2.1　直线的倾斜角与斜率 2.1.1　倾斜角与斜率2026-2027学年高二数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦直线的倾斜角与斜率，通过课前自学要点（定义、范围、斜率公式等）搭建学习支架，课时学案按倾斜角理解、斜率求法、综合应用递进，帮助学生构建知识脉络。 其亮点在于以数学抽象、逻辑推理、数学运算为核心，通过“入木三分”辨析倾斜角与斜率关系误区，题型示例含分类讨论（如斜率存在性），探究总结方法。学生能深化概念理解与思维能力，教师可获得系统教学资源提升效率。

课前自学 内容导航 课时学案 课后巩固 Content Navigation 01 02 03 2.1　直线的倾斜角与斜率 2.1.1　倾斜角与斜率 素养目标 1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素．(数学抽象)2.理解直线的倾斜角和斜率的概念．(数学抽象)3.掌握倾斜角和斜率之间的关系．(逻辑推理)4.掌握过两点的直线斜率的计算公式．(数学运算) 课前自学 4 要点1　倾斜角 当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，______________________ ____________________________之间所成的角α叫做直线l的倾斜角． x轴正向与直线l向上的方向 第页 要点2　倾斜角的范围 当直线l与x轴______________时，我们规定它的倾斜角为0°.因此，直线的倾斜角α的取值范围为______________，具体如下： 平行或重合 0°≤α<180° 第页 要点3　斜率的概念 我们把一条直线的倾斜角α(α≠90°)的______________叫做这条直线的斜率，即k＝______________． 要点4　斜率公式 经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为_________ ___________． 正切值 tan α 第页 要点5　直线斜率与方向向量的关系 由斜率公式的推导可知，若直线l的斜率为k，它的一个方向向量的坐标为(x0，y0)，则k＝______________，那么斜率为k的直线的一个方向向量可以为______________． (1，k) 第页 1．直线的倾斜角越大，直线的斜率也越大，这句话对吗？ 答：不对．当k≥0，α∈[0°，90°)时，或当k<0，α∈(90°，180°)时，倾斜角越大，斜率越大． 2．斜率与倾斜角有什么关系？ 答：设直线的倾斜角为α，斜率为k. α的大小 0°≤α<90° 90° 90°<α<180° k的范围 k≥0 不存在 k<0 k的增减性 随α的增大而增大 — 随α的增大而增大 第页 返 回 课时学案 11 例 1　(1)下列图中标出的直线的倾斜角中正确的有________个． 题型一　 直线的倾斜角的理解 0 【解析】　(1)都不满足倾斜角的定义，图3中α与倾斜角的大小一样，但不是倾斜角． 第页 12 ① 【解析】　(2)任意一条直线都有唯一的倾斜角；倾斜角不可能为负；倾斜角为0°的直线有无数条，它们都垂直于y轴，因此①正确，②③错误．当α＝0°时，sin α＝0，故④错误．α有可能为135°，故⑤错误． 第页 探究1 求直线倾斜角的方法及注意点 (1)方法：求直线的倾斜角主要根据定义来求，其关键是根据题意画出图形，找准倾斜角，有时要根据情况分类讨论． (2)两点注意：①当直线与x轴平行或重合时，倾斜角为0°，当直线与x轴垂直时，倾斜角为90°. ②注意直线倾斜角α的取值范围是0°≤α<180°. 第页 思考题1　(1)若直线l向上的方向与y轴的正方向成30°角，则直线l的倾斜角为(　　) A．30°　　　　　　　　 B．60° C．30°或150° D．60°或120° √ 【解析】　(1)如图，直线l有两种情况，故l的倾斜角为60°或120°. 第页 (2)已知直线l1的倾斜角α1＝15°，直线l1与l2的交点为A，直线l1和l2向上的方向所成的角为120°，如图，则直线l2的倾斜角为________． 135° 【解析】　(2)设直线l2的倾斜角为α2，因为l1和l2向上的方向所成的角为120°， 所以∠BAC＝120°，所以α2＝120°＋α1＝135°. 第页 例 2　(1)经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率，并确定直线的倾斜角． ①A(2，3)，B(4，5)； ②C(－2，3)，D(2，－1)； ③P(－3，1)，Q(－3，10)． 题型二　 直线斜率的求法 第页 17 第页 (2)求经过两点A(a，2)，B(3，6)的直线的斜率． 第页 第页 探究2 第页 √ 第页 √ 第页 例 3　已知两点A(－3，4)，B(3，2)，过点P(1，0)的直线l与线段AB有公共点． (1)求直线l的斜率k的取值范围； 题型三　 直线的倾斜角和斜率的综合应用 第页 24 (2)求直线l的倾斜角α的取值范围． 【解析】　(2)由题意可知，直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间，又PB的倾斜角是45°，PA的倾斜角是135°，所以α的取值范围是45°≤α≤135°. 第页 探究3 (1)这样的题目一般是设想直线l绕点P旋转，考查这时l的倾斜角和斜率的变化规律，通过对l的斜率的变化规律的分析，不难发现kPA与kPB是两个关键的数据． (2)直线的倾斜角和斜率的关系： 直线的斜率反映了直线相对于x轴的正方向的倾斜程度．当0°≤α＜90°时，斜率越大，直线的倾斜程度越大；当90°＜α＜180°时，斜率越大，直线的倾斜程度也越大． 第页 思考题3　经过点P(0，－1)作直线l，若直线l与连接A(2，1)，B(2，－3)的线段总有公共点，求直线l的倾斜角α与斜率k的取值范围． 第页 例 4　已知三点A(1，－1)，B(4，－2)，C(－2，0)．求证：A，B，C三点共线． 第页 探究4 (1)若kAB，kAC存在，则kAB＝kAC⇔A，B，C三点共线，本题也可利用|AB|＋|AC|＝|BC|来证明． (2)斜率是反映直线相对于x轴正方向的倾斜程度．直线上任意两点所确定的方向不变，即在同一直线上任何不同的两点所确定的斜率都相等(当斜率存在时)．这正是利用斜率可证三点共线的原因． 第页 第页 返 回 课后巩固 32 1．【多选题】下列说法正确的是(　　) A．若α是直线l的倾斜角，则0°≤α<180° B．若k是直线的斜率，则k∈R C．任一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率 D．任一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角 √ √ √ 解析　由直线的倾斜角和斜率的定义知，A、B、C正确，D错误．故选ABC. 第页 √ 第页 3．【多选题】设直线l与x轴交于点A，其倾斜角为α，直线l绕点A顺时针旋转60°后得直线l1，则直线l1的倾斜角可能为(　　) A．α＋60° B．α＋120° C．α－60° D．120°－α √ √ 解析　直线l绕点A顺时针旋转60°后得直线l1，当60°≤α<180°时，直线l1的倾斜角为α－60°，当0°≤α<60°时，直线l1的倾斜角为180°－(60°－α)＝120°＋α. 第页 4．已知点A(1，2)，若在x轴上有一点P，使直线PA的倾斜角为135°，则P的坐标为________． (3，0) 第页 返 回 请做：课时作业（十五） 倾斜角 α＝0° 0°<α<90° α＝90° 90°<α<180° 直线 平行(或重合)于x轴 由左向右上升 垂直于x轴 由左向右下降 k＝eq \f(y2－y1,x2－x1) eq \f(y0,x0) 答：不对．当x1≠x2时，k＝eq \f(y2－y1,x2－x1)＝eq \f(y1－y2,x1－x2)；当x1＝x 2时，斜率不存在． 3.任意过P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线的斜率均为k＝eq \f(y2－y1,x2－x1)对吗？ (2)给出下列命题： ①任意一条直线都有唯一的倾斜角； ②一条直线的倾斜角可以为－30π； ③倾斜角为0°的直线只有一条，即x轴； ④若直线的倾斜角为α，则sin α∈(0，1)； ⑤若α是直线l的倾斜角，且sin α＝eq \f(\r(2),2)，则α＝45°. 其中正确命题是________． 【解析】　①存在，直线AB的斜率kAB＝eq \f(5－3,4－2)＝1， 则直线AB的倾斜角α满足tan α＝1， 又0°≤α<180°， 所以倾斜角α＝45°. ②存在，直线CD的斜率kCD＝eq \f(－1－3,2－（－2）)＝－1， 则直线CD的倾斜角α满足tan α＝－1， 又0°≤α<180°， 所以倾斜角α＝135°. ③不存在．倾斜角α＝90°. 【解析】　当a＝3时，斜率不存在； 当a≠3时，直线的斜率k＝eq \f(4,3－a). (3)已知直线l的方向向量的坐标为(1，eq \r(3))，则直线l的斜率为________． eq \r(3) (1)当倾斜角α＝90°时，直线的斜率不存在． (2)直线的方向向量与斜率的关系：若直线l的斜率为k，它的一个方向向量的坐标为(x，y)，则k＝eq \f(y,x). 【解析】　(1)由直线l的一个方向向量为v＝(－eq \r(3)，1)，得直线l的斜率k＝－eq \f(\r(3),3)，所以该直线的倾斜角大小为150°，故选C. 思考题2　(1)若直线l的一个方向向量为v＝(－eq \r(3)，1)，则该直线的倾斜角大小为(　　) A．60° B．30° C．150° D．120° 【解析】　(2)由题意，可知直线AB的斜率存在，且kAB＝eq \f(2m－1＋m,－m－5)＝tan eq \f(π,4)＝1. 解得m＝－1.故选C. (2)若直线经过两点A(5，－m)，B(－m，2m－1)且倾斜角为eq \f(π,4)，则m的值为(　　) A．2 B．3 C．－1 D．－eq \f(3,2) 【解析】　连接PA，PB，如图所示，由题意可知kPA＝eq \f(4－0,－3－1)＝－1，kPB＝eq \f(2－0,3－1)＝1. (1)要使直线l与线段AB有公共点，则k≤－1或k≥1，即直线l的斜率k的取值范围是(－∞，－1]∪[1，＋∞)． 【解析】　如图，连接PA，PB，则kPA＝eq \f(1－（－1）,2－0)＝1，直线PA的倾斜角α1＝45°，kPB＝eq \f(－3－（－1）,2－0)＝－1，直线PB的倾斜角α2＝135°， lPA要绕点P顺时针旋转，lPB要绕点P逆时针旋转才能与线段AB相交， ∴－1≤k≤1，135°≤α<180°或0°≤α≤45°. 【证明】　方法一：连接AB，AC. ∵kAB＝eq \f(－2＋1,4－1)＝－eq \f(1,3)，kAC＝eq \f(0＋1,－2－1)＝－eq \f(1,3)，∴kAB＝kAC. 又直线AB，AC有公共点A， ∴A，B，C三点共线． 方法二：连接AB，AC.∵A(1，－1)，B(4，－2)，C(－2，0)， ∴eq \o(AB,\s\up18(→))＝(3，－1)，eq \o(AC,\s\up18(→))＝(－3，1)， ∴eq \o(AB,\s\up18(→))＝－eq \o(AC,\s\up18(→))，又eq \o(AB,\s\up18(→))，eq \o(AC,\s\up18(→))有公共点A，∴A，B，C三点共线． 【解析】　∵A，B，C三点共线， ∴kAB＝kAC. ∴eq \f(3－（－3）,4－2)＝eq \f(\f(m,2)－（－3）,5－2). ∴m＝12. 思考题4　已知三点A(2，－3)，B(4，3)，Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5，\f(m,2)))在同一直线上，求m的值． 直线情况 平行(或重合)于x轴 垂直于x轴 α的大小 0° 0°＜α＜90° 90° 90°＜α＜180° k的范围 0 k＞0 不存在 k＜0 k的增减情况 —— k随α的增大而增大 —— k随α的增大而增大 解析　kAB＝eq \f(y＋3,4－2)＝tan 45°＝1，即eq \f(y＋3,2)＝1，所以y＝－1. 2．若过两点A(4，y)，B(2，－3)的直线的倾斜角为45°，则y等于(　　) A．－eq \f(\r(3),2)　　　　　　　　 B.eq \f(\r(3),2) C．－1 D．1 解析　设P(x，0)，易知x≠1，∴tan 135°＝eq \f(0－2,x－1)，即x－1＝2，∴x＝3.∴P(3，0)． 解析　如图，连接PA，PB，设直线l的倾斜角为α，斜率为k， ∵kAP＝eq \f(0－1,1－2)＝1， kBP＝eq \f(0－\r(3),1－0)＝－eq \r(3)， ∴k∈(－∞，－eq \r(3)]∪[1，＋∞)． ∴45°≤α≤120°. 5．直线l过点P(1，0)，且与以A(2，1)，B(0，eq \r(3))为端点的线段有公共点，求直线l的斜率和倾斜角的范围． $