四川省南江中学2025-2026学年下学期高二期中考试数学试卷

**基本信息** 该试卷聚焦高二数学核心知识，通过导数应用（如第15题单调性与极值）、数列综合（如第18题等差等比通项及求和）等试题，分层考查数学推理能力与模型观念，适配期中阶段性检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|导数计算（1题）、等差数列求和（2题）|基础巩固，聚焦概念理解| |多选|3/18|导数几何意义（9题）、数列性质（10题）|能力辨析，考查思维严谨性| |填空|3/15|切线方程（12题）、数列递推（13题）|简洁应用，强化知识迁移| |解答|5/77|导数极值与恒成立（15题）、数列与不等式综合（18题）|梯度设计，融合数学思维与表达，贴合高考命题趋势|

2025-2026学年四川省巴中市南江中学高二（下）期中数学试卷 一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。 1.已知函数f（x）=，则f′（2）=（　　） A. -2 B. -4 C. - D. - 2.已知等差数列{an}的通项公式为an=2n-9，则使得前n项和Sn最小的n的值为（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 3.导函数y=f′（x）的图象如图所示，在标记的点中，函数y=f（x）的极大值点为（　　） A. x1 B. x2 C. x3 D. x4 4.已知等比数列{an}中，a3•a10=1，a6=2，则公比q为（　　） A. B. 2 C. D. 4 5.已知函数f（x）=ax+cosx在上单调递增，则a的取值范围是（　　） A. [-1，+∞） B. [1，+∞） C. D. 6.下列命题为真命题的是（　　） A. 若a＞b＞1，则 B. 若a＞b＞1，则 C. 若a＜b＜0，则a2＜ab＜b2 D. 若a＜b＜0，则cosa＜tanb. 7.已知n∈N*，设函数的零点个数为an，则a1+a2+…+a10=（　　） A. 120 B. 210 C. 75 D. 240 8.定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足xf′（x）＞x+1，且f（5）=ln（5e5），则不等式f（ex）＞ex+x的解集为（　　） A. （10，+∞） B. （ln5，+∞） C. （ln10，+∞） D. （5，+∞） 二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。 9.下列命题正确的有（　　） A. 已知函数f（x）在R上可导，若f′（1）=2，则 B. C. 已知函数f（x）=ln（2x+1），若f′（x0）=1，则 D. 设函数f（x）的导函数为f′（x），且f（x）=x2+3xf′（2）+lnx,则 10.记Sn为数列{an}的前n项和，已知则（　　） A. 2026是数列{an}中的项 B. 数列{a2n-1}是公比为2的等比数列 C. S7=115 D. 若cn=a2n，则数列的前n项和小于 11.对于函数，则（　　） A. 函数f（x）的单调递减区间为（0，e） B. 不存在k∈R，使得直线y=k（x-1）与曲线y=f（x）相切 C. 若方程|f（|x|）|=k有6个不等实数根，则k＞e D. 对任意正实数x1，x2，且x1≠x2，若f（x1）=f（x2），则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知函数f（x）=ex+x,则曲线y=f（x）在x=0处的切线方程为        . 13.已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn+1Sn+an+1=0，a1=1，则a8=        . 14.已知函数y=ex的图象在点P（a,b）（其中a＜2）处的切线与圆心为Q（1，0）的圆相切，则圆Q的最大面积是        四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.(本小题13分) 已知函数f（x）=x3-3x2-9x+1（x∈R）. （1）求函数f（x）的单调区间和极值. （2）若2a-1≤f（x）对∀x∈[-2，4]恒成立，求实数a的取值范围. 16.(本小题15分) 如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，A1D⊥平面ABC，AB=AC，AB⊥AC，D，E分别为BC，B1C1的中点. （1）证明：侧面BCC1B1为矩形； （2）若AA1=2AB=4，求直线AA1与平面A1CE夹角的正弦值. 17.(本小题15分) 已知椭圆的左右焦点分别为F1，F2，点A（0，2）满足直线AF1，AF2的斜率之积为-4，点B是C上任意一点，. （1）求C的方程； （2）过点A的直线l与C交于D，E两点，若以DE为直径的圆经过坐标原点O，求直线l的方程. 18.(本小题17分) 已知等差数列{an}前n项和为Sn，2a1+a2=a4，S5=4a3+3.数列{bn}前n项和为Tn，Tn=2bn-2. （1）求数列{an}和{bn}的通项公式； （2）求数列的前n项和； （3）若数列的前2n项和为P2n，且P2n＞2026，求n的最小值. 19.(本小题17分) 已知函数f（x）=x2-1+aln（1+x）， （1）当a=-4时，讨论函数单调性； （2）当a=2时，若对任意x∈（-1，+∞），不等式f（x）+x+2≤bex+lnb恒成立，求b的最小值； （3）若f（x）存在两个不同的极值点x1，x2，x1＜x2，且f（x1）＜mx2，求实数m取值范围. 1.【答案】D  2.【答案】B  3.【答案】A  4.【答案】C  5.【答案】B  6.【答案】B  7.【答案】A  8.【答案】B  9.【答案】CD  10.【答案】AD  11.【答案】BCD  12.【答案】2x-y+1=0  13.【答案】  14.【答案】2π  15.【答案】解：（1）因为f（x）=x3-3x2-9x+1（x∈R）， 则f'（x）=3x2-6x-9=3（x+1）（x-3）， 合f′（x）=0，可得x=-1或x=3，列表如下： x （-∞，-1） -1 （-1，3） 3 （3，+∞） f′（x） + 0 - 0 + f（x） 增 极大值 减 极小值 增 所以，函数 f（x）的增区间为（-∞，-1）、（3，+∞），减区间为（-1，3）， 函数f（x）的极大值为f（-1）=-1-3+9+1=6，极小值为f（3）=27-27-27+1=-26． （2）由（1）可知，函数f（x）在区间[-2，-1]上单调递增，在[-1，3]上单调递减，在[3，4]上单调递增， 且 f（-2）=-8-12+18+1=-1，故当x∈[-2，4]时，f（x）min=min{f（-2），f（3）}=f（3）=-26， 因为2a-1≤f（x），对∀x∈[-2，4]恒成立，则2a-1≤f（x）min=-26，解得， 因此，实数a的取值范围是．  16.【答案】连接DE，如图所示： 易知A1E⊥B1C1， 又因为A1D⊥面ABC，面ABC∥面A1B1C1，所以A1D⊥面A1B1C1， 又因为B1C1⊂面A1B1C1，所以A1D⊥B1C1， 又因为A1D∩A1E=A1，A1D，A1E⊂面A1DE，所以B1C1⊥面A1DE， 又因为DE⊂面A1DE，所以B1C1⊥DE， D，E分别是BC，B1C1的中点，所以DE∥BB1，所以B1C1⊥BB1， 故侧面BCC1B1为矩形   17.【答案】   18.【答案】an=n；   32  19.【答案】函数f（x）在区间（1，+∞）上单调递增，在区间（-1，1）上单调递减    第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $