2026年黑龙江省齐齐哈尔市中考数学仿真试卷（六）

**基本信息** 2026年齐齐哈尔市中考数学仿真试卷，以代数、几何、统计知识为载体，通过光的折射、冰灯展等真实情境，梯度设计基础巩固与创新应用问题，培养抽象能力、推理意识与数据观念。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10/30|相反数倒数、图形对称、光的折射几何计算等|结合光的折射情境考查平行线性质，动态函数图像体现几何直观| |填空题|6/18|圆锥侧面积、反比例函数与矩形、规律探究等|尺规作图与菱形判定结合，矩形中等腰三角形分类讨论| |解答题|8/72|统计图表分析、圆的切线证明、抛物线综合等|行程问题函数图像考查模型意识，旋转综合题发展空间观念|

2026年齐齐哈尔市中考数学仿真试卷（六） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 考生注意： 1.考试时间120分钟 2.全卷共三道大题，总分120分 3.请将答案写在答题卡的指定位置 一、单选题（每小题3分，满分30分） 1．的相反数的倒数是（    ） A． B． C．2026 D． 2．下列食品标识中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 3．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 4．光从一种物质斜射入另一种物质时，传播方向通常会发生偏折，这种现象叫做光的折射．如图所示，将某玻璃的两个界面抽象为两条直线，，且，一束光线从空气斜射入该玻璃，为入射点，为法线，为折射光线，为入射光线的延长线，若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 5．在一个仓库里堆积着若干个大小相同的正方体货箱，要搬运这些货箱很困难，可是仓库管理员要落实一下货箱的数量，于是就想出一个办法，将这堆货箱组成的几何体的三视图画了出来，如图所示，现要取走一些货箱，但要求剩余货箱的主视图不变，最多可以取走货箱的个数为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 6．一个不透明的袋中装有大小质感等相同的个红球，个黄球．先从袋中随机摸出个，放回摇匀，再从袋中随机摸出个．第一次摸到红球，第二次摸到黄球的概率是（     ） A． B． C． D． 7．方程有解，则m应满足（   ） A． B． C．或 D．且 8．为迎接2026年哈尔滨冰灯展，某校开展了以迎冰灯展为主题的演讲活动，计划拿出360元钱全部用于购买甲、乙两种奖品（两种奖品都购买），奖励表现突出的学生，已知甲种奖品每件18元，乙种奖品每件24元，则购买方案有（   ） A．3种 B．4种 C．5种 D．6种 9．如图，在等腰直角中，，动点F从点A出发，沿方向匀速运动，到达点B停止运动，过点F作交直角边或于点E，以为边向右作正方形，设点F运动的路程为，正方形和等腰直角重合部分的面积为y．下列图象能反映y与x之间函数关系的是（     ） A． B． C． D． 10．如图，已知二次函数的图象与轴交于点，其顶点坐标为．有以下结论：；；若，则的取值范围为或；；若对任意实数恒成立，则的取值范围为． 其中正确的有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 二、填空题（每小题3分，满分18分） 11．若人体安静状态下心率为75次/分，每搏输出量为，则一昼夜（）心脏泵出的血液总量为，将数据7560000用科学记数法表示为_____． 12．若圆锥的底面半径为2，侧面积为，则这个圆锥侧面展开图的圆心角是____． 13．如图，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交的边于点，分别以点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点，作射线交边于点．分别以点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，作直线，分别交于点．若，则的长为_______________． 14．如图，反比例函数与矩形的边，分别交于，两点，连接，，．若，，则的值是_______． 15．已知，四边形是矩形，点是矩形边上一点，且，，若是等腰三角形，则点到的距离是________． 16．如图，，正方形，正方形，正方形，正方形，…，的顶点，，在射线上，顶点，在射线上，连接交于点，连接交于点，连接交于点，…，连接交于点，连接交于点，…，按照这个规律进行下去，设四边形的面积为，四边形的面积为，四边形的面积为，…，，若，则等于________．（用含有正整数的式子表示）． 三、解答题(本题共8道大题，共72分) 17．计算与分解因式．(本题共2个小题，第(1)题5分，第(2)题4分，满分9分) (1)计算：； (2)分解因式：． 18．（本题满分4分）解不等式组，并写出它的所有非负整数解． 19．（本题满分5分）解方程： 20．（本题满分8分）历下区积极推动校园体育场地向社会开放，让居民在家门口就能享受到优质、安全的健身环境．为了解学校体育场地的使用情况，某校数学兴趣小组在本校体育场内随机抽取部分来健身的居民进行调查，获得了他们在该体育场内每周的平均锻炼时长（锻炼时长用表示，单位：），并对数据进行统计整理．数据分为组：A组：；B组：；C组：；D组：；E组：．下面给出了部分信息： a．不完整的居民每周平均锻炼时长的频数分布直方图和扇形统计图如下： b．C组的数据：，，，，，，，，，，，． 请根据以上信息完成下列问题： (1)求本次随机调查的居民总人数； (2)请补全频数分布直方图； (3)扇形统计图中E组所对应的圆心角为____度； (4)本次抽取居民的每周平均锻炼时长的中位数为____小时； (5)若附近有名居民来本校体育场锻炼，估计每周平均锻炼时长不少于小时的居民人数． 21．（本题满分10分）如图，在中，，以为直径的交于点，过点作交于点，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 22．（本题满分10分）一条笔直的公路顺次经过A，B，C三地，且B地与A，C两地的距离相等．甲、乙两车分别从A，C两地同时出发，匀速行驶．甲车到达B地停留1小时后以原速度继续前往C地，到达C地后立即调头（调头时间忽略不计），并按原路原速返回A地后停止运动；乙车从C地出发，经B地到达A地后停止运动，且甲车比乙车晚3小时到达A地．两车距A地的距离s（km）与所用时间t（h）的函数关系如图所示．请结合图象信息解答下列问题：（函数表达式都不需要写出自变量t的取值范围） (1)求图象中线段PQ所在直线的函数表达式； (2)AC两地的距离为　 　km，AB两地的距离为　 　km； (3)请直接写出线段OD所在直线的函数表达式　 　，线段FG所在直线的函数表达式　 　； (4)甲车从A地出发，到返回A地的过程中，请直接写出甲车出发后经过　 　h，甲、乙两车相距140km． 23．（本题满分12分）如图，在矩形中，对角线和相交于点，边的长为4，边的长为，在平面内绕点旋转，且始终保持，． (1)如图1，当点与点重合时，线段与线段的数量关系是_____，线段与线段的位置关系是_____． (2)如图2，我们发现在绕点旋转的程中始终保持，当点旋转至线段的中点时，求线段的长． (3)如图3，若点的运动轨迹为直线，连接，请直接写出线段的最小值和此时的面积． 24．（本题满分14分）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，与直线：交于A、D两点，其中，． (1)求抛物线的解析式 (2)如图1，P为直线上方抛物线上的一点，过P作轴交直线于Q点，、是轴上的两个动点，在上方，且．当线段长度取得最大值时，求的最小值 (3)如图2，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点D平移后的对应点为点F，连接，在新抛物线上确定一点R，直线与x轴交于点Q，当时，直接写出所有符合条件的点R的坐标，并写出其中一种情况的求解过程 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2026年齐齐哈尔市中考数学仿真试卷（六）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D C B C B D B A A 1．A 【详解】解：的相反数是2026，2026的倒数是． 2．D 【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B．是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； C．不是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； D．是轴对称图形，是中心对称图形，符合题意． 3．C 【详解】解：选项A：，A错误； 选项B：，B错误； 选项C：，C正确； 选项D：，D错误． 4．B 【分析】先利用对顶角相等的性质得，通过角度差计算出，接着依据 “一条直线垂直于一组平行线中的一条，必垂直于另一条” 的平行线性质，由 且 推导出 ，得到直角，最后利用直角三角形两锐角互余即可求出角 的度数． 【详解】解：∵，， ∴， ∵为法线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 5．C 【分析】由三视图可确定出货箱的个数，再根据要求主视图不变即可确定最多可取走的货箱． 【详解】解：依题意得：俯视图每个正方形位置上的正方体个数如图所示： 由俯视图知，货物底部有6个货箱，第二层从左往右数第二列前后各有一个，货物总共有8个货箱； 要保持主视图不变，则货物最右边那列最多可以搬走其中的两箱，中间一列最多可以搬走第一排或第二排的两箱，故最多可以取走4个货箱． 6．B 【分析】画出树状图，由树状图可知，共有种等可能的情况出现，其中第一次摸到红球，第二次摸到黄球的情况共有种，所以第一次摸到红球，第二次摸到黄球概率为． 【详解】解：画树状图如下： 由树状图可知，共有种等可能的情况出现，其中第一次摸到红球，第二次摸到黄球的情况共有种， 第一次摸到红球，第二次摸到黄球概率为． 7．D 【分析】本题主要考查了根据分式方程的解的情况求参数，先解方程得到，再根据原方程有解可得不能是原方程的增根，结合分式方程有增根的条件是分母为0求解即可． 【详解】解： 去分母得， 去括号得， 移项，合并同类项得， 系数化为1得， ∵原方程有解， ∴原方程不能有增根， ∴且， ∴且， ∴且， 故选：D． 8．B 【分析】本题考查二元一次方程的实际应用，根据总费用列出二元一次方程，求出符合条件的正整数解，即可得到购买方案的数量． 【详解】解：设购买件甲种奖品，件乙种奖品， 根据题意得. 化简得. . 均为正整数（两种奖品都购买）. 是4的正整数倍，且. 与互质， 是的正整数倍， 由得. 满足条件的为，对应分别为，共组正整数解． 即，，，， 共有种购买方案． 9．A 【分析】根据题意将点分为三段，点在线段时，且点未到达线段；点向右运动直至于点重合前，且点位于线段右侧；点在线段上；分别求解即可． 【详解】解：点运动的路程为， ， 由题意可得：， ， 由题意可得：， 当点在线段时，如图， 则， ，， ， ， ， ， 此时， 那么，； 若点向右运动直至于点重合前，如图， 则，，， ， 也为等腰直角三角形， ，， 则； 若点在线段上时，如图，则，， ． 10．A 【分析】根据二次函数图象的开口方向、对称轴、与坐标轴的交点位置确定，，的符号及数量关系，逐一判断各结论即可． 【详解】解：由图象可知抛物线开口向上， ， 其顶点坐标为， 对称轴为直线， ，即， 抛物线与轴交点在轴下方， ， ，故错误； 抛物线过点， ， 将代入得，即，故正确； 当时，，且对称轴为， 点关于对称轴的对称点为， ， 当时，或，故正确； ， ， ， 顶点坐标为， ， ， ， ，故错误； 若，对任意实数恒成立，则恒成立，即， 整理得， ， 需满足， ，解得，故错误； 综上所述，正确的结论有，共个． 11． 【详解】解：将数据7560000用科学记数法表示为． 12．120 【分析】利用圆锥的侧面积，圆锥的侧面积又等于侧面展开的扇形面积，即可求解． 【详解】解：∵圆锥侧面积， ∴， 解得， ∵圆锥侧面积， 解得． 13． 【分析】本题主要考查全等三角形的判定，菱形的判定以及相似三角形的判定与性质，连接，由作图可得，，可得，由中垂线的性质可得，可证明四边形是菱形，得，从而可证明，根据相似三角形的性质列比例式可求解． 【详解】解：连接，如图， 由作图得是的平分线， ∴， 又垂直平分， ∴，， 又， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， ∴， ∴， ∴, 又，, ∴， 解得：， 经检验，是原方程的解． 故答案为：． 14．6 【分析】由，设出边长，表示出的面积，的面积，的面积，结合，求解即可． 【详解】解：∵， 设，， ∴点的纵坐标为， 即，可得点的横坐标为，则点； ∴点， ∴点的纵坐标为， 即，可得点的横坐标为，则点； ∴， ∴， ∴， ∵点， ∴， ∵， ∴，解得． 15．或或 【分析】利用矩形的性质及勾股定理求出的长度，分三种情况讨论：点在上且，点在上且，点在上且，分别通过面积法或相似三角形的性质求出点到的距离． 【详解】解：∵四边形是矩形，，， ∴∠，，， ∴， ①当点在上，且时，作于，如下图所示： ∵，，，， ∴， 解得； ②当点在上，且时，作于，于，如下图所示： ∵， ∴， 解得， ∵， ∴△∽△， ∴，即， 解得； ③当点在上，且时，此时点为的中点，故，作于，如下图所示： ∵，，，， ∴， 解得； 综上，点到的距离为或或． 16．． 【分析】先证得△ADC△，推出CD=，，同理得到，，由△△，推出△ED边D上的高为，计算出，同理计算得出，，找到规律，即可求解 【详解】解：∵正方形，正方形，且， ∴和都是等腰直角三角形， ∴， ∴， 同理， ∵正方形，正方形，正方形，边长分别为2，4， 8， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理：， ∵， ∴， 设△EDB1和△EB2D1的边DB1和B2D1上的高分别为h1和， ∴ ∵ ∴， 设的边的高分别为, ∴ ∴; 同理求得：; ； … ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，相似三角形的判定与性质在规律型问题中的应用，数形结合并善于发现规律是解题的关键． 17．(1) (2) 【分析】利用负整数指数幂、零指数幂、特殊角的三角函数、平方差公式等进行计算求解． 【详解】（1）解： （2）解： 18．不等式组的解集是；非负整数解是0，1，2，3，4 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【详解】解：， 解不等式①得，， 解不等式②得，， 不等式组的解集是 ∴它的所有非负整数解是0，1，2，3，4． 19．， 【详解】解： ∴， ∴， ∴． 20．(1)40 (2)解：补全图形如下： (3) (4)3.6 (5)840 【分析】（1）由频数分布直方图和扇形统计图可知，A组人数为4人，占总体的，即可求解； （2）分别求出C组的人数和D组的人数后即可补全图形； （3）将E组所占的比例乘以即可求解； （4）将样本数据按照从小到大排列后取第20个与第21个数据的平均数即可求解； （5）将样本中平均锻炼时长不少于小时的居民人数所占比例乘以1200即可求解． 【详解】（1）解：由频数分布直方图和扇形统计图可知，A组人数为4人，占总体的， （人） ∴总人数为40人． （2）解：∵C组的数据为，，，，，，，，，，，， ∴C组的人数一共有12个， 由频数分布直方图可知，A组、B组、E组人数分别为4、8和5， ∴D组人数为（人）， 补全图形略． （3）解：， 答：扇形统计图中E组所对应的圆心角为． （4）解：因为一共抽取了40人， 所以将数据按照从小到大排列后，第20个与第21个数据的平均数即为中位数， ∵A组、B组、C组人数分别为4、8、12， ∴第20个与第21个数据位于C组，分别为3.5和3.7， ∴中位数． （5）解：因为样本中有（人）每周平均锻炼时长不少于小时，且一共抽取了40人， ∴（人）， ∴附近名居民估计每周平均锻炼时长不少于小时的居民人数为840人． 21．(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，先利用平行线性质和等腰三角形性质证明，再由全等三角形的对应角相等，结合，推得，根据切线的判定定理证明是的切线． （2）先根据切线长定理得到，再由平行线性质得到，利用求出的长，进而得到的长；接着利用直径所对的圆周角为直角，证明，得到；最后设，，在中用勾股定理列方程求解的长． 【详解】（1）证明：连接，如图， ， ，， 是的直径，交于点， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线． （2）解：连接， 且点在上， ， 是的半径， 是的切线， 也是的切线， ， ， ， ， 在中， ， 则， 是的直径， ， 则， ， ， 则， 即， 设，，则 ， 解得：， 即的长是． 22．(1)y＝−50x＋400 (2)400；200 (3)y＝80x；y＝−80x＋880 (4)2或或 【分析】（1）设直线PQ的表达式为：y＝kx＋b，把点P和点Q的坐标代入，求解即可； （2）由图象可直接得到； （3）先算出甲用的所有的时间，可算出甲的速度，即可得出OD和FG的表达式； （4）分四段讨论，①当甲到达B地前，②当甲从B地到C地，③当甲从C地返回，乙到达A地前，④当乙到达A地后，再进行计算． 【详解】（1）解：设直线PQ的表达式为：y＝kx＋b，则P（0，400），Q（8，0）， ∴ ，解得 ， ∴直线PQ的表达式为：y＝−50x＋400； （2）解：由图象可直接得出AC两地的距离为400km，AB两点间的距离为200km． 故答案为：400；200； （3）解：∵Q（8，0），乙比甲晚到3个小时， ∴G（11，0）， ∴甲从A到C，再从C到A共用11个小时，若不停留，则从A到C需要5个小时，则F（6，400），从A到B需要2．5个小时，则D（2．5，200）， 设直线OD的解析式为：y＝k′x，直线FG的解析式为y＝mx＋n， ∴2．5k′＝200， ， 解得k′＝80，m＝−80，n＝110， ∴直线OD的解析式为：y＝80x，直线FG的解析式为y＝−80x＋880， 故答案为：y＝80x；y＝−80x＋880； （4）解：由（3）知D（2．5，200），F（6，400） ∴E点坐标为（3．5，200） 设直线EF的解析式为y=mx+n，则 解得 ∴直线EF的解析式为y=80x-80 甲车从A地出发，到返回A地的过程中，有四种可能情况下甲、乙两车相距140km． ①当甲到达B地前，则 80x+140=-50x+400 解得x=2， ②当甲从B重新出发后，到达C地前，则 80x-80=-50x+140+140 解得x= ， ③当甲从C地返回，乙到达A地前，则 −80x＋880−（−50x＋400）＝140， 解得x＝＞8，舍去， ④当乙到达A地后，则 −80x＋880＝140，解得x＝． 故答案为：2或或． 【点睛】本题考查函数图象的应用，解题的关键是理解每段图象的意义，特别是特殊点的意义． 23．(1)，EF (2) (3)， 【分析】（1）根据点与点重合时，点在上，由已知可求矩形对角线长为； （2）作于，易求，，进而求出，再利用，列比例方程即可求解； （3）作于，连接，并延长交于，由旋转相似容易证明，由点为定点，可知点在定直线上，而且，根据点到直线的距离垂线段最短可得，由此即可得出，再利用解三角形求出面积即可． 【详解】（1）解：∵在矩形中，，，， ∴， ∴， ∵点与点重合， ∴， ∵，， ∴，在上， ∵，， ∴， ∴， ∴， 综上所述：，． （2）解：作于，如图2， 四边形为矩形， ，，， ，， ，， ， ， ， ， ， ，， ， 为中点， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， 即长为． （3）解：，． 详细解答过程： 作于，连接，并延长交于，如图： 四边形为矩形， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即， ， ， ， 为定点，， 在直线上， ，， ， ， ，， ∴，， ， ， ， ． 【点睛】解题关键是利用特殊角解三角形求线段长和利用旋转相似模型转化线段和角的关系，问题（3）是典型的瓜豆模型，利用旋转相似构造，从而证明从而得出点的轨迹． 24．(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据一次函数的性质求出，再利用待定系数法即可求出抛物线的解析式； （2）根据二次函数的性质求出，设，则，则，则当时，线段长度取得最大值，此时；作点关于轴的对称点，将点向上平移2个单位长度得到点，连接、、，根据轴对称和平移的性质得到，，，，利用勾股定理求出，通过证明四边形是平行四边形，得到，再利用线段之间的转化以及两点之间线段最短的性质即可求出的最小值； （3）设直线交轴于点，利用一次函数的性质求出，进而得到，则有，再分2种情况讨论：①点在点的左侧；②点在点的右侧；再利用一次函数和等腰三角形的性质求出对应的直线的解析式，再联立抛物线和直线的解析式，即可求出点R的坐标． 【详解】（1）解：代入到，得， ∴， 代入和到，得， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：令，则， 解得，， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴当时，线段长度取得最大值，此时； 如图1，作点关于轴的对称点，将点向上平移2个单位长度得到点，连接、、， 则，，，， ∴，，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴当三点共线时，有最小值，最小值为， ∴的最小值为； （3）解：设直线交轴于点， 当时，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 由（1）得，， ∵将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线， ∴将抛物线向右平移3个单位长度，再向上平移3个单位长度得到新抛物线， ∴， ∵点D平移后的对应点为点F，， ∴； ①当点在点的左侧，记此时点为， ∵，， ∴直线的解析式为， ∵， ∴， ∴设直线的解析式为， 代入，得， 解得， ∴直线的解析式为， 当，则， 解得， ∴， 联立， 解得或， ∴点R的坐标为； ②当点在点的右侧，记此时点为，作轴于点， 则， 由①得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 代入和，得， 解得， ∴直线的解析式为， 联立， 解得或， ∴点R的坐标为； 综上，点R的坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数综合，涉及待定系数法求函数解析式、二次函数的最值问题、平行四边形的性质与判定、轴对称的性质、平移的性质、最短路径问题、一次函数的图象与性质，运用数形结合思想是解题的关键．本题是函数综合题，需要较强的数形结合和辅助线构造能力，综合要求较高，适合有能力解决几何难题的学生． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $