2.2.2平方根 课件 -2026-2027学年北师大版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦“平方根”核心内容，涵盖定义、性质、与算术平方根的关系及运算，通过复习算术平方根，以“(-2)^2=4，则-2叫4的什么”问题导入，搭建新旧知识衔接的学习支架。 其亮点在于通过思考探究（如平方等于4/25的数）引导学生发现性质，培养抽象能力，对比表格明晰平方根与算术平方根区别发展推理意识，“问算术只取正，问平方根正负全”口诀规范数学语言。助力学生理解概念，教师可提升教学效率。

北师大版数学八年级上册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年6月9日 2.2.2平方根 第二章 实数 2.2.2 平方根 精讲复习（北师大版八年级上册） 一、平方根的定义 一般地，如果一个数$$x$$ 的平方等于 $$a$$，即 $$x^2=a$$，那么这个数 $$x$$ 就叫做 $$a$$ 的平方根（也叫二次方根）。 核心区别于算术平方根：求平方根允许正负两个值，不只是正数。 表示方法：正数 $$a$$ 的平方根记作 $$\pm\sqrt{a}$$。 二、平方根的存在条件与性质 1. 正数有两个平方根，它们互为相反数，一正一负； 2. 0只有一个平方根，就是0本身； 3. 负数没有平方根（任何实数的平方都非负，不可能为负数）。 结论：只有非负数才有平方根。 三、平方根与算术平方根的关系（必考对比） 若正数 $$a$$ 的算术平方根为 $$\sqrt{a}$$，则它的两个平方根为 $$\sqrt{a}$$ 和 $$-\sqrt{a}$$。 简单总结： 1. 算术平方根：只有一个，恒为非负数（取正根）； 2. 平方根：一般两个，互为相反数（一正一负）； 3. 0的平方根和算术平方根都是0，二者相等。 四、平方根核心公式 1. $$(\sqrt{a})^2=a\ \ (a\ge0)$$ 2. $$\sqrt{a^2}=|a|$$ 3. 若 $$x^2=a$$，则 $$x=\pm\sqrt{a}\ \ (a\ge0)$$ 五、基础例题精讲 例1 求下列各数的平方根 （1）64 （2）0.49 （3）$$\dfrac{25}{36}$$ 解：（1）因为 $$(\pm8)^2=64$$，所以64的平方根是 $$\pm8$$； （2）因为 $$(\pm0.7)^2=0.49$$，所以0.49的平方根是 $$\pm0.7$$； （3）因为 $$\left(\pm\dfrac{5}{6}\right)^2=\dfrac{25}{36}$$，所以$$\dfrac{25}{36}$$的平方根是$$\pm\dfrac{5}{6}$$。 例2 已知平方根求未知数 已知一个正数的平方根是 $$2x-1$$ 和 $$x-5$$，求这个正数。 解：正数的两个平方根互为相反数，相加和为0。 $$(2x-1)+(x-5)=0$$，解得 $$3x-6=0，x=2$$。 两个平方根分别为：$$3$$ 和 $$-3$$，所以这个正数为 $$3^2=9$$。 六、高频易错点（考试重灾区） 1. 审题看错：问“平方根”必须写$$\pm$$，问“算术平方根”只写正数； 2. 误认为任何数都有平方根，负数无平方根、无意义； 3. 求一个正数的平方根只写正数，漏写负根导致直接扣分； 4. 混淆式子含义：$$\sqrt{a}$$ 表示算术平方根（非负），$$\pm\sqrt{a}$$ 才是平方根。 七、本节核心总结 1. 正数平方根两个、互为相反数；0的平方根为0；负数无平方根； 2. 根号√本身自带非负，单独根号只表示算术平方根； 3. 已知一个正数的两个平方根，可利用互为相反数、和为0列方程解题； 4. 做题口诀：问算术只取正，问平方根正负全。 学会进行开平方运算. 能够求一个数的平方根. 会利用平方和开方的互逆关系求某些非负数的平方根，对一些特殊的数及其平方根形成记忆。 上节课我们学习了算术平方根的概念、性质.知道若一个正数 x 的平方等于 a，即 x2 = a. 则 x叫 a 的算术平方根，记作 x = ，而且 a 也是 非负数. 复习旧知，导入新课 正数 22 = 4，则 2 叫作 4 的算术平方根，4 叫 2 的平方. 思考：若 (－2)2 = 4，则 －2 叫 4 的什么呢？ 请大家思考下面两个问题. 思考探究，获取新知 （1）3 的平方是 9，还有其他数的平方也是 9 吗？ 32 = 9 (－3)2 = 9 想一想： 3和－3有什么特征？ 互为相反数，3 和 －3 一起叫作 ±3. 思考探究，获取新知 （2）平方等于 的数有几个？ 平方等于 0.64 的数呢？ 一般地，如果一个数 x 的平方等于 a，即 x2 = a，那么这个数 x 就叫作 a 的平方根，也叫作二次方根. 结 论 9 的平方根： 的平方根： 请大家思考下面的问题： （1）一个正数有几个平方根？ （2）0 有几个平方根？ （3）负数呢？ 一个正数有两个平方根； 0 只有一个平方根，是 0 本身； 负数没有平方根. 尝试·思考 正数 a 有两个平方根，一个是 a 的算术平方根 ，另一个是 ，它们互为相反数. 这两个平方根合起来 可以记作 求一个数 a 的平方根的运算，叫作开平方，a 叫作被开方数. ± （a是非负数） →根号 →被开方数 读作：正、负根号a 观察下图，你发现了什么？ +1 －1 +2 －2 +3 －3 1 4 9 +1 －1 +2 －2 +3 －3 平方 开平方 平方和开平方互为逆运算 类别 名称 平方根 算术平方根 区别 定义不同 一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2=a，那么这个数x就叫作a的平方根（也叫作二次方根） 一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x就叫作a的算术平方根 个数不同 一个正数有两个平方根，它们互为相反数 一个正数的算术平方根只有一个 表示方法不同 非负数a的平方根表示为± 非负数a的算术平方根表示为 结果不同 正数的平方根是一正一负， 互为相反数 正数的算术平方根一定是正数 联系 具有包含关系 平方根包含了算术平方根，一个正数的算术平方根是它的平方根中正的那个 存在条件相同 被开方数为非负数，0的平方根与算数平方根都是0 求下列各数的平方根： 例 3 （1）64；（2） ；（3）0.0004；（4）(－25)2；（5）11。 49 121 解：（1）因为 ，所以 64 的平方根是 ， 即 ； （2）因为 ，所以 的平方根是 ， 即 ； 求下列各数的平方根： 例 3 （1）64；（2） ；（3）0.0004；（4）(－25)2；（5）11。 49 121 （3）因为 ，所以 0.0004 的平方根是±0.02，即 ； （4）因为 ，所以(－25)2 的平方根是±25，即 ； 求下列各数的平方根： 例 3 （1）64；（2） ；（3）0.0004；（4）(－25)2；（5）11。 49 121 （5）11 的平方根是 . 求下列各式的值： 例 4 （1） ；（2） ；（3） 。 解：（1） ； （2） ； （3） 。 1. “4的平方根是±2”用数学式子表示正确的是 (　B　) A. ＝±2 B. ± ＝±2 C. ＝2 D. － ＝－2 B 2. 的平方根是(　C　) A. B. － C. ± D. 3 C 随堂练习 3. (1) 49 的平方根是 ⁠； (2) 0.25 的平方根是 ⁠. 4. (1) 若 4x2＝1，则x＝ ⁠； (2) 若 100x2－9＝0，则x＝ ⁠. ±7　 ±0.5　 ± 　 ± 　 随堂练习 5. 一个正数的两个平方根分别是2a＋4和a－10， 求这个数.解得a＝1.1)2＝(2＋1)2＝9. 解：由于一个正数的两个平方根分别是 2a＋4 和 a－10， 则有 2a＋4＋a－10＝0， 即 3a－6＝0，解得a＝2. 所以这个数为 (2a＋4)2＝(2×2＋4)2＝64. 随堂练习 知识点1 平方根的定义及性质 1.2的平方根是(　　) A.±　　 B.　　 C.－　　 D. 返回 A 基础提优题 2.下列关于平方根的说法： ①正数的平方根是正数； ②－1的平方根是－1； ③的平方根是±4； ④非负数a的平方根是非负数； ⑤－m是m2的一个平方根； ⑥n2的平方根是n. 其中正确的有(　　) A.1个　　　　B.2个　　　　C.3个　　　　D.4个 返回 A 基础提优题 3.下列各数：0，，a2＋1，－2，－(－5)2，｜a－1｜，｜a｜－1，，a2－2a＋1，－a，a2－6，其中一定有平方根的数有　　　　个. 返回 6 基础提优题 4.若2a－3的平方根是它本身，则a2＋1的值是　　　　 . 返回 基础提优题 5. 已知a－1和5－2a都是非负数m的平方根，求m的值. 佳佳的解题过程如下： 解：因为a－1和5－2a都是非负数m的平方根， 所以a－1＋5－2a＝0，解得a＝4， 所以a－1＝3，所以m的值为9. 请问佳佳的解题过程正确吗？如果不正确，请说明理由. 返回 基础提优题 【解】佳佳的解题过程不正确，理由如下： 因为a－1和5－2a是非负数m的平方根， 所以当a－1＋5－2a＝0时，解得a＝4， 所以a－1＝3，所以m的值为9； 当a－1＝5－2a时，解得a＝2，所以a－1＝1， 所以m的值为1. 综上所述，m的值为1或9. 返回 基础提优题 课堂小结 平方根的性质 平方根的表示方法 正数 a 有两个平方根：“ ”（a的算术平方根）和“ ”. 它们互为相反数，合起来可以记作“± ”， 读作“正、负根号 a”. 一个正数有两个平方根；0 只有一个平方根，是 0 本身；负数没有平方根. $