2.3.4 两条平行直线间的距离课件-2026-2027学年高二数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦“两条平行直线间的距离”，通过课前自学模块引导学生掌握定义与公式，建立与点到直线距离的知识联系，形成从基础概念到公式应用的学习支架。 其亮点在于以“化归”思想为核心，结合数学运算与思维培养，通过例1分类讨论斜率存在与否的情况、探究模块总结距离求解方法，辅以分层练习（课后巩固、自助餐）。学生能提升运算能力与转化思维，教师可获得系统教学资源，优化教学效率。

课前自学 内容导航 课时学案 课后巩固 自助餐 Content Navigation 01 02 03 04 2.3.4　两条平行直线间的距离 素养目标 1.探索并掌握两条平行直线间的距离公式．(数学运算)2.会求两平行直线间的距离．(数学运算) 课前自学 4 公垂线段 第页 两平行直线间的距离可以转化为点到直线的距离，这个距离与所选点的位置无关，但一般要选取特殊的点(如与坐标轴的交点)． 第页 1．在使用两平行线间距离公式时，对直线方程的形式有何要求？ 答：两直线的方程为一般式且x，y的系数对应相同． 2．当两直线都与x轴(或y轴)垂直时，两条平行直线间的距离如何求？ 答：当两直线都与x轴垂直时，l1：x＝x1，l2：x＝x2，x1≠x2，则d＝|x2－x1|； 当两直线都与y轴垂直时，l1：y＝y1，l2：y＝y2，y1≠y2，则d＝|y2－y1|. 返 回 课时学案 8 例 1　已知直线l1过点A(0，1)，l2过点B(5，0)，如果l1∥l2，且l1与l2之间的距离为5，求l1，l2的方程． 题型一　 两条平行直线间的距离 第页 9 探究1 求两条平行直线间的距离的两种思路 (1)利用“化归”思想将两条平行直线间的距离转化为求其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离．由于这种求法与点的选择有关，因此，选点时，常选取一个特殊点，如直线与坐标轴的交点等，以便于运算． (2)将两直线方程化为x，y的系数分别相同的一般式后利用两条平行直线间的距离公式求解． 第页 √ 第页 第页 例 2　求下列直线方程： (1)与直线l：3x－4y－20＝0平行且距离为3的直线； 题型二　 由平行直线间的距离求直线方程 第页 13 (2)与两条平行线l1：3x＋2y－6＝0和l2：6x＋4y－3＝0等距离的直线l3. 第页 探究2 (1)一般地，与直线l：Ax＋By＋C＝0平行的直线可设为Ax＋By＋C′＝0(C′≠C)，与直线l垂直的直线可设为Bx－Ay＋D＝0. (2)利用平行直线间的距离公式时，先将两直线方程中x，y的系数化为对应相同的形式． 第页 思考题2　求直线l1：2x－y＋6＝0关于直线l：2x－y＋1＝0对称的直线l2的方程． 第页 返 回 课后巩固 18 1．已知直线3x－4y＋6＝0与直线3x－4y＋m＝0间的距离为2，则m＝(　　) A．－8或4　　　　　　　 B．4 C．－4或6 D．－4或16 √ 第页 √ 第页 √ 第页 4．两平行直线3x－4y－12＝0和6x－8y＋5＝0之间的距离为________． 返 回 自助餐 23 例 1　求直线3x－y－4＝0关于点P(2，－1)对称的直线l的方程． (一)线—点—线对称问题 24 第页 探究1 (1)代入法是求直线方程的一种常用方法． (2)线—点—线对称问题中的两线是平行直线． 第页 思考题1　已知直线l：x－y－2＝0，求其关于点(1，1)对称的直线l′的方程． 【解析】　设所求直线l′的方程为x－y＋m＝0(m≠－2)． 在直线l：x－y－2＝0上取一点(1，－1)， 则其关于点(1，1)的对称点(1，3)在直线l′上， 代入直线l′的方程可得m＝2，所以所求直线方程为x－y＋2＝0. 第页 例 2　求两直线l1：4x－3y＋1＝0和l2：12x＋5y＋13＝0夹角平分线的方程． (二)线—线—线对称问题 【思路分析】　角平分线上的点到角两边距离相等，可用点到直线的距离求解． 第页 第页 【讲评】　两条直线的夹角是指在两直线相交所成两对对顶角中较小的一对，方程2x＋16y＋13＝0是l1与l2夹角的补角平分线的方程，故应舍去，通过画图可知取舍，因此画图时应尽量准确． 第页 探究2 常见的直线关于特殊直线的对称直线 设直线l：Ax＋By＋C＝0， (1)l关于x轴对称的直线是Ax＋B(－y)＋C＝0. (2)l关于y轴对称的直线是A(－x)＋By＋C＝0. (3)l关于直线y＝x对称的直线是Bx＋Ay＋C＝0. (4)l关于直线y＝－x对称的直线是B(－x)＋A(－y)＋C＝0. 第页 思考题2　求直线l1：2x＋y＋4＝0关于直线l：3x＋4y＋1＝0对称的直线l2的方程． 返 回 请做：课时作业（二十三） 教师备用资料 要点　两条平行直线间的距离 (1)定义：两条平行直线间的距离是指夹在这两条平行直线间的______________的长． (2)公式：两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0(A，B不同时为0，C1≠C2)之间的距离d＝eq \f(|C1－C2|,\r(A2＋B2)). 【解析】　当直线l1，l2斜率存在时，设直线l1，l2的斜率为k，由斜截式得l1的方程为y＝kx＋1，即kx－y＋1＝0，由点斜式得l2的方程为y＝k(x－5)，即kx－y－5k＝0，在直线l1上取一点A(0，1)，则点A到直线l2的距离d＝eq \f(|1＋5k|,\r(1＋k2))＝5，∴25k2＋10k＋1＝25k2＋25，∴k＝eq \f(12,5)， ∴l1的方程为12x－5y＋5＝0，l2的方程为12x－5y－60＝0. 若直线l1，l2的斜率不存在，则l1的方程为x＝0，l2的方程为x＝5，它们之间的距离为5，同样满足条件． 综上可知，满足条件的直线方程有两组，即l1：12x－5y＋5＝0，l2：12x－5y－60＝0或l1：x＝0，l2：x＝5. 【解析】　如图，连接PQ，当l1，l2与直线PQ垂直时，l1，l2之间的距离最大且最大值为|PQ|＝eq \r(32＋42)＝5， 又l1∥l2，l1与l2之间的距离d>0， 所以d∈(0，5]．故选C. 思考题1　(1)两平行直线l1，l2分别过点P(－1，3)，Q(2，－1)，它们分别绕P，Q旋转，但始终保持平行，则l1，l2之间的距离的取值范围是(　　) A．(0，＋∞)　　　B．[0，5] 　　　C．(0，5] 　　　D．[0，eq \r(17)] 【解析】　由直线Ax－2y－1＝0与6x－4y＋C＝0平行， 可得A＝3，即两直线为6x－4y－2＝0，6x－4y＋C＝0. 因为两条平行直线之间的距离为eq \f(\r(13),2)， 所以eq \f(|C＋2|,\r(62＋42))＝eq \f(\r(13),2)， 解得C＝11或－15. (2)若两条平行直线Ax－2y－1＝0与6x－4y＋C＝0之间的距离为eq \f(\r(13),2)，求C的值． 【解析】　(1)设所求直线方程为3x－4y＋C＝0(C≠－20)． 由题设知eq \f(|C＋20|,\r(32＋42))＝3，解得C＝－35或C＝－5. 故所求直线方程为3x－4y－35＝0或3x－4y－5＝0. 【解析】　(2)由题可知l3∥l1∥l2，∴当l3夹在l1，l2之间时到l1，l2的距离相等． 设l3：3x＋2y＋C＝0eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(C≠－6且C≠－\f(3,2)))，则eq \f(|C＋6|,\r(32＋22))＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(C＋\f(3,2))),\r(32＋22))，得C＝－eq \f(15,4). ∴l3的方程为12x＋8y－15＝0. 【解析】　由于l1∥l，因此l2∥l，所以设直线l2的方程为2x－y＋c＝0(c≠6，且c≠1)，由对称性可知直线l到直线l1和l2的距离相等，因此eq \f(|6－1|,\r(22＋（－1）2))＝eq \f(|1－c|,\r(22＋（－1）2))，解得c＝－4.所以直线l2的方程为2x－y－4＝0. 1．求两平行直线间的距离的两种方法： (1)利用“化归”法将两条平行线的距离转化为求一条直线上任意一点到另一条直线的距离． (2)直接利用两平行线间的距离公式d＝eq \f(|C2－C1|,\r(A2＋B2))，必须注意两直线方程中x，y的系数对应相等． 2．解决与距离有关的最值问题的方法： (1)利用对称转化为两点之间的距离问题． (2)利用所求式子的几何意义转化为点到直线的距离． (3)利用距离公式将问题转化为二次函数的最值问题． 解析　直线3x－4y＋6＝0与直线3x－4y＋m＝0间的距离为2，则eq \f(|6－m|,\r(32＋（－4）2))＝2，解得m＝－4或16. 解析　由题意可得3×(－1)＝－1×a⇒a＝3， 再由平行线之间的距离公式得d＝eq \f(|4－3|,\r(32＋（－1）2))＝eq \f(\r(10),10).故选B. 2．两条平行直线3x－y＋3＝0和ax－y＋4＝0间的距离为d，则a，d分别为(　　) A．a＝3，d＝eq \f(1,10) B．a＝3，d＝eq \f(\r(10),10) C．a＝－3，d＝eq \f(\r(10),10) D．a＝－3，d＝eq \f(1,10) 解析　易知两条直线平行，|PQ|min即为两条直线间的距离d.又6x＋8y＋6＝0即3x＋4y＋3＝0，∴d＝eq \f(|－12－3|,\r(32＋42))＝3. 3．P，Q分别为直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋6＝0上任一点，|PQ|的最小值为(　　) A.eq \f(9,5) B.eq \f(18,5) C．3 D．6 解析　将直线3x－4y－12＝0变形为6x－8y－24＝0，所以两平行线间的距离为d＝eq \f(|－24－5|,\r(62＋82))＝eq \f(29,10). eq \f(29,10) 【解析】　方法一：不妨在直线3x－y－4＝0上取两点Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，0))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－4))，易求得它们关于P(2，－1)的对称点分别为A′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,3)，－2))，B′(4，2)．再由两点式得l的方程为3x－y－10＝0. 方法二：由题意知直线l与3x－y－4＝0平行，故设l的方程为3x－y＋b＝0(b≠－4)，在3x－y－4＝0上取一点Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，0))，其关于P(2，－1)的对称点为A′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,3)，－2)). 将A′的坐标代入3x－y＋b＝0得b＝－10，∴l的方程为3x－y－10＝0. 方法三：设直线l上任一点为(x，y)，其关于P(2，－1)的对称点(4－x，－2－y)在直线3x－y－4＝0上． 所以3(4－x)－(－2－y)－4＝0，所以3x－y－10＝0. 所以所求直线l的方程为3x－y－10＝0. 【解析】　设l1与l2夹角的平分线上任意一点P(x，y)， 由平面几何中角平分线性质定理， 得eq \f(|4x－3y＋1|,\r(42＋32))＝eq \f(|12x＋5y＋13|,\r(122＋52)). 化简，得2x＋16y＋13＝0或56x－7y＋39＝0. 易知2x＋16y＋13＝0为l1与l2夹角的补角平分线，不合题意，舍去．故l1与l2夹角平分线的方程为56x－7y＋39＝0. 【解析】　由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋y＋4＝0，,3x＋4y＋1＝0，))得l1，l的交点M(－3，2)， 再取l1上的点A(－2，0)，求得A关于l的对称点A′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)，\f(8,5)))，则M，A′都在l2上． ∴直线l2的方程为eq \f(y－2,\f(8,5)－2)＝eq \f(x＋3,－\f(4,5)＋3)，即2x＋11y－16＝0. $