2.3.2　两点间的距离公式2026-2027学年高二数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件围绕“两点间的距离公式”展开，涵盖公式推导、特殊情况及应用。课前通过“书读百遍”“入木三分”引导学生自主探索公式本质，课时学案结合三角形中线计算、等腰直角三角形证明等例题，构建从公式到几何应用的学习支架，衔接解析几何初步知识。 其亮点在于以数学抽象（公式推导与特殊情况归纳）和逻辑推理（坐标法证明几何问题）为核心，通过坐标法证明等腰三角形、对称点求解等实例，结合“探究”“思考题”驱动思维。采用问题链设计和分层练习，助力学生提升数学建模能力，教师可直接用于分层教学，提高课堂效率。

课前自学 内容导航 课时学案 课后巩固 自助餐 Content Navigation 01 02 03 04 2.3.2　两点间的距离公式 素养目标 1.探索并掌握平面上两点间的距离公式．(数学抽象)2.会用坐标法证明简单的平面几何问题．(逻辑推理) 课前自学 4 要点　两点间的距离 (1)平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝____________________________． (2)两点间距离的特殊情况： ①原点O(0，0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝______________. ②当P1P2⊥y轴(y1＝y2)时，|P1P2|＝______________． ③当P1P2⊥x轴(x1＝x2)时，|P1P2|＝______________． |x2－x1| |y2－y1| 第页 第页 返 回 课时学案 8 例 1　已知△ABC的三个顶点分别为A(－3，1)，B(3，－3)，C(1，7)． (1)求BC边上的中线AM的长； 题型一　 两点间的距离公式的应用 第页 9 (2)证明：△ABC为等腰直角三角形． 第页 探究1 第页 思考题1　(1)已知A(a，2)，B(－2，－3)，C(1，6)三点，且|AB|＝|AC|，则实数a的值为(　　) A．－2　　　　　　　　 B．－1 C．1 D．2 √ 第页 (2)若等腰三角形ABC的顶点是A(3，0)，底边BC的长为4，BC边的中点为D(5，4)，则等腰△ABC的腰长为________． 第页 例 2　在△ABC中，D是BC边上任意一点(D与B，C不重合)，且|AD|2＋|BD|·|DC|＝|AB|2，求证：△ABC为等腰三角形． 题型二　 坐标法 【思路分析】　由于已知图形中没有直角坐标系，因此在图形中建立平面直角坐标系，设出点的坐标，利用两点间的距离公式求出|AB|＝|AC|后得证． 第页 14 【证明】　如图，作AO⊥BC，垂足为O，以BC所在直 线为x轴，OA所在直线为y轴，建立平面直角坐标系xOy. 设A(0，a)，B(b，0)，C(c，0)，D(d，0)．易知b<d<c. 因为|AD|2＋|BD|·|DC|＝|AB|2， 所以由两点间距离公式，可得d2＋a2＋(d－b)(c－d)＝b2＋a2，化简得(c＋b)(d－b)＝0. 又d－b≠0，所以c＋b＝0，即－b＝c， 所以|OB|＝|OC|，所以|AB|＝|AC|， 即△ABC为等腰三角形． 第页 探究2 坐标法解决几何问题的关键 用坐标法解决几何问题时，关键要结合图形的特征，建立平面直角坐标系．坐标系建立的是否合适，会直接影响问题能否方便解决．建系的原则主要有两点： (1)让尽可能多的点落在坐标轴上，这样便于运算． (2)如果条件中有互相垂直的两条线，要考虑将它们作为坐标轴；如果图形为中心对称图形，可考虑将对称中心作为原点；如果图形为轴对称图形，可考虑将对称轴作为坐标轴． 第页 思考题2　已知等腰梯形ABCD中，AB∥DC，对角线为AC和BD.求证：|AC|＝|BD|. 第页 例 3　求点A(－2，3)关于直线3x－y－1＝0对称的点A′的坐标． 题型三　 点—线—点的对称问题 【思路分析】　设A(－2，3)关于直线的对称点为A′(x0，y0)，根据对称性的特征建立方程组求解． 第页 18 探究3 第页 (2)几种特殊情况的对称点的求法： ①A(a，b)关于x轴的对称点为A′(a，－b)． ②B(a，b)关于y轴的对称点为B′(－a，b)． ③C(a，b)关于直线y＝x的对称点为C′(b，a)． ④D(a，b)关于直线y＝－x的对称点为D′(－b，－a)． ⑤P(a，b)关于直线x＝m的对称点为P′(2m－a，b)． ⑥Q(a，b)关于直线y＝n的对称点为Q′(a，2n－b)． ⑦E(a，b)关于直线x＋y＋m＝0的对称点是E′(－m－b，－m－a)． ⑧F(a，b)关于直线x－y＋m＝0的对称点是F′(b－m，a＋m)． 第页 返 回 课后巩固 22 1．已知A(2，1)，B(－1，b)，|AB|＝5，则b等于(　　) A．－3　　　　　　　　　 B．5 C．－3或5 D．－1或－3 √ 第页 √ 第页 √ 第页 √ 第页 5．点A(－3，1)，C(1，y)关于点B(－1，－3)对称，则|AC|＝________． 返 回 自助餐 28 例 1　一束光线从原点O(0，0)出发，经过直线l：8x＋6y＝25反射后通过点P(－4，3)，求反射光线的方程及光线从O点到达P点所经过的路程． (一)光的反射问题 29 第页 探究1 根据平面几何知识和光学知识，入射光线所在直线、反射光线所在直线上对应的点是关于过入射点与法线垂直的直线对称的．利用点的对称关系可以求解． 第页 √ 第页 例 2　已知直线l：3x－y－1＝0及点A(4，1)，B(0，4)，C(2，0)． (1)试在l上求一点P，使|AP|＋|CP|最小； (二)利用对称性解决有关最值问题 第页 (2)试在l上求一点Q，使|AQ|－|BQ|最大． 第页 探究2 利用对称性求距离的最值问题 由平面几何知识(三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差的绝对值小于第三边)可知，要解决在直线l上求一点，使这点到两定点A，B的距 离之差的绝对值最大的问题，若点A，B位于直线l的同侧，则只需求出直线AB的方程，再求它与已知直线l的交点，即得所求的点的坐标；若A，B两点位于直线l的异侧，则先求A，B两点中的某一点关于直线l的对称点，如A关于直线l的对称点为A′，得直线A′B的方程，再求其与直线l的交点即可．对于在直线l上求一点P，使P到平面上两点A，B的距离之和最小的问题可用类似方法求解． 第页 【思路分析】　常规方法显然行不通，只有进行转化，根据结构联想距离公式． 第页 【讲评】　(1)构造法是中学数学解题过程中时常采用的一种方法．它需要同学们明确某些代数式的几何意义．如距离、斜率等．构造法用得好，则可以大大的优化计算． (2)构造法的基本思路是： 返 回 请做：课时作业（二十一） 教师备用资料 eq \r(（x2－x1）2＋（y2－y1）2) eq \r(x2＋y2) (1)此公式与两点的先后顺序无关． (2)已知斜率为k(k≠0)的直线上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，由两点间的距离公式可得|P1P2|＝eq \r(（x2－x1）2＋（y2－y1）2)＝eq \r(1＋k2)·|x2－x1|，或|P1P2|＝eq \r(1＋\f(1,k2))|y2－y1|. 两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式能否表示为|P1P2|＝eq \r(（x1－x2）2＋（y1－y2）2)？为什么？ 答：能，因为eq \r(（x2－x1）2＋（y2－y1）2)＝eq \r(（x1－x2）2＋（y1－y2）2). 【解析】　(1)由线段中点坐标公式，可知点M的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3＋1,2)，\f(－3＋7,2)))，即(2，2)， 则|AM|＝eq \r([2－（－3）]2＋（2－1）2)＝eq \r(26). 【解析】　(2)证明：|AB|＝eq \r([3－（－3）]2＋（－3－1）2)＝2eq \r(13)， |BC|＝eq \r(（1－3）2＋[7－（－3）]2)＝2eq \r(26)， |AC|＝eq \r([1－（－3）]2＋（7－1）2)＝2eq \r(13). 因为|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，且|AB|＝|AC|，所以△ABC为等腰直角三角形． 计算两点间距离的方法 (1)对于任意两点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)，|P1P2|＝eq \r(（x2－x1）2＋（y2－y1）2). (2)对于两点的横坐标或纵坐标相等的情况，可直接利用距离公式的特殊情况|y2－y1|或|x2－x1|求解． 【解析】　由两点间的距离公式及|AB|＝|AC|可得eq \r(（a＋2）2＋（2＋3）2)＝eq \r(（a－1）2＋（2－6）2)，解得a＝－2. 【解析】　连接AD，则AD⊥BC，|AD|＝eq \r(（5－3）2＋（4－0）2)＝2eq \r(5). 在Rt△ABD中，由勾股定理得|AB|＝eq \r(|AD|2＋|BD|2)＝eq \r(20＋4)＝2eq \r(6). 所以等腰△ABC的腰长为2eq \r(6). 2eq \r(6) 【证明】　建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0，0)，设B(a，0)，C(b，c)，则点D的坐标是(a－b，c)． 所以|AC|＝eq \r(（b－0）2＋（c－0）2)＝eq \r(b2＋c2)，|BD|＝eq \r(（a－b－a）2＋（c－0）2)＝eq \r(b2＋c2). 故|AC|＝|BD|. 【解析】　设A′(x0，y0)，易知x0≠－2， 由题意，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(y0－3,x0＋2)·3＝－1，,3·\f(x0－2,2)－\f(y0＋3,2)－1＝0，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x0＝4，,y0＝1.)) 所以点A关于直线3x－y－1＝0对称的点为A′(4，1)． (1)E(a，b)关于直线l：Ax＋By＋C＝0(AB≠0)的对称点E′的求法：设E′(x0，y0)，易知x0≠a，则有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(y0－b,x0－a)·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(A,B)))＝－1，,A·\f(x0＋a,2)＋B·\f(y0＋b,2)＋C＝0，)) 解此方程组，可得对称点E′的坐标． 1．两点间距离公式与两点的先后顺序无关，即公式可以写成|P1P2|＝eq \r(（x1－x2）2＋（y1－y2）2). 2．利用坐标法解平面几何问题常见的步骤： (1)建立直角坐标系，尽可能将有关元素放在坐标轴上； (2)用坐标表示有关的量； (3)将几何关系转化为坐标运算； (4)把代数运算结果“翻译”成几何关系． 解析　|AB|＝eq \r(（2＋1）2＋（1－b）2)＝5，∴b＝－3或5. 2．已知A(3，0)，B(0，3)，从点P(0，2)射出的光线经x轴反射到直线AB上，又经过直线AB反射回到P点，则光线所经过的路程为(　　) A．2eq \r(10) B．6 C．3eq \r(3) D.eq \r(26) 解析　两直线分别过定点A(0，－2)，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(2,5)))， ∴|AB|＝eq \r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)＋2))\s\up18(2))＝eq \f(13,5)，选C. 3．两直线3ax－y－2＝0和(2a－1)x＋5ay－1＝0分别过定点A，B，则|AB|等于(　　) A.eq \f(\r(89),5) B.eq \f(17,5) C.eq \f(13,5) D.eq \f(11,5) 4．已知A(－3，8)，B(2，2)，在x轴上有一点M，使|AM|＋|BM|的值最小，则点M的坐标是(　　) A．(－1，0) B．(1，0) C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(22,5)，0)) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(22,5))) 4eq \r(5) 解析　由已知得eq \f(y＋1,2)＝－3，∴y＝－7，即C(1，－7)， ∴|AC|＝eq \r([1－（－3）]2＋（－7－1）2)＝4eq \r(5). 【解析】　如图所示，设原点关于l的对称点A的坐标为(a，b)，易知a≠0，连接OA，PA， 由直线OA与l垂直和线段AO的中点在l上， 得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,3)))＝－1，,8×\f(a,2)＋6×\f(b,2)＝25，)) 解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝4，,b＝3，))∴A的坐标为(4，3)． ∵反射光线的反向延长线过A(4，3)， 又由反射光线过P(－4，3)，A，P两点纵坐标相等， 故反射光线所在直线的方程为y＝3. 联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝3，,8x＋6y＝25，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(7,8)，,y＝3，)) 由于反射光线为射线， 故反射光线的方程为y＝3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x≤\f(7,8))). 由光学性质可知，光线从O到P的路程即为AP的长度，由A(4，3)，P(－4，3) 知|AP|＝4－(－4)＝8， 即光线从O出发经直线l反射后到达P点所经过的路程为8. 思考题1　如图所示，已知点A(4，0)，B(0，4)，从点P(2，0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到点P，则光线所经过的路程是(　　) A．2eq \r(10)　　　　　　　　 B．6 C．3eq \r(3) D．2eq \r(5) 【解析】　(1)如图1，设C关于l的对称点为C′(a，b)，易知a≠2，则eq \f(b－0,a－2)＝－eq \f(1,3)，且3·eq \f(a＋2,2)－eq \f(b＋0,2)－1＝0，解得C′(－1，1)． 连接AC′，则AC′所在直线方程为y＝1. 由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝1，,3x－y－1＝0，))得AC′与l的交点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，1))，记此点为P， 此时|AP|＋|CP|的值最小且为5. 【解析】　(2)如图2，设B关于l的对称点为B′(m，n)，易知m≠0，则eq \f(n－4,m－0)＝－eq \f(1,3)且3·eq \f(m＋0,2)－eq \f(n＋4,2)－1＝0，解得B′(3，3)． 连接AB′，则AB′所在直线方程为2x＋y－9＝0. 由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋y－9＝0，,3x－y－1＝0，))得AB′与l的交点(2，5)，记此点为Q， 此时|AQ|－|BQ|的值最大且为eq \r(5). 【解析】　原式可化为y＝eq \r(（x－4）2＋（0－2）2)＋eq \r(（x－0）2＋（0－1）2)，则问题转化为：已知两点A(4，2)，B(0，1)，在x轴上找一点P(x，0)，求|PA|＋|PB|的最小值．作点A(4，2)关于x轴的对称点A′(4，－2)，连接A′B，PA′，可知|PA|＋|PB|＝|PA′|＋|PB|≥|A′B|，当B，A′，P三点共线时取等号，故|PA|＋|PB|的最小值为|A′B|.由两点间的距离公式，得|A′B|＝eq \r(（4－0）2＋（－2－1）2)＝5，所以函数y＝eq \r(x2－8x＋20)＋eq \r(x2＋1)的最小值为5. 思考题2　求函数y＝eq \r(x2－8x＋20)＋eq \r(x2＋1)的最小值． $