本题满分12分） 21. 项目背景： 在日常生活和生产实践中经常发生排队等待现象，如医院门诊挂号，银行办理业务等．为了研究排队现象，我们需要知道排队问题中涉及的量，探究排队现象发生的原因，并提出解决方案． 元素分析： 经过分析发现排队现象发生通常涉及以下几个量：服务窗口数k；服务一位顾客的时间a分钟；开始服务前顾客数量m人；新顾客到达间隔时间b分钟． 情境1： 某奶茶店设有一个服务窗口，奶茶店每2服务一位顾客．已知开始工作前，没有顾客排队等待．如果开始工作后，每4分钟有一位“新顾客”到达． （1）依题意可知，，，，则排队现象______发生（填“会”或“不会”）． 情境2： 某奶茶店设有一个服务窗口，奶茶店每2min服务一位顾客．已知开始工作前，有6位顾客排队等待．如果开始工作后，每4分钟有一位“新顾客”到达． （2）依题意得，，，，则“新顾客”中第______位是第一位到达奶茶店不需要排队的；在第一位不需要排队的顾客到达之前，工作人员已经服务了______顾客； （3）设“新顾客”到达的时间是，则______（用含n的式子表示）；“新顾客”取餐完成时间是，当“新顾客”到达时排队现象消失，，满足的关系是______（用含n的式子表示）． 情境3： （4）如果奶茶店开设2个服务窗口，工作人员每3分钟服务一位顾客．已知开始工作前，共有10位顾客在等待，工作人员开始工作后，每5分钟有一位“新顾客”到达，那么第______位“新顾客”是第一个到达奶茶店而不需要排队的顾客． 【答案】（1）不会 （2）5；10 （3）； （4）4 【解析】 【小问1详解】 解：∵奶茶店每2服务一位顾客，每4分钟有一位“新顾客”到达，即， ∴新顾客到达间隔时间大于服务一位顾客时间， 故不会引起排队． 【小问2详解】 解：服务初始顾客所需时间：（分钟）， 新顾客到达时间：4分钟、8分钟、12分钟、16分钟……， 设“新顾客”中第位是第一位到达奶茶店不需要排队的，则新顾客中前面人均服务完， ∴， 解得， ∴“新顾客”中第5位是第一位到达奶茶店不需要排队的， ∵， ∴在第一位不需要排队的顾客到达之前，工作人员已经服务了10位顾客． 【小问3详解】 解：每4分钟有一位“新顾客”到达， 第位新顾客到达时间为， “新顾客”取餐完成时间是，且每服务一位顾客需要2分钟， ∴， 若“新顾客”到达时排队现象消失， 则． 【小问4详解】 解：设第f位“新顾客”是第一个到达奶茶店而不需要排队的顾客， ∵奶茶店开设2个服务窗口， ∴， 解得， ∴第4位“新顾客”是第一个到达奶茶店而不需要排队的顾客． 【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的应用，掌握“新顾客中前面人和开始工作前已有人数的总服务时间不大于新顾客中第一位无需排队的到达时间”是解题的关键． 七、（本题满分12分） 22. 如图1，正方形中，，为的中点，为上一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接． （1）求证：； （2）如图2，当为的中点时，连接，求长； （3）如图3，连接，，若，求的值． 【答案】（1）证明：在正方形中，，， , ， 根据旋转可得， ， ． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用正方形性质以及旋转后全等，证明，即可证； （2）过点作交的延长线于点，证明，根据相似比例及勾股定理求得的长； （3）证明，得到，即可以求得的值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：过点作交的延长线于点， 由（1）知， ，， ， ， ，为的中点， ，， 又为中点， ， ，， ， ． 【小问3详解】 解：， ， ,， ， 又， ， ， ，， ， , 即, , 由， 得， 解得， ， ． 八、（本题满分14分） 23. 定义：若点P为抛物线上一点，轴交抛物线于另一点Q，则称的长为点P关于抛物线的开口宽，记为．根据定义解决如下问题： （1）抛物线：与y轴交于点C，则______； （2）抛物线：的顶点为D，与x轴交于点A、B（A在B的左侧）． ①若为等腰直角三角形，，求a的值； ②将抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位，得到新抛物线，其顶点为E，始终经过点D，对称轴交于F，若为等腰直角三角形，，求a的值． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）首先确定该抛物线的对称轴，然后根据“开口宽”的定义确定答案即可； （2）①首先确定该抛物线的顶点D的坐标，结合可得，然后根据等腰直角三角形的性质计算的值即可；②过点作于点，根据平移的性质确定点E的坐标，进而可得抛物线的解析式，根据等腰直角三角形的性质可得，进一步解得，并结合始终经过点D，进一步求解即可． 【小问1详解】 解：对于抛物线：， 其对称轴为， ∴； 【小问2详解】 ①∵， ∴其顶点D的坐标为， ∵， ∴， 当时，是等腰直角三角形， ∴，解得； ②如下图，过点作于点， 由抛物线向右平移m个单位，向下平移n个单位，得到新抛物线，其顶点为E， 则点E的坐标为， ∴抛物线的解析式为：， ∵为等腰直角三角形，即， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， ∴，解得， ∴解析式为：， ∵始终经过点D， ∴，解得． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学练习 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的． 1. 若a是实数，则下列一定是非负数的是（ ） A. a的倒数 B. a的相反数 C. a的平方根 D. a的绝对值 2. 据报道，2025年我国跨区域人员流动达到668.6亿人次，同比增长，数据亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 计算的结果是（ ） A B. C. D. 4. 如图正面摆放的正五棱柱，其左视图是（ ） A. B. C. D. 5. 把多项式(a+b)(a+4b)﹣9ab分解因式正确的是( ) A. (a﹣2b)2 B. (a+2b)2 C. a(a﹣3b)2 D. ab(a+3)(a﹣3) 6. 甲乙两地修建智能化高速铁路，运行里程由原来的缩短为，运行时间缩短为原来的一半，平均速度比原来快千米/小时，设原来的运行时间为小时，则以下方程正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 紫色石蕊试剂遇到酸性溶液会变红，遇到碱性溶液会变蓝，现从盐酸溶液、硫酸溶液、氢氧化钠溶液（碱性）、氢氧化钙溶液（碱性）四种溶液中随机选两种溶液与紫色石蕊试剂进行实验，则恰好一种溶液变红另一种溶液变蓝的概率是（ ） A B. C. D. 8. 如图，中，点E为的中点，连接，，点F为的中点，连接交为G，若，则的长为（ ）． A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 9. 已知一次函数y＝﹣2x﹣2与x轴交于A点，与反比例函数y＝的图象交于第二象限的B点，过B作y轴的垂线，垂足为C，若OC＝2OA，则k的值为（ ） A. 2 B. ﹣2 C. 4 D. ﹣4 10. 如图，中，，点为的边上或内部一动点，满足，连接，若的最小值是，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 不等式的解集为______． 12. 如图，一束平行光线照射在等边三角形上，若，则的度数为______． 13. 如图，中，，以为圆心，以长为半径画弧交于，若，则弧的长为______． 14. 已知二次函数（其中b，c为常数），当自变量x依次取正整数1，2，3，…，n时，对应的函数值分别为，，…，．相邻两个函数值的差为． （1）的值为______； （2）若，则的值为______． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算：． 16. 在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，的顶点A、B、C均在格点上，O为格点，请在网格内完成以下作图任务： （1）将先向右平移8个单位，再向下平移9个单位，画出平移后的； （2）画出关于点O的中心对称图形； （3）尺规作图：在边上求作一点P，使．（不写作法，保留作图痕迹） 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 先锋水果店以25元/的价格批发一批优质车厘子进行销售，两周售完．第一周销售量为200，每天的售价相同．第二周的销售量比第一周增加了，每千克的售价比第一周降低了3元，第一周和第二周的销售总额相同，求先锋水果店销售完这批车厘子所获得的利润． 18. 安庆市迎江寺内有一座振风塔，至今已有多年的历史，享有“万里长江第一塔”的盛誉，振风塔不仅是佛教建筑，还具有导航引渡的功能，彰显着地域文化魅力与历史底蕴．某校社会实践小组选择了一处开阔平坦的区域进行测量活动．如图，是水平地面，在处用高的测角仪测得振风塔顶的仰角为，然后沿方向前行到达处，在处用测角仪测得振风塔顶的仰角为．根据以上测得的数据，求振风塔顶到水平地面的高约为多少米．（参考数据：，，，，，．） 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 为了解甲、乙两款智能机器人的性能表现，现从两款机器人中各随机选了台进行测试，记录两款机器人在两项核心性能（运动响应速度和图像识别精准度）的测试得分，并进行整理、描述和分析． 【数据收集】 a．甲、乙两款智能机器人运动响应速度测试得分统计表： 得分台数/分数 5分 6分 7分 8分 9分 10分 甲款台数 3 4 5 4 3 1 乙款台数 2 3 5 4 4 2 b．甲、乙两款智能机器人图像识别精准度测试得分统计图： 数据分析】 c．对甲、乙两款智能机器人两项测试成绩分析如下： 智能机器人 运动响应速度测试得分 图像识别精准度测试得分 平均数 中位数 众数 平均数 甲 m 7 7 5.6 乙 7.4 n 7 4.9 【数据运用】 根据以上信息，解答下列问题： （1）表格中______，______． （2）根据图像识别精准度的测试得分统计图可知甲机器人的精准度高于乙机器人，若这两款机器人各生产了台，求甲款机器人图像识别精准度高于乙款机器人的台数； （3）甲款机器人研发团队针对图像识别精准度测试成绩评分不超过7分的机器人进行精准训练，这样第二轮测试时，这些机器人的测试评分均提高分，原评分超过分的机器人分数不变．与第一轮测试评分数据相比，第二轮评分数据的众数将______，方差将______（填“增大”“减小”或“不变”）． 20. 如图，是直径，为的切线，连接交于点D，点E在上，，连接交于点F． （1）求证：； （2）连接，若，，求的半径． 六、（本题满分12分） 21. 项目背景： 在日常生活和生产实践中经常发生排队等待的现象，如医院门诊挂号，银行办理业务等．为了研究排队现象，我们需要知道排队问题中涉及的量，探究排队现象发生的原因，并提出解决方案． 元素分析： 经过分析发现排队现象发生通常涉及以下几个量：服务窗口数k；服务一位顾客的时间a分钟；开始服务前顾客数量m人；新顾客到达间隔时间b分钟． 情境1： 某奶茶店设有一个服务窗口，奶茶店每2服务一位顾客．已知开始工作前，没有顾客排队等待．如果开始工作后，每4分钟有一位“新顾客”到达． （1）依题意可知，，，，则排队现象______发生（填“会”或“不会”）． 情境2： 某奶茶店设有一个服务窗口，奶茶店每2min服务一位顾客．已知开始工作前，有6位顾客排队等待．如果开始工作后，每4分钟有一位“新顾客”到达． （2）依题意得，，，，则“新顾客”中第______位是第一位到达奶茶店不需要排队的；在第一位不需要排队的顾客到达之前，工作人员已经服务了______顾客； （3）设“新顾客”到达的时间是，则______（用含n的式子表示）；“新顾客”取餐完成时间是，当“新顾客”到达时排队现象消失，，满足的关系是______（用含n的式子表示）． 情境3： （4）如果奶茶店开设2个服务窗口，工作人员每3分钟服务一位顾客．已知开始工作前，共有10位顾客在等待，工作人员开始工作后，每5分钟有一位“新顾客”到达，那么第______位“新顾客”是第一个到达奶茶店而不需要排队的顾客． 七、（本题满分12分） 22. 如图1，正方形中，，为的中点，为上一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接． （1）求证：； （2）如图2，当为的中点时，连接，求长； （3）如图3，连接，，若，求的值． 八、（本题满分14分） 23. 定义：若点P为抛物线上一点，轴交抛物线于另一点Q，则称的长为点P关于抛物线的开口宽，记为．根据定义解决如下问题： （1）抛物线：与y轴交于点C，则______； （2）抛物线：的顶点为D，与x轴交于点A、B（A在B的左侧）． ①若为等腰直角三角形，，求a值； ②将抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位，得到新抛物线，其顶点为E，始终经过点D，对称轴交于F，若为等腰直角三角形，，求a值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $