1.1 空间向量及其运算（九大题型）（精练）-2024-2025学年高二数学新教材同步配套培优讲义与精练（人教A版2019）

1.1空间向量及其运算 目录 【题型归纳】 2 题型一：空间向量的有关概念 2 题型二：空间向量的加减运算 2 题型三：空间向量的数乘运算 3 题型四：共线向量定理的应用 4 题型五：共面向量及应用 5 题型六：空间向量的数量积 6 题型七：利用空间向量的数量积求两向量的夹角 7 题型八：利用空间向量的数量积证垂直 8 题型九：利用空间向量的数量积求线段的长度 10 【重难点集训】 11 【高考真题】 14 【题型归纳】 题型一：空间向量的有关概念 1．（2024·高二·全国·课后作业）在平行六面体中，与向量相等的向量共有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（2024·高二·山东济南·期中）下列关于空间向量的说法中正确的是（    ） A．方向相反的两个向量是相反向量 B．空间中任意两个单位向量必相等 C．若向量满足，则 D．相等向量其方向必相同 3．（2024·高二·全国·课后作业）给出下列命题： ①零向量没有方向； ②若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同； ③若空间向量满足，则； ④若空间向量满足，则； ⑤空间中任意两个单位向量必相等． 其中正确命题的个数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 4．（2024·高二·湖南·期中）下列关于空间向量的说法中错误的是（    ） A．零向量与任意向量平行 B．任意两个空间向量一定共面 C．零向量是任意向量的方向向量 D．方向相同且模相等的两个向量是相等向量 题型二：空间向量的加减运算 5．（2024·高二·广东佛山·阶段练习）在长方体中，（    ） A． B． C． D． 6．（2024·高二·全国·课后作业）已知正方体的中心为，则在下列各结论中正确的共有（　　） ①与是一对相反向量； ②与是一对相反向量； ③与是一对相反向量； ④与是一对相反向量． A．个 B．个 C．个 D．个 7．（2024·高二·甘肃·期中）在空间四边形ABCD中，E，F分别为BC，CD的中点，则（    ） A． B． C． D． 8．（2024·高二·全国·课堂例题）如图，已知平行六面体，化简下列各式：      (1)； (2)． 题型三：空间向量的数乘运算 9．（2024·高二·全国·课后作业）在空间四边形ABCD中，G为的重心，E，F，H分别为边CD，AD和BC的中点，化简下列各表达式. (1)； (2). 10．（2024·高二·全国·课堂例题）化简：． 11．（2024·高二·全国·随堂练习）化简：． 12．（2024·高二·全国·阶段练习）化简下列算式： (1)； (2). 题型四：共线向量定理的应用 13．（2024·高二·福建龙岩·期中）设向量，，不共面，已知，，，若A，C，D三点共线，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 14．（2024·高二·贵州·开学考试）如图，在三棱柱中，为空间一点，且满足， ，则下列说法错误的是（　　） A．当时，点在棱上 B．当时，点在线段上 C．当时，点在棱上 D．当时，点在线段上 15．（2024·高二·北京·期中）已知是空间两个不共线的向量，，那么必有（    ） A．共线 B．共线 C．共面 D．不共面 16．（2024·高二·江苏宿迁·阶段练习）已知向量，不共线，，，，则（    ） A．与共线 B．与共线 C．，，，四点不共面 D．，，，四点共面 题型五：共面向量及应用 17．（2024·高二·全国·课后作业）已知为空间任意一点，满足任意三点不共线，但四点共面，且，则的值为（　　） A． B．2 C． D． 18．（2024·高二·云南玉溪·期末）已知O，A，B，C为空间中不共面的四点，且，若P，A，B，C四点共面，则（    ） A． B． C． D． 19．（2024·高二·广东深圳·开学考试）如图，在三棱锥中，点为的重心，点在上，且，过点任意作一个平面分别交线段，，于点，，，若，，，求证：为定值，并求出该定值. 20．（2024·高二·全国·专题练习）如图所示，在长方体中，为的中点，，且，求证：四点共面． 题型六：空间向量的数量积 21．（2024·高二·贵州·期中）如图，在三棱柱中，分别为和的中点，设．    (1)用表示向量； (2)若，，，求． 22．（2024·高二·广东广州·期中）如图,给定长方体,,,点在棱的延长线上,且.设,,.    (1)试用表示向量; (2)求. 23．（2024·高二·江西赣州·期中）在平行六面体中，，，E为线段上更靠近的三等分点 (1)用向量，，表示向量； (2)求； (3)求. 24．（2024·高二·河北邢台·阶段练习）某圆锥的轴截面是边长为4的正三角形，是底面圆的一条直径，是侧面上一动点，则的最小值为 ． 题型七：利用空间向量的数量积求两向量的夹角 25．（2024·高二·山东烟台·阶段练习）在平行六面体中，，，为与的交点. (1)用向量表示； (2)求线段的长及向量与的夹角. 26．（2024·高二·江苏南通·阶段练习）空间四边形中，，，，且异面直线与成，则异面直线与所成角的大小为 . 27．（2024·高二·山东·阶段练习）如图，在平行六面体中，底面是边长为2的正方形.侧棱的长为4，且.    (1)求的长； (2)求直线与所成角的余弦值. 题型八：利用空间向量的数量积证垂直 28．如图，正方体 （1）求和的夹角； （2）求证． 29．已知四面体OABC，，．求证：． 30．如图所示，已知是所在平面外一点，，求证：在平面上的射影是的垂心． 31．（山西省太原市2023-2024学年高二期中质量监测数学试题 ）如图，四面体OABC各棱的棱长都是1，D，E分别是OC，AB的中点，记，，. (1)用向量表示向量； (2)求证. 32．如图，平行六面体的底面是菱形，且，，求证：平面． 题型九：利用空间向量的数量积求线段的长度 33．（2024·高二·安徽滁州·期末）在四棱柱中，，，，则 . 34．（2024·高二·全国·专题练习）已知向量两两夹角为，且，则 ． 35．（2024·高二·江西·期末）已知A，B，C，P为空间内不共线的四点，G为的重心． (1)证明：； (2)若向量，，的模长均为2，且两两夹角为，求． 36．（2024·高二·重庆·期末）如图，在平行六面体中，，，，，，，与相交于点．        (1)求； (2)求的长． 37．（2024·高二·全国·专题练习）如图，正四面体（四个面都是正三角形）OABC的棱长为1，M是棱BC的中点，点N满足，点P满足. (1)用向量表示； (2)求. 【重难点集训】 1．（山东省日照市2024届高三校际联考（二模）数学试题）已知棱长为1的正方体，以正方体中心为球心的球与正方体的各条棱相切，若点在球的正方体外部（含正方体表面）运动，则的最大值为（    ） A．2 B． C． D． 2．如图，四个棱长为的正方体排成一个正四棱柱，是一条侧棱，是上底面上其余的八个点，则的不同值的个数为（　） A．1 B．2 C．4 D．8 3．（2024年普通高等学校招生全国统一考试数学押题卷（五））已知圆锥的底面半径为2，点P为底面圆周上任意一点，点Q为侧面（异于顶点和底面圆周）上任意一点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（江苏省南通市2023-2024学年高二期末数学考试）已知平行六面体中，，则（    ） A． B． C． D． 5．（2024南通名师高考原创卷（六））在棱长为2的正方体中，已知，截面与正方体侧面交于线段，则线段的长为（    ） A．1 B． C． D． 6．（贵州省六盘水市2023-2024学年高三第二次联考数学试题）已知，，不共面，若，，且三点共线，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 7．（山西省朔州市应县第一中学校2023-2024学年高二期末数学试题）如图，面为矩形，连接，下面各组向量中，数量积不一定为零的是（    ）    A．与 B．与 C．与 D．与 8．（江苏省淮安市2024届高三第一次调研测试数学试题）在四面体中，，，，，则的值为（    ） A．7 B．9 C．11 D．13 9．（多选题）（山西省长治市2023-2024学年高二3月质量检测数学试题）如图，在正三棱柱中，为空间一动点，若，则（    ）    A．若，则点的轨迹为线段 B．若，则点的轨迹为线段 C．存在，使得 D．存在，使得平面 10．（多选题）（重庆市康德卷2024年普通高等学校招生全国统一考试高考模拟调研卷（三）数学试题）在平行六面体中，已知，，若，，，则（    ） A．的最小值为 B．的最大值为 C．的最大值为 D．的最大值为 11．（多选题）（福建省宁德市博雅培文学校2024届高三高考前最后一卷数学试题）已知空间单位向量，，两两夹角均为，，，则下列说法中正确的是（    ） A．、、、四点可以共面 B． C． D． 12．（上海市七宝中学2024届高三三模考试数学试题）已知点C在以AB为直径的球面上，若，则 ． 13．（贵州省2024届高三4月新高考“大数据赋分”诊断性联合考试数学试题）已知正方体的顶点均在半径为1的球表面上，点在正方体表面上运动，为球的一条直径，则正方体的体积是 ，的范围是 ． 14．（广东省博罗县2023-2024学年高二期中数学试题）如图，在三棱锥中，已知平面，，，则向量在向量上的投影向量为 （用向量来表示）.    15．已知长方体，，，M是的中点，点P满足，其中，，且平面，则动点P的轨迹所形成的轨迹长度是 . 【高考真题】 1．（2001年普通高等学校招生考试数学（文）试题（上海卷））在平行六面体中，M为AC与BD的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（    ）． A． B． C． D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.1空间向量及其运算 目录 【题型归纳】 1 题型一：空间向量的有关概念 1 题型二：空间向量的加减运算 3 题型三：空间向量的数乘运算 5 题型四：共线向量定理的应用 6 题型五：共面向量及应用 8 题型六：空间向量的数量积 11 题型七：利用空间向量的数量积求两向量的夹角 13 题型八：利用空间向量的数量积证垂直 16 题型九：利用空间向量的数量积求线段的长度 19 【重难点集训】 21 【高考真题】 31 【题型归纳】 题型一：空间向量的有关概念 1．（2024·高二·全国·课后作业）在平行六面体中，与向量相等的向量共有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解析】由图，与向量大小相等，方向相同的向量有共3个. 故选：C 2．（2024·高二·山东济南·期中）下列关于空间向量的说法中正确的是（    ） A．方向相反的两个向量是相反向量 B．空间中任意两个单位向量必相等 C．若向量满足，则 D．相等向量其方向必相同 【答案】D 【解析】相反向量指的是长度相等，方向相反的向量，故A错误； 单位向量指的是模为1的向量，方向未定，故B错误； 向量不能比较大小，故C错误； 相等向量其方向必相同，故D正确； 故选：D. 3．（2024·高二·全国·课后作业）给出下列命题： ①零向量没有方向； ②若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同； ③若空间向量满足，则； ④若空间向量满足，则； ⑤空间中任意两个单位向量必相等． 其中正确命题的个数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【解析】零向量的方向是任意的，但并不是没有方向，故①错误； 当两个空间向量的起点相同，终点也相同时，这两个向量必相等．但两个向量相等，起点和终点不一定相同，故②错误； 根据相等向量的定义，要保证两个向量相等，不仅模要相等，而且方向也要相同，但③中向量与的方向不一定相同，故③错误； 命题④显然正确； 对于命题⑤，空间中任意两个单位向量的模均为1，但方向不一定相同，故不一定相等，故⑤错误． 故选：D. 4．（2024·高二·湖南·期中）下列关于空间向量的说法中错误的是（    ） A．零向量与任意向量平行 B．任意两个空间向量一定共面 C．零向量是任意向量的方向向量 D．方向相同且模相等的两个向量是相等向量 【答案】C 【解析】由已知， 选项A，零向量方向是任意的，所以零向量任意向量平行，该选项正确； 选项B，平面由两个不平行的向量确定，任意两个向量可通过平移形成相交，故一定可以确定一个平面，该选项正确； 选项C，在直线上取非零向量，把与向量平行的非零向量称为直线的方向向量，该选项错误； 选项D，方向相同且模相等的两个向量是相等向量，该选项正确. 故选：C. 题型二：空间向量的加减运算 5．（2024·高二·广东佛山·阶段练习）在长方体中，（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】. 故选：A 6．（2024·高二·全国·课后作业）已知正方体的中心为，则在下列各结论中正确的共有（　　） ①与是一对相反向量； ②与是一对相反向量； ③与是一对相反向量； ④与是一对相反向量． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【解析】 对于①，，，， 与是一对相反向量，①正确； 对于②，，，又， 与不是相反向量，②错误； 对于③，，，，， , 与是一对相反向量，③正确； 对于④，，，又， 与是一对相反向量，④正确. 故选：C. 7．（2024·高二·甘肃·期中）在空间四边形ABCD中，E，F分别为BC，CD的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】在空间四边形ABCD中，E为BC的中点，则， 所以. 故选：C 8．（2024·高二·全国·课堂例题）如图，已知平行六面体，化简下列各式：      (1)； (2)． 【解析】（1）因为，， 所以． （2）因为，所以 ． 题型三：空间向量的数乘运算 9．（2024·高二·全国·课后作业）在空间四边形ABCD中，G为的重心，E，F，H分别为边CD，AD和BC的中点，化简下列各表达式. (1)； (2). 【解析】（1）根据空间向量的运算法则，可得 . （2）分别取AB，AC的中点P，Q，连接PH，QH，则四边形APHQ为平行四边形，且有 根据空间向量的运算法则，可得. 10．（2024·高二·全国·课堂例题）化简：． 【解析】原式． 11．（2024·高二·全国·随堂练习）化简：． 【解析】 . 12．（2024·高二·全国·阶段练习）化简下列算式： (1)； (2). 【解析】（1）. （2）. 题型四：共线向量定理的应用 13．（2024·高二·福建龙岩·期中）设向量，，不共面，已知，，，若A，C，D三点共线，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】由，， 得， 因为A，C，D三点共线，所以， 则存在唯一实数，使得， 则，解得. 故选：C. 14．（2024·高二·贵州·开学考试）如图，在三棱柱中，为空间一点，且满足， ，则下列说法错误的是（　　） A．当时，点在棱上 B．当时，点在线段上 C．当时，点在棱上 D．当时，点在线段上 【答案】B 【解析】对于，当时，，， 所以，则点在棱上，故正确； 对于，当时， ， ， 即，即 所以点在线段上，故错误； 对于，当时，，， 所以，所以，即， 所以点在棱上，故正确； 对于，当时， 所以，， 所以， 即，即， 所以点在线段上，故正确． 故选：． 15．（2024·高二·北京·期中）已知是空间两个不共线的向量，，那么必有（    ） A．共线 B．共线 C．共面 D．不共面 【答案】C 【解析】若共线，则， 又，则共线， 与条件矛盾，故A错误； 同理若共线，则， 又，则共线， 与条件矛盾，故B错误； 根据空间向量的共面定理可知共面，即C正确，D错误. 故选：C 16．（2024·高二·江苏宿迁·阶段练习）已知向量，不共线，，，，则（    ） A．与共线 B．与共线 C．，，，四点不共面 D．，，，四点共面 【答案】D 【解析】对于A，，不存在实数，使得成立，与不共线，A错误； 对于B，，，， 又，不存在实数，使得成立，与不共线，B错误； 对于C、D，若，，，四点共面， 则有， ，即，故， 故，，，四点共面，C错误，D正确. 故选：D. 题型五：共面向量及应用 17．（2024·高二·全国·课后作业）已知为空间任意一点，满足任意三点不共线，但四点共面，且，则的值为（　　） A． B．2 C． D． 【答案】C 【解析】因为为空间任意一点，， 所以， 所以， 因为A，B，C，P满足任意三点不共线，但四点共面， 所以，解得． 故选：C． 18．（2024·高二·云南玉溪·期末）已知O，A，B，C为空间中不共面的四点，且，若P，A，B，C四点共面，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为P，A，B，C四点共面，所以，所以. 故选:C． 19．（2024·高二·广东深圳·开学考试）如图，在三棱锥中，点为的重心，点在上，且，过点任意作一个平面分别交线段，，于点，，，若，，，求证：为定值，并求出该定值. 【解析】联结AG并延长交BC于H，由题意，令为空间向量的一组基底， 则 . 联结DM，点，，，M共面，故存在实数， 满足，即， 因此， 由空间向量基本定理知， ， 故，为定值. 20．（2024·高二·全国·专题练习）如图所示，在长方体中，为的中点，，且，求证：四点共面． 【解析】设，则， 为的中点，， 又，， ， 为共面向量， 又三向量有相同的起点，四点共面． 题型六：空间向量的数量积 21．（2024·高二·贵州·期中）如图，在三棱柱中，分别为和的中点，设．    (1)用表示向量； (2)若，，，求． 【解析】（1）由向量的线性运算法则，可得： ． （2）由向量的数量积的运算法则，可得： ． 22．（2024·高二·广东广州·期中）如图,给定长方体,,,点在棱的延长线上,且.设,,.    (1)试用表示向量; (2)求. 【解析】（1）因为点在棱的延长线上,且, 所以, 则. （2）由题意得, 则, 所以. 23．（2024·高二·江西赣州·期中）在平行六面体中，，，E为线段上更靠近的三等分点 (1)用向量，，表示向量； (2)求； (3)求. 【解析】（1）如图， . （2） , . （3） . 24．（2024·高二·河北邢台·阶段练习）某圆锥的轴截面是边长为4的正三角形，是底面圆的一条直径，是侧面上一动点，则的最小值为 ． 【答案】-1 【解析】设圆锥底面圆的圆心O，则， 则圆锥的高， ， 当垂直于过P点的母线时，长最小，即为， 故的最小值为， 故答案为：-1 题型七：利用空间向量的数量积求两向量的夹角 25．（2024·高二·山东烟台·阶段练习）在平行六面体中，，，为与的交点. (1)用向量表示； (2)求线段的长及向量与的夹角. 【解析】（1）因为为与的交点，所以， 又因为， 所以. （2）因为 ，所以， 因为，所以 . 所以，即两向量的夹角为. 26．（2024·高二·江苏南通·阶段练习）空间四边形中，，，，且异面直线与成，则异面直线与所成角的大小为 . 【答案】/ 【解析】因为异面直线与成角，则与夹角为或， 又，. 两边平方，得， 即， 或， （或舍去）. 即与夹角为，所以异面直线与所成角为. 故答案为：. 27．（2024·高二·山东·阶段练习）如图，在平行六面体中，底面是边长为2的正方形.侧棱的长为4，且.    (1)求的长； (2)求直线与所成角的余弦值. 【解析】（1）由图，可得. 则 （2）注意到， 则 ，，. . 则与所成角的余弦值为. 题型八：利用空间向量的数量积证垂直 28．如图，正方体 （1）求和的夹角； （2）求证． 【解析】（1）联结，，则，和的夹角即和的夹角， 在正方体中，设棱长为a，则， 则是等边三角形，即 故和的夹角为 （2）联结，则， 又平面，平面， 则，又 故平面，又平面， 所以 29．已知四面体OABC，，．求证：． 【解析】 因为, 所以, 因为，， 所以， 所以，即. 30．如图所示，已知是所在平面外一点，，求证：在平面上的射影是的垂心． 【解析】∵， ∴，，，平面， ∴． 由题意可知，平面， ∴，，， ∴， ∴． 同理可证，． ∴是的垂心． 31．（山西省太原市2023-2024学年高二期中质量监测数学试题 ）如图，四面体OABC各棱的棱长都是1，D，E分别是OC，AB的中点，记，，. (1)用向量表示向量； (2)求证. 【解析】（1）根据题意， . （2）根据题意，相互之间的夹角为，且模均为1，由（1） ， 所以. 32．如图，平行六面体的底面是菱形，且，，求证：平面． 【解析】设，，， 由于四边形为菱形，则，即， 所以，，同理可得， 由题意可得，， 所以，，所以，， 同理可证， 因为，因此，平面. 题型九：利用空间向量的数量积求线段的长度 33．（2024·高二·安徽滁州·期末）在四棱柱中，，，，则 . 【答案】3 【解析】由题意知，所以 ， 即， 解得，即. 故答案为：3. 34．（2024·高二·全国·专题练习）已知向量两两夹角为，且，则 ． 【答案】 【解析】由题意可得： ， 故. 故答案为：. 35．（2024·高二·江西·期末）已知A，B，C，P为空间内不共线的四点，G为的重心． (1)证明：； (2)若向量，，的模长均为2，且两两夹角为，求． 【解析】（1）证明：因为G是的重心，所以， 则， 即. （2）由（1）得， 所以， ，即． 36．（2024·高二·重庆·期末）如图，在平行六面体中，，，，，，，与相交于点．        (1)求； (2)求的长． 【解析】（1）. （2）因为， 所以 ， 所以的长为. 37．（2024·高二·全国·专题练习）如图，正四面体（四个面都是正三角形）OABC的棱长为1，M是棱BC的中点，点N满足，点P满足. (1)用向量表示； (2)求. 【解析】（1）因为M是棱BC的中点，点N满足，点P满足. 所以； （2）因为正四面体（四个面都是正三角形）OABC的棱长为1， 所以，， 所以， 所以 ，所以. 【重难点集训】 1．（山东省日照市2024届高三校际联考（二模）数学试题）已知棱长为1的正方体，以正方体中心为球心的球与正方体的各条棱相切，若点在球的正方体外部（含正方体表面）运动，则的最大值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【解析】取中点，可知在球面上，可得， 所以， 点在球的正方体外部（含正方体表面）运动，当为直径时，， 所以的最大值为. 故选：B. 2．如图，四个棱长为的正方体排成一个正四棱柱，是一条侧棱，是上底面上其余的八个点，则的不同值的个数为（　） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】A 【解析】因图中是四个相同的正方体排成的正四棱柱，故在上的投影都是， 所以，， 即的值只有一个． 故选：A. 3．（2024年普通高等学校招生全国统一考试数学押题卷（五））已知圆锥的底面半径为2，点P为底面圆周上任意一点，点Q为侧面（异于顶点和底面圆周）上任意一点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 如图所示，延长交底面圆周于B，过Q作底面圆于G点， 显然， 由题意可知， 所以的取值范围为. 故选：A 4．（江苏省南通市2023-2024学年高二期末数学考试）已知平行六面体中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 ， 故， 所以. 故选：B. 5．（2024南通名师高考原创卷（六））在棱长为2的正方体中，已知，截面与正方体侧面交于线段，则线段的长为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【解析】如图所示，因为，所以， 因为平面平面，设平面平面，平面平面，所以， 又因为，所以 过点作，可得， 则为的中点，为的四等分点， 又因为，所以为的四等分点，所以. 故选：C． 6．（贵州省六盘水市2023-2024学年高三第二次联考数学试题）已知，，不共面，若，，且三点共线，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【解析】因为三点共线，所以， 即，故，解得， 所以. 故选：C 7．（山西省朔州市应县第一中学校2023-2024学年高二期末数学试题）如图，面为矩形，连接，下面各组向量中，数量积不一定为零的是（    ）    A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】A 【解析】由于平面，平面， 所以，则与垂直，D选项错误. 由于平面，所以平面， 由于平面，所以，所以与垂直，C选项错误. 由于平面， 所以平面，由于平面，所以， 所以与垂直，B选项错误. 由于与不一定垂直，是在平面内的射影， 所以与不一定垂直，即与的数量积不一定为，A选项正确. 故选：A 8．（江苏省淮安市2024届高三第一次调研测试数学试题）在四面体中，，，，，则的值为（    ） A．7 B．9 C．11 D．13 【答案】B 【解析】因为，， 所以 ， 又，所以， 即， 即， 所以， 所以. 故选：B 9．（多选题）（山西省长治市2023-2024学年高二3月质量检测数学试题）如图，在正三棱柱中，为空间一动点，若，则（    ）    A．若，则点的轨迹为线段 B．若，则点的轨迹为线段 C．存在，使得 D．存在，使得平面 【答案】ABC 【解析】对于A：由，得点在侧面内（含边界）， 若，则，故点的轨迹为线段，故A正确； 对于B：若，则，所以，即， 又，故点的轨迹为线段，故B正确； 对于C：分别取棱的中点，连接，由题意易证平面， 当点在线段上时，，故存在，使得，故C正确； 对于D：若使平面，则点必在棱上，此时，故不存在， 使得平面，故D错误. 故选：ABC. 10．（多选题）（重庆市康德卷2024年普通高等学校招生全国统一考试高考模拟调研卷（三）数学试题）在平行六面体中，已知，，若，，，则（    ） A．的最小值为 B．的最大值为 C．的最大值为 D．的最大值为 【答案】AC 【解析】 如图：，，，， 则由题意，同理，， 所以， 又，，， 所以， 得，当且仅当即时等号成立，故A正确， 又，故， ， 故，当且仅当时等号成立，故C正确， 因，，最后等号成立条件为， 所以，故B错误， ， 所以，得，当且仅当时等号成立，故D错误， 故选：AC 11．（多选题）（福建省宁德市博雅培文学校2024届高三高考前最后一卷数学试题）已知空间单位向量，，两两夹角均为，，，则下列说法中正确的是（    ） A．、、、四点可以共面 B． C． D． 【答案】BC 【解析】由于单位向量，，两两夹角均为， 所以， 假设、、、四点可以共面，则共面， 所以存在，使得，分别用，，与点乘， 则，由于该方程组无解，所以不存在，使得共面， 故、、、四点不共面，故A错误， 对于B，,故B正确， 对于C，由得， 由得, 所以,则 ,故C正确； 对于D，， 故，故D错误， 故选：BC. 12．（上海市七宝中学2024届高三三模考试数学试题）已知点C在以AB为直径的球面上，若，则 ． 【答案】 【解析】由点C在以AB为直径的球面上，得， 所以. 故答案为： 13．（贵州省2024届高三4月新高考“大数据赋分”诊断性联合考试数学试题）已知正方体的顶点均在半径为1的球表面上，点在正方体表面上运动，为球的一条直径，则正方体的体积是 ，的范围是 ． 【答案】 【解析】设正方体的棱长为，由题意，，则正方体体积， 因为 ， 因为点在正方体表面上运动， 所以，故范围为 故答案为：，． 14．（广东省博罗县2023-2024学年高二期中数学试题）如图，在三棱锥中，已知平面，，，则向量在向量上的投影向量为 （用向量来表示）.    【答案】 【解析】由题意， 在三棱锥中，已知平面， , ∵面， ∴， 在中，，， ∴, ， ∴向量在向量上的投影向量为： ， 故答案为：. 15．已知长方体，，，M是的中点，点P满足，其中，，且平面，则动点P的轨迹所形成的轨迹长度是 . 【答案】 【解析】如图所示，E，F，G，H，N分别为，，，DA，AB的中点，则，， 由面，面，则面， 同理可证面，，面， 所以面面， 所以动点P的轨迹是六边形MEFGHN及其内部，又， 所以点在侧面，故的轨迹为线段， 因为，，所以. 故答案为： 【高考真题】 1．（2001年普通高等学校招生考试数学（文）试题（上海卷））在平行六面体中，M为AC与BD的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为在平行六面体中，， 所以. 故选：A. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$