第二章《2.5.1直线与圆的位置关系》第2课时教学设计-2026-2027学年高二数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学教学设计聚焦坐标法解决实际问题的步骤，通过回顾直线与圆位置关系，结合圆拱桥、轮船航线等生活实例引出问题，衔接旧知，搭建“实际问题-几何模型-代数运算-实际结论”的学习支架。 以核心素养为导向，例3圆拱桥建模培养数学抽象，例4触礁判断一题多解（代数法、几何法等）发展逻辑推理与数学运算，问题链引导学生自主构建解题流程，分层作业适配学情，助力教师高效教学，提升学生解决实际问题能力。

《2.5.1直线与圆的位置关系》第2课时教学设计 一、课题：《2.5.1直线与圆的位置关系》第2课时 二、第2学时 三、教学内容分析 1、内容 坐标法解决实际问题的步骤. 2、内容解析 本节课选自人教版高中数学选择性必修第一册第二章《直线和圆的方程》第五节第 2 课时，是坐标法从理论应用走向实际落地的关键实践课.此前学生已掌握直线与圆的方程、位置关系判定等知识，本节课则学习如何用坐标法解决真实场景问题，构建“实际问题→数学模型→代数运算→实际结论”的完整解题链条，是解析几何中数形结合思想的体现. 本节课是对直线与圆方程、位置关系等知识的综合运用，同时为后续椭圆、双曲线等圆锥曲线的实际应用奠定方法论基础.在数学思想层面，本节课集中体现多维思想的融合：如数学抽象思想体现在将实际场景中的桥拱、暗礁区、轮船航线等具象事物，转化为圆弧、圆、直线、等几何模型；数形结合思想体现在通过建立坐标系，实现几何元素→坐标、方程的转化，再通过代数运算反推几何结论，最终回归实际问题；优化思想体现在建系时需结合几何对称性选择原点与坐标轴，减少参数数量，降低运算复杂度，培养学生用最少计算解决问题的思维；转化与化归思想体现在求支柱高度转化为求交点纵坐标，轮船触礁判断转化为直线与圆位置关系判定，把复杂实际问题拆解为可解决的数学问题. 四、学情分析 1.学生基本情况 学生已掌握圆的标准方程与一般方程、直线方程、圆心到直线的距离公式、直线与圆位置关系的两种判定方法（几何法、代数法），具备勾股定理、韦达定理等运算工具，能独立完成单一的代数运算或几何分析；通过直线与圆位置关系的学习，学生初步接触用代数方法解决几何问题，且在生活中对桥拱、航线等实际场景有直观认知，能识别简单的几何模型；学生已形成特殊→一般、几何→代数的解析几何思维雏形，但尚未将其系统化应用于实际问题. 2.学生可能遇到的困难 困难1：建模困难，无法从复杂实际场景中剥离关键信息，如将圆拱形桥抽象为圆弧时，难以明确跨度、拱高对应的几何量，导致数学模型建立受阻. 困难2：建系困惑，缺乏优化建系意识，随意选择原点与坐标轴，导致后续圆的方程参数增多、运算量激增.​​ 困难3：方法选择模糊，解决直线与圆位置关系相关实际问题时，无法根据已知条件选择最优方法，导致运算效率低下. 3.应对策略 为解决以上困难，将采用以下策略突破难点： 针对困难1：提供实际场景→几何元素的拆解模板，如圆拱桥问题中，先标注场景中的关键量（跨度、拱高、支柱间距），再对应给出几何定义（弦长、弦心距、垂线段），通过量→形对照，降低抽象难度. 针对困难2：设计小组讨论活动，展示三种建系方案，并分别计算每种方案下圆的方程，对比运算量与方程复杂度，让学生自主总结建系原则. 针对困难3：布置一题多解任务，如同一实际问题分别用几何法和代数法求解，并结合触礁问题的三种解法（代数法、几何法、等面积法）对比运算量，让学生明确不同方法的适用场景. 演示圆拱桥建模过程：从实物图片逐步抽象出圆弧、弦、支柱的几何图形，标注跨度、拱高的对应线段，帮助学生理解实际场景→几何模型的转化.展示多方案建系效果：同一圆拱桥分别按三种建系方案生成坐标系与圆的方程，同步显示圆心坐标、半径计算过程，直观对比运算复杂度，辅助学生理解建系原则；判断触礁时，动态显示轮船航线（直线）与暗礁圆的位置关系，验证距离与半径的大小关系，解决数与形脱节问题. 五、教学目标 1、能从实际问题中抽象出圆弧、弦、直线等几何元素，建立数学模型，培养数学抽象核心素养；​ 2、会根据几何图形的对称性、已知条件优化建立平面直角坐标系，用坐标和方程表示几何元素，提升逻辑推理核心素养；​ 3、能通过代数运算解决数学问题，并将结果转化为实际结论，强化数学运算核心素养；​ 4、体会坐标法解决实际问题的普适性与便捷性，掌握 “实际→几何→代数→实际” 的思维路径，形成系统的解题方法，培养数学建模核心素养. 六、教学重点、难点 教学重点：用坐标法解决与直线与圆位置关系有关的实际问题. 教学难点：选择适当的平面直角坐标系，将几何元素用坐标或方程表示；利用直线与圆的方程解决实际问题. 七、评价设计 1.过程性评价： （1）通过回顾旧知，梳理知识脉络，衔接上节课知识，给出生活实例引出问题，引入典例3，评估学生能否从新情境中准确识别并抽象出关键的几何图形，优化建系意识，观察学生在归纳过程中的思考路径，评价其分析和解决问题的能力，以及归纳总结的能力,注意学生是否展现出数学抽象的思想，能否将具体实例转化为一般性的数学概念. （2）设计一系列相关的问题，让学生运用所学知识进行解决.引入例4，评估学生在解决问题过程中是否能够灵活运用知识，解题思路和方法是否合理,评价学生在问题解决过程中是否体现了数学抽象的核心素养，在问题解决过程中是否体现的数形结合思想和转化与划归能力. 2.结果性评价： 设计涵盖本节课重点难点的跟踪练习题，让学生在课堂上或课后完成,评估学生练习题的正确率和完成度，了解他们对本节课内容的掌握程度,分析学生在练习中的错误类型和原因，以便进行有针对性的辅导和讲解. 八、教学过程活动设计 环节名称 教师活动 学生活动 设计意图 时间 一、 创 设 情 境 , 引 入 概 念 1、回顾：直线与圆的位置关系. 2、展示生活中直线与圆的位置关系的应用 3、提出问题：如何利用直线与圆的位置关系解决实际问题？ 学生回顾本章学习内容，复习直线与圆的位置关系的判断方法.通过生活实例思考：如何利用直线与圆的位置关系解决实际问题. 通过回顾旧知，梳理知识脉络，衔接上节课知识，为后续应用奠定基础；以生活实例激发学生兴趣，明确本节课实际应用的核心目标. 2 二、 抽 象 概 念 ， 典 例 解 析 例3如图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图．圆拱跨度，拱高，建造时每间隔需要一根支柱支撑，求支柱的高度（精确到）． 问题1：问题中的数学对象有哪些？能抽象成什么几何图形？ 预设： 圆拱形桥→圆弧（圆的一部分）； 跨度→弦（圆上两点间的线段）； 拱高→弦的中点到弧中点的距离； 支柱→垂直于的线段，求其长度即求到的距离. 追问1：如何求到的距离？ 预设：利用两点间距离公式，因此要建立平面直角坐标系. 问题2：如何在该图形中建立直角坐标系？并求出圆弧所在圆的方程. 预设： 追问2：为什么不以圆心为原点建系？ 追问:3：选择哪种建系方式更好？依据是什么？ 预设：第三种.建立直角坐标系的目的是为了用代数解决几何问题，其关键的步骤是计算，因此坐标系的建立要充分利用几何图形的性质，尽量减少参数，从而使得所列方程、表达式尽量简洁，避免繁复的代数运算.圆的方程是个二元二次方程，圆心的坐标越简单，方程结构越简单.同时考虑到圆的对称性和已知条件中的几何要素，可以考虑弦的中点作为坐标原点. 问题3：如图建立平面直角坐标系，“求支柱的高度”可转化为什么问题？ 预设：求支柱的高度→求到的距离→求的纵坐标→求所在直线与圆弧所在圆的交点纵坐标. 问题4：如果不建立坐标系，还有其他方法解决这一问题么? 追问4：圆的基本量是什么，如何在图中体现，利用基本量能建立什么数学关系? 预设：圆的基本量是圆心和半径，在本例中首先得到圆心位置. 和圆的半径，如图过点作垂足为，在中，建立等量关系解得，然后通过解三角形得到. 问题5：根据以上两种方法的解题过程，你能比较坐标法和综合法的特点吗？ 预设：坐标法思考难度小、计算量小，更具普适性；综合法中添加了辅助线，有一定的技巧，而且求解过程中利用了垂径定理，并多次使用勾股定理进行计算，过程较复杂. 问题6：你能总结用坐标法解决实际问题的基本步骤吗？ 预设： 第一步：抽象—将实际问题转化为几何模型； 第二步：建系—建立适当平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素：点、线、圆等等，把平面几何问题转化为代数问题； 第三步：运算—通过代数运算，解决代数问题； 第四步：转化—把代数运算的结果翻译成几何结论； 第五步：翻译—把几何结论翻译成实际结果. 学生观察例题示意图，识别并回答图中的主要数学对象，并抽象为圆的一部分. 学生小组讨论，合作探究,讨论不同建系方案. 学生进行讨论然后发表讨论结果. 基于以上分析，学生思考如何求圆的方程，并自主完成例3. 学生思考,回答问题. 学生回顾使用两种方法解决拱桥问题的完整过程，体会两种方法的异同. 学生思考并尝试用自己语言总结出用坐标法解决实际问题的一般步骤. 引导学生从圆拱桥实际场景中提炼圆弧、弦等几何元素，培养数学抽象思想，将具体问题转化为几何模型，为后续坐标法应用奠定几何基础，突破实际问题建模难点. 小组合作探究，讨论不同建系方案，对比分析优劣，渗透优化思想，引导学生掌握建系原则，减少计算量，突破最优建系难点，提升逻辑分析能力. 通过设圆心、半径，代入已知点列方程组求解，巩固圆的标准方程知识.将求支柱长度转化为求点的纵坐标，渗透数形结合思想，把几何问题转化为代数运算，落实坐标法核心应用，让学生体会代数化解决几何问题的便捷性，强化教学重点. 通过例题的教学，形成研究问题的基本方法，从需要解决的问题出发，如果是实际问题需要首先将其抽象成数学问题，再进入坐标法解决几何问题的“三步曲”,最后要将得到的几何结论回归到实际中.通过系列问题，不断巩固该方法，培养学生对学习内容反思、归纳的习惯，帮助学生在更大范围内把所学知识系统化、结构化，并掌握相应的学习方法. 10 10 5 三、 概 念 应 用 ， 巩 固 内 化 例4：一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为的圆形区域内．已知小岛中心位于轮船正西处，港口位于小岛中心正北处．如果轮船沿直线返港，那么它是否会有触礁危险？ 分析：画出示意图，了解小岛中心、轮船、港口的方位和距离．如右图，根据题意，建立适当的平面直角坐标系，求出暗礁所在区域的边缘圆的方程，以及轮船返港直线的方程，利用方程判断直线与圆的位置关系，进而确定轮船是否有触礁危险． 教师巡视指导,展示学生三种不同解法. 解法1：联立直线与圆的方程，由，可知方程组无解.所以直线与圆相离，轮船沿直线返航不会有触礁危险. 解法2：比较圆心到直线的距离与半径的大小，因为，所以直线与圆相离，轮船沿直线返航不会有触礁危险. 解法3：利用三角形等面积法，即 所以直线与圆相离，轮船沿直线返航不会有触礁危险. 追问5：你能比较三个方法各自的特点吗？ 预设：联立方程组的纯代数解法更一般化，对于两个几何图形是否有交点以及交点位置的问题，都可以用它解决. 圆心到直线距离与之间的大小比较，运算量小，因为运用了几何图形的性质进行的代数“翻译”，因此解法2在坐标系中的研究，将解法1进行优化；解法3是纯几何法，利用直角三角形斜边高线，运算量最小. 学生按 “抽象→建系→计算→转化→翻译” 的步骤自主解题. 学生比较三个方法的特点并回答问题. 让学生独立按步骤解题，巩固坐标法，提高数学抽象能力. 通过三种判定方法对比，渗透 “一题多解” 思想，深化对直线与圆位置关系的理解，提升知识应用能力. 8 四、 总 结 测 评 ， 作 业 布 置 1.课堂小结 2.目标检测 小明家附近有一座圆拱桥，当水面跨度是40米时，拱顶离水面5米．当水面上涨4米后，桥在水面的跨度为 米． 3.作业布置 1.复习巩固：完成教材P95练习1、2、3. 2.能力提升：完成教材p98习题2.5第6、11题. 3.拓广探索：思考：你能用向量法解决例4吗？ 学生回顾本节课程的学习内容，尝试用思维导图梳理本节课的核心内容. 学生完成课堂小练，检测目标达成情况. 学生课后完成作业. 通过“知识+方法+思想”三维度总结，帮助学生构建完整的认知框架. 通过练习测评学生的目标达成情况，实现教学评的一致性. 设计三种层次的作业，适配不同学情，落实因材施教，培育学生数学核心素养，促进与后续内容衔接，完善知识体系. 5 9、 板书设计 10、 作业设计 1.复习巩固：完成教材P95练习1、2、3. 2.能力提升：完成教材p98习题2.5第6、11题. 3.拓广探索：思考：你能用向量法解决例4吗？ 11、 教学反思和改进 本节课通过四个环节来开展课堂的教学,各个环节环环相扣,使得融为一体,整个课堂较为连贯.注重学生的参与,思维,感悟,展示.充分体现出课堂中以学生为主体,教师为主导的地位与作用. 以坐标法（建模→建系→运算→转化→翻译）作为教学主线，贯穿整堂课.学生能够清晰地把握解决一类问题的通用方法和思维路径，教学目标达成度较高.精选“圆拱桥”和“轮船触礁”两个经典案例，前者侧重完整流程的训练，后者侧重方法优化的选择.通过对比三种解法（代数法、几何法、综合法），有效帮助学生体会到不同解法的优劣和适用情境，深化了对数形结合思想的理解.精准定位课时目标，以问题链为教学导向,步步启发，环环相扣，让学生通过师生互动，生生互动的方式掌握新知，深化概念，从而提升学生数学抽象的核心素养. 分层作业与多元测评虽能适配不同学情，但后续需进一步关注学生答题过程中的运算细节和书写规范. 未来教学中，我会继续优化问题设计的梯度，平衡技术辅助与思维训练的关系，时刻关注学生的发展，让课堂真正成为学生素养发展的舞台. 第 1 页 共 2 页 学科网（北京）股份有限公司 $