精品解析：2026年浙江省湖州市吴兴区中考二模考试数学

2026年5月初中学业水平考试适应性考试 数学 试题卷 考生注意： 1．本试题卷分选择题和非选择题两部分，共6页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的位置上． 3．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效． 4．本次考试不允许使用计算器，没有近似计算要求的试题，结果都不能用近似数表示． 5．本试题卷中“连接”与“连结”同义． 选择题部分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分） 1. 下表记录了桐乡、浦江、富阳、长兴四地的平均海拔（以海拔米为基准，超过记为正，不足记为负）． 桐乡 浦江 富阳 长兴 米 米 米 米 以上四地中平均海拔最低的是（ ） A. 桐乡 B. 浦江 C. 富阳 D. 长兴 【答案】A 【解析】 【分析】根据基准计算出四地实际平均海拔，再比较大小即可解答． 【详解】解：∵ 以米为基准， ∴四地实际平均海拔分别为：桐乡： 米，浦江： 米，富阳： 米，长兴： 米． ∴ 比较大小可得 ． ∴ 四地中平均海拔最低的是桐乡． 2. 由个相同正方体搭成的几何体如图所示，其俯视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】几何体的俯视图是从上边看得到的图形，据此即可得到答案． 【详解】解：从上边看，可得俯视图如下， 3. 小阳所在城市的统计数据显示，年社会消费品零售总额达元．将数用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：将数用科学记数法表示为． 4. 如图，已知直线，被直线所截，则下列选项正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】B 【解析】 【详解】解：若或或，都不能得出； 若，根据“同位角相等，两直线平行”，得到， 选项B符合题意． 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A、∵同底数幂相除，底数不变，指数相减，∴，A计算错误； B、∵幂的乘方运算中，底数不变，指数相乘，∴，B计算错误； C、∵与不是同类项，不能合并，∴C计算错误； D、∵同底数幂相乘，底数不变，指数相加，∴，D计算正确． 6. 幼儿园老师带着一群小朋友在公园里玩游戏，他们的年龄分别是（单位：岁）：，，，，，，，，，，这组数据的众数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据众数是一组数据中出现次数最多的数据，据此即可解答． 【详解】解：在这组数据中，4出现次，出现次，出现次，6出现的次数最多，则这组数据的众数是． 7. 明代《九章算法比类大全》记载：“今有甲乙二匠造屋，共得钱五百文．甲匠日得三十文，乙匠日得二十文．甲、乙先后作工，凡二十二日而毕．问甲乙各作几日？”其大意是：“现有甲、乙两位工匠合作建房，总共获得工钱文．甲匠每日工钱是文，乙匠每日工钱是文．两人先后做工，共用天完成．问甲、乙各做工多少天？”设甲匠做工天，乙匠做工天，根据题意，可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据等量关系“总共获得工钱文”和“共用天完成”列出方程组即可． 【详解】解：设甲匠做工天，乙匠做工天，题目说明两人做工总用时为天， ∴可得第一个方程：． 又∵总工钱共文，甲每日工钱文，乙每日工钱文， ∴甲总工钱为，乙总工钱为，总工钱和为，可得第二个方程： ． ∴． 8. 如图，是的中位线，以点为圆心，的长为半径作弧交边于点．若，，则扇形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由中位线的性质求出的长度和，进而求出，再由扇形面积公式计算即可． 【详解】解：是的中位线，， ，且， ， ， ， ， 扇形的面积为． 9. 定义：函数的图象上存在点，函数的图象上存在点，且点，关于轴对称，则称函数和具有“镜像关系”，点，的纵坐标为函数和“镜像值”．关于函数和有两个结论：①函数与具有“镜像关系”；②函数与的“镜像值”有且仅有一个，则（ ） A. ①②都错 B. ①②都对 C. ①错②对 D. ①对②错 【答案】D 【解析】 【分析】根据“镜像关系”的定义，结合关于y轴对称的点的坐标特征，建立方程，通过判断方程解的个数验证结论①，再求出“镜像值”的个数验证结论②． 【详解】解：设函数图象上点的坐标为， ∵，关于轴对称，在图象上， ∴点坐标为 ，且， ∵在上， ∴， ∵在上， ∴， 若和具有“镜像关系”，则存在使得， 即：， 整理得：， 解得，，方程有两个不相等的实根，说明存在符合条件的点，故结论①正确； 当时， ， 当时， ，则“镜像值”共两个，故结论②错误． 10. 如图，已知（），，，（，都是常数）．过，，三点的圆与的平分线交于点，连接．当变化时，下列代数式的值不变的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】在上取点，使得，过点作于点，首先证明，由全等三角形的性质可得，再证明，进而可得为等腰三角形，结合等腰三角形的性质可得，进而可得；设，在和中，利用勾股定理，用含的代数式表示，，结合可得，易得的值不变，选项B符合题意；而当变化时，的长度均发生变化，故，，的值均变化，选项A、C、D不符合题意． 【详解】解：如下图，在上取点，使得，过点作于点， 则， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， 在中，， 在中，， ∴， ∴， ∵，都是常数， ∴为常数，即的值不变，选项B符合题意； 当变化时，的长度均发生变化，故，，的值均变化，选项A、C、D不符合题意． 非选择题部分 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 要使分式有意义，则x的取值范围是______． 【答案】x≠3 【解析】 【分析】根据分式有意义，分母不为0，列不等式求解即可. 【详解】解：根据题意，要使分式有意义，必须使x-3≠0,解得：x≠3 故答案为：x≠3 【点睛】本题考查了分式有意义，分母不为0． 12. 现有桐乡濮院古镇、浦江仙华山、富阳龙门古镇、长兴仙山湖四个旅游目的地，若从中随机挑选一个出行，则选中浦江仙华山的概率为_____． 【答案】 【解析】 【分析】先确定所有等可能的结果总数，再确定所求事件包含的结果数，然后代入概率公式计算即可． 【详解】解：根据题意，随机挑选一个旅游目的地，共有种等可能的结果，选中浦江仙华山的结果有种，则选中浦江仙华山的概率为． 13. 如图，是的直径，与相切于点，连接交于点．若，则的度数为_____． 【答案】 【解析】 【分析】先根据切线的性质求出的度数，再根据三角形内角和定理求出的度数，最后利用圆周角定理求出的度数。 【详解】解：与相切于点，且为直径， ， ， ． 是的直径， , ． 14. 已知，则_____． 【答案】11 【解析】 【分析】先将所求代数式变形，提取公因式后，把已知等式整体代入计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴ 15. 如图，在中，于点，点在边上，且，，过点作于点．已知，则_____． 【答案】3 【解析】 【分析】首先证明，由全等三角形的性质可得，进而可得；根据等腰三角形的性质可得，即；再证明，易得；结合解得，即为等腰直角三角形，进一步可得． 【详解】解：如下图， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∵，， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 16. 如图，点是的重心，动点从点出发，沿的方向运动直至回到点停止，设点运动的路程为，为，关于的部分图象如图所示，则_____，函数的最小值为_____． 【答案】 ①. 5 ②. 【解析】 【分析】先根据函数图象中时的y值，求出的长度，再根据时的图象拐点特征，确定，的长度。根据勾股定理的逆定理确定是直角三角形，以点G为坐标原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，则，设中点为点D，连接，则，，求出，，得，得点G到边的距离最小，过点G作于点E，求出，得，即得的最小值为． 【详解】解：动点从出发， 当时，与重合， 此时， 得； 当运动到点时，路程， 由图2可知，此时，， 得， 由， 得， 故是直角三角形，， 面积． 如图，分别连接并延长，交边于点P，交边于点Q，交边于点R， 则P，Q，R分别为边的中点， ∴， ∴； 又， ∴， ∴． ∴重心将原三角形分为3个面积相等的小三角形． 因此． 为方便解析，将以点G为中心旋转适当角度，再以点G为坐标原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图， 则， 设中点为点D，连接，则， ∵点G为的重心， ∴过点G，， 由位似性质得，， ∴，， ∴， ∵，，的面积都为6， ∴点G到边的距离最小， 过点G作于点E， 则， ∴， ∴， ∴的最小值为． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解：原式， . 18. 解不等式：，并把解集表示在数轴上． 【答案】， 【解析】 【分析】通过移项、合并同类项解出不等式的解集，再在数轴上表示． 【详解】解：已知， 则， 解得， 在数轴上表示为：． 19. 如图，在矩形中，是对角线，分别以点，为圆心，大于的半径画弧交于点，，作直线分别交，，于点，，，连接，． （1）求证：． （2）若，，求四边形的周长． 【答案】（1）由作图可知：垂直平分， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴． （2） 【解析】 【分析】（1）由作图可知：垂直平分，再结合垂直平分线的性质以及矩形的性质即可证明结论； （2）先说明四边形是菱形，设，则，，再运用勾股定理列方程求得即可解答． 【小问1详解】 证明：略． 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵，， ∴四边形是菱形， 设，则，， 在矩形中，， ∴， ∴，即：， ∴四边形的周长为． 20. 新能源车企系列生产，，，四种车型，小江利用工具调查了~月该车企系列车的月销量、~月各车型销量占总销量比例及~月各车型的平均售价情况，并绘制成如下尚不完整的统计图和统计表． ~月系列车月销量的折线统计图 ~月系列车各车型销量占总销量比例的扇形统计图 ~月系列车的平均售价统计表 品牌 平均售价（单位：万元） 根据以上信息，解答下列问题： （1）本次调查中，~月种车型的销量是多少辆？ （2）在保持各车型平均售价不变的情况下，该新能源车企预计~月系列车的月销量平均数将达辆，且~月各车型销量占总销量的比例与~月的占比相同，请估计月份该车企种车型的销售收入． 【答案】（1）辆 （2）万元 【解析】 【分析】（1）先求得种车型的销量所占的百分比为以及~月的总销量为，然后相乘即可解答； （2）由扇形统计图得：月种车型的销量占比为，平均数为辆，进而求得月份种车型的销量，最后求销售收入即可． 【小问1详解】 解：由扇形统计图得：种车型的销量所占的百分比为， 由折线统计图得：~月的总销量为， 所以~月种车型的销量为． 【小问2详解】 解：由扇形统计图得：月种车型的销量占比为， 因为月系列车月销量的平均数为辆， 所以估计月份种车型的销量为 辆， 由统计表可得：种车型的平均售价为万元， 所以估计该车企月份种车型的销售收入为：万元． 21. 【阅读理解】 对于一个两位数，设十位数字为，个位数字为（，均为整数，且，），记，我们称的值是原两位数的“关联值”． 【尝试探究】 （1）判断等式是否成立，并说明理由． （2）若一个两位数的“关联值”为，求这个两位数． 【答案】（1）等式不成立．理由为： 因为，， 所以等式不成立． （2） 【解析】 【分析】（1）根据的计算方式分别计算然后比较数值即可； （2）设这个两位数的十位数字为，个位数字为（，均为整数，且，），然后得到，再根据，均为整数，得到方程组，进而可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设这个两位数的十位数字为，个位数字为（，均为整数，且，）， ∵这个两位数的“关联值”为， ， ， ， ∵，均为整数，且，， ，都为正整数且， 或或， 解得（舍）或（符合）或（舍）， ∴这个两位数为． 22. 【文化欣赏】汉代初年的《淮南万毕术》中记载：“取大镜高悬，置水盆于下，则见四邻矣”，意思是利用杆上挂的平面镜和盆内水面（抽象为平面镜）的反射，就能从水盆里看见院外的景象（如图）． 【科学原理】入射光线经平面镜反射得反射光线（），则（如图）． 【综合实践】小桐春假探望爷爷时，在院内作了实践探究：如图，杆地平线（为墙角），杆顶悬一平面镜，院外的邻居（点）先经平面镜的点处反射，再经水盆的水 面中心处反射后，恰被院内的小桐（观测点为）看到．现测得：米，． 【数学理解】 （1）求杆的高度． （2）如图，保持水盆和观测点的位置不变，将平面镜绕点逆时针旋转，邻居沿射线方向移动到处，经，两处反射后，小桐恰好观测到邻居，求邻居移动的距离． （参考数据：，，） 【答案】（1）米 （2）邻居移动的距离约为米 【解析】 【分析】（1）解直角三角形，即可得出结果； （2）解直角三角形，分别求出的长，作差即可． 【小问1详解】 解：由科学原理可得， ， ∵，，， ∴米， 答：杆的高度约为米． 【小问2详解】 解：邻居移动前：， 由科学原理可得， ， ∵， ∴， ∴ 米， 邻居移动后（如图）： ， 由科学原理可得，， ∴，， ∵ ∴， ∴米， ∴米， 答：邻居移动的距离约为米． 23. 已知二次函数（为常数）的图象经过点． （1）求二次函数的表达式． （2）作点关于直线对称的点，若点恰好落在的图象上，求的值． （3）当时，二次函数的最大值与最小值的和为，求的取值范围． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）直接利用待定系数法求解即可； （2）通过对称求出点坐标，然后代入二次函数解析式求解即可； （3）分两种情况①当时，②当时，分别进行讨论即可． 【小问1详解】 解：把点代入二次函数得，，解得：， ∴二次函数的表达式为． 【小问2详解】 解：∵点与点关于直线对称， ∴点的坐标为， 把代入得，， 解得：或． 【小问3详解】 解：∵ ∴对称轴为直线，顶点坐标为， 当时，；当时，； ， ，即：， ①当时，， ∴当时，， ∴，， ∴； ②当时，， 此时，点到的距离为，点到的距离为， ∵， ∴此时最小值为，最大值为， ， ∴，， ∴， 综上所述，． 24. 如图，在锐角中，，以为直径作半圆交，于点，，在弦的延长线上取点，使 ，将沿翻折至，延长交射线于点． （1）若，求的度数． （2）求证：四边形是平行四边形． （3）若，求的值． 【答案】（1） （2）证明：∵， ∴ ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 由（1）得：， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． （3） 【解析】 【分析】（1）先推导出 ，再根据翻折，得到，则 ，即可解答； （2）先推导出 ，得到，则，继而推导出，得到，则四边形是平行四边形，即可解答； （3）连结，设，则，，推导出 ，，设，推导出，，得到 ，即，继而推导出，得到，，延长，交于点，推导出 ，得到， ，进而推导出 ，得到，则，再根据，得到，解得，则，即可解答． 【小问1详解】 解：∵四边形内接于圆， ∴， ∵， ∴ ， ∵沿翻折至， ∴， ∴ ． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，连结，设，则，， ∵四边形是平行四边形， ∴ ，， 设， ∵是直径， ∴，即：， ∵， ∴，， ∴ ，即， 由四边形内接于圆，同理可得 ∴， ∵， ∴， ∴，故，即： ，，， 延长，交于点， ∵四边形内接于圆， ∴， ∵， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴，故 ，即： ， ， ∵， ∴ ， ∴，故 ， 即，， ∴， 由得：，故， 由，解得：， ∴，即：的值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年5月初中学业水平考试适应性考试 数学 试题卷 考生注意： 1．本试题卷分选择题和非选择题两部分，共6页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的位置上． 3．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效． 4．本次考试不允许使用计算器，没有近似计算要求的试题，结果都不能用近似数表示． 5．本试题卷中“连接”与“连结”同义． 选择题部分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分） 1. 下表记录了桐乡、浦江、富阳、长兴四地的平均海拔（以海拔米为基准，超过记为正，不足记为负）． 桐乡 浦江 富阳 长兴 米 米 米 米 以上四地中平均海拔最低的是（ ） A. 桐乡 B. 浦江 C. 富阳 D. 长兴 2. 由个相同正方体搭成的几何体如图所示，其俯视图为（ ） A. B. C. D. 3. 小阳所在城市的统计数据显示，年社会消费品零售总额达元．将数用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，已知直线，被直线所截，则下列选项正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 幼儿园老师带着一群小朋友在公园里玩游戏，他们的年龄分别是（单位：岁）：，，，，，，，，，，这组数据的众数是（ ） A. B. C. D. 7. 明代《九章算法比类大全》记载：“今有甲乙二匠造屋，共得钱五百文．甲匠日得三十文，乙匠日得二十文．甲、乙先后作工，凡二十二日而毕．问甲乙各作几日？”其大意是：“现有甲、乙两位工匠合作建房，总共获得工钱文．甲匠每日工钱是文，乙匠每日工钱是文．两人先后做工，共用天完成．问甲、乙各做工多少天？”设甲匠做工天，乙匠做工天，根据题意，可列方程组为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，是的中位线，以点为圆心，的长为半径作弧交边于点．若，，则扇形的面积为（ ） A. B. C. D. 9. 定义：函数的图象上存在点，函数的图象上存在点，且点，关于轴对称，则称函数和具有“镜像关系”，点，的纵坐标为函数和“镜像值”．关于函数和有两个结论：①函数与具有“镜像关系”；②函数与的“镜像值”有且仅有一个，则（ ） A. ①②都错 B. ①②都对 C. ①错②对 D. ①对②错 10. 如图，已知（），，，（，都是常数）．过，，三点的圆与的平分线交于点，连接．当变化时，下列代数式的值不变的是（ ） A. B. C. D. 非选择题部分 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 要使分式有意义，则x的取值范围是______． 12. 现有桐乡濮院古镇、浦江仙华山、富阳龙门古镇、长兴仙山湖四个旅游目的地，若从中随机挑选一个出行，则选中浦江仙华山的概率为_____． 13. 如图，是的直径，与相切于点，连接交于点．若，则的度数为_____． 14. 已知，则_____． 15. 如图，在中，于点，点在边上，且，，过点作于点．已知，则_____． 16. 如图，点是的重心，动点从点出发，沿的方向运动直至回到点停止，设点运动的路程为，为，关于的部分图象如图所示，则_____，函数的最小值为_____． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 18. 解不等式：，并把解集表示在数轴上． 19. 如图，在矩形中，是对角线，分别以点，为圆心，大于的半径画弧交于点，，作直线分别交，，于点，，，连接，． （1）求证：． （2）若，，求四边形的周长． 20. 新能源车企系列生产，，，四种车型，小江利用工具调查了~月该车企系列车的月销量、~月各车型销量占总销量比例及~月各车型的平均售价情况，并绘制成如下尚不完整的统计图和统计表． ~月系列车月销量的折线统计图 ~月系列车各车型销量占总销量比例的扇形统计图 ~月系列车的平均售价统计表 品牌 平均售价（单位：万元） 根据以上信息，解答下列问题： （1）本次调查中，~月种车型的销量是多少辆？ （2）在保持各车型平均售价不变的情况下，该新能源车企预计~月系列车的月销量平均数将达辆，且~月各车型销量占总销量的比例与~月的占比相同，请估计月份该车企种车型的销售收入． 21. 【阅读理解】 对于一个两位数，设十位数字为，个位数字为（，均为整数，且，），记，我们称的值是原两位数的“关联值”． 【尝试探究】 （1）判断等式是否成立，并说明理由． （2）若一个两位数的“关联值”为，求这个两位数． 22. 【文化欣赏】汉代初年的《淮南万毕术》中记载：“取大镜高悬，置水盆于下，则见四邻矣”，意思是利用杆上挂的平面镜和盆内水面（抽象为平面镜）的反射，就能从水盆里看见院外的景象（如图）． 【科学原理】入射光线经平面镜反射得反射光线（），则（如图）． 【综合实践】小桐春假探望爷爷时，在院内作了实践探究：如图，杆地平线（为墙角），杆顶悬一平面镜，院外的邻居（点）先经平面镜的点处反射，再经水盆的水 面中心处反射后，恰被院内的小桐（观测点为）看到．现测得：米，． 【数学理解】 （1）求杆的高度． （2）如图，保持水盆和观测点的位置不变，将平面镜绕点逆时针旋转，邻居沿射线方向移动到处，经，两处反射后，小桐恰好观测到邻居，求邻居移动的距离． （参考数据：，，） 23. 已知二次函数（为常数）的图象经过点． （1）求二次函数的表达式． （2）作点关于直线对称的点，若点恰好落在的图象上，求的值． （3）当时，二次函数的最大值与最小值的和为，求的取值范围． 24. 如图，在锐角中，，以为直径作半圆交，于点，，在弦的延长线上取点，使 ，将沿翻折至，延长交射线于点． （1）若，求的度数． （2）求证：四边形是平行四边形． （3）若，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $