2.3.3 点到直线的距离公式+2.3.4 两条直线间的距离课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

2.3.3 点到直线的距离公式 2.3.4 两条平行直线的距离 学习目标 1.探索并掌握点到直线的距离公式 2.会求两平行直线间的距离 学习重点 学习难点 点到直线的距离公式及应用 点到直线的距离公式的推导 新课导入 复习一下：两点间的距离公式 思考一下 结论 可以验证，当A=0，或B=0时，上述公式仍然成立 点到直线的距离公式 几点说明： 思考一下 上述方法中，我们根据点到直线距离的定义，将点到直线的距离转化为两点之间的距离，思路自然但运算量较大，反思求解过程，你发现引起复杂运算的原因了吗?由此能否给出简化运算的方法? 结论 探究一下 我们知道，向量是解决距离、角度问题的有力工具，能否用向量方法求点到直线的距离? 思考一下 如何利用直线l的方程得到与l的方向向量垂直的单位向量n？ 结论 例题来了 分析：将直线l的方程写成3x-2=0，再用点到直线的距离公式求解.. 解： 分析：有三角形面积公式可知，只要利用距离公式求出边AB的长和边AB上的高即可. 解： 点到直线的距离公式的应用 两条平行直线间的距离的应用 两条平行直线间的距离是指夹在这两条平行直线间的公垂线段的长 已知两条平行直线l1，l2的方程，如何求l1与l2间的距离？ 思考一下 O x y l2 l1 分析：在l1上选取一点，如l1与坐标轴的交点，用点到直线的距离公式求这点到l2的距离，即l1与l2间的距离. 解： 分析：两条平行直线间的距离即为这两条平行直线中的一条直线上的一点到另一条直线的距离. 证明： 求两平行线间的距离公式 课堂巩固 C B B B A 3 1 总结一下 1.点到直线的距离公式 2.两条平行直线间的距离 谢谢大家的观看 THIS IS A ART TEMPLATE , THANK YOU WATCHING THIS ONE. THIS IS A ART TEMPLATE , THANK YOU WATCHING THIS ONE. THANK YOU WATCHING ， 两点间的距离公式 点P到直线l的距离，就是从点P到直线l的垂 线段PQ的长度，其中Q是垂足.因此，求出垂足Q 的坐标，利用两点间的距离公式求出 ，就可以 得到点P到直线l的距离. 如图，已知点 ，直线 ，如何求点P到直线l的距离？ 得直线l与PQ的交点坐标，即垂足Q的坐标为 . 设 ， .由 ，以及直线l的斜率为 ，可得l的垂线PQ的斜率为 ，因此，垂线PQ的方程为 ，即 . 解方程组 ① 于是 . 因此，点 到直线 的距离 （1）无论点 是否在直线 上，点到直线的距离公式 都适用.若点 在直线上,则点 到直线的距离为0. 点到直线的距离是直线上的点与直线外的一点的连线的最短距离. 若给出的直线方程不是一般式，则应先把方程化为一般式，再代入公式求距离. 若设垂足Q的坐标为（x，y），则 如图，点P到直线l的距离，就是向量 的模. 设 是直线l上的任意一点，n是与直线l的方向向量垂直的单位向量，则 是 在n上的投影向量， . 设 ， 是直线 上的任意两点，则 是直线l的方向向量，把 ， 两式相减，得 .由平面向量的数量积运算可知，向量 与向量 垂直. 因为点 在直线l上，所以 .所以 .代入上式，得 .因此 . 向量 就是与直线l的方向向量垂直的一个单位向量.我们取 ，从而 . 点 到直线 的距离 例1 求点 到直线 的距离. 如图，设边AB上的高为h， 则 例2 已知 的三个顶点分别是 ，求 的面积. . 边AB上的高 就是点 到直线AB的距离. 边AB所在直线 的方程为 ，即 . 点 到直线 的距离 . 因此， . （1）直线方程应为一般式，若给出其他形式应化为一般式． （2）点P在直线l上时，点到直线的距离为0，公式仍然适用. （3）直线方程Ax+By+C=0中，A=0，B≠0或B=0，A≠0时公式也成立，但由于直线是特殊直线（与坐标轴垂直），故也可用数形结合的方法求解． 根据两条平行直线间距离的含义，在直线l1上任取一点 ，点 到直线l2的距离就是直线l1与直线l2间的距离. 这样，求两条平行直线间的距离就转化为求点到直线的距离. 先求l1与x轴的交点A的坐标.容易知道，点A的坐标为 . 点A到直线l2的距离 . 例3 已知两条平行直线 ， ，求l1与l2间的距离. 在直线 上任取一点 ， 点 到直线 的距离就是这两条平行直线间的距离， 例4 求证：两条平行直线 与 间的距离为 . 即 因为点 在直线 上， 所以 ，即 ， 因此 . 一般直接利用两平行线间的距离公式， 当直线 ，且 时， . 当直线 且 时， .但必须注意两直线方程x，y的系数相对应相等. 1.一条光线从点 射出，经直线 反射后经过点 ，则反射光线所在直线的方程为( ) A. B. C. D. 解析：设点 关于直线 的对称点为 ， 则 ，化简得 ，解得 ， 故反射光线过点 与点 则反射光线所在直线的方程为 ，故选：C. 解析：因为 ， ，所以它们之间的距离为 .故选:B. 2.两条平行直线 ， 之间的距离是( ) A.1 B. C. D.2 3.若直线 与直线 平行，则它们之间的距离是( ) A.1 B. C.3 D.4 解析：由直线 与直线 平行， 可得 ，解之得 则直线 与直线 间的距离为 4.到 ， 的距离相等的动点P满足的方程是( ) A. B. C. D. 解析：设 ， 因为点P到 ， 的距离相等， 则 ， 即 ， 化简整理得： . 故选：B. 解析：因为直线 与 平行，则 ， 且这两条直线间的距离为 ，解得 ，故 . 5.若两条平行直线 与 之间的距离是 ，则 ( ) A.5 B.-15 C.0 D.1 解析： EMBED Equation.DSMT4 ， ， ， ， 解得 ， ， 根据平行线间的距离公式 与 之间的距离为 . 6.已知 ， ，若 ，则 与 之间的距离为______. 解析：因为函数 是R上的奇函数， 所以 ，解得 ， 所以点 到直线 的距离为 ． 7.已知函数 是R上的奇函数，则点 到直线 的距离为______． $$