精品解析：四川省广安市加德学校2025-2026学年高一下学期3月月考数学试题1

广安加德学校2025-2026学年度下期高2025级3月月考 数学 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知，则（ ） A. 0 B. 1 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】由复数模的计算公式直接计算即可. 【详解】若，则. 故选：C. 2. （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：． 3. 已知非零向量，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】考虑两者之间的推出关系后可得两者之间的条件关系. 【详解】如图所示，，当时，与垂直， ，所以成立，此时， 不是的充分条件， 当时，成立， 是的必要条件， 综上，“”是“”的必要不充分条件 故选：B. 4. 已知边长为2的正方形中，点，分别为，的中点，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意结合数量积的几何意义运算求解. 【详解】因为点，分别为，的中点， 则，且在方向上的投影数量为2， 所以. 故选：B. 5. 已知锐角三角形边长分别为2，3，x，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 不确定 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形的性质，求得，再由为锐角，结合余弦定理，求得的范围，即可求解. 【详解】设三角形为，且， 由三角形的几何性质，可得， 由三角形是锐角三角形，，所以只需要为锐角， 则，即，解得 ；，即，解得， 综上可得，，即的取值范围为. 故选：C. 6. 已知物体受平面内的三个力作用于同一点，且该物体处于平衡状态，若，，且的夹角为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先计算，再利用公式计算即可. 【详解】因，则，则， 又三个力作用于同一点，且该物体处于平衡状态， 则，即， 则. 故选：A 7. 一船以的速度向东航行，船在点A处看到一个灯塔B在北偏东，行驶4h后，船到达点C处，看到这个灯塔在北偏东，这时船与灯塔的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作出示意图，在中，可由正弦定理求的长，即得到答案. 【详解】作出示意图如图所示，， ，，则. 由正弦定理，可得，则. 所以这时船与灯塔的距离为. 故选：B 8. 在中，，过点O的直线分别交直线于M，N两个不同的点，若，其中m，n为实数，则的最小值为（ ） A. 1 B. 4 C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】利用、表示出，再利用三点共线得到，再把转化为关于的式子，即可求出最小值. 【详解】 三点共线 即 故的最小值为. 故选：C. 二、多选题（题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题日要求，全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.） 9 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据复数乘法可得，再结合共轭复数以及复数的模长公式逐项分析判断. 【详解】因为， 所以，故AC错误，BD正确. 故选：BD. 10. 已知是夹角为的单位向量，且，则下列选项正确的是（） A. B. C. 的夹角为 D. 在上的投影向量为 【答案】BCD 【解析】 【分析】对A：借助向量模长与数量积的关系计算即可得；对B：借助数量积公式计算即可得；对C：借助向量夹角公式计算即可得；对D：借助投影向量的定义计算即可得. 【详解】是夹角为的单位向量，， 对于，，同理可得，故错误； 对于，，故正确； 对于，因 又，，故C正确； 对于， 所以在上的投影向量为，故正确. 故选：． 11. “圆幂定理”是平面几何中关于圆的一个重要定理，它包含三个结论，其中一个是相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等，如图，已知圆的半径2，点是圆内的定点，且，弦均过点，则下列说法正确的是（ ） A. 为定值 B. 的取值范围是 C. 当时，为定值 D. 的最大值为8 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据题设中的圆幂定理可判断A；取的中点为，连接，利用向量的线性运算可判断B；利用圆幂定理和向量的线性运算可判断C；根据直径的大小可判断D. 【详解】对于A，如图，过作直径， 由题意，故A正确； 对于B，设中点，连接， 则 ， 由题意，则，故B正确； 对于C，若，则， 则， 又，则，同理可得， 故，故C正确； 对于D，因为，则当弦均与重合时， 此时有最大值16，故D错误. 故选：ABC. 三、填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分.） 12. 在中，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用余弦定理进行求解. 【详解】由题意得， 又，所以. 故答案为： 13. 若向量，则在方向上的投影向量的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】通过向量积的坐标运算，可得到，从而可得投影向量为零向量. 【详解】因为，所以，， 所以， 所以，即在方向上的投影向量为零向量，坐标为. 故答案为：. 14. 如图，风景秀美的宝湖畔有四棵高大的银杏树，记作A，B，P，Q，湖岸部分地方围有铁丝网不能通过．欲测量P，Q两棵树和A，P两棵树之间的距离，现可测得A，B两点间的距离为100m，，，，．则P，Q两棵树和A，P两棵树之间的距离分别为__________m. 【答案】 ， 【解析】 【详解】在中，， 由正弦定理得，得． 在中，，，∴． 在中，， 由余弦定理得， ∴． 因此，P，Q两棵树之间的距离为，A，P两棵树之间的距离为． 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知向量. （1）若，求的值； （2）若，求实数的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用向量平行的坐标运算即可求出，再用求模公式即可； （2）利用得到，再利用数量积的坐标形式求解. 【小问1详解】 若，则，即， 则，. 【小问2详解】 ，则，则， ，得. 16. 已知复数，其中． （1）设，若是纯虚数，求实数m的值； （2）设，分别记复数在复平面上对应的点为A、B，若，求点P坐标. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由已知可得，根据是纯虚数即可求解； （2）当时求得复平面上对应的点的坐标，利用向量的坐标表示，计算即可求解. 【小问1详解】 ， 因为是纯虚数，所以且，解得； 【小问2详解】 当时，，故得，，故． 设点，则 ，， 因为，所以，解得 所以点P的坐标为 . 17. 如图，在梯形中，为线段中点，记 （1）用表示向量； （2）求与夹角的余弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用向量加法法则，结合向量的线性运算可得结果； （2）由向量数量积和向量的夹角公式计算即可. 【小问1详解】 因为，为线段中点，且， 则； 【小问2详解】 由于，可得，又有， 所以. 由，可得， 且，故. 18. 在中，角的对边分别为．已知，，． （1）求A的值； （2）求c的值； （3）求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理化边为角再化简可求； （2）由余弦定理，结合（1）结论与已知代入可得关于的方程，求解可得，进而求得； （3）利用正弦定理先求，再由二倍角公式分别求，由两角和的正弦可得. 【小问1详解】 已知，由正弦定理， 得，显然， 得，由， 故； 【小问2详解】 由（1）知，且，， 由余弦定理， 则， 解得（舍去）， 故； 【小问3详解】 由正弦定理，且， 得，且，则为锐角， 故，故， 且； 故. 19. 设，是平面上的两条射线，其中，、分别是与、同向的单位向量，以射线、分别为轴、轴的正半轴，建立的平面坐标系称为仿射坐标系.在仿射坐标系中，若，则记. （1）在仿射坐标系中，若，求（用含，，的代数式表示）； （2）在仿射坐标系中，若，，且与的夹角为，求的值； （3）在仿射坐标系中，如图所示，点、分别在轴、轴正半轴上运动，，，、分别为、中点，求最大值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题意可得，将其两边平方后利用向量数量积的运算律计算即得； （2）利用（1）得到的模长公式，求得和，再计算，再将条件代入公式，列出方程，即可求出的值. （3）设出点用表示出，利用正弦定理，经过三角恒等变换，化简成正弦型函数，求得其最大值. 【小问1详解】 由可得， 则， 所以； 【小问2详解】 依题意，将代入（1）得到的模长公式即得，，， ， 因为与的夹角为，则由， 可得，解得. 【小问3详解】 依题意，设， 因为是中点，则， 因为是的中点，则， 故 因为，， 则， 在中，由余弦定理得，即，代入上式可得， ， 在中，由正弦定理可得， 设，则， 于是 ， 其中为锐角，且， 因为，则， 故当时，取最大值， 则，即的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广安加德学校2025-2026学年度下期高2025级3月月考 数学 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知，则（ ） A. 0 B. 1 C. D. 2 2. （ ） A. B. C. D. 3. 已知非零向量，则“”是“”（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件 4. 已知边长为2正方形中，点，分别为，的中点，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 已知锐角三角形边长分别为2，3，x，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 不确定 6. 已知物体受平面内的三个力作用于同一点，且该物体处于平衡状态，若，，且的夹角为，则（ ） A. B. C. D. 7. 一船以的速度向东航行，船在点A处看到一个灯塔B在北偏东，行驶4h后，船到达点C处，看到这个灯塔在北偏东，这时船与灯塔的距离为（ ） A B. C. D. 8. 在中，，过点O的直线分别交直线于M，N两个不同的点，若，其中m，n为实数，则的最小值为（ ） A. 1 B. 4 C. D. 5 二、多选题（题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题日要求，全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.） 9. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知是夹角为单位向量，且，则下列选项正确的是（） A. B. C. 的夹角为 D. 在上的投影向量为 11. “圆幂定理”是平面几何中关于圆的一个重要定理，它包含三个结论，其中一个是相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等，如图，已知圆的半径2，点是圆内的定点，且，弦均过点，则下列说法正确的是（ ） A. 为定值 B. 的取值范围是 C. 当时，为定值 D. 的最大值为8 三、填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分.） 12. 在中，则__________. 13. 若向量，则在方向上的投影向量的坐标为______． 14. 如图，风景秀美的宝湖畔有四棵高大的银杏树，记作A，B，P，Q，湖岸部分地方围有铁丝网不能通过．欲测量P，Q两棵树和A，P两棵树之间的距离，现可测得A，B两点间的距离为100m，，，，．则P，Q两棵树和A，P两棵树之间的距离分别为__________m. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知向量. （1）若，求的值； （2）若，求实数值． 16. 已知复数，其中． （1）设，若是纯虚数，求实数m的值； （2）设，分别记复数在复平面上对应的点为A、B，若，求点P坐标. 17. 如图，在梯形中，为线段中点，记 （1）用表示向量； （2）求与夹角的余弦值. 18. 在中，角的对边分别为．已知，，． （1）求A的值； （2）求c的值； （3）求的值． 19. 设，是平面上的两条射线，其中，、分别是与、同向的单位向量，以射线、分别为轴、轴的正半轴，建立的平面坐标系称为仿射坐标系.在仿射坐标系中，若，则记. （1）在仿射坐标系中，若，求（用含，，的代数式表示）； （2）在仿射坐标系中，若，，且与的夹角为，求的值； （3）在仿射坐标系中，如图所示，点、分别在轴、轴正半轴上运动，，，、分别为、中点，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $