精品解析：安徽省安庆市桐城市实验中学办学集团校　2025-2026学年度第二学期九年级第三次学情调研数学试题

安徽省安庆市桐城市实验中学办学集团校2025-2026学年度第二学期九年级第三次学情调研数学试题 注意事项： 1．本试卷满分为150分，考试时间为120分钟． 2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分．“试题卷”共4页，“答题卷”共6页． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 实数的倒数是（ ） A. B. C. D. 2. 第57次《中国互联网络发展状况统计报告》于2026年2月5日发布．报告显示，截至2025年12月，我国网民规模达11.25亿人，互联网普及率达．数据“11.25亿”用科学记数法表示为（ ）． A. B. C. D. 3. 某几何体的三视图如图所示，该几何体是（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 若m，n是一元二次方程的两个根，则的值为（ ） A. B. C. 0 D. 1 6. 如图，在中，，点是的中点，连接，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 7. 将直线向下平移3个单位长度后，正好经过点，则下列点中一定不在直线的图象上的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，点是的对角线上的一个动点，过点作的垂线，分别交边，于点，连接．下列为定值的是（ ） A. 的大小 B. 的值 C. 的周长 D. 四边形的面积 9. 已知实数a，b满足，，则下列判断正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，点是斜边上一动点，连接，并将绕点按逆时针方向旋转，使于点，连接．下列说法正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 的最大值为3 C. 的最小值为 D. 的最大值为4 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 计算：___________． 12. 如图，点是外一点，过点作的切线切于点，连接并延长交于点，连接交于点，连接．若，则的度数为___________． 13. 化学老师将“A．水煮沸；B．铁生锈；C．衣服晾干；D．煤气燃烧”四种现象写在4张无差别的卡片上，将这4张卡片背面朝上放在桌面上，现让某位同学从中随机抽取两张，则所抽取的两张卡片刚好一张是物理变化，另一张是化学变化的概率为___________． 14. 在平面直角坐标系中，将点变换得到点，则称点是点的“变换点”．例如，点的“变换点”是点． （1）点的“变换点”的坐标为___________； （2）已知点在轴的上方，且，若点的“变换点”为点，且在点在直线上，则的最大值为___________． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 先化简，再求值：，其中． 16. 在如图所示的网格中，的顶点均在格点（网格线的交点）上，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为． （1）利用无刻度直尺在图中作出的中点，并写出点的坐标； （2）把先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度后得到图形，画出． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 某数学兴趣小组利用无人机测量建筑物的高度．已知无人机在距离水平地面高为的空中飞行，飞行至处时测得建筑物的顶端的俯角，建筑物的底端的俯角，求建筑物的高度．（结果精确到，参考数据：，，，） 18. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于两点，一次函数与轴交于点，点的坐标为，点的坐标为． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）连接，求的面积． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 某校为了解本校九年级学生体育训练的结果，对全校九年级学生进行了体育模拟测试（满分：分，测试成绩用表示），并将测试成绩分为五组，即；；；；．从测试的所有学生中随机抽取名学生的测试成绩进行统计，绘制成如下两幅不完整的统计图． 请根据以上信息，回答下列问题： （1）图2中___________，并补全条形统计图； （2）这名学生的成绩的中位数落在___________组； （3）若测试成绩低于分的同学需要在课后增加一节体育训练课，该校九年级有学生人，估计该校九年级学生需要增加一节体育训练课的人数． 20. 如图，以为直径的经过点，点是的中点，连接，过点作的切线交延长线于点． （1）求证：； （2）若的半径为，求的长． 六、（本题满分12分） 21. 综合与实践． 【项目主题】一元二次方程在生活中的应用． （1）【项目背景】如图，某广场摆放了多盆黄色月季（黑色圆点）和白色月季（白色圆点）．       根据规律，推测第个图中白色月季的数量为 盆，黄色月季的数量 盆． （2）【项目解决】按照上述规律，第个图中黄色月季的盆数比白色月季的盆数的倍多盆，则 ；若一盆白色月季的售价为元，一盆黄色月季的售价为元，则第个图中白色月季的总价为 ，黄色月季的总价为 ；若第个图中白色月季与黄色月季总的采购价一共为元，则 ． 七、（本题满分12分） 22. 如图，在中，，点是上的动点，连接，将绕点按顺时针方向旋转至位置，连接． （1）如图1，若四边形是平行四边形，，求的长． （2）如图2，过点作于点，过点作于点． ①求证：； ②若，求的长． 八、（本题满分14分） 23. 已知抛物线经过点． （1）求该抛物线的对称轴； （2）点和点分别在抛物线和上（点都不与原点重合）． ①若，记，且的最大值为，求的值； ②当时，若是一个与无关的定值，求与的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 安徽省安庆市桐城市实验中学办学集团校2025-2026学年度第二学期九年级第三次学情调研数学试题 注意事项： 1．本试卷满分为150分，考试时间为120分钟． 2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分．“试题卷”共4页，“答题卷”共6页． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 实数的倒数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查倒数的定义，根据倒数的概念计算即可得到结果． 【详解】解：， 实数的倒数是． 2. 第57次《中国互联网络发展状况统计报告》于2026年2月5日发布．报告显示，截至2025年12月，我国网民规模达11.25亿人，互联网普及率达．数据“11.25亿”用科学记数法表示为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解： 亿． 3. 某几何体的三视图如图所示，该几何体是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合三视图逐一分析选项：主视图下半部分为矩形，上半部分是直角边在左下的直角三角形（斜边左上到右下）；左视图为上下拼接的两个矩形；俯视图是正方形． 【详解】解：A、主视图会得到顶点在上的等腰三角形，不符合题干中的主视图的直角三角形特征，排除； C、主视图上半部分为顶点在上的等腰三角形，不符合题干中的主视图，排除； D、主视图会得到上下两个矩形，没有上半部分的三角形，不符合题干，排除； B、从正面看，得到“下方矩形+上方直角三角形（斜边左上到右下）”，符合题干中的主视图；从左面看，得到上下两个拼接矩形，符合左视图；从上方看，得到正方形，符合俯视图，完全匹配． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：选项A：，错误． 选项B： ，错误． 选项C：与不是同类项，不能合并，错误． 选项D：，正确． 5. 若m，n是一元二次方程的两个根，则的值为（ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根， ∴，， ∴． 6. 如图，在中，，点是的中点，连接，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用中点性质求出直角边的长度，再在直角三角形中用勾股定理计算的长． 【详解】解：∵， ∴是直角三角形。 ∵点是的中点，， ∴， 根据勾股定理，在中：， 代入，得， ∴的长为． 7. 将直线向下平移3个单位长度后，正好经过点，则下列点中一定不在直线的图象上的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平移规则得到原直线解析式中k和b的关系，确定原直线过定点，再结合的条件，根据一次函数的性质判定即可． 【详解】解：直线向下平移3个单位后，解析式为． 将代入 得 ， 整理得 ， ∴直线经过定点． ∵， ∴随的增大而增大， A．，符合题意； B．，符合题意； C．，不符合题意； D．，符合题意． 8. 如图，点是的对角线上的一个动点，过点作的垂线，分别交边，于点，连接．下列为定值的是（ ） A. 的大小 B. 的值 C. 的周长 D. 四边形的面积 【答案】D 【解析】 【分析】过点作于点，结合直角条件判断两角非定值；利用平行四边形与三角函数证为定值；构造平行四边形转化线段，依据两点之间线段最短，得出无固定值，逐一判断选项；面积判定：过点作交的延长线于点，证明为平行四边形，借助面积等量代换，确定四边形面积为定值；周长判定：构造转化周长，因长度随动点变化，得出其周长不为定值． 【详解】解：如图，过点作于点． ∵， ∴， 是定角， 也是定角． ∵点是上的动点， 的度数不是定值， 的大小不是定值，故A选项错误； ∵四边形是平行四边形， 是定长， ， ∴为定长， 过点作，过点作交于点，则四边形是平行四边形，点为定点， ， ∴， 当点三点共线时，最小， 的值不是定值，故B选项错误； 如图，过点作交的延长线于点． ∵四边形是平行四边形， ， ∴四边形是平行四边形， ， ， ∴， 为定值，故D选项正确； 如图，在上取一点，使， 的周长， ∵不是定值， 的周长不是定值，故C选项错误． 9. 已知实数a，b满足，，则下列判断正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，； 综上只有选项A正确. 10. 如图，在中，，点是斜边上一动点，连接，并将绕点按逆时针方向旋转，使于点，连接．下列说法正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 的最大值为3 C. 的最小值为 D. 的最大值为4 【答案】C 【解析】 【分析】如图1，过点作于点，连接并延长，交于点．判断点P，C，D，E四点共圆，根据圆周角定理得出 ，则点在射线上运动，当时，最小，根据余角的性质得出 ，根据等角对等边和直角三角形的性质可得出 ，根据等面积法求出，根据勾股定理求出，即可求出；如图2，当点与点重合时，最大，即可求出，即可判断选项错误；如图3，在上取一点，使，则 ，作射线，则点在上运动，，当时，最小，过点作于点，在中，解直角三角形求出 在中，解直角三角形求出，，即可求出；当点与重合时最大，如图4，此时 ，即可判断C选项正确，D选项错误． 【详解】如图1，过点作于点，连接并延长，交于点． ， 点P，C，D，E四点共圆， ， ∴点在射线上运动，当时，最小． ， ， ， ，即， ． ∵在中，， ， ， 在中，， ． 如图2，当点与点重合时，最大，此时， 故选项错误； 如图3，在上取一点，使，则 ，作射线，则点在上运动，，当时，最小． 过点作于点，在中， ． 在中，． ， ， 当点与重合时，最大，如图4，此时 ， 故C选项正确，D选项错误． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 计算：___________． 【答案】2 【解析】 【详解】解：原式． 12. 如图，点是外一点，过点作的切线切于点，连接并延长交于点，连接交于点，连接．若，则的度数为___________． 【答案】 【解析】 【分析】先利用切线性质得到直角，结合已知角求出，再根据直径所对圆周角为直角求出同弧对应的圆周角，最后利用圆周角定理（圆心角为同弧所对圆周角的倍）计算出的度数． 【详解】解：∵是的切线，是的半径， ∴，即 ∵， ∴ ∵是的直径， ∴， ∴在中， ∵是弧所对的圆心角，是弧所对的圆周角， ∴． 13. 化学老师将“A．水煮沸；B．铁生锈；C．衣服晾干；D．煤气燃烧”四种现象写在4张无差别的卡片上，将这4张卡片背面朝上放在桌面上，现让某位同学从中随机抽取两张，则所抽取的两张卡片刚好一张是物理变化，另一张是化学变化的概率为___________． 【答案】 【解析】 【分析】先区分四种现象中物理变化和化学变化的个数，再画树状图得到所有等可能的结果数，以及符合要求的结果数，利用概率公式计算即可． 【详解】解：四种现象中，物理变化有水煮沸，衣服晾干，共种，化学变化有铁生锈，煤气燃烧，共种． 画树状图如下： 从张卡片中随机抽取张，所有等可能的结果总数为12，其中抽取的两张卡片刚好一张是物理变化，另一张是化学变化的结果数为8， 根据概率公式，可得所求概率． 14. 在平面直角坐标系中，将点变换得到点，则称点是点的“变换点”．例如，点的“变换点”是点． （1）点的“变换点”的坐标为___________； （2）已知点在轴的上方，且，若点的“变换点”为点，且在点在直线上，则的最大值为___________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（）代入变换公式计算坐标，求出变换点； （）设，则，由题意判断点在以原点为圆心，半径为的半圆上，则点是直线与半圆的交点，故当直线与半圆相切时，的值最大，然后利用直线与圆相切求最大值即可． 【详解】解：（）根据“变换点”的定义：若原点坐标为，变换点坐标为， 对于点，，， 横坐标：， 纵坐标：， ∴点的变换点坐标为； （）设，则， ∵点在直线上， ，即． ∵点在轴的上方，且， ．点在以原点为圆心，半径为的半圆上， 根据点在直线上可得点是直线与半圆的交点， 当直线与半圆相切时，的值最大，即， 整理得中， ， 解得为，（负值舍去）, 即的最大值为． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【详解】解：原式 ， 当时， 原式， 16. 在如图所示的网格中，的顶点均在格点（网格线的交点）上，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为． （1）利用无刻度直尺在图中作出的中点，并写出点的坐标； （2）把先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度后得到图形，画出． 【答案】（1）如图所示： 点的坐标为 （2）如图所示： 【解析】 【分析】（）套用中点公式，代入坐标算出中点坐标； （）平移画图：按平移坐标变化规律算出三点新坐标，描点连线得到平移后的三角形． 【小问1详解】 解：用直尺连接，与网格线的交点就是的中点， 根据中点坐标公式：若两点坐标为， 则中点坐标为，代入、， 得，， ∴点的坐标为； 【小问2详解】 解：平移规律为：点向右平移个单位、向下平移个单位后，坐标变为， 平移后的坐标， 平移后的坐标， 平移后的坐标， 在网格中描出，依次连接三点，即可得到． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 某数学兴趣小组利用无人机测量建筑物的高度．已知无人机在距离水平地面高为的空中飞行，飞行至处时测得建筑物的顶端的俯角，建筑物的底端的俯角，求建筑物的高度．（结果精确到，参考数据：，，，） 【答案】建筑物的高度约为 【解析】 【分析】过点作于点，构造直角三角形，再解直角三角形，设，建立方程求解即可． 【详解】解：过点作于点， 根据题意可得，，， 设，则， 在Rt中，，则， ∴ ． 在Rt中，，则， 解得 ， ∴， 答：建筑物的高度约为114m． 18. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于两点，一次函数与轴交于点，点的坐标为，点的坐标为． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）连接，求的面积． 【答案】（1）一次函数解析式为，反比例函数解析式为 （2） 【解析】 【分析】（）代入点求反比例函数解析式，求出点坐标，再代入两点求解一次函数解析式； （）求出直线与轴交点，分割三角形，利用纵坐标为高计算两小三角形面积之和． 【小问1详解】 解：把点代入，得，解得， ， 把点代入，得， 解得， ∴， 把点代入， 得， 解得， ∴； 【小问2详解】 解：由（）可知一次函数 令，则， 解得， ∵一次函数与轴交于点， ∴点的坐标为， ∵， ∴， ∴ ． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 某校为了解本校九年级学生体育训练的结果，对全校九年级学生进行了体育模拟测试（满分：分，测试成绩用表示），并将测试成绩分为五组，即；；；；．从测试的所有学生中随机抽取名学生的测试成绩进行统计，绘制成如下两幅不完整的统计图． 请根据以上信息，回答下列问题： （1）图2中___________，并补全条形统计图； （2）这名学生的成绩的中位数落在___________组； （3）若测试成绩低于分的同学需要在课后增加一节体育训练课，该校九年级有学生人，估计该校九年级学生需要增加一节体育训练课的人数． 【答案】（1）， （2） （3）该校九年级学生在课后需要增加一节体育训练课的人数为140人 【解析】 【分析】（1）抽查的名学生成绩在组的有人，占抽查总人数的百分比求出的度数；抽查的名学生成绩在组的人数为，补全条形统计图； （2）根据中位数的定义可知把名学生的成绩按照从小到大的顺序排列，第、名成绩的平均数是名学生成绩的中位数，由条形统计图可知第、名都在组，这名学生的成绩的中位数落在组； （3）利用抽查的名学生成绩在分以下的百分比代表总体学生成绩在分以下的百分比，求出该校九年级学生需要增加一节体育训练课的人数． 【小问1详解】 解：由条形统计图可知，抽查的名学生成绩在组的有人，占抽查总人数的， 扇形统计图中组所对应的扇形的圆心角为； 抽查的名学生成绩在组的人数为， 补全条形统计图见答案； 【小问2详解】 解：把名学生的成绩按照从小到大的顺序排列，第、名成绩的平均数是名学生成绩的中位数， 其中、、组共有人， 组有人， 第、名都在组， 这名学生的成绩的中位数落在组； 【小问3详解】 解：测试成绩低于分的同学为组和组的同学， 由条形统计图可知，成绩在组和组的同学共有人， 占抽查学生的, 九年级学生中测试成绩低于分的人数为（人）， 答：该校九年级学生在课后需要增加一节体育训练课的人数为人． 20. 如图，以为直径的经过点，点是的中点，连接，过点作的切线交延长线于点． （1）求证：； （2）若的半径为，求的长． 【答案】（1）证明：如图，连接交于点． 与相切于点， ，即． 是的直径， ，即， ． ， ， ． ∵点是的中点， ， ； （2） 【解析】 【分析】（）连接，由切线性质得，结合直径所对圆周角为直角推出与相等，再通过得到等角，依据弧中点性质完成角等量代换，最终证得； （）设，利用弧中点垂径定理得，通过两个直角三角形的勾股定理列方程求出，再计算，最后由垂径定理得出长度． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设， ∵的半径为， ∴， ∴， ∵点是的中点， ， 在中，， 在中，， ， ， ∴， 解得， ， ∴， ． 六、（本题满分12分） 21. 综合与实践． 【项目主题】一元二次方程在生活中的应用． （1）【项目背景】如图，某广场摆放了多盆黄色月季（黑色圆点）和白色月季（白色圆点）．       根据规律，推测第个图中白色月季的数量为 盆，黄色月季的数量 盆． （2）【项目解决】按照上述规律，第个图中黄色月季的盆数比白色月季的盆数的倍多盆，则 ；若一盆白色月季的售价为元，一盆黄色月季的售价为元，则第个图中白色月季的总价为 ，黄色月季的总价为 ；若第个图中白色月季与黄色月季总的采购价一共为元，则 ． 【答案】（1）， （2），，， 【解析】 【分析】（）列举前组图案的月季数量，推导规律，得出第个图案白、黄月季数量的代数式； （）依据数量关系列一元二次方程求解图案序号；结合单价写出两种月季总价表达式，再根据总费用建立方程，舍去负根得到答案． 【小问1详解】 解：由题知， 第n个图 白色月季（空心）数量 黄色月季（黑色）数量 因此可得： 第个图中，白色月季数量为盆，黄色月季数量为（或）盆． 【小问2详解】 解：① 根据题意“黄色比白色的倍多盆”， 列方程：， 整理得：， 因式分解为， ∵为正整数， 解得； ② 计算总价： 白色月季单价元，总价为元； 黄色月季单价元，总价为元； ③ 根据总采购价元列方程：， 整理得：， 解得（舍去）． 七、（本题满分12分） 22. 如图，在中，，点是上的动点，连接，将绕点按顺时针方向旋转至位置，连接． （1）如图1，若四边形是平行四边形，，求的长． （2）如图2，过点作于点，过点作于点． ①求证：； ②若，求的长． 【答案】（1） （2）①证明：过点作于点，连接， ，， ， 根据旋转的性质可得 ， 是等边三角形， ， ， 在和中， ， ， ， ，得 ， ， ， ， ． ② 【解析】 【分析】（1）利用平行四边形的性质求解，可得，结合，再进一步求解即可； （2）①过点作于点，连接，证明是等边三角形，可得，证明，进一步可得，，进一步可得结论； ②先求解，根据①可得，进一步求解，可得，可得，再利用勾股定理可得答案． 【小问1详解】 解：四边形是平行四边形，， ∴，，， 根据旋转的性质可得， ∴， ， ， 在中，， ， ， ， ； 【小问2详解】 ①略 ②解：， ， 根据①可得， ， ， ， ， ， 在中，． 八、（本题满分14分） 23. 已知抛物线经过点． （1）求该抛物线的对称轴； （2）点和点分别在抛物线和上（点都不与原点重合）． ①若，记，且的最大值为，求的值； ②当时，若是一个与无关的定值，求与的值． 【答案】（1） （2）①；②， 【解析】 【分析】（）将已知点坐标代入抛物线解析式得到关系式，再代入对称轴公式计算对称轴； （）①先列式表示，相加构造二次函数，由最大值判断开口向下，借助二次函数顶点：最值列式求解；②依据坐标比例等式化简变形，分离出含的代数式，根据比值为定值、与无关，令变量系数为求出． 【小问1详解】 解：抛物线经过点， 代入得， 化简得， 抛物线的对称轴为直线； 【小问2详解】 解：①根据题意可得， 则，对称轴为直线， 的最大值为， ，当时，， 整理得， 解得； ②根据题意可得， ∵， ∴， ∵点不与原点重合， ， ∴，即， ∴， 是一个与无关的定值， ， ， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $