精品解析：四川省广安友谊中学2024-2025学年高一下学期3月月考数学试题

广安友谊中学高2024级高一下期3月月考数学试题 一.单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1. 下列命题中，正确的是（ ） A. 若与都是单位向量，则 B. 若与是平行向量，则 C. 若用有向线段表示向量与不相等，则点M与N不重合 D. 若，则 2. （ ） A. B. C. D. 1 3. 函数的定义域是（ ） A R B. C. D. 4. 中，若点D满足，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知向量，满足，且，则在方向上的投影向量为（ ） A B. C. D. 6. 函数图象大致为（ ） A. B. C. D. 7. 数学里有一种证明方法叫做Proofwithoutwords，也被称为无字证明，是指仅用图象而无需文字解释就能不证自明的数学命题，由于这种证明方法的特殊性，无字证明被认为比严格的数学证明更为优雅与有条理．如下图，点为半圆上一点，，垂足为，记，则由可以直接证明的三角函数公式是（ ） A. B. C. D. 8. 已知，记，，，则x，y，z的大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 二.多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下面给出的关系式中，正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数（）在区间上有且仅有条对称轴，给出下列四个结论，正确的是（     ） A. 在区间上有且仅有个不同的零点 B. 的最小正周期可能是 C. 的取值范围是 D. 在区间上单调递增 三.填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 化简：___________． 13. 求值：________． 14. 如图，在半径为2、圆心角为的扇形的弧上任取一点A，作扇形的内接平行四边形，使点B在上，点C在上，则该平行四边形面积的最大值为________. 四.解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤. 15. 已知，，且与的夹角为120°，求： （1）； （2）若向量与平行，求实数的值． 16. 已知，，，， （1）求的值； （2）求角的值. 17. 已知函数. （1）求函数的单调减区间； （2）将函数的图象向右平移个单位，再将所得的图象上各点的纵坐标缩短为原来的倍，横坐标不变，得到函数的图象，当，解不等式. 18. 已知函数的部分图象如图所示. （1）求函数的解析式； （2），若对，，使得，求实数m的取值范围. 19. 已知函数. （1）求方程在上的解集； （2）设函数； （i）证明：在有且只有一个零点； （ii）在（i）的条件下，记函数的零点为，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 广安友谊中学高2024级高一下期3月月考数学试题 一.单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1. 下列命题中，正确的是（ ） A. 若与都是单位向量，则 B. 若与是平行向量，则 C. 若用有向线段表示的向量与不相等，则点M与N不重合 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】由平面向量的基本概念判断即可. 【详解】对于A：若与都是单位向量，则，故A错误； 对于B：与是平行向量,故B错误； 对于D：向量是既有大小又有方向的量，两个向量不能比较大小，故D错误； 故选：C 2. （ ） A B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】利用两角和的正弦公式可求答案. 【详解】 . 故选：A 3. 函数的定义域是（ ） A. R B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用正切函数的定义域和整体角意识解不等式即得. 【详解】因函数的定义域为， 故由，可解得， 即函数的定义域是. 故选：C. 4. 在中，若点D满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用平面向量减法运算得，整理即可求解． 【详解】， ， ， 故选：B． 5. 已知向量，满足，且，则在方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先利用计算，再利用投影向量的公式计算即可. 【详解】，，则， 得， 则在方向上的投影向量为. 故选：D 6. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定的函数，利用奇偶性可排除两个选项，再利用当时，函数值的正负即可判断作答. 【详解】函数的定义域为R，，即函数是奇函数，排除CD； 当时，，即当时，函数的图象在x轴的上方，显然A不满足，B满足. 故选：B 7. 数学里有一种证明方法叫做Proofwithoutwords，也被称为无字证明，是指仅用图象而无需文字解释就能不证自明的数学命题，由于这种证明方法的特殊性，无字证明被认为比严格的数学证明更为优雅与有条理．如下图，点为半圆上一点，，垂足为，记，则由可以直接证明的三角函数公式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据直角三角形中的定义写出，用表示出，然后分析可得． 【详解】由已知，，则， 又，，，， 即，， 所以. 故选：B． 8. 已知，记，，，则x，y，z的大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，结合三角函数的性质可得，再利用对数函数单调性结合“媒介数”判断作答. 【详解】依题意，，则有，且， 因此， 所以. 故选：D 二.多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下面给出的关系式中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据向量的数量积定义及运算性质逐一分析即可. 【详解】因为数与向量相乘为向量，所以，故正确； 向量的数量积满足交换律，所以，故正确； 根据数量积定义知，数量积为一实数， 所以为，表示与共线的向量， 而为，表示与共线的向量， 所以不一定成立，故错误； 根据数量积定义知，故正确； 故选：. 10. 已知，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据条件，逐一求出各选项的值，再进行判断. 【详解】由.故A正确； ，故C正确； ，故D错误； 因为，所以为第一或第三象限角. 若为第一象限角，则，所以； 若为第三象限角，则，所以. 所以B错误. 故选：AC 11. 已知函数（）在区间上有且仅有条对称轴，给出下列四个结论，正确的是（     ） A. 在区间上有且仅有个不同的零点 B. 的最小正周期可能是 C. 的取值范围是 D. 在区间上单调递增 【答案】BC 【解析】 【分析】令 , 则 , 由函数 在区间 上有且仅有 4 条对称轴, 即 有 4 个整数符合, 可求出 判断 C, 再利用三角函数的性质可依次判断A B D. 【详解】由函数化简可得, 令 , 则 ， 函数 在区间 上有且仅有 4 条对称 轴, 即 有 4 个整数符合, 由 得，则 ， 即 ,, 故C正确; 对于A， ,,,当 时, 在区间 上有且仅有 3 个不同的零点; 当 时, 在区间 上有且仅有 4 个不同的零点; 故 A错误; 对于 B, 周期 , 由 , 则 ,, 又 , 所以 的最小正周期可能是，故 B 正确; 对于D ,,,, ,又, 所以 在区间 上不一定单调递增, 故 D 错误. 故选: BC. 三.填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 化简：___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用向量的加减运算法则即可求解. 【详解】. 故答案为：． 13. 求值：________． 【答案】1 【解析】 【分析】由，切化弦，再由辅助角公式即可化简求值； 【详解】 ． 故答案为：1 14. 如图，在半径为2、圆心角为的扇形的弧上任取一点A，作扇形的内接平行四边形，使点B在上，点C在上，则该平行四边形面积的最大值为________. 【答案】## 【解析】 【分析】首先连结，设，，利用三角函数表示四边形的面积，结合三角函数的性质即可求解. 【详解】过点分别作分别垂直于点， 则，，又， 所以，所以， 所以平行四边形的面积和长方形的面积相等， 设，， 则，，， 所以， 所以四边形的面积， 所以 ， 因为，所以， 故当即时，面积取得最大值为. 故答案为：. 四.解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤. 15. 已知，，且与的夹角为120°，求： （1）； （2）若向量与平行，求实数的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用平方的方法来求得正确答案. （2）根据向量平行列方程来求得. 【小问1详解】 ， 所以. 【小问2详解】 由于向量与平行， 所以存在实数，使得， 所以，解得. 16. 已知，，，， （1）求的值； （2）求角的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据、得到，利用同角的三角函数基本关系式即得； （2）注意到，故只需分别求出的值，利用差角的正弦公式即可求得的值，利用即可求得角的值. 【小问1详解】 由得，因，则； 【小问2详解】 又由知，因， 则， 由 ， 又因，故 17. 已知函数. （1）求函数的单调减区间； （2）将函数的图象向右平移个单位，再将所得的图象上各点的纵坐标缩短为原来的倍，横坐标不变，得到函数的图象，当，解不等式. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角恒等变换化简函数，再由正弦型函数的单调性求解即可； （2）利用三角函数图象的变换求出的解析式，再由正弦型函数的图象与性质解不等式即可. 【小问1详解】 函数， 当，时，解得：，， 因此，函数的单调减区间为. 【小问2详解】 将函数的图象向右平移个单位，可得的图象， 再将所得的图象上各点的纵坐标缩短为原来的倍，横坐标不变，得到函数的图象， 由，即，得，， 解得， 令，可得， 令，可得， 又，所以， 即当时，不等式的解集为. 18. 已知函数的部分图象如图所示. （1）求函数的解析式； （2），若对，，使得，求实数m的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 分析】（1）由图依次根据最值点，周期和特殊点坐标计算确定即得解析式； （2）设的值域为集合A，的值域为集合B，依题意，分别求集合，利用集合的包含关系即可求得参数范围. 小问1详解】 由图可得，函数的最小正周期为， 则，于是， 当时，取得最小值，则得， 所以，又因为，故；. 【小问2详解】 设的值域为集合A，的值域为集合B， 根据题意可得：，，， ，即的值域为，故. 又，在上恒成立， 易知在上单调递减，，， ， 由得， 解得，m的取值范围是. 19. 已知函数. （1）求方程在上的解集； （2）设函数； （i）证明：在有且只有一个零点； （ii）在（i）的条件下，记函数的零点为，证明：. 【答案】（1） （2）（i）证明见解析；（ii）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用余弦二倍角公式化简方程，再结合辅助角公式即可； （2）（i）根据三角函数的性质分区间研究函数的性质，利用零点存在定理可证明；（ii）然后利用换元法求值域即可证明. 【小问1详解】 所以. 所以或 当时，，则，又，所以或， 当，则，又. 所以或，所以或， 所以方程在上的解集为. 【小问2详解】 （i）设. 当，则， 此时在区间上单调递增， 又在区间上也单调递增，所以在区间上单调递增， 又 所以在时有唯一零点， 当，所以， 所以上没有零点， 综上，在有唯一零点. （ii）记函数的零点为， 所以，且，所以， 所以， 令，因为，所以， 又，则， 所以. 【点睛】 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$