3.1.3 正比例关系与反比例关系 学案 2026-2027学年人教版七年级数学上册

该初中数学导学案聚焦正比例与反比例关系，引导学生理解概念、掌握判断方法及应用。通过小明骑自行车的生活情境导入，关联已学的路程、速度、时间关系，观察量的变化规律，为抽象正反比例特征搭建学习支架。 资料特色在于对比表格明晰正反比例异同，错误诊所精准辨析易错点，分层达标检测适配不同学情。注重从具体情境抽象数量关系，培养符号意识和模型观念，发展学生用数学思维分析问题的能力，提升学习效率与应用意识。

3.1.3 正比例关系与反比例关系 2026--2027学年人教版七年级数学上册 班级：__________ 姓名：__________ 日期：__________ 一、学习目标 【知识技能】理解正比例关系和反比例关系的意义，掌握判断两种相关联的量是否成比例关系的方法。 【数学思考】经历从具体情境中抽象出正反比例关系的过程，培养观察、比较、分析、归纳的能力。 【问题解决】能运用正比例关系和反比例关系解决简单的实际问题，体会数学与生活的联系。 【核心素养】通过正反比例的对比学习，发展符号意识、模型观念和辩证思维能力。 二、学习重难点 【重点】正比例关系和反比例关系的概念与判断方法。 【难点】正确判断两种相关联的量成正比例还是反比例，以及在实际问题中的应用。 三、情境导入 【生活情境】小明的周末计划 周末小明计划骑自行车去距家12千米的公园游玩。 ① 如果他每小时骑6千米，需要几小时到达？如果每小时骑12千米呢？ ② 如果他计划2小时到达，每小时需要骑多少千米？如果计划3小时到达呢？ ③ 思考：在这个问题中，路程、速度、时间三个量之间有什么关系？ 当路程一定时，速度变化，时间怎么变？ 当速度一定时，路程变化，时间怎么变？ 在我们的生活中，像这样一个量变化、另一个量也随着变化的现象非常普遍。今天我们就来研究两种特殊的数量关系——正比例关系和反比例关系。 四、合作探究 探究点1：正比例关系 【观察与思考】汽车以每小时80千米的速度匀速行驶，行驶时间与路程如下表： 时间/时 1 2 3 4 5 ... 路程/千米 80 160 240 320 400 ... 问题1：表中有哪两种量？它们是相关联的量吗？ 问题2：路程是怎样随着时间的变化而变化的？ 问题3：相对应的路程和时间的比分别是多少？比值是多少？这个比值表示什么？ 【概念归纳】正比例关系 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。 用字母表示：如果用字母x和y表示两种相关联的量，用k表示它们的比值（一定，k≠0），正比例关系可以表示为： y/x = k（一定） 或 y = kx 正比例关系的三个关键特征： ① 两种量必须是相关联的（一个量变，另一个量也跟着变）； ② 变化方向相同（一个量扩大，另一个量也扩大；一个量缩小，另一个量也缩小）； ③ 比值（商）是固定不变的常数（k ≠ 0）。 探究点2：反比例关系 【观察与思考】把体积为300立方厘米的水倒入底面积不同的圆柱形杯子中，杯子的底面积和水的高度如下表： 底面积/cm² 10 15 20 30 50 ... 高度/cm 30 20 15 10 6 ... 问题1：表中有哪两种量？它们是相关联的量吗？ 问题2：水的高度是怎样随着底面积的变化而变化的？ 问题3：相对应的底面积和高度的乘积分别是多少？这个乘积表示什么？ 【概念归纳】反比例关系 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。 用字母表示：如果用字母x和y表示两种相关联的量，用k表示它们的积（一定，k≠0），反比例关系可以表示为： xy = k（一定） 或 y = k/x 反比例关系的三个关键特征： ① 两种量必须是相关联的（一个量变，另一个量也跟着变）； ② 变化方向相反（一个量扩大，另一个量反而缩小；一个量缩小，另一个量反而扩大）； ③ 乘积是固定不变的常数（k ≠ 0）。 探究点3：正比例与反比例的对比 对比项目 正比例关系 反比例关系 定义 比值（商）一定 乘积一定 关系式 y/x = k（一定） xy = k（一定） 变化方向 同向变化（同增同减） 反向变化（一增一减） 图像特征 经过原点的一条直线 双曲线（两支） 相同点 都有两种相关联的量，一种量变化另一种量也随着变化 不同点 比值一定；同向变化 乘积一定；反向变化 图1：正比例与反比例关系图像对比 图2：正反比例关系判断流程 五、典型例题精讲 题型1：正比例关系的判断 【例1】判断下列各题中的两种量是否成正比例关系，并说明理由。 （1）每袋大米的质量一定，大米的总质量和袋数。 （2）一个人的身高和他的年龄。 （3）长一定，长方形的周长和宽。 （4）圆的周长和它的直径。 【思路解析】 判断两种量是否成正比例，关键看三点：①是否相关联；②变化方向是否相同；③比值是否一定。 （1）成正比例。因为：大米总质量÷袋数 = 每袋质量（一定），比值一定。 （2）不成正比例。因为：身高和年龄虽然相关联，但比值不一定，且到一定年龄后身高不再变化。 （3）不成正比例。因为：周长÷2 - 宽 = 长（一定），是差一定，不是比值一定。周长 = 2×(长+宽)，周长与宽的比值随宽变化而变化。 （4）成正比例。因为：圆的周长÷直径 = π（一定），比值是固定的圆周率。 题型2：反比例关系的判断 【例2】判断下列各题中的两种量是否成反比例关系，并说明理由。 （1）路程一定，汽车行驶的速度和时间。 （2）圆的面积一定，圆周率和半径。 （3）总人数一定，每行站的人数和站的行数。 （4）长方形的周长一定，它的长和宽。 【思路解析】 判断两种量是否成反比例，关键看三点：①是否相关联；②变化方向是否相反；③乘积是否一定。 （1）成反比例。因为：速度×时间 = 路程（一定），乘积一定。 （2）不成反比例。因为：圆周率π是一个固定不变的常数，不是变量。 （3）成反比例。因为：每行人数×行数 = 总人数（一定），乘积一定。 （4）不成反比例。因为：长 + 宽 = 周长÷2（一定），是和一定，不是乘积一定。 题型3：正反比例关系的实际应用 【例3】工厂生产一批零件，计划每天生产40个，15天完成任务。 （1）如果每天生产50个，多少天可以完成？ （2）如果要10天完成任务，每天需要生产多少个零件？ （3）每天生产的个数和需要的天数成什么比例关系？为什么？ 【思路解析】 先分析：工作总量 = 工作效率 × 工作时间 这批零件的总数是一定的：40 × 15 = 600（个） （1）设x天可以完成。 50x = 40×15 50x = 600 x = 12 答：12天可以完成。 （2）设每天需要生产y个。 10y = 40×15 10y = 600 y = 60 答：每天需要生产60个。 （3）成反比例关系。因为：每天生产的个数 × 需要的天数 = 零件总数（一定），乘积一定，所以成反比例关系。 题型4：用代数式表示正反比例关系 【例4】用含字母的式子表示下列各题中的数量关系，并判断成什么比例。 （1）每本书a元，买x本书的总价为y元。 （2）用长为L米的铁丝围成长方形，长为a米，宽为b米。 （3）某小区总面积为S平方米，户数为n，平均每户占地面积为m平方米。 （4）小明骑自行车的速度为v千米/时，行驶t小时的路程为s千米。 【思路解析】 （1）y = ax，y与x成正比例（因为y/x = a，a一定，比值一定） （2）L = 2(a+b)，a与b不成比例（因为a+b = L/2，是和一定，不是比值或乘积一定） （3）S = nm，n与m成反比例（因为n×m = S，S一定，乘积一定） （4）s = vt，若v一定，则s与t成正比例；若s一定，则v与t成反比例。 图3：生活中常见的正反比例关系场景 六、错误诊所（易错点辨析） ⚠ 误区1：混淆正比例与反比例的判断依据 【错例】判断：因为速度×时间=路程，所以速度和时间成反比例关系。 【诊断】错误。缺少了「路程一定」这个前提条件。只有当路程一定时，速度和时间才成反比例；如果速度一定，路程和时间成正比例。 【药方】判断正反比例时，必须明确哪个量是一定的，再看另外两个量是比值一定还是乘积一定。 ⚠ 误区2：认为相关联的两种量就一定成比例 【错例】判断：一个人的身高和体重成正比例关系。 【诊断】错误。身高和体重虽然相关联（一般来说身高越高体重越重），但它们的比值不一定，没有固定的比例关系。 【药方】成比例关系的两个量必须同时满足：①相关联；②比值一定（正比例）或乘积一定（反比例）。 ⚠ 误区3：忽略比例系数k不能为0 【错例】判断：y = 0x 中，y与x成正比例关系。 【诊断】错误。正比例关系要求y/x = k（k为常数，且k≠0）。当k=0时，y恒等于0，x不能为0（分母不能为0），且失去了比例的意义。 【药方】正比例关系y=kx中，比例系数k必须满足k≠0；反比例关系xy=k中，同样k≠0。 ⚠ 误区4：和一定误认为成反比例 【错例】判断：长方形的周长一定，它的长和宽成反比例关系。 【诊断】错误。长+宽=周长÷2（一定），这是和一定，不是乘积一定。反比例的核心是乘积一定。 【药方】牢牢记住：正比例看比值（商），反比例看乘积。和一定、差一定都不成比例关系。 ⚠ 误区5：判断正比例时忽略「比值一定」而非「差一定」 【错例】判断：圆的面积与半径成正比例关系。 【诊断】错误。圆的面积 S = πr²，S/r = πr（不是定值，随r变化而变化）。实际上，圆的面积与半径的平方成正比例。 【药方】判断时要计算两个量的比值是否确实为常数，不能仅凭感觉判断。 ⚠ 误区6：反比例的表达式书写不规范 【错例】反比例关系写成 y = k ÷ x 【诊断】不规范。代数式的书写要求：除法运算一般写成分数形式。 【药方】反比例关系的规范写法：xy = k 或 y = k/x（分式形式）。 ⚠ 误区7：认为一个量增加另一个量减少就是反比例 【错例】判断：被减数一定，减数和差成反比例关系。 【诊断】错误。减数+差=被减数（一定），是和一定，不是乘积一定。虽然减数增加时差减少，但它们不是反比例关系。 【药方】反比例的本质是乘积一定，不是变化方向相反。变化方向相反只是反比例的一个特征，不是判断依据。 ⚠ 误区8：忽略「在同一变化过程中」的前提 【错例】判断：正方形的面积和它的边长成正比例。 【诊断】错误。正方形面积 = 边长²，面积/边长 = 边长（不一定）。只有当边长固定时比值才固定，但边长本身是变化的，所以比值也在变。 【药方】在同一个变化过程中，两个变量的比值或乘积必须始终保持不变，才成比例关系。 七、达标检测 A组 · 基础过关（必做） 填空题： 1. 两种（ ）的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的（ ）一定，这两种量就叫做成正比例的量。 2. 两种（ ）的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的（ ）一定，这两种量就叫做成反比例的量。 3. 用字母表示正比例关系：（ ）；反比例关系：（ ）。 4. 单价一定，总价和数量成（ ）比例；总价一定，单价和数量成（ ）比例。 5. 如果y = 5x，那么x和y成（ ）比例；如果xy = 20，那么x和y成（ ）比例。 判断题： 1. 圆的周长和它的直径成正比例关系。（ ） 2. 正方体的棱长和它的体积成正比例关系。（ ） 3. 工作总量一定，工作效率和工作时间成反比例关系。（ ） 4. 一个加数一定，和与另一个加数成反比例关系。（ ） 5. 人的身高和体重成正比例关系。（ ） 6. 长方形的长一定，它的面积和宽成正比例关系。（ ） 选择题： 1. 下列各题中，两种量成正比例关系的是（ ） A. 路程一定，速度和时间 B. 正方形的边长和面积 C. 工作效率一定，工作总量和工作时间 D. 三角形的面积一定，底和高 2. 下列各题中，两种量成反比例关系的是（ ） A. 单价一定，总价和数量 B. 长方形的周长一定，长和宽 C. 圆的半径和它的面积 D. 总人数一定，每行站的人数和行数 3. 表示x和y成正比例关系的式子是（ ） A. x + y = 12 B. xy = 12 C. x/y = 12 D. y = x + 12 4. 表示x和y成反比例关系的式子是（ ） A. y = 3x B. x + y = 10 C. y = x/3 D. xy = 6 B组 · 能力提升（选做） 1. 判断下列各题中的两种量成什么比例关系，并说明理由。 （1）每小时织布的米数一定，织布总米数和时间。 （2）三角形的面积一定，它的底和高。 （3）正方形的周长和它的边长。 （4）全班人数一定，出勤人数和缺勤人数。 （5）每块地砖的面积一定，铺地的总面积和所需地砖的块数。 2. 一辆汽车行驶的时间和路程如下表： | 时间/时 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | ... | | 路程/千米 | 75 | 150 | 225 | 300 | 375 | ... | （1）表中有哪两种相关联的量？ （2）写出几组相对应的路程和时间的比，比较比值的大小。 （3）这个比值表示什么意义？ （4）表中的路程和时间成正比例关系吗？为什么？ 3. 用一批纸装订练习本，每本25页，可以装订400本。 （1）如果每本40页，可以装订多少本？ （2）如果要装订500本，每本有多少页？ （3）每本的页数和装订的本数成什么比例关系？为什么？ 4. 已知a和b成正比例关系，请完成下表。 | a | 2 | 4 | | 10 | | 20 | | b | 6 | | 18 | | 36 | | 5. 已知x和y成反比例关系，请完成下表。 | x | 2 | 4 | | 12 | | 30 | | y | 30 | | 10 | | 3 | | C组 · 拓展探究（挑战） 1. 【探究题】判断：圆的面积和半径的平方成正比例关系吗？为什么？ 2. 【开放题】请你写出生活中成正比例和反比例的例子各3个，并说明理由。 正比例例子： 反比例例子： 3. 【综合应用】某工厂生产一批零件，计划每天生产80个，25天完成。 （1）如果每天生产100个，需要多少天完成？ （2）如果要提前5天完成，每天需要生产多少个？ （3）如果每天的产量提高25%，可以提前几天完成？ 4. 【思维拓展】如果a与b成正比例，b与c成反比例，那么a与c成什么比例？请说明理由。 5. 【规律探究】观察下面的等式，回答问题： 5 × 8 = 10 × 4 = 20 × 2 = 40 × 1 = 40 （1）从上面的等式中，你发现了什么规律？ （2）如果用x和y表示两个相关联的量，用k表示它们的积（k一定），你能用式子表示它们的关系吗？ （3）这种关系是什么关系？它有什么特征？ 【中考链接】 1. （2024·中考模拟）下列各题中，两种量成反比例关系的是（ ） A. 工作效率一定，工作时间和工作总量 B. 长方形的周长一定，它的长和宽 C. 三角形的面积一定，它的底和高 D. 正方形的边长和面积 2. （2024·中考模拟）如果y = x/4，那么x和y（ ） A. 成正比例关系 B. 成反比例关系 C. 不成比例关系 D. 无法判断 八、数学文化长廊 【数学史话】正比例与反比例的由来 正比例和反比例的概念最早可以追溯到古希腊时期。著名数学家欧多克索斯（Eudoxus，约公元前400-前347年）提出了比例论，对比例关系进行了系统的研究。 在中国古代，《九章算术》中就有关于比例问题的记载，称为「今有术」，也就是根据已知比例求解未知量的方法。「今有术」是世界上最早的比例运算法则，比西方早了一千多年。 到了近代，随着函数概念的发展，正比例关系和反比例关系成为了最基本的函数关系之一。正比例函数y=kx和反比例函数y=k/x是我们以后学习函数的重要基础。 正反比例关系在生活中无处不在：地图上的比例尺、工程中的效率问题、物理中的速度路程关系、经济中的单价总价关系……理解了正反比例，就能更好地认识和改造我们的世界。 九、课堂小结 【正比例关系】两种相关联的量，比值一定 → y/x = k（k≠0，一定） → 同向变化 【反比例关系】两种相关联的量，乘积一定 → xy = k（k≠0，一定） → 反向变化 【判断方法】一找（找变量）、二看（看变化方向）、三算（算比值或乘积是否一定） 【核心区别】正比例看「商一定」，反比例看「积一定」 【注意事项】 • 相关联的量不一定成比例，必须比值或乘积一定 • 比例系数k不能为0 • 和一定、差一定都不成比例关系 十、课后反思 1. 我能准确判断两种量是否成正比例关系吗？□ 熟练 □ 基本掌握 □ 还需练习 2. 我能准确判断两种量是否成反比例关系吗？□ 熟练 □ 基本掌握 □ 还需练习 3. 我最容易出错的地方是：______________________________________ 4. 我还想探究的问题是：________________________________________ 参考答案 A组 · 基础过关 【填空题】 1. 相关联；比值（商） 2. 相关联；乘积 3. y/x = k（一定）或 y = kx；xy = k（一定）或 y = k/x 4. 正；反 5. 正；反 【判断题】 1. √（周长÷直径=π，比值一定） 2. ×（体积÷棱长=棱长²，不一定） 3. √（效率×时间=总量，乘积一定） 4. ×（和一定，不是乘积一定） 5. ×（相关联但比值不一定） 6. √（面积÷宽=长，比值一定） 【选择题】 1. C（工作总量÷时间=效率，比值一定） 2. D（每行人数×行数=总人数，乘积一定） 3. C 4. D B组 · 能力提升（部分答案） 1.（1）成正比例（总米数÷时间=每小时米数，一定） （2）成反比例（底×高=2×面积，乘积一定） （3）成正比例（周长÷边长=4，比值一定） （4）不成比例（和一定，不是比值或乘积一定） （5）成正比例（总面积÷块数=每块面积，一定） 2.（1）时间和路程 （2）75:1=75，150:2=75，225:3=75，比值相等都是75 （3）表示速度，每小时行驶75千米 （4）成正比例，因为路程÷时间=速度（一定） 3.（1）设可以装订x本：40x = 25×400 → x = 250（本） （2）设每本x页：500x = 25×400 → x = 20（页） （3）成反比例，因为每本页数×装订本数=总页数（一定） 4. a=2→b=6，a=4→b=12，a=6→b=18，a=10→b=30，a=12→b=36，a=20→b=60 5. x=2→y=30，x=4→y=15，x=6→y=10，x=12→y=5，x=20→y=3，x=30→y=2 C组 · 拓展探究（部分答案） 1. 成正比例关系。因为 S÷r² = π（一定），所以圆的面积和半径的平方成正比例。 （注意：圆的面积和半径不成正比例，因为比值是πr，不是定值） 3.（1）设需要x天：100x = 80×25 → x = 20（天） （2）设每天生产y个：(25-5)y = 80×25 → 20y = 2000 → y = 100（个） （3）每天产量提高25%：80×(1+25%) = 100（个），同（1）需要20天，提前 25-20 = 5（天） 4. a与c成反比例关系。理由： 因为a与b成正比例，所以 a/b = k₁（一定），即 a = k₁b 因为b与c成反比例，所以 bc = k₂（一定），即 b = k₂/c 代入得 a = k₁ × (k₂/c) = k₁k₂/c 所以 ac = k₁k₂（一定），a与c成反比例关系。 5.（1）两个数相乘，一个因数扩大几倍，另一个因数缩小相同的倍数，积不变。 （2）xy = k（k是常数，k≠0） （3）反比例关系。特征：两个量相关联，乘积一定，变化方向相反。 【中考链接答案】 1. C（底×高=2×面积，乘积一定，成反比例） 2. A（y与x比值为1/4是定值，成正比例） 学科网（北京）股份有限公司 $