精品解析：安徽安庆市太湖县牛镇中学等学校2025-2026学年度第二学期 九年级过程性检测数学试题（3月）

数学试题 注意事项： 1．你拿到的试卷满分150分，考试时间为120分钟． 2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分．“试题卷”共4页，“答题卷”共6页． 3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的． 4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的． 1. 与的和等于1的数是（ ） A. 2 B. C. 0 D. 2. 某几何体的俯视图和主视图如图所示，则该几何体可能是（ ） A. B. C. D. 3. 据安徽省统计局发布的2023年前三季度核心数据显示：全省农林牧渔业总产值同比增长3.6%，夏粮早稻合计产量372.3亿斤，372.3亿斤用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列各式中，计算结果等于的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列函数中，当时，y随x的增大而增大的是（ ） A. B. C. D. 6. 若一个等腰三角形的周长是8，则它的腰长可能是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 黄山市四月份日平均气温统计如图所示，则在日平均气温这组数据中，中位数和众数分别是…（ ） A. 21，21 B. 22，22 C. 21，21.5 D. 22，21 8. 规定：对于任意实数，，，有，如，若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为（ ） A. B. C. 且 D. 且 9. 已知二次函数的图象如图所示，，是该函数图象上的两个点，则下列结论中：①；②；③；④．正确的有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 10. 如图，在中，，，点E在上，且，点F在边上运动，以为斜边向右上方作等腰直角三角形，，连接，当的长最小时，的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 因式分解：＝______ 12. 将命题“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”改写“如果……那么……”的形式__________________. 13. 如图，反比例函数（）的图象经过A，B两点，连接，，过点B作轴，垂足为C，交于点D，若D为的中点，的面积是6，则k的值为______． 14. 如图，在中，，，D是边上的点，E为的中点．若，．则： （1）的长为______； （2）的值为______． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 解不等式：． 16. 某服装店购进，两种款式夏季T恤衫共件，这两种T恤衫的进价与售价如下表： 款式 进价（元/件） 售价（元/件） 款 款 （1）如果购进这两种夏季T恤衫花费元，那么，两种夏季T恤衫分别购进多少件？ （2）销售完这批夏季T恤衫获得的利润是多少元？ 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，解答下列问题： （1）若经过平移后得到，已知点的坐标为，请画出； （2）将绕点A按顺时针方向旋转90°得到，请画出，并写出点的坐标． 18. 观察下列关于自然数的等式： 第一个等式：；第二个等式：； 第三个等式：；第四个等式：；… 根据上述规律解决下列问题： （1）写出第五个等式：______； （2）写出你猜想的第n个等式：______（用含n的式子表示），并验证其正确性． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 无人机表演时，一架无人机由处飞至处，飞行路径恰好位于地面上两个观测点，的上方，且．由处观测处和处的仰角分别为和，由处观测到处的仰角为．已知两个观测点，之间的距离为米，求，两点之间的距离．（参考数据：，） 20. 如图，在半圆O中，为直径，为弦，过半圆的圆心O作于点D． （1）以C为顶点，为一条边，用尺规作图作，与的延长线交于点E（保留作图痕迹，不写作法）； （2）取弧的中点P，连接，，若，，求线段的长． 六、（本题满分12分） 21. 【项目背景】为切实关心青少年身心健康，安师中学积极开展“我运动，我快乐，我健康”的阳光体育运动，主要活动有一分钟限时跳绳比赛、投掷实心球、长跑等．该校九年级数学兴趣小组对三项活动情况进行了调查统计． 【数据收集与整理】 （一）现将九年级部分女生投掷实心球的成绩分成5个小组（x表示成绩，单位：米）进行整理．A组：；B组：；C组：；D组：；E组，并绘制出扇形统计图和频数分布直方图（不完整）．规定为合格，为优秀． （二）该项活动中有40名选手参加一分钟限时跳绳比赛，现将比赛成绩（单位：个/分钟）进行统计，成绩统计表如下． 一分钟限时跳绳比赛成绩统计表 成绩（个/分钟） 60~100 101~130 131~160 161~190 人数 5 8 23 a 【数据分析与应用】 任务一 掷实心球的女生有______人；其中成绩合格的有______人； 任务二 掷实心球的女生成绩的中位数落在哪一组？请说明理由； 任务三 将跳绳个数在161~190的选手依次记为，从中随机抽取两名选手做经验交流．请用树状图或列表法求恰好抽取到选手的概率． 七、（本题满分12分） 22. 如图，线段与交于点C，．的平分线与的平分线交于点F，交于点H，交于点G． （1）如图1，若，求的度数； （2）在（1）的条件下，连接，若，求的值； （3）如图2，若，证明：． 八、（本题满分14分） 23. 已知抛物线（）与x轴交于，B两点（点B在点A右侧），与y轴交于点，D为对称轴与x轴的交点． （1）求抛物线的表达式； （2）如图，在x轴的上方且平行于x轴的直线与抛物线从左到右依次交于P，Q两点，且为等腰直角三角形． （i）求的面积； （ii）点为该抛物线段上一动点，过点G作轴，与直线相交于点N，当线段的长随p的增大而减小时，求p的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学试题 注意事项： 1．你拿到的试卷满分150分，考试时间为120分钟． 2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分．“试题卷”共4页，“答题卷”共6页． 3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的． 4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的． 1. 与的和等于1的数是（ ） A. 2 B. C. 0 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意列出方程，再解方程即可． 【详解】设所求数为x， 即， 移项，得， 去括号合并同类项，得，因此所求数为，B符合． 2. 某几何体的俯视图和主视图如图所示，则该几何体可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据主视图和俯视图以及大小即可进行逐一判断选项． 【详解】解：A、俯视图为三角形，不符合题意； B、主视图为长方形，不符合题意； C、俯视图为梯形，不符合题意； D、俯视图为长方形（含一条实线），主视图为右上角缺少一个小长方形的大长方形，符合题意． 3. 据安徽省统计局发布的2023年前三季度核心数据显示：全省农林牧渔业总产值同比增长3.6%，夏粮早稻合计产量372.3亿斤，372.3亿斤用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先将带“亿”单位的数转化为标准形式，再根据科学记数法规则确定a和n的值即可，科学记数法的表示形式为，其中，为整数． 【详解】解：∵亿， ∴亿， 将化为符合的形式得， ∴亿． 4. 下列各式中，计算结果等于的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查整式的各类运算，按照合并同类项，幂的乘方，同底数幂的乘除法法则，分别计算每个选项即可得到结果． 【详解】解：依次计算各选项： 对于A选项，，不符合要求； 对于B选项，，符合要求； 对于C选项，，不符合要求； 对于D选项，，不符合要求． 故选：B． 5. 下列函数中，当时，y随x的增大而增大的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查反比例函数和二次函数的增减性，根据不同函数的增减性性质，逐项判断即可． 【详解】解：A、∵是反比例函数，比例系数， ∴当时，y 随x 的增大而增大， ∴当时，y随x的增大而增大，故该选项符合题意． B、∵是反比例函数，比例系数， ∴当时，y 随x 的增大而减小， ∴当时，y随x的增大而减小，故该选项不符合题意． C、∵是二次函数，二次项系数，对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大，故该选项不符合题意． D、∵是二次函数，二次项系数，对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大，故该选项不符合题意． 6. 若一个等腰三角形的周长是8，则它的腰长可能是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】设等腰三角形腰长为x，根据周长表示出底边长，再利用三角形三边关系求出腰长的取值范围，即可判断选项． 【详解】设等腰三角形的腰长为，则底边长为． 根据三角形三边关系，得， 解第一个不等式，得． 解第二个不等式，得． 因此腰长的取值范围是． 观察选项，只有C选项在该范围内． 7. 黄山市四月份日平均气温统计如图所示，则在日平均气温这组数据中，中位数和众数分别是…（ ） A. 21，21 B. 22，22 C. 21，21.5 D. 22，21 【答案】D 【解析】 【分析】将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．众数就是一组数据中出现次数最多的那个数据．据此求解即可． 【详解】解：由统计图可知，一共30天的平均气温数据，从小到大排列后的第15个数和第16个数都是22，所以中位数是22； 这组数据中，21出现了10次，出现次数最多，所以众数为21． 8. 规定：对于任意实数，，，有，如，若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】先根据题目给出的新运算规则整理得到关于的方程，再根据一元二次方程二次项系数不为和列式运算即可； 【详解】解：∵， 展开计算， ∴， 整理得：， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴该方程为一元二次方程，因此二次项系数，且根的判别式， ∵，，， ∴， 解得：， 综上，的取值范围为 且． 9. 已知二次函数的图象如图所示，，是该函数图象上的两个点，则下列结论中：①；②；③；④．正确的有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】C 【解析】 【分析】①根据抛物线与轴有两个交点，可得；②根据抛物线上的点到对称轴的距离即可判断；③先根据抛物线的对称轴得出，再由图象可知，当时，，最后将代入进行计算即可；④先根据二次函数的图象与性质得出，进一步得出，最后化简即可． 【详解】解：由图象可知，抛物线与轴有两个交点， 则一元二次方程有两个不相等的实数根， ， ， 故①错误； ，是该函数图象上的两个点，且抛物线的对称轴为直线， 点和点到对称轴的距离分别为，． 又抛物线的开口向下，且， ， 故②正确； 抛物线的对称轴为直线， ，即． 由图象可知，当时，， 将代入得，， 即， 两边同时乘2得，， 故③错误； 抛物线的开口向下，对称轴为直线， 当时，， 对于任意自变量，都有成立， 两边同时减得，， 即， 故④正确， 综上，正确的结论有②④． 故选：C． 10. 如图，在中，，，点E在上，且，点F在边上运动，以为斜边向右上方作等腰直角三角形，，连接，当的长最小时，的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查矩形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质．以及勾股定理，熟练掌握性质定理是解题的关键．过点G作于点M，于点N，证明四边形为矩形，，得到点G在的平分线上，当时，最小，证明，设，根据，求出，即可得到答案． 【详解】解：如图1，过点G作于点M，于点N． ， 四边形为矩形， ， ， ， 在和中， ，， ， ， 点G在的平分线上． 当时，最小，此时，如图2， 平分， ， ， 是以为斜边的等腰直角三角形， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，设， ， ， 在中，， ， ， ． 故选A． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 因式分解：＝______ 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再利用平方差公式因式分解，需分解至每个因式无法继续分解为止. 【详解】解：． 12. 将命题“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”改写“如果……那么……”的形式__________________. 【答案】如果直线外有一点，那么过这一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【解析】 【详解】原命题的条件：直线外有一点，结论：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．故改写为如果直线外有一点，那么过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. 13. 如图，反比例函数（）的图象经过A，B两点，连接，，过点B作轴，垂足为C，交于点D，若D为的中点，的面积是6，则k的值为______． 【答案】16 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象性质及k值的计算，运用的面积是6，设点坐标建立相关方程是解题的关键．设，由已知条件得到，，再根据建立关于k的方程，解方程即可求得k值． 【详解】解：∵反比例函数（）的图象经过A点， ∴设， ∵D为的中点，， ∴， ∵轴，垂足为C，交于点D， ∴， ∵反比例函数（）的图象经过B点， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：16． 14. 如图，在中，，，D是边上的点，E为的中点．若，．则： （1）的长为______； （2）的值为______． 【答案】 ①. 2 ②. 【解析】 【分析】（1）证明，得出，设，则，求出，根据，求出； （2）根据勾股定理得出，求出，再分别求出，，最后求出比值即可． 【详解】解：（1）∵在中，，， ∴， ， 又∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵点E为的中点， ∴设，则， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）由（1）可得，，， 在中，， ∴， 解得或（舍去）， ∴，， ∴． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 解不等式：． 【答案】 【解析】 【分析】按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤逐步求解，注意在系数化为1时若系数为负数需改变不等号方向． 【详解】解：， 去分母，两边同时乘以3得：， 移项，合并同类项得：， 解得． 16. 某服装店购进，两种款式夏季T恤衫共件，这两种T恤衫的进价与售价如下表： 款式 进价（元/件） 售价（元/件） 款 款 （1）如果购进这两种夏季T恤衫花费元，那么，两种夏季T恤衫分别购进多少件？ （2）销售完这批夏季T恤衫获得的利润是多少元？ 【答案】（1），两种夏季T恤衫分别购进件、件 （2）销售完这批夏季T恤衫获得的利润是元 【解析】 【分析】（1）设购进款T恤衫件，根据购进这两种夏季T恤衫花费元列方程求解即可； （2）根据利润计算公式求解即可． 【小问1详解】 解：设购进款T恤衫件，则购进款T恤衫件， 根据题意，得， 解得， 则， 答：，两种夏季T恤衫分别购进件、件． 【小问2详解】 解：（元）． 答：销售完这批夏季T恤衫获得的利润是元． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，解答下列问题： （1）若经过平移后得到，已知点的坐标为，请画出； （2）将绕点A按顺时针方向旋转90°得到，请画出，并写出点的坐标． 【答案】（1） 如图所示即为所求作； （2） 如图所示，点． 【解析】 【分析】（1），根据点C的对应点可知将向右平移5个单位长度，再向下平移6个单位长度，再画出图形即可； （2），将点B，C绕点A顺时针旋转得到点，再依次连接可得答案 【小问1详解】 解：根据题意可得点的对应点为， ∴将向右平移5个单位长度，再向下平移6个单位长度， 【小问2详解】 略 18. 观察下列关于自然数的等式： 第一个等式：；第二个等式：； 第三个等式：；第四个等式：；… 根据上述规律解决下列问题： （1）写出第五个等式：______； （2）写出你猜想的第n个等式：______（用含n的式子表示），并验证其正确性． 【答案】（1） （2） 根据题意，第n个等式为：； 证明：∵左边， 右边， ∴左边＝右边． ∴． 【解析】 【分析】（1）根据所给等式，观察各部分的变化，发现规律即可解决问题； （2）利用等式的计算规律写出猜想，再运用整式的计算证明即可． 【小问1详解】 解：第一个等式：； 第二个等式：； 第三个等式：； 第四个等式：； 第五个等式：； 【小问2详解】 略 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 无人机表演时，一架无人机由处飞至处，飞行路径恰好位于地面上两个观测点，的上方，且．由处观测处和处的仰角分别为和，由处观测到处的仰角为．已知两个观测点，之间的距离为米，求，两点之间的距离．（参考数据：，） 【答案】30米 【解析】 【分析】作于点，于点，则，设米，米， 利用三角函数的比值关系表示出，的长，利用建立方程求解即可． 【详解】解：如图，作于点，于点，则， 由题，，，， 设米，米， 在中，， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， 解得，， ∴， ∴，两点之间的距离为米． 20. 如图，在半圆O中，为直径，为弦，过半圆的圆心O作于点D． （1）以C为顶点，为一条边，用尺规作图作，与的延长线交于点E（保留作图痕迹，不写作法）； （2）取弧的中点P，连接，，若，，求线段的长． 【答案】（1） 解：如图即为所求： （2） 【解析】 【分析】（1）根据作一个角等于已知角的方法作图即可； （2）连接，，，与交于F，根据勾股定理求得，再由垂径定理的推论可知，，从而得到为的中位线，求得，进而得到，最后在和利用勾股定理即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如（1）图，分别连接，，，与交于F， ∵为直径， ∴在中，,，， ∴， ∵点P是弧的中点， ∴，， 又∵为的中点， ∴为的中位线， ∴， ∴， ∵在中，，， ∴， ∵在中，，， ∴． 六、（本题满分12分） 21. 【项目背景】为切实关心青少年身心健康，安师中学积极开展“我运动，我快乐，我健康”的阳光体育运动，主要活动有一分钟限时跳绳比赛、投掷实心球、长跑等．该校九年级数学兴趣小组对三项活动情况进行了调查统计． 【数据收集与整理】 （一）现将九年级部分女生投掷实心球的成绩分成5个小组（x表示成绩，单位：米）进行整理．A组：；B组：；C组：；D组：；E组，并绘制出扇形统计图和频数分布直方图（不完整）．规定为合格，为优秀． （二）该项活动中有40名选手参加一分钟限时跳绳比赛，现将比赛成绩（单位：个/分钟）进行统计，成绩统计表如下． 一分钟限时跳绳比赛成绩统计表 成绩（个/分钟） 60~100 101~130 131~160 161~190 人数 5 8 23 a 【数据分析与应用】 任务一 掷实心球的女生有______人；其中成绩合格的有______人； 任务二 掷实心球的女生成绩的中位数落在哪一组？请说明理由； 任务三 将跳绳个数在161~190的选手依次记为，从中随机抽取两名选手做经验交流．请用树状图或列表法求恰好抽取到选手的概率． 【答案】任务一：50，45； 任务二：成绩的中位数落在C组，理由： 将这50个女生的成绩由低到高分组排列，A组有5人，B组有10人，C组有15人，D组有15人，E组有5人，所以成绩的中位数落在C组； 任务三： 【解析】 【分析】任务一、根据掷实心球的女生的人数和占比可求掷实心球的女生总人数； 任务二、根据中位数的定义求解即可； （3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好抽取到选手的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【详解】解：任务一、由题意知A组占，有5人， 所以掷实心球的女生的人数为：（人）． 因为只有A组的女生成绩不合格，所以合格人数为：（人）； 任务二、略 任务三 由成绩统计表得跳绳个数在161～190的选手共有4人，依次记为，画树状图如下： 共有12种不同的情况，且每一种可能性都相同，其中恰好抽到选手的有两种， ∴恰好抽到选手的概率为． 七、（本题满分12分） 22. 如图，线段与交于点C，．的平分线与的平分线交于点F，交于点H，交于点G． （1）如图1，若，求的度数； （2）在（1）的条件下，连接，若，求的值； （3）如图2，若，证明：． 【答案】（1） （2） （3） 证明：连接， ∵，平分， ∴，． 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形三线合一易证，再证明，推出为正三角形，，即可解答； （2）证明，推出，由（1）可知和均为正三角形，得到，由即可求解； （3）连接，证明，进而证明，易证，得到，再证明，推出，即可证明结论． 【小问1详解】 解：∵，平分， ∴， ∴， 又∵平分，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴为正三角形， ∴， ∴， ∴在中，； 【小问2详解】 解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 由（1）可知和均为正三角形， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 略 八、（本题满分14分） 23. 已知抛物线（）与x轴交于，B两点（点B在点A右侧），与y轴交于点，D为对称轴与x轴的交点． （1）求抛物线的表达式； （2）如图，在x轴的上方且平行于x轴的直线与抛物线从左到右依次交于P，Q两点，且为等腰直角三角形． （i）求的面积； （ii）点为该抛物线段上一动点，过点G作轴，与直线相交于点N，当线段的长随p的增大而减小时，求p的取值范围． 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法，将A，C两点的坐标代入（），进行解答即可； （2）先设的高为，则，进一步得点Q的坐标为，代入抛物线的解析式，求出的值，最后利用三角形的面积公式即可解答；先连接，进一步得，再分别求出直线和直线的表达式，再根据和得出，最后根据函数的图象与性质，即可解答． 【小问1详解】 解：将A，C两点的坐标代入（）， 得：， 解得， ∴． 【小问2详解】 解：（i）在等腰直角中，以为底的高（也是中线）等于的长度的一半， 故设与x轴之间的距离，即以为底的高为m，（）， 则． 又抛物线的对称轴为直线， ∴点Q的坐标为，点的坐标为, 将点Q的坐标代入得，， 解得（舍去负值）， ∴； （ii）如图，连接， ，， ， 为等腰直角三角形． 又为等腰直角三角形， ． 设直线的表达式为， 将，代入得，， ∴， ∴． 设直线的表达式为， 将点的坐标代入得，， ， ． 且 轴， ． ，且， ∴． ∵线段的长随p的增大而减小， ∴， 综上，p的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $