精品解析：2025-2026学年度贵州师范大学附属中学高一下期中考试数学试卷

2025-2026学年度贵州师范大学附属中学 高2025级高一下期中考试 数学学科试题 考试时间120分钟 试卷满分150分 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效. 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知平面向量，，若，则实数（ ） A. 2 B. C. 1 D. 2. 为测量两塔塔尖之间的距离，某数学建模活动小组构建了如图所示的几何模型.若平面，平面，，，，，，则塔尖之间的距离为（ ） A. B. C. D. 3. 已知在中，，则的形状为（ ） A. 等边三角形 B. 等腰三角形 C. 直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形 4. 设，则（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在复平面内，已知复数，，，对应的向量分别是，，，是虚数单位，已知,则（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在四面体D－ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列结论正确的是（ ） A. 平面ABC⊥平面ABD B. 平面ABD⊥平面BDC C. 平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDE D. 平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE 7. 如图，棱长为2的正方体中，在线段（含端点）上运动，则下列判断正确的是（ ） A. 与不垂直 B. 三棱锥的体积始终为 C. 面 D. 与所成角的范围是 8. 如图所示，三棱柱中，若、分别为，靠近点的三等分点，平面将三棱柱分成左右两部分体积为和，那么（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.（全选对得6分，选对但不全得部分分，有选错得0分） 9. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，则（ ） A. B. C. 的面积为 D. 的周长为 10. 18世纪末期，挪威测量学家威塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数，使复数及其运算具有了几何意义，例如，，也即复数的模的几何意义为对应的点到原点的距离.下列说法正确的是（ ） A. 复数与分别表示向量与，则表示向量的复数为 B. 若复数满足，则复数对应的点在一条直线上 C. 若复数满足，则复数对应的点所构成的图形面积为 D. 若复数是的共轭复数，则与对应的点关于实轴对称，且 11. 如图，正方体的棱长为4，F是的中点，点P为正方形内一动点（含边界），则下列说法正确的是（ ） A. 四棱锥的体积为定值 B. 当时，点P的轨迹长度为 C. 当直线AP与平面所成的角为时，则点P的轨迹长度为 D. 若直线平面，则点P的轨迹长度为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量．若，则______________． 13. 计算__________． 14. 在棱长为1正方体中，为棱的中点，动点在侧面及其边界上运动，总有，则动点的轨迹长度为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知向量. （1）若，求； （2）若，求向量与的夹角的余弦值. 16. 已知的内角的对边分别为且. （1）求的大小; （2）求的面积. 17. 已知复数. （1）若为纯虚数，求. （2）若关于的方程有两个不同的根，且两个根都能写成题中的形式，分别求下面两种情况下的值： （i）两个根都是实数； （ii）两个根都是虚数. 18. 如图，已知四棱锥中，平面，底面为直角梯形，为中点． （1）求证： 平面； （2）求点D到平面的距离． 19. 如图，我们把由平面内夹角成的两条数轴，构成的坐标系，称为“完美坐标系”.设，分别为，正方向上的单位向量，若向量，则把实数对叫做向量的“完美坐标”，记作. （1）若，，求的“完美坐标”； （2）已知，，证明：； （3）若，，设函数，，求不等式的解集. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度贵州师范大学附属中学 高2025级高一下期中考试 数学学科试题 考试时间120分钟 试卷满分150分 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效. 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知平面向量，，若，则实数（ ） A. 2 B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】依题意可得，根据数量积坐标表示计算可得. 【详解】因为，且， 所以，解得. 故选：A 2. 为测量两塔塔尖之间的距离，某数学建模活动小组构建了如图所示的几何模型.若平面，平面，，，，，，则塔尖之间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先在中求得，中求得，再在中利用余弦定理求即可. 【详解】依题意，在中，，，则，； 在中，，，则; 又中，，则. 故塔尖之间的距离为. 故选：B. 3. 已知在中，，则的形状为（ ） A. 等边三角形 B. 等腰三角形 C. 直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形 【答案】D 【解析】 【分析】利用正弦定理与二倍角公式化简，再根据三角形的内角范围分析即可 【详解】由正弦定理有，因为，故，故，即，又，故或，即或，故的形状为等腰三角形或直角三角形 故选：D 4. 设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，利用共轭复数的定义以及复数的加减法可得出关于、的等式，解出这两个未知数的值，即可得出复数. 【详解】设，则，则， 所以，，解得，因此，. 故选：C. 5. 如图，在复平面内，已知复数，，，对应的向量分别是，，，是虚数单位，已知,则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】结合图形，写出复数，，，再计算化简，求出其共轭复数，最后根据模的定义求模即可得到答案． 【解答】由图可得，，， 则，则， 所以． 6. 如图，在四面体D－ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列结论正确的是（ ） A. 平面ABC⊥平面ABD B. 平面ABD⊥平面BDC C. 平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDE D. 平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE 【答案】C 【解析】 【分析】利用垂直关系，结合面面垂直的判断定理，即可判断选项. 【详解】因为AB＝CB，且E是AC的中点，所以BE⊥AC，同理有DE⊥AC，于是AC⊥平面BDE.因为AC在平面ABC内，所以平面ABC⊥平面BDE.又由于AC⊂平面ACD，所以平面ACD⊥平面BDE. 故选：C 7. 如图，棱长为2的正方体中，在线段（含端点）上运动，则下列判断正确的是（ ） A. 与不垂直 B. 三棱锥的体积始终为 C. 面 D. 与所成角的范围是 【答案】C 【解析】 【分析】根据线面垂直的判定定理、三棱锥的体积公式，结合线面平行的判定定理、异面直线所成角的定义逐一判断即可. 【详解】对于选项，因为平面，平面， 所以，而，平面， 所以平面，而平面，所以， 同理，而平面， 从而平面，而平面，所以，因此本选项说法不正确； 对于选项，因为，平面，平面， 所以面,所以本选项说法不正确； 对于选项，由上可知：面， 因为，平面，平面， 所以面，而平面， 所以平面平面，而平面， 所以面，因此本选项说法正确； 对于选项，当与重合时，与所成角为0，当与重合时， 国为，， 所以与所成角为，所以错误． 故选：C． 8. 如图所示，三棱柱中，若、分别为，靠近点的三等分点，平面将三棱柱分成左右两部分体积为和，那么（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用棱台体积公式求解体积即可得到体积比. 【详解】设三棱柱的高为，底面的面积为，体积为，则， 因为、分别为，靠近点的三等分点，所以， 则，所以， 所以. 故选：D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.（全选对得6分，选对但不全得部分分，有选错得0分） 9. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，则（ ） A. B. C. 的面积为 D. 的周长为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用正余弦定理和已知条件，解三角形，验证各个选项. 【详解】由，有，得，选项A正确． 因为，由正弦定理有，，得，选项B正确． 的面积为，选项C错误． 因为，由余弦定理， 解得，故的周长为，选项D正确. 故选：ABD 10. 18世纪末期，挪威测量学家威塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数，使复数及其运算具有了几何意义，例如，，也即复数的模的几何意义为对应的点到原点的距离.下列说法正确的是（ ） A. 复数与分别表示向量与，则表示向量的复数为 B. 若复数满足，则复数对应的点在一条直线上 C. 若复数满足，则复数对应的点所构成的图形面积为 D. 若复数是的共轭复数，则与对应的点关于实轴对称，且 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据复数的概念和复数的几何意义，逐项检验，即可得到结果. 【详解】对于选项A，由题意可知，所以，所以表示向量的复数为，故A正确； 对于选项B，设复数，若，则，所以，所以复数对应的点在一条直线上，故B正确； 对于选项C，设复数，若复数满足，即，则复数对应的点在以原点为圆心半径分别为和的同心圆形成的圆环内，所以复数对应的点所构成的图形面积为，故C正确； 对于选项D，设复数，则， 所以与对应的点分别为， 所以与对应的点关于实轴对称，且，，所以，故D错误. 故选：ABC. 11. 如图，正方体的棱长为4，F是的中点，点P为正方形内一动点（含边界），则下列说法正确的是（ ） A. 四棱锥的体积为定值 B. 当时，点P的轨迹长度为 C. 当直线AP与平面所成的角为时，则点P的轨迹长度为 D. 若直线平面，则点P的轨迹长度为 【答案】ACD 【解析】 【分析】求出四棱锥的体积即判A断；求出的长度，分析点的轨迹，计算其长度判断BC；利用面面平行的性质得出点的轨迹，并计算出轨迹长度判断D. 【详解】对于A，点到侧面的距离即为，， ，四棱锥的体积为定值，A正确； 对于B，由平面，平面，得， 则， 点的轨迹是以点为圆心，为半径的四分之一圆，其轨迹长度为，B错误； 对于C，由与平面所成的角为，则为等腰直角三角形， ，则点的轨迹是以点为圆心，为半径为半径的四分之一圆， 其轨迹长度为，C正确； 对于D，取的中点，连接，由为的中点，得， 由平面，平面，得平面， 由且，得四边形为平行四边形，则， 而，则，由平面，平面，得平面， 由，平面，得平面平面， 当点在线段上运动时，平面，则平面， 因此点的轨迹为线段，其长度为，D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量．若，则______________． 【答案】## 【解析】 【分析】直接由向量垂直的坐标表示求解即可. 【详解】由题意知：，解得. 故答案为：. 13. 计算__________． 【答案】 【解析】 【分析】由复数的运算法则逐步化简，即可得解． 【详解】 ． 14. 在棱长为1正方体中，为棱的中点，动点在侧面及其边界上运动，总有，则动点的轨迹长度为______. 【答案】 【解析】 【分析】取中点，中点，连接，，，证明平面，即得点的轨迹为线段，即得解. 【详解】如图，取中点，中点，连接，，． 因为平面，所以， 又，平面， 所以平面，所以． 同理． 又，平面， 所以平面， 所以点的轨迹为线段，的长度为． 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知向量. （1）若，求； （2）若，求向量与的夹角的余弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由向量平行的坐标表示可构造方程求得，由此得到； （2）由向量垂直的坐标表示可构造方程求得，由向量夹角公式可计算求得结果. 【小问1详解】 ， 由可得：，解得：， ． 【小问2详解】 ， 由可得：，解得：， . 16. 已知的内角的对边分别为且. （1）求的大小; （2）求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理和余弦定理计算即可； （2）由三角形的面积公式计算即可； 【小问1详解】 由及正弦定理可得，因为，所以， 所以， 因为，所以. 【小问2详解】 由题意可得的面积为. 17. 已知复数. （1）若为纯虚数，求. （2）若关于的方程有两个不同的根，且两个根都能写成题中的形式，分别求下面两种情况下的值： （i）两个根都是实数； （ii）两个根都是虚数. 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）根据纯虚数的定义即可求解； （2）（i）由已知虚部为0，得到的值，利用韦达定理即可求解；（ii）由已知两根为共轭复数，设出两根列方程组求出两根，利用韦达定理即可求解. 【小问1详解】 因为为纯虚数，所以，所以； 【小问2详解】 （i）因为两个根都是实数，所以的虚部为， 所以，解得或， 当时，，当时，， 所以方程的两个根为和， 所以，； （ii）因为两个根都是虚数，所以两根为共轭复数， 设两根分别为， ，且， 所以，解得或， 所以，或，， 所以，. 18. 如图，已知四棱锥中，平面，底面为直角梯形，为中点． （1）求证： 平面； （2）求点D到平面的距离． 【答案】（1）证明见解析 （2）． 【解析】 【分析】（1）先根据已知证明四边形为平行四边形，得出，再应用线面平行判定定理得出线面平行； （2）根据线面平行判定定理得出平面，再结合等体积法及三棱锥体积公式计算求解. 【小问1详解】 取的中点G，连接， 因G、E分别为的中点，所以， 又则， 所以四边形为平行四边形，即， 又平面平面，则平面． 【小问2详解】 因平面平面，所以且， 因，所以，又，平面， 则平面，又平面，则， 由，得， 设点D到平面的距离为h，连接．则， 即， 即， 解得， 则点D到平面的距离为． 19. 如图，我们把由平面内夹角成的两条数轴，构成的坐标系，称为“完美坐标系”.设，分别为，正方向上的单位向量，若向量，则把实数对叫做向量的“完美坐标”，记作. （1）若，，求的“完美坐标”； （2）已知，，证明：； （3）若，，设函数，，求不等式的解集. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）,. 【解析】 【分析】（1）首先根据“完美坐标”的定义将和表示出来，进而利用向量的加减表示出. （2）利用向量数量积的坐标公式推导出的表达式. （3）首先用向量的基本公式将函数表达出来，然后对函数式进行变换，最后求解不等式. 【小问1详解】 由题得， 所以， 所以， 即的“完美坐标”为. 【小问2详解】 证明：由题知， 所以 即. 【小问3详解】 由（2）得. 因为， 所以， 所以， ， 所以. 令， 则， 所以， 即， 解得（舍去）或， 所以， 即， 所以， 所以， 即不等式的解集为，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $