精品解析：安徽宣城市郎溪县梅渚镇初级中学等校2025～2026学年度第二学期九年级素养监测调研数学试题

2025~2026学年度第二学期九年级素养监测调研 数学试题 考试时间：120分钟 满分：150分 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．试题本试卷分第I卷（选择题）和第ⅡI卷（非选择题）两部分． 第I卷（选择题） 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 下列四个数中，有理数是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了实数的分类、算术平方根、立方根，熟练掌握有理数和无理数的定义是解题的关键．根据无有理数和无理数的定义，对选项逐个分析判断即可． 【详解】解：A、是无理数，故此选项不符合题意； B、是无理数，故此选项不符合题意； C、是无理数，故此选项不符合题意； D、是有理数，故此选项符合题意； 故选：D． 2. 一年365天有31536000秒．数31536000用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法：把一个绝对值大于1的数表示成的形式（a大于或等于1且小于10，n是正整数）；n的值为小数点向左移动的位数，确定，即可． 【详解】解：∵， 故选： B． 3. 如图，从左面看这个由5个相同的小正方体组成的立体图形，看到的平面图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了从不同方向看几何体，从左面看，这个图形有三层，每层有1个小正方形，由此即可得出结果，还考查了空间想象能力． 【详解】解：从左面看，这个图形有三层，每层有1个小正方形，如图： ， 故选：B． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据合并同类项，二次根式的减法运算，积的乘方与幂的乘方，完全平方公式进行计算即可求解． 【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意； B. ，故该选项不正确，不符合题意； C. ，故该选项正确，符合题意； D. ，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了合并同类项，二次根式的减法运算，积的乘方与幂的乘方，完全平方公式，熟练掌握以上运算法则是解题的关键． 5. 如图，是半圆O的直径，点B、C在半圆上，且，点P在上，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，等边三角形的判定和性质及三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点是关键．连接，，证明和都是等边三角形，求得，再求得，最后利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：连接，， 点、在半圆上，且， ， 和都是等边三角形， ， 由条件可知， ， ， ， 故选：B． 6. “六一儿童节”，文化路一小组织小朋友抽奖活动，用6张完全相同的卡片，上面分别写上1，2，3，4，5，6．随机抽取1张后，放回并混合在一起，再随机抽取1张，若第二次取出的数字是第一次取出数字的整数倍可以获奖，则获奖的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】画树状图，共有36种等可能的结果，其中第二次取出的数字是第一次取出数字的整数倍的结果有14种，再由概率公式求解即可． 【详解】解：画树状图如下： 共有36种等可能的结果，其中第二次取出的数字是第一次取出数字的整数倍的结果有14种， ∴获奖的概率是， 故选：C． 【点睛】此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 7. 如图所示，在中，是的垂直平分线，，的周长为，则的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了线段的垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等．根据线段的垂直平分线的性质得到，，然后根据周长的计算方法可得结论． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴，， ∵的周长为，即， ∴， ∴， 即的周长为． 故选：C． 8. 一元二次方程的两根分别为和，则为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系；根据根与系数的关系可直接得出答案． 【详解】解：∵一元二次方程的两根分别为和， ∴， 故选：B． 9. 如图①，菱形的对角线与相交于点，，两点同时从点出发，以1厘米/秒的速度在菱形的对角线及边上运动．点的运动路线为，点的运动路线为，设运动的时间为秒，，间的距离为厘米，与的函数关系的图象大致如图②所示，当点在段上运动且，两点间的距离最短时，，两点的运动路程之和为（       ）厘米． A. B. C. 8 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查菱形的性质和三角函数．解题的关键在于从图象中找到菱形对角线的长度． 四边形是菱形，由图象可得和的长，从而求出、和．当点P在段上运动且P、Q两点间的距离最短时，此时连线过O点且垂直于．根据三角函数和已知线段长度，求出P、Q两点的运动路程之和． 【详解】解：由图可知，， ∵四边形为菱形 ∴ ∴ P在上时，Q在上，距离最短时，连线过O点且垂直于． 此时，P、Q两点运动路程之和 ∵（厘米） ∴（厘米） 故选：A． 10. 如图，在平面直角坐标系中，动点P在直线上，动点Q在半径为3的上（O为坐标原点），过点P作的一条切线，R为切点，则的最小值为（ ） A. 5 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】连接，则，由切线的性质，得到，故当最小时，均取得最小值，此时的值最小，设直线与轴，轴分别交于两点，根据垂线段最短，得到当时，的值最小，等积法求出的长，即可得出结果． 【详解】解：连接，则：，， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴当最小时，均取得最小值，此时的值最小， 设直线与轴，轴分别交于两点， ∵动点P在直线上， ∴当时，的值最小， 当时，，当时，， ∴，， ∴， ∴， 当时，，即， 解得， ∴的最小值为，的最小值为， ∴的最小值为． 故选B． 【点睛】本题考查切线的性质，圆外一点到圆上一点的最值，一次函数与坐标轴的交点问题，垂线段最短，勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点，确定点的位置，是解题的关键． 第Ⅱ卷（选择题） 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 11. 不等式的解集是_____． 【答案】 【解析】 【详解】解：原不等式移项得， 合并同类项得． 12. 分解因式：，结果为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键，先提公因式，再利用完全平方公式进行因式分解即可． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 13. 符合黄金分割比例的图形会使人产生视觉上的美感．如图所示的五角星中，两点都是的黄金分割点，若，则的长是______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了黄金分割，根据黄金分割的定义可得，故可求得的长． 【详解】解：∵两点都是的黄金分割点，， 故答案为： 14. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A、C恰好落在双曲线上，且点O在上，交x轴于点E．①当A点坐标为时，D点的坐标为______；②当平分时，正方形的面积为______． 【答案】 ①. ②. 12 【解析】 【分析】①先求解，如图，连接，过作轴于，过作轴于，证明，可得，从而可得答案； ∴； ②设，同理可得：，求解直线为，可得，求解，，如图，过作于，证明，可得，可得，而，求解，，从而可得答案． 故答案为：， 【详解】解：①∵在上， ∴，即， 如图，连接，过作轴于，过作轴于， ∴， ∵正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②设， 同理可得：， 设直线为， ∴，解得：， ∴直线为， 当时，则， 解得：，即， ∴， ， 如图，过作于， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 整理可得：， ∴，而， ∴，， ∴正方形的面积． 故答案为：， 【点睛】本题考查的是正方形的性质，全等三角形的判定与性质，利用待定系数法求解一次函数的解析式，反比例函数的应用，勾股定理的应用，利用平方根的含义解方程，角平分线的性质，本题难度较大，属于压轴题． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算：． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算，根据零指数幂、绝对值、算术平方根、负整数指数幂的运算法则分别计算即可．熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ． 16. 如图，在平面直角坐标系中，小正方形网格的边长为1个单位长度，且三个顶点的坐标分别为． （1）在图中画出将向右平移6个单位长度得到的． （2）在图中画出将绕点C逆时针方向旋转得到的． 【答案】（1） 解：由平移的性质作图，如图1，即为所作； （2） 解：由旋转的性质作图，如图2，即为所求． 【解析】 【分析】本题考查了平移作图，作旋转图形等知识．熟练掌握平移作图，作旋转图形是解题的关键． （1）利用平移的性质作图即可； （2）利用旋转的性质作图即可． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 略． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 茶叶促销活动前后，，两种茶叶的销量（单位：两）和销售额（单位：元）对比情况如下表．已知促销时茶叶是按原价的八折销售，其打折后的价格与茶叶打折前的价格相同． 茶叶销量 茶叶销量 销售额 打折前 300 200 6900 打折后 500 400 9360 （1）每两，茶叶的原价分别是多少？ （2）促销期间，王阿姨带了96元要买茶叶和打折后为8元的茶叶（两种茶叶的销量均为正整数），若所带的钱刚好用完，请通过计算说明她有几种购买方案． 【答案】（1）每两A，B茶叶的原价分别是15元，12元； （2）三种购买方案，方案一：购买2两A茶叶和9两C茶叶；方案二：购买4两A茶叶和6两C茶叶；方案三：购买6两A茶叶和3两C茶叶 【解析】 【分析】（1）依据题意，设每两A茶叶的原价是x元，则每两B茶叶的原价是y元，可得，进而计算可以得解； （2）依据题意，促销期间，A茶叶单价为12元/两，C茶叶单价为8元/两，又设购买A茶叶a两，C茶叶c两为正整数，则，故，进而可以计算得解． 本题主要考查了二元一次方程组和二元一次方程的应用，解题时要熟练掌握并能根据题意列出方程组是关键． 【小问1详解】 解：由题意，每两A茶叶的原价是x元，则每两B茶叶的原价是y元， ， 答：每两A，B茶叶的原价分别是15元，12元； 【小问2详解】 解：由题意，促销期间，A茶叶单价为12元/两，C茶叶单价为8元/两， 设购买A茶叶a两，C茶叶c两为正整数， ， 需为正偶数， 为偶数，即a为偶数． ∵， ，4， 或或 共有3种方案． 18. 利用图形来表示数量或数量关系，也可以利用数量或数量关系来描述图形特征或图形之间的关系，这种思想方法称为数形结合．你能利用数形结合的思想解决下列问题吗? （1）如图①，一个边长为1的正方形，依次取正方形面积的，，，…，，根据图示我们可以知道：_____________；那么____________； （2）如图②，一个边长为1的正方形，依次取剩余部分的，根据图示：计算：___________； （3）如图③是一个边长为1的正方形，根据图示：计算：_________．（用含的式子表示） 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意找出规律进行计算即可； （2）根据题干给出图形，依次取正方形面积的，…，找出规律即可； （3）根据题干给出图形，依次取正方形面积的，…，找出规律即可． 【小问1详解】 解：∵第1次截取后剩余， 第2次截取后剩余， 第3次截取后剩余， …， 第n次截取后剩余， ∴，． 故答案为：，． 【小问2详解】 解：∵第1次截取后剩余， 第2次截取后剩余， 第3次截取后剩余， …， 第n次截取后剩余， ∴． 故答案为：． 【小问3详解】 解：∵第1次截取后剩余， 第2次截取后剩余， 第3次截取后剩余， …， 第n次截取后剩余， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查的图形的变化类，根据题干给出的图形，利用数形结合求解是解答此题的关键． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 某山区为应对突发情况，设立救援指挥部．已知指挥部，补给点，山脚在同一条直线上，标记点在指挥部的东北方向，补给点的北偏西方向，瞭望塔在标记点的北偏东方向米处，且距补给点的距离与标记点距补给点的距离相等．瞭望塔距山脚米．（参考数据：，，） （1）求指挥部A与山脚的距离（结果保留整数）； （2）某次救援行动中，有求救者在山脚求救，巡逻队员发现后通知救援队并让求救者向补给点撤离，同时救援队员从瞭望塔出发，并以求救者倍的速度赶往补给点，当救援队员与求救者相距米时可建立联系．求救援队员行驶多少米后能与求救者联系．（结果保留小数点后一位）． 【答案】（1）指挥部A与山脚的距离约为米 （2）救援队员行驶约米后能与求救者联系 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． （1）过点作交于点，过点作，过点作交于点，求得，可得为等腰直角三角形，则可得米，分别解直角三角形求得即可解答； （2）设求救者为点，救援队为点，过点作于点，设米，则米，分别表示出，利用勾股定理列方程即可解答． 【小问1详解】 解：如图，过点作交于点，过点作，过点作交于点， 由题意可得， ， ， ， ， 为等腰直角三角形， 米，， 在中，米，米， 在中，米，米， ，， 米， 在中，米， 米； 【小问2详解】 解：如图，设求救者为点，救援队为点，过点作于点， ， 设米，则米， 米，米， ， 米，米， 米， ， 当米时，可得， 解得，， ，故舍去， ， 则米， 即救援队员行驶约米后能与求救者联系． 20. 如图1，是半圆的直径，为半圆上的两点，且．连结并延长，与的延长线相交于点． （1）求证：； （2）如图2，过点作，垂足为点．与，分别交于点，． ①若的面积为___________（直接写出答案）； ②若是半圆上一动点（不与重合），当是等腰三角形时，的值为___________（直接写出答案）． 【答案】（1） 证明：如图1，连结， 是直径， ． ， ， ， 又， ， ； （2）①；②或 【解析】 【分析】（1）由是直径得到，由等弧所对的圆周角相等可得，从而得到，又由得到，从而即可得证； （2）①通过证明，得到，从而求出的长，再通过勾股定理求出的值，最后通过面积公式即可求得答案；②分三种情况：当时，当时，当时，分别进行讨论即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①如图，由（1）知，，， 又， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； ②Ⅰ．如图3，当时，则， ， ， ， ， ，， ， 由①知， ； Ⅱ．当时，不合题意； Ⅲ．如图4，当时， ， 设， ， 又， ， ， ， ， ， ， 过作的平分线交于点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 综上所述，为或． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，角平分线的性质，勾股定理等知识，熟练掌握圆周角定理，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，角平分线的性质，添加适当的辅助线，是解题的关键． 六、（本题满分12分） 21. 某校开展了以“永远跟党走，奋进新征程”为主题的知识竞赛．发现该校全体学生的竞赛成绩（百分制）均不低于60分，现从中随机抽取n名学生的竞赛成绩进行整理和分析（成绩得分用x表示，共分成四组），并绘制成如下的竞赛成绩分组统计表和扇形统计图，其中“”这组的数据如下：82，83，83，84，84，85，85，86，86，86，87，89． 竞赛成绩分组统计表 组别 竞赛成绩分组 频数 平均分 1 8 65 2 a 76 3 b 85 4 c 94 请根据以上信息，解答下列问题： （1）____________； （2）“”这组数据的众数是____________分； （3）随机抽取的这n名学生竞赛成绩的中位数是____________分； （4）若学生竞赛成绩达到85分以上（含85分）为优秀，请你估计全校4000名学生中优秀学生的人数． （5）该校九年级（3）班追梦小组的四名同学（1名男生，3名女生）在该竞赛中均成绩优秀，从这四名同学中任选两人参加学校的五四青年节活动，请用列表或画树状图的方法求恰好选中一名男生和一名女生的概率． 【答案】（1）20； （2）86； （3）； （4）估计全校3000名学生中优秀学生的人数约2160人． （5） 【解析】 【分析】本题考查扇形统计图，统计表，中位数、众数的定义，用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）用1组的频数除以可得样本容量，再用样本容量乘4组所占百分比可得c的值； （2）根据题目中的数据，可以写出“”这组的数据的众数即可； （3）根据题目中的数据和中位数的定义，即可计算出中位数； （4）用总人数3000乘样本中成绩达到85分以上（含85分）所占比例可得答案； （5）利用列表法或树状图法求概率即可． 【小问1详解】 解：由题意得，样本容量为：， ． 故答案为：20； 【小问2详解】 解：“”这组的数据的众数是86； 故答案为：86； 【小问3详解】 解：由题意得，， ， ∴第25，26名学生的成绩分别为85,86， ∴随机抽取的这n名学生竞赛成绩的中位数是， 故答案为：； 【小问4详解】 解：（人）． 答：估计全校4000名学生中优秀学生的人数约2160人． 【小问5详解】 列表如下： 男 女 女 女 男 （男，女） （女，女） （女，女） 女 （女，男） （女，女） （女，女） 女 （女，男） （女，女） （女，女） 女 （女，男） （女，女） （女，女） 共有12种等可能结果，其中恰好为一男一女的结果有4种， ∴． 七、（本题满分12分） 22. （1）问题：如图1，在中，，，为边上一点（不与点，重合），连接，过点作，并满足，连接．则线段和线段的数量关系是_____，位置关系是_____． （2）探索：如图2，当点为边上一点（不与点，重合），与均为等腰直角三角形，，，．试探索，．之间满足的等量关系，并证明你的结论； （3）拓展：如图3，在四边形中，，若，，请求出线段的长． 【答案】（1），； （2），证明如下： 如图所示，连接， ∵，， ∴， ∵， ∴，即， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）先根据等腰直角三角形的性质得到，再证明得到，，再证明，得到，则，； （2）如图所示，连接，先根据等腰直角三角形的性质得到，再证明，得到，，则，由勾股定理得到，则；再由勾股定理得到，即可得到； （3）将线段绕点A逆时针旋转得到，连接，，则，，即可推出，， 证明，得到， ，则由勾股定理得，进而得到，则． 【详解】解：（1）∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴； ∴，； 故答案为：，； （2）略 （3）将线段绕点A逆时针旋转得到，连接，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理、旋转的性质，等腰直角三角形的性质等，掌握全等三角形的判定定理和性质是解题的关键． 八（本题满分14分） 23. 综合与探究： 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点C，与y轴交于点，点P是抛物线上点A与点C之间的动点（不包括点A，点C）． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，动点P在抛物线上，且在直线上方，求面积的最大值及此时点P的坐标； （3）如图2，过原点O作直线l交抛物线于M、N两点，点M的横坐标为m，点N的横坐标为n．求证：是一个定值． 【答案】（1）； （2），； （3） 证明：设直线的解析式为， 解方程组， 可得：， 整理得：， 一元二次方程中， ， 一元二次方程有两个不相等的实数根， 这两个不相等的实数根分别为、， 则有， 是一个定值． 【解析】 【分析】本题考查二次函数与几何的综合，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质． （1）利用待定系数法把点和点的坐标代入，得到，解方程组求出、的值，可得抛物线的解析式； （2）过点作轴，交于点，把分成和，可得的面积为，配方可得，从而可知当时，的面积有最大值，此时的坐标为； （3）设直线的解析式为，因为、是抛物线与直线的交点，可得方程，整理得，根据一元二次方程根与系数的关系可证是一个定值． 【小问1详解】 解：把点和点的坐标代入， 得到：， 解得：， 抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：如下图所示，过点作轴，交于点， 设直线的解析式为， 把点和点的坐标代入， 可得：， 解得：， 直线的解析式为， 设点的横坐标为，则点的纵坐标为， 点的横坐标为，点的纵坐标为， ， ， 整理得：， 可知当时，的面积有最大值，最大值是， 当时，， 此时点的坐标为； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度第二学期九年级素养监测调研 数学试题 考试时间：120分钟 满分：150分 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．试题本试卷分第I卷（选择题）和第ⅡI卷（非选择题）两部分． 第I卷（选择题） 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 下列四个数中，有理数是（　　） A. B. C. D. 2. 一年365天有31536000秒．数31536000用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，从左面看这个由5个相同的小正方体组成的立体图形，看到的平面图形是（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，是半圆O的直径，点B、C在半圆上，且，点P在上，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 6. “六一儿童节”，文化路一小组织小朋友抽奖活动，用6张完全相同的卡片，上面分别写上1，2，3，4，5，6．随机抽取1张后，放回并混合在一起，再随机抽取1张，若第二次取出的数字是第一次取出数字的整数倍可以获奖，则获奖的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 如图所示，在中，是的垂直平分线，，的周长为，则的周长为（ ） A. B. C. D. 8. 一元二次方程的两根分别为和，则为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 0 9. 如图①，菱形的对角线与相交于点，，两点同时从点出发，以1厘米/秒的速度在菱形的对角线及边上运动．点的运动路线为，点的运动路线为，设运动的时间为秒，，间的距离为厘米，与的函数关系的图象大致如图②所示，当点在段上运动且，两点间的距离最短时，，两点的运动路程之和为（       ）厘米． A. B. C. 8 D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，动点P在直线上，动点Q在半径为3的上（O为坐标原点），过点P作的一条切线，R为切点，则的最小值为（ ） A. 5 B. 6 C. 8 D. 10 第Ⅱ卷（选择题） 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 11. 不等式的解集是_____． 12. 分解因式：，结果为_______． 13. 符合黄金分割比例的图形会使人产生视觉上的美感．如图所示的五角星中，两点都是的黄金分割点，若，则的长是______． 14. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A、C恰好落在双曲线上，且点O在上，交x轴于点E．①当A点坐标为时，D点的坐标为______；②当平分时，正方形的面积为______． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算：． 16. 如图，在平面直角坐标系中，小正方形网格的边长为1个单位长度，且三个顶点的坐标分别为． （1）在图中画出将向右平移6个单位长度得到的． （2）在图中画出将绕点C逆时针方向旋转得到的． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 茶叶促销活动前后，，两种茶叶的销量（单位：两）和销售额（单位：元）对比情况如下表．已知促销时茶叶是按原价的八折销售，其打折后的价格与茶叶打折前的价格相同． 茶叶销量 茶叶销量 销售额 打折前 300 200 6900 打折后 500 400 9360 （1）每两，茶叶的原价分别是多少？ （2）促销期间，王阿姨带了96元要买茶叶和打折后为8元的茶叶（两种茶叶的销量均为正整数），若所带的钱刚好用完，请通过计算说明她有几种购买方案． 18. 利用图形来表示数量或数量关系，也可以利用数量或数量关系来描述图形特征或图形之间的关系，这种思想方法称为数形结合．你能利用数形结合的思想解决下列问题吗? （1）如图①，一个边长为1的正方形，依次取正方形面积的，，，…，，根据图示我们可以知道：_____________；那么____________； （2）如图②，一个边长为1的正方形，依次取剩余部分的，根据图示：计算：___________； （3）如图③是一个边长为1的正方形，根据图示：计算：_________．（用含的式子表示） 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 某山区为应对突发情况，设立救援指挥部．已知指挥部，补给点，山脚在同一条直线上，标记点在指挥部的东北方向，补给点的北偏西方向，瞭望塔在标记点的北偏东方向米处，且距补给点的距离与标记点距补给点的距离相等．瞭望塔距山脚米．（参考数据：，，） （1）求指挥部A与山脚的距离（结果保留整数）； （2）某次救援行动中，有求救者在山脚求救，巡逻队员发现后通知救援队并让求救者向补给点撤离，同时救援队员从瞭望塔出发，并以求救者倍的速度赶往补给点，当救援队员与求救者相距米时可建立联系．求救援队员行驶多少米后能与求救者联系．（结果保留小数点后一位）． 20. 如图1，是半圆的直径，为半圆上的两点，且．连结并延长，与的延长线相交于点． （1）求证：； （2）如图2，过点作，垂足为点．与，分别交于点，． ①若的面积为___________（直接写出答案）； ②若是半圆上一动点（不与重合），当是等腰三角形时，的值为___________（直接写出答案）． 六、（本题满分12分） 21. 某校开展了以“永远跟党走，奋进新征程”为主题的知识竞赛．发现该校全体学生的竞赛成绩（百分制）均不低于60分，现从中随机抽取n名学生的竞赛成绩进行整理和分析（成绩得分用x表示，共分成四组），并绘制成如下的竞赛成绩分组统计表和扇形统计图，其中“”这组的数据如下：82，83，83，84，84，85，85，86，86，86，87，89． 竞赛成绩分组统计表 组别 竞赛成绩分组 频数 平均分 1 8 65 2 a 76 3 b 85 4 c 94 请根据以上信息，解答下列问题： （1）____________； （2）“”这组数据的众数是____________分； （3）随机抽取的这n名学生竞赛成绩的中位数是____________分； （4）若学生竞赛成绩达到85分以上（含85分）为优秀，请你估计全校4000名学生中优秀学生的人数． （5）该校九年级（3）班追梦小组的四名同学（1名男生，3名女生）在该竞赛中均成绩优秀，从这四名同学中任选两人参加学校的五四青年节活动，请用列表或画树状图的方法求恰好选中一名男生和一名女生的概率． 七、（本题满分12分） 22. （1）问题：如图1，在中，，，为边上一点（不与点，重合），连接，过点作，并满足，连接．则线段和线段的数量关系是_____，位置关系是_____． （2）探索：如图2，当点为边上一点（不与点，重合），与均为等腰直角三角形，，，．试探索，．之间满足的等量关系，并证明你的结论； （3）拓展：如图3，在四边形中，，若，，请求出线段的长． 八（本题满分14分） 23. 综合与探究： 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点C，与y轴交于点，点P是抛物线上点A与点C之间的动点（不包括点A，点C）． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，动点P在抛物线上，且在直线上方，求面积的最大值及此时点P的坐标； （3）如图2，过原点O作直线l交抛物线于M、N两点，点M的横坐标为m，点N的横坐标为n．求证：是一个定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $