精品解析：2025年安徽省合肥一六八中学中考三模数学试卷

九年级数学练习单 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 的倒数是（ ） A. 2025 B. C. D. 2. 据统计，某日某搜赏平台使用DeepSeek解决的问题超过个．数字用科学记数法表示是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，这是将一个底面为等边三角形的三棱柱切去一个角后的几何体，则该几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，点为某光源，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，点F为焦点．若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 一元二次方程有两个实数根，那么一次函数的图象一定不经过的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 7. 如图，半径为5的，直径垂直于与，，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，五一期间某景区有三个入口，两个出口，小红任选一个入口进入景区，游玩后任选一个出口离开，则她选择从或入口进入，从出口离开的概率是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，为边上一动点（不与点重合），为等边三角形，过点作的垂线，为垂线上任意一点，连接，为的中点，连接，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 10. 已知，抛物线顶点在线段上运动，形状保持不变，轴交于两点（在的右侧），下列结论错误的是（ ） A. B. 当时，随的增大而增大 C. 当四边形为平行四边形时， D. 若点横坐标的最小值为，则点横坐标的最大值为5 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 计算：__________． 12. 若一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是_________． 13. 如图，在平面直角坐标系中，点，将向右平移到位置，的对应点是，的对应点是．若函数的图象经过点和的中点，则的值是__________． 14. 如图，在矩形中，，为边上一点，将沿翻折到处，分别延长、，交、边于点、． （1）若，则__________； （2）连接交于点．若，则__________． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 先化简，再求值：，其中． 16. 如图，在每个小正方形的边长为1个单位的网格中，的顶点均在格点（网格线的交点）上，直线经过小正方形的边． （1）画出关于直线成轴对称的； （2）将（1）中的绕点逆时针旋转得到，画出． （3）仅用无刻度直尺作高． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 在国家积极政策的鼓励下，中国新能源汽车的市场需求呈螺旋式上升，某汽车企业2023到2025这两年型汽车年销售总量增加了，年销售单价下降了． （1）设2023年销售型汽车总量为万辆，销售单价为万元，请用代数式填表： 年份 年销售型汽车总量/万辆 年销售型汽车单价/万元 年销售型汽车总额/亿元 2023 ____________ 2025 ____________ （2）该汽车企业型汽车这两年销售总额的年增长率相同，求年增长率． 18. 某同学根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．下面是他的探究过程，请补充完整： （1）具体运算，发现规律． 特例1：， 特例2：， 特例3：， 特例4：____________． （2）观察、归纳，得出猜想． 如果为正整数，按此规律第个式子可以表示为：____________． （3）应用运算规律： ①化简：____________． ②若（均为正整数），则____________． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 在学习过“解直角三角形”一章的知识后，九年级某班的同学们为了巩固学习成果，就地取材，利用所学的数学知识解决身边问题．如图1所示是教室内一只酒精消毒用的喷雾瓶的实物图，其示意图如图2所示，．求按压柄下端到导管的距离．（结果保留一位小数，参考数据：，） 20. 如图，是的直径，于点，连接交于点． （1）求证：． （2）若，求的长． 六、（本题满分12分） 21. 某校开展综合实践知识竞赛活动，从八、九年级参加竞赛的同学中各随机抽取了20名同学，将他们的竞赛成绩由高到低分为5个等级，并绘制成不完整的频数分布表和扇形统计图，部分信息如下： 八年级同学成绩频数分布表 成绩等级 人数 5 4 1 已知在两个年级被抽取的同学的成绩中，等级的人数相等，请根据以上信息，完成下列问题： （1）____________，____________； （2）在九年级被抽取同学的成绩中，等级所对应的扇形的圆心角的度数是____________；九年级被抽取同学的成绩的中位数落在____________等级； （3）如果八、九年级参加竞赛的同学分别有200人、185人，请估计九年级竞赛成绩达到良好的人数比八年级多多少人．（等级及以上为良好） 七、（本题满分12分） 22. 在菱形中，是对角线上一点，连接． （1）如图1，延长交与点，，求证：； （2）如图2，，点在边上，连接，与交于点，． ①求证：； ②如图3，作，垂足为点，连接，若，，求的值． 八、（本题满分14分） 23. 已知抛物线与抛物线相交于点． （1）求出p的值； （2）设点在抛物线上，点在抛物线上． ①当时，求n的取值范围； ②当M，A，N三点共线时，求m的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学练习单 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 的倒数是（ ） A. 2025 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了倒数，理解倒数的概念是解题的关键．倒数的定义是乘积为1的两个数互为倒数，根据倒数的定义回答即可． 【详解】解：∵ 一个数 的倒数为 ， ∴ 的倒数为 ＝ ， 故选 ：B 2. 据统计，某日某搜赏平台使用DeepSeek解决的问题超过个．数字用科学记数法表示是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法，其表示形式为，其中，为整数，正确确定和的值是解答本题的关键． 由即可得到答案． 【详解】解：， 故选：B． 3. 如图，这是将一个底面为等边三角形的三棱柱切去一个角后的几何体，则该几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三视图； 俯视图是从上面看得到的图形，注意看得见的棱用实线表示． 【详解】解：由图得：该几何体的俯视图是 ， 故选：B． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项、幂的乘方与积的乘方、同底数幂相乘、同底数幂的除法，根据合并同类项、幂的乘方与积的乘方、同底数幂相乘、同底数幂的除法的运算法则逐项判断即可，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：A、，故原选项计算错误，不符合题意； B、，故原选项计算错误，不符合题意； C、，故原选项计算正确，符合题意； D、，故原选项计算错误，不符合题意； 故选：C． 5. 如图，点为某光源，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，点F为焦点．若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据平行线的性质求出，再由三角形内角和的性质即可求出． 【详解】解：根据题意得， ∴， ∴， 故选：． 6. 一元二次方程有两个实数根，那么一次函数的图象一定不经过的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，一次函数经过的象限，由根与系数的关系得到，则一次函数为，据此可得一次函数图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限． 【详解】解：∵一元二次方程有两个实数根， ∴， ∴一次函数的解析式为， ∴一次函数图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限， 故选：C． 7. 如图，半径为5的，直径垂直于与，，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，矩形的判定及性质，平行四边形的判定及性质，扇形面积公式等；由垂径定理得，矩形的判定及性质，，由平行四边形的判定及性质得，由扇形的面积公式即可求解；掌握垂径定理及扇形的面积公式是解题的关键． 【详解】解：直径垂直于与， ，，， ， ， 四边形是矩形， ， 四边形是平行四边形， ， ； 故选：A． 8. 如图，五一期间某景区有三个入口，两个出口，小红任选一个入口进入景区，游玩后任选一个出口离开，则她选择从或入口进入，从出口离开的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，先画树状图得到所有等可能性的结果数，再找到她选择从或入口进入，从出口离开的结果数，最后根据概率计算公式求解即可． 【详解】解：画树形图如图得： 由树形图可知所有可能的结果有6种，其中她选择从或入口进入，从出口离开的结果数有2种， ∴她选择从或入口进入，从出口离开的概率为， 故选：B． 9. 如图，在中，，为边上一动点（不与点重合），为等边三角形，过点作的垂线，为垂线上任意一点，连接，为的中点，连接，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了含角的直角三角形，全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的判定与性质，数形结合并明确相关性质及定理是解题的关键． 连接，设相交于点，先判定为线段的垂直平分线，从而可判定，然后由全等三角形的性质得到，根据勾股定理求出，即可得到答案． 【详解】解：如图，连接，设相交于点， ， ，为的中点， ， 点在线段的垂直平分线上， 是等边三角形， ， 点在线段的垂直平分线上， 为线段的垂直平分线， ，， 点在射线上， 当时，的值最小， 如图所示，设点为垂足， ，， ，， ， ， ， 在中，， ，， ， ， ， 故选：A． 10. 已知，抛物线顶点在线段上运动，形状保持不变，轴交于两点（在的右侧），下列结论错误的是（ ） A. B. 当时，随的增大而增大 C. 当四边形为平行四边形时， D. 若点横坐标的最小值为，则点横坐标的最大值为5 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了本题考查了抛物线与轴的交点，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值，平行四边形的性质，根据顶点在线段上抛物线与轴的交点坐标为可以判断出的取值范围，得到A正确；当顶点运动到轴右侧时，根据二次函数的增减性判断出B正确；令，利用根与系数的关系与顶点的纵坐标求出的长度的表达式，然后根据平行四边形的对边平行且相等可得，然后列出方程求出的值，判断出C正确；当顶点在点时，能取到最小值，当顶点在点时，能取得最大值，然后根据二次函数的对称性求出此时点的横坐标，即可判断D不正确． 【详解】解：点，的坐标分别为和， 线段与轴的交点坐标为， 又抛物线的顶点在线段上运动，抛物线与轴的交点坐标为， ，顶点在轴上时取“”，故A正确； 抛物线的顶点在线段上运动，开口向上， 当时，一定有随的增大而增大，故B正确； 令，则， ， 根据顶点坐标公式， ， ，即， ， 四边形为平行四边形， ， ， 解得，故C正确； 若点的横坐标最小值为，则此时对称轴为直线，点的横坐标为，则， 抛物线形状不变，当对称轴为直线时，点的横坐标为， 点的横坐标最大值为，故D不正确； 故选：D． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 计算：__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算，涉及零指数幂和算术平方根的知识，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 分别计算零指数幂和求算术平方根，再进行加减计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 若一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是_________． 【答案】：k＜1． 【解析】 【详解】∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴△==4﹣4k＞0， 解得：k＜1， 则k的取值范围是：k＜1． 故答案为k＜1． 13. 如图，在平面直角坐标系中，点，将向右平移到位置，的对应点是，的对应点是．若函数的图象经过点和的中点，则的值是__________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，中位线的性质，平移的性质，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是关键．过点D作轴，过点F作轴，轴，由题意可知：，设，可以推出，，列式计算即可得到k值． 【详解】解：如图，过点D作轴，过点F作轴，轴， 由题意可知：， 设， ， 的中点F， 是的中位线， ， ， ， 解得， ∵反比例函数图象在第一象限， ， 故答案为：3． 14. 如图，在矩形中，，为边上一点，将沿翻折到处，分别延长、，交、边于点、． （1）若，则__________； （2）连接交于点．若，则__________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）已知矩形， ．根据沿翻折到，得，进而解直角三角形即可得解． （2）如图，过点作交于点，连接，由（）得，，利用勾股定理求得，，，证明，，利用相似三角形的性质即可得解． 【详解】解：（1）在矩形中，，沿翻折到， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：； （2）如图，过点作交于点，连接， 由（1）得，， 在矩形中，，，， ∴， ∵，， ∴， 解得， ∴， ∵ ∴即， ∵， ∴，， ∴ ∴， 解得，， ∴， ∵ ∴，， ∴即， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，矩形的性质，折叠的性质，相似三角形的判定及性质，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查分式化简求值，熟练掌握同分母分式的加减运算法则是解题的关键． 根据同分母分式的减法法则计算即可化简，再把代入化简式计算即可． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 16. 如图，在每个小正方形的边长为1个单位的网格中，的顶点均在格点（网格线的交点）上，直线经过小正方形的边． （1）画出关于直线成轴对称的； （2）将（1）中的绕点逆时针旋转得到，画出． （3）仅用无刻度直尺作高． 【答案】（1）画图见解析 （2）画图见解析 （3）画图见解析 【解析】 【分析】（1）根据轴对称的性质画出点A、B、C的对应点分别为、、，即可画出； （2）根据旋转的性质绕点逆时针旋转得到； （3）在图中找到格点E，连接，有图可知，则为等腰三角形，然后画出的中点H，根据等腰三角形的三线合一的性质，连接即为所求； 【小问1详解】 解：如图所示，即为所作； 【小问2详解】 解：如图所示，即为所作； 【小问3详解】 解：如图所示，线段即为所作； ． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 在国家积极政策的鼓励下，中国新能源汽车的市场需求呈螺旋式上升，某汽车企业2023到2025这两年型汽车年销售总量增加了，年销售单价下降了． （1）设2023年销售型汽车总量为万辆，销售单价为万元，请用代数式填表： 年份 年销售型汽车总量/万辆 年销售型汽车单价/万元 年销售型汽车总额/亿元 2023 ____________ 2025 ____________ （2）该汽车企业型汽车这两年销售总额的年增长率相同，求年增长率． 【答案】（1） （2）该汽车企业型汽车这两年销售总额的年增长率为 【解析】 【分析】本题考查了代数式的应用，一元二次方程的应用，根据题意正确列出代数式和方程是解题的关键． （1）根据题意列代数式即可； （2）设该汽车企业型汽车这两年销售总额的年增长率为，根据题意，得，解方程即可． 【小问1详解】 解：根据题意得，2023年销售型汽车总额为亿元， 2025年销售型汽车总额为亿元， 故答案为：； 【小问2详解】 解：设该汽车企业型汽车这两年销售总额的年增长率为， 根据题意，得， 解得（舍去）， 答：该汽车企业型汽车这两年销售总额的年增长率为． 18. 某同学根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．下面是他的探究过程，请补充完整： （1）具体运算，发现规律． 特例1：， 特例2：， 特例3：， 特例4：____________． （2）观察、归纳，得出猜想． 如果为正整数，按此规律第个式子可以表示为：____________． （3）应用运算规律： ①化简：____________． ②若（均为正整数），则____________． 【答案】（1） （2）（为正整数） （3）①；②22 【解析】 【分析】本题考查数字类规律探究，二次根式的乘法，找出数的变化规律是解题的关键． （1）观察特例可得结论； （2）观察特例与结果间及数字间关系得结论； （3）①先计算，再算二次根式的乘法得结论； ②根据（2）中总结的规律得到a、b间关系并求出a、b，最后算出结果． 【小问1详解】 解：． 故答案为：； 【小问2详解】 解: 当为正整数，按此规律第个式子可以表示为， 【小问3详解】 解: ① ； ②∵(a，b均为正整数)， ∴，， 解得，， ∴． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 在学习过“解直角三角形”一章的知识后，九年级某班的同学们为了巩固学习成果，就地取材，利用所学的数学知识解决身边问题．如图1所示是教室内一只酒精消毒用的喷雾瓶的实物图，其示意图如图2所示，．求按压柄下端到导管的距离．（结果保留一位小数，参考数据：，） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．过点作，垂足为，过点作，交的延长线于点，过点作，交的延长线于点，则四边形是矩形．根据题先利用平角定义求出，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再利用平角定义求出，最后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】解：过点作，垂足为，过点作，交的延长线于点，过点作，交的延长线于点，则四边形是矩形． 由题意得，． 在Rt中，， ∴． ∵， ∴． 在Rt中，， ∴． ∴． 答：按压柄下端到导管的距离约为． 20. 如图，是的直径，于点，连接交于点． （1）求证：． （2）若，求的长． 【答案】（1）证明见详解 （2）16 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理、直角三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理．注意数形结合思想与方程思想的应用． （1）要证明，可以证明；是的直径，则，又知，则，则，，则； （2）连接，交于点，先求出圆的半径，再利用勾股定理列方程求出的长，进而求得的长和的长． 【小问1详解】 证明：是的直径， ， ． ， ， ， ． 又， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：连接，交于点， ， ，， ，，， ， 的半径为10， 设，则， 由勾股定理，得， 即， 解得， ， ． 六、（本题满分12分） 21. 某校开展综合实践知识竞赛活动，从八、九年级参加竞赛的同学中各随机抽取了20名同学，将他们的竞赛成绩由高到低分为5个等级，并绘制成不完整的频数分布表和扇形统计图，部分信息如下： 八年级同学成绩频数分布表 成绩等级 人数 5 4 1 已知在两个年级被抽取的同学的成绩中，等级的人数相等，请根据以上信息，完成下列问题： （1）____________，____________； （2）在九年级被抽取同学的成绩中，等级所对应的扇形的圆心角的度数是____________；九年级被抽取同学的成绩的中位数落在____________等级； （3）如果八、九年级参加竞赛的同学分别有200人、185人，请估计九年级竞赛成绩达到良好的人数比八年级多多少人．（等级及以上为良好） 【答案】（1）6，4 （2）， （3）估计九年级竞赛成绩达到良好的人数比八年级多1人 【解析】 【分析】本题考查的是扇形统计图，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． （1）九年级人数乘以等级对应百分比可得的值，再根据五个等级人数之和等于总人数可求得的值； （2）用乘以等级人数所占百分比可得其圆心角度数，再根据中位数的定义可得答案； （3）分别用各年级人数乘以样本中良好等级人数所占比例，再相减即可得出答案． 【小问1详解】 由题意知，（人， 则； 故答案为：6，4； 【小问2详解】 等级所对应的扇形的圆心角的度数是， 九年级、等级人数所占比例和为， 九年级被抽取同学的成绩的中位数落在等级， 故答案为：，； 【小问3详解】 （人， 答：估计九年级竞赛成绩达到良好的人数比八年级多1人． 七、（本题满分12分） 22. 在菱形中，是对角线上一点，连接． （1）如图1，延长交与点，，求证：； （2）如图2，，点在边上，连接，与交于点，． ①求证：； ②如图3，作，垂足为点，连接，若，，求的值． 【答案】（1）详见解析 （2）①详见解析；② 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的性质与判定，勾股定理，相似三角形的性质与判定，角平分线的性质，全等三角形的性质与判定等待，熟知菱形的性质，全等三角形的性质与判定定理是解题的关键。 （1）证明，得到，设，则，由平行线的性质得到，则由三角形外角的性质可得，则； （2）①证明是等边三角形，得到，证明，得到，，再证明∽．可得，进而得到；②将绕点顺时针旋转交的延长线于，连接，证明是等边三角形，得到,证明，得到，可求出，进而得到，则由勾股定理得：．证明，得到，则. 【小问1详解】 证明：∵四边形为菱形， ∴，， 在与中， ， ∴， ∴， ∵ ∴可设，则， ∵， ∴， 又∵． ∴ ∴， ∴； 【小问2详解】 解：①∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴∽． ∴， ∴ ∵， ∴； ②将绕点顺时针旋转交的延长线于，连接， ∵四边形是菱形， ∴， 由旋转的性质可得， 又∵， ∴是等边三角形， ∴, 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ 在中，由勾股定理得：． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴. 八、（本题满分14分） 23. 已知抛物线与抛物线相交于点． （1）求出p的值； （2）设点在抛物线上，点在抛物线上． ①当时，求n的取值范围； ②当M，A，N三点共线时，求m的值． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】题目主要考查二次函数的性质，待定系数法确定函数解析式，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． （1）根据待定系数法代入即可得出结果； （2）由（1）得，将点M代入得，且；①根据题意得出，然后代入函数解析式确定，再由二次函数的性质即可得出n的取值范围；②根据题意得出，再利用一次函数的待定系数法及三点共线得出方程求解即可． 【小问1详解】 解：将点代入， 得， 解得：； 【小问2详解】 由（1）得， ∵点在抛物线上， ∴， ∴； ①∵，， ∴， ∵点在抛物线上， ∴， 整理得：， 当时，或， 当时，， 当时，， ∵， ∴； ②∵， ∴， ∵，， ∴设直线的函数解析式为：， 代入得：，解得， ∵， ∴； 设直线的函数解析式为：， 代入得：，解得， 即， ∵M，A，N三点共线， ∴， 解得：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $