2.4.1 圆的标准方程课件-2026-2027学年高二数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦圆的标准方程，通过“饭店圆桌”等生活实例导入，课前自学梳理圆心半径、点与圆位置关系及特殊位置方程等要点，搭建从平面几何到解析几何的学习支架。 其亮点在于结合数学抽象与数学运算素养，通过“入木三分”环节引导学生用数学眼光观察生活，例题对比几何法与待定系数法培养数学思维，助力学生提升知识应用能力，为教师提供结构化教学资源。

课前自学 内容导航 课时学案 课后巩固 Content Navigation 01 02 03 2.4　圆的方程 2.4.1　圆的标准方程 素养目标 1.会用定义推导圆的标准方程，并掌握圆的标准方程的特征．(数学抽象)2.能根据所给条件求圆的标准方程．(数学运算)3.能准确判断点与圆的位置关系．(数学运算) 课前自学 4 要点1　圆的标准方程 (1)确定圆的基本要素是________________________． (2)圆心为C(a，b)，半径是r(r>0)的圆的标准方程：________________________． 圆心和半径 (x－a)2＋(y－b)2＝r2 第页 位置关系 利用距离判断 利用方程判断 点在圆外 d_______r (x0－a)2＋(y0－b)2_______r2 点在圆上 d_______r (x0－a)2＋(y0－b)2_______r2 点在圆内 d_______r (x0－a)2＋(y0－b)2_______r2 > > ＝ ＝ < < 第页 要点3　几种特殊位置的圆的标准方程 条件 方程形式 圆心在原点 x2＋y2＝r2 圆心在x轴上 (x－a)2＋y2＝r2 圆心在y轴上 x2＋(y－b)2＝r2 圆心在x轴上且过原点 (x－a)2＋y2＝a2 圆心在y轴上且过原点 x2＋(y－b)2＝b2 与x轴相切，圆心(a，b) (x－a)2＋(y－b)2＝b2 与y轴相切，圆心(a，b) (x－a)2＋(y－b)2＝a2 第页 圆的常用几何性质： (1)圆的弦的垂直平分线过圆心． (2)两条弦的垂直平分线的交点为圆心． (3)圆心与切点的连线垂直于切线． (4)圆心到切点的距离等于圆的半径． (5)圆的半径、弦的一半、弦心距构成直角三角形． 第页 1．同学们，你们知道在饭店吃饭和在会议室开会为什么通常要用圆桌吗？ 答：因为圆上的点到圆心的距离都相等． 2．方程(x＋a)2＋(y＋b)2＝m2一定是圆的方程吗？若方程表示圆，m满足什么条件？此时圆的圆心和半径分别是什么？ 答：当m＝0时，方程(x＋a)2＋(y＋b)2＝m2表示点(－a，－b)． 当m≠0时，方程表示圆，此时圆的圆心为(－a，－b)，半径为|m|. 第页 3．圆x2＋y2＝r2(r>0)有何对称性？ 答：圆x2＋y2＝r2上任意一点P(x，y)分别关于x轴、y轴和原点的对称点P1(x，－y)，P2(－x，y)，P3(－x，－y)的坐标都满足圆x2＋y2＝r2的方程，这说明圆x2＋y2＝r2既是关于x轴和y轴对称的轴对称图形，也是关于原点对称的中心对称图形． 返 回 课时学案 11 例 1　(1)求经过点P(5，1)，圆心在点C(8，－3)处的圆的标准方程； 题型一　 圆的标准方程 第页 12 (2)求过点A(2，－3)，B(－2，－5)且圆心在直线l：x－2y－3＝0上的圆的标准方程． 第页 第页 探究1 求圆的标准方程的方法 确定圆的标准方程只需确定圆心(a，b)和半径r，其求解方法有： (1)几何法：常用到中点坐标公式，两点间距离公式，有时还用到平面几何知识，如“弦的中垂线必过圆心”“两条弦的中垂线交点必为圆心”等； (2)待定系数法：由三个独立的条件建立关于a，b，r的方程组，进而求得圆的标准方程，它是求圆的标准方程的常用方法． 第页 思考题1　求满足下列条件的圆的标准方程： (1)圆心在y轴上，半径为5，且过点(3，－4)； 【解析】　(1)设圆心为C(0，b)， 则(3－0)2＋(－4－b)2＝52， ∴b＝0或b＝－8， ∴圆心为(0，0)或(0，－8)， 又r＝5，∴圆的标准方程为x2＋y2＝25或x2＋(y＋8)2＝25. 第页 (2)圆心在x轴上，且过点A(5，2)和B(3，－2)． 第页 第页 例 2 题型二　 点与圆的位置关系 －2或－6 a<－6或a>－2 第页 19 探究2 判断点与圆的位置关系的两种方法 (1)几何法：利用点到圆心的距离与半径比较大小并作出判断． (2)代数法：把点的坐标代入圆的标准方程，判断式子两边的大小，并作出判断． 第页 思考题2　【多选题】下列各点中，不在圆(x－1)2＋(y＋2)2＝25的外部的是(　　) A．(0，2)　　　　　　　 B．(3，3) C．(－2，2) D．(4，1) √ √ √ 【解析】　对于A，(0－1)2＋(2＋2)2<25，点(0，2)在圆内； 对于B，(3－1)2＋(3＋2)2>25，点(3，3)在圆外； 对于C，(－2－1)2＋(2＋2)2＝25，点(－2，2)在圆上； 对于D，(4－1)2＋(1＋2)2<25，点(4，1)在圆内． 故选ACD. 第页 例 3　(1)圆(x＋2)2＋(y－12)2＝4关于直线x－y＝0对称的圆的方程为(　　) A．(x－12)2＋(y＋2)2＝4 B．(x＋2)2＋(y＋12)2＝4 C．(x＋12)2＋(y－2)2＝4 D．(x－2)2＋(y－12)2＝4 √ 题型三　 圆的对称性 【解析】　(1)由圆(x＋2)2＋(y－12)2＝4可得圆心坐标为(－2，12)，半径为2.由题意可得关于直线x－y＝0对称的圆的圆心为(12，－2)，半径为2，故所求圆的方程为(x－12)2＋(y＋2)2＝4.故选A. 第页 22 【解析】　(2)∵圆上的点A(2，1)关于直线x＋y＝0的对称点仍在这个圆上， ∴圆心在直线x＋y＝0上，因此设圆心坐标为(a，－a)，则由(2－a)2＋(1＋a)2＝5，解得a＝0或a＝1.∴所求圆的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝5或x2＋y2＝5.故选AD. √ √ 第页 探究3 圆的对称问题的求解策略 (1)由于圆既是中心对称图形，也是轴对称图形，因此圆一定关于过圆的圆心的直线对称． (2)圆关于直线的对称圆问题主要有两个特征：两圆的圆心关于直线对称，两圆的半径相等． 第页 思考题3　(1)已知圆(x－7)2＋(y＋4)2＝9与圆(x＋5)2＋(y－6)2＝9关于直线l对称，则直线l的方程是(　　) A．5x＋6y－11＝0 B．6x－5y－1＝0 C．6x＋5y－11＝0 D．5x－6y＋1＝0 √ 第页 (2)若曲线(x－1)2＋(y－2)2＝4上相异两点P，Q关于直线kx－y－2＝0对称，则k的值为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 √ 【解析】　(2)若曲线(x－1)2＋(y－2)2＝4上相异两点P，Q关于直线kx－y－2＝0对称，则圆心(1，2)在直线kx－y－2＝0上，代入解得k＝4. 返 回 课后巩固 27 √ 第页 2．点P(m2，5)与圆x2＋y2＝24的位置关系是(　　) A．在圆内 B．在圆外 C．在圆上 D．不确定 √ 解析　∵m4＋25>24，∴点P在圆外． 第页 3．圆心为(1，1)，且过原点的圆的标准方程是(　　) A．(x－1)2＋(y－1)2＝1 B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1 C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2 D．(x－1)2＋(y－1)2＝2 √ 第页 √ 第页 5．已知一圆的圆心为点O(2，－3)，一条直径的两个端点分别在x轴和y轴上，则此圆的方程为________________________． (x－2)2＋(y＋3)2＝13 返 回 请做：课时作业（二十四） 教师备用资料 要点2　点与圆的位置关系 圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，其圆心为C(a，b)，半径为r，点P(x0，y0)， 设d＝|PC|＝eq \r(（x0－a）2＋（y0－b）2). 【解析】　(1)方法一：圆的半径r＝eq \r(（5－8）2＋（1＋3）2)＝5， 又∵圆心在点C(8，－3)处， ∴圆的标准方程为(x－8)2＋(y＋3)2＝25. 方法二：∵圆心在C(8，－3)处，故设圆的标准方程为(x－8)2＋(y＋3)2＝r2. 又∵点P(5，1)在圆上，∴(5－8)2＋(1＋3)2＝r2. ∴r2＝25. ∴所求圆的标准方程为(x－8)2＋(y＋3)2＝25. 【解析】　(2)方法一(几何法)：连接AB，由已知得圆心必在AB的垂直平分线上，由A(2，－3)，B(－2，－5)，得AB的中点为(0，－4)，kAB＝eq \f(1,2). ∴AB的垂直平分线的方程为y＋4＝－2x，即2x＋y＋4＝0. 解方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋y＋4＝0，,x－2y－3＝0，))得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝－2.)) ∴圆心为(－1，－2)， 半径为r＝eq \r(（2＋1）2＋（－3＋2）2)＝eq \r(10). 故所求圆的标准方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10. 方法二(待定系数法)：设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2， ∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（2－a）2＋（－3－b）2＝r2，,（－2－a）2＋（－5－b）2＝r2，,a－2b－3＝0，)) 即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2－4a＋b2＋6b＋13＝r2①，,a2＋4a＋b2＋10b＋29＝r2②，,a＝3＋2b③，)) ②－①，得2a＋b＋4＝0④. 由③④，得a＝－1，b＝－2，代入①得r2＝10. ∴所求圆的标准方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10. 【解析】　(2)方法一(待定系数法)：设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)． 则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b＝0，,（5－a）2＋（2－b）2＝r2，,（3－a）2＋（－2－b）2＝r2，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝4，,b＝0，,r＝\r(5).)) 所以所求圆的标准方程为(x－4)2＋y2＝5. 方法二(几何法)：连接AB，因为圆过A(5，2)，B(3，－2)两点， 所以圆心一定在线段AB的中垂线上． 易知AB中垂线的方程为y＝－eq \f(1,2)(x－4)， 令y＝0，得x＝4.即圆心坐标为C(4，0)，连接CA，所以圆的半径r＝|CA|＝eq \r(（5－4）2＋（2－0）2)＝eq \r(5). 所以所求圆的标准方程为(x－4)2＋y2＝5. 【解析】　当点P在圆C上时，由eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋\f(a,2))) eq \s\up18(2)＋(1－1)2＝1，解得a＝－2或a＝－6. 当点P在圆C外时，由eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋\f(a,2))) eq \s\up18(2)＋(1－1)2>1，解得a<－6或a>－2. 　已知点P(2，1)和圆C：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(a,2))) eq \s\up18(2)＋(y－1)2＝1，若点P在圆C上，则实数a＝____________；若点P在圆C外，则实数a的取值范围为________________． (2)【多选题】圆上的点(2，1)关于直线x＋y＝0的对称点仍在圆上，且圆的半径为eq \r(5)，则圆的方程可能是(　　) A．x2＋y2＝5 B．(x－1)2＋y2＝5 C．x2＋(y＋1)2＝5 D．(x－1)2＋(y＋1)2＝5 【解析】　(1)根据题意设两圆的圆心分别为M(7，－4)，N(－5，6)．连接MN，若圆(x－7)2＋(y＋4)2＝9与圆(x＋5)2＋(y－6)2＝9关于直线l对称，则直线l为MN的垂直平分线，又kMN＝eq \f(6－（－4）,－5－7)＝－eq \f(5,6)，则kl＝eq \f(6,5)，又MN的中点坐标为(1，1)，则直线l的方程为y－1＝eq \f(6,5)(x－1)，即6x－5y－1＝0.故选B. 解析　(x＋2)2＋(y＋2)2＝2是圆的标准方程，即圆心坐标为(－2，－2)，半径为eq \r(2). 1．圆(x＋2)2＋(y＋2)2＝2的圆心坐标和半径分别为(　　) A．(2，2)，eq \r(2)　　　　　　 B．(－2，－2)，eq \r(2) C．(2，2)，2 D．(－2，－2)，2 解析　由圆过原点知r＝eq \r(（1－0）2＋（1－0）2)＝eq \r(2)，故所求圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2，选D. 解析　A点坐标为(－2，1)，B点坐标为(3，4)，则|AB|＝eq \r(（－2－3）2＋（1－4）2)＝eq \r(34)，以线段AB为直径的圆的半径是eq \f(1,2)|AB|＝eq \f(\r(34),2). 4．已知A点坐标为(－2，1)，B点坐标为(3，4)，以线段AB为直径的圆的半径是(　　) A．4 B.eq \r(34) C.eq \f(\r(34),2) D．2 解析　设两端点为A(x，0)，B(0，y)， 由题意得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)＝2，,\f(y,2)＝－3，))∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝4，,y＝－6.)) ∴r＝eq \f(1,2)|AB|＝eq \f(1,2) eq \r(42＋62)＝eq \r(13). ∴圆的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝13. $