精品解析：贵州省贵州师范大学附属中学2025-2026学年高一上学期期中考试数学试卷

北师大贵阳附中2025-2026学年第一学期期中考试 高一数学 考试时间：120分钟 试卷满分150分 2025.11 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 集合中的不能取的值是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据集合的互异性，即可求解. 【详解】由集合的互异性可知，，或，或， 得，或，或， 故选：C 2. “”是“”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由，可得或，利用充分性与必要性的定义判断即可. 【详解】由，可得或， 所以由得不出，所以“”是“”的不充分条件； 由能得出，所以“”是“”的必要条件； 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：A. 3. 下列四组函数中，同组的两个函数是相同的函数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据相同函数的定义逐一进行判断即可. 【详解】对A：函数的定义域为，函数的定义域为，两个函数的定义域不一样，所以它们不是相同的函数； 对B：由，所以函数的定义域为， 由或，所以函数的定义域为，两个函数的定义域不一样，所以它们不是相同的函数； 对C：函数的定义域为，函数的定义域为，两个函数的定义域不一样，所以它们不是相同的函数； 对D：函数与函数的定义域和对应法则都一样，所以它们是相同的函数. 故选：D 4. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，推得，即可求得的值. 【详解】， 故选：B 5. 已知函数的图象如图所示，则函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由图可知的两个根其中一个根在，另一个根在，结合，可得的范围，结合指数的单调性即可判断. 【详解】的图象与x轴的交点的横坐标为方程的两个根， 由可得两根为， 又，所以， 由可知，为增函数， 又由，得，所以的图象与y轴的交点在x轴上方， 只有C选项满足题意， 故选：C 6. 果农采摘水果，采摘下来的水果会慢慢失去新鲜度．已知某种水果失去新鲜度h与其采摘后时间t（天）满足的函数关系式为．若采摘后10天，这种水果失去的新鲜度为10%，采摘后20天，这种水果失去的新鲜度为20%．那么采摘下来的这种水果多长时间后失去40%新鲜度（ ） A. 25天 B. 30天 C. 35天 D. 40天 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件求出及的值，再利用给定公式计算失去40%新鲜度对应的时间作答. 【详解】依题意，，解得，当时，， 即，解得，于是得，解得， 所以采摘下来的这种水果30天后失去40%新鲜度. 故选：B 7. 我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.根据此想法，我们可以求函数图象的对称中心为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】令，化简后，利用奇函数的定义求得的值，即得答案. 【详解】令 由为奇函数，得，则，解得， 所以函数图象的对称中心为. 故选：A 8. 已知，，则（ ） A. B. C. D. ，但和的大小关系无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】分别由题意证出且，得出结论即可. 【详解】由于，所以，因此， 又因为，即，故 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若不等式的解集为或，则（ ） A. B. 不等式的解集为 C. D. 集合只有1个真子集 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用一元二次不等式解集的性质，求出，后，依次代入计算可判断各选项. 【详解】因为不等式的解集为或, 所以，为方程的两根， 所以,，解得，，所以，故正确； 将的值代入得，解得，故错误； ，故正确； 将的值代入可得，解得， 所以只有一个真子集，故正确. 故选：. 10. 下列说法正确的为（ ） A. 对任意实数，函数的图象必过定点 B. C. 与的图象关于轴对称 D. 函数在上单调递减 【答案】BC 【解析】 【分析】根据解析式特点可得定点坐标，判断A；，利用中间值可比较大小，判断B，利用点的对称性可判断函数图象的对称性，判断C，求出函数定义域结合复合函数的单调性可判断D. 【详解】对于A，当，恒为2，所以函数的图象必过定点，A错误； 对于B，，，因为，所以， 又，所以，B正确； 对于C，设的图象上任意一点为，则有，其关于轴的对称点为， 因为，即在的图象上， 所以与的图象关于轴对称，C正确； 对于D，由可得定义域为， 则在上单调递减，且为增函数， 故在上单调递减，D错误. 故选：BC 11. 德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其命名的函数，被称为狄利克雷函数，其中为实数集，为有理数集，则以下关于狄利克雷函数的结论中，正确的是（ ） A. 函数满足： B. 函数的值域是 C. 对于任意的，都有 D. 在图象上不存在不同的三个点，使得为等边三角形 【答案】AC 【解析】 【分析】利用，对选项A，B和C逐一分析判断，即可得出选项A，B和C的正误，选项D，通过取特殊点，此时为等边三角形，即可求解. 【详解】由于， 对于选项A，设任意，则； 设任意，则，总之，对于任意实数恒成立，所以选项A正确， 对于选项B，的值域为，又，所以选项B错误， 对于选项C，当，则，当，则，所以选项C正确， 对于选项D，取，此时，得到为等边三角形，所以选项D错误， 故选：AC． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知幂函数的图象经过点，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】通过求出解析式，再求函数值即可. 【详解】由题意得，解得， 所以，， 故答案为：. 13. 计算__________． 【答案】6 【解析】 【分析】利用指数幂的运算规则可得答案. 【详解】原式 . 故答案为：6 14. 已知函数满足对任意，且，都有成立，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可得在上单调递减，列不等式组求解即可. 【详解】函数满足对任意，且，都有成立， 所以在上单调递减，则，解得：, 所以实数的取值范围是 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知全集为，集合． （1）求； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用分式不等式与一元二次不等式，解得集合，根据交并补的集合运算，可得答案； （2）根据集合运算结果，可得集合之间的关系，建立不等式，可得答案. 【小问1详解】 由题意知，且， ， 则， ； 【小问2详解】 由知， 当时，或， 解得或，即实数a的取值范围为． 16. 《中华人民共和国乡村振兴促进法》中指出：全面实施乡村振兴战略，开展促进乡村产业振兴、人才振兴、文化振兴、生态振兴、组织振兴，推进城乡融合发展，为深入践行习近平总书记提出“绿水青山就是金山银山”的理念，围绕产业发展生态化，生态建设产业化”思路，某乡镇为全力打造成“生态特色小镇”，调研发现：某种农作物的单株产量（单位：）与肥料费用（单位：元）满足如下关系：，其他总成本为（单位：元），已知这种农作物的市场售价为5元/，且供不应求，记该单株农作物获得的利润为（单位：元） （1）求的函数关系式； （2）当投入的肥料费用为多少元时，该农作物单株获得的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1） （2）当投入的肥料费用为6元时，该农作物单株获得的利润最大，为42元 【解析】 【分析】（1）代入售价和成本即可得到利润结果. （2）由二次函数图像与性质即可得到最大值点和最大值. 【小问1详解】 解：由题意可得， , 所以函数的函数关系式为 【小问2详解】 当时，的图象为开口向上的抛物线， 对称轴为， 所以当时，； 当时，， 当且仅当，即时等号成立，此时. 综上：当投入的肥料费用为6元时，该农作物单株获得的利润最大，为42元. 17. 已知是一次函数，且满足． （1）求函数的解析式； （2）若函数，求函数在上的值域． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先分离常数，再根据反比例函数的性质即可得解. 【小问1详解】 设， 则， 所以，解得， 所以； 【小问2详解】 ， 因为，所以，所以， 所以， 所以函数在上的值域为． 18. 已知函数为奇函数，且． （1）求实数，的值； （2）判断函数在的单调性并证明； （3）解关于的不等式：． 【答案】（1）， （2）单调递增，证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）结合奇函数的定义及，列方程，解方程即可； （2）利用定义法判断并证明函数单调性； （3）结合函数的奇偶性、单调性，解不等式即可. 【小问1详解】 由已知为奇函数，且， 则， 所以，即， 所以， 又， 所以， 所以； 【小问2详解】 任取，，且，即，， 所以， 即， 所以函数在上单调递增； 【小问3详解】 函数为奇函数，则不等式可转化为， 在上单调递增，由，且， 所以，解得， 即不等式的解集为. 19. 问题：已知均为正实数，且，求证：． 证明：（当且仅当时，等号成立．） 学习上述解法并解决下列问题： （1）已知均为正实数，且，求的最小值； （2）已知均为正实数，且，求证：； （3）求的最小值，并求出使得取得最小值时的值． 【答案】（1）6 （2）答案见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）考查1的代换，将转换，再与相乘，用基本不等式. （2）考查1的代换，与相乘，用基本不等式. （3）考查第二问的应用，将转化为，再用第二问的结论. 【小问1详解】 转换，， 当且仅当时，等号成立． 【小问2详解】 当且仅当时，等号成立. 【小问3详解】 转化为，由（2）知，，当且仅当，即. 所以的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北师大贵阳附中2025-2026学年第一学期期中考试 高一数学 考试时间：120分钟 试卷满分150分 2025.11 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 集合中的不能取的值是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 2. “”是“”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 下列四组函数中，同组的两个函数是相同的函数是（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数的图象如图所示，则函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 6. 果农采摘水果，采摘下来的水果会慢慢失去新鲜度．已知某种水果失去新鲜度h与其采摘后时间t（天）满足的函数关系式为．若采摘后10天，这种水果失去的新鲜度为10%，采摘后20天，这种水果失去的新鲜度为20%．那么采摘下来的这种水果多长时间后失去40%新鲜度（ ） A. 25天 B. 30天 C. 35天 D. 40天 7. 我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.根据此想法，我们可以求函数图象的对称中心为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，，则（ ） A. B. C. D. ，但和的大小关系无法确定 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若不等式的解集为或，则（ ） A. B. 不等式的解集为 C. D. 集合只有1个真子集 10. 下列说法正确的为（ ） A. 对任意实数，函数的图象必过定点 B. C. 与的图象关于轴对称 D. 函数在上单调递减 11. 德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其命名的函数，被称为狄利克雷函数，其中为实数集，为有理数集，则以下关于狄利克雷函数的结论中，正确的是（ ） A. 函数满足： B. 函数的值域是 C. 对于任意的，都有 D. 在图象上不存在不同的三个点，使得为等边三角形 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知幂函数的图象经过点，则__________． 13. 计算__________． 14. 已知函数满足对任意，且，都有成立，则实数的取值范围是__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知全集为，集合． （1）求； （2）若，求实数的取值范围． 16. 《中华人民共和国乡村振兴促进法》中指出：全面实施乡村振兴战略，开展促进乡村产业振兴、人才振兴、文化振兴、生态振兴、组织振兴，推进城乡融合发展，为深入践行习近平总书记提出“绿水青山就是金山银山”的理念，围绕产业发展生态化，生态建设产业化”思路，某乡镇为全力打造成“生态特色小镇”，调研发现：某种农作物的单株产量（单位：）与肥料费用（单位：元）满足如下关系：，其他总成本为（单位：元），已知这种农作物的市场售价为5元/，且供不应求，记该单株农作物获得的利润为（单位：元） （1）求的函数关系式； （2）当投入的肥料费用为多少元时，该农作物单株获得的利润最大？最大利润是多少元？ 17. 已知是一次函数，且满足． （1）求函数的解析式； （2）若函数，求函数在上的值域． 18. 已知函数为奇函数，且． （1）求实数，的值； （2）判断函数在的单调性并证明； （3）解关于的不等式：． 19. 问题：已知均为正实数，且，求证：． 证明：（当且仅当时，等号成立．） 学习上述解法并解决下列问题： （1）已知均为正实数，且，求的最小值； （2）已知均为正实数，且，求证：； （3）求的最小值，并求出使得取得最小值时的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $