2026年内蒙古自治区北京一零一中呼和浩特分校初中学业水平考试考前模拟数学试卷

**基本信息** 内蒙古2026年初三数学三模卷，以文化传承（日晷仪）和现实应用（小轮车场地设计）为情境，通过综合题考查数学眼光、思维与语言，适配中考模拟需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/24|实数、图形变换、视图等|基础概念与几何直观结合| |填空题|4/12|分式意义、古代数学问题|文化素材与计算能力并重| |解答题|5/54|统计、函数应用、几何证明|日晷仪题融合圆的性质与推理，小轮车场地设计结合抛物线与运动学，体现模型意识与应用能力|

内蒙古2026年初中学业水平考试第三次模拟试卷 数学学科 考试时长：90分钟满分：100分 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮 擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题， 每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1.下列实数中，最小的是( A.-√2 B.1 C.0 D.-1 2.下列城市地铁标志图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( B 米 3如图是一个圆柱体被截去一小半后剩下的几何体，该几何体的左视图是( 第1页，共10页 4.如图，已知直线a/b,直线c与a,b分别交于点A,B,若1=120°，则∠2=() B A.60° B.120° C.30° D.15° 5.使V2x-4有意义的x的取值范围在数轴上表示为( ) A白0士3 B.10123 D.012 6.在平面直角坐标系中，已知点A(-4,3)与点B关于原点对称，则点B的坐标为( A.(-4,-3) B.(4,3) C.(4,-3) D.(-4,3) 7.如图，四边形ABCD内接于圆O,∠BOD=108°，则∠BCD的度数是( A.127° B.108° C.126 D.125 8.某市举行中学生党史知识竞赛，如图用四个点分别描述甲、乙、 y 丙、丁四所学校竞赛成绩的优秀率（该校优秀人数与该校参加竞赛 人数的比值)y与该校参加竞赛人数x的情况，其中描述乙、丁两所 学校情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则这四所学校在 这次党史知识竞赛中成绩优秀人数最少的是( ) A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 第2页，共10页 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题：本题共4小题，共12分。 9要使分式有意义，则x的取值范围是 10.《九章算术》中有一道关于古代驿站送倍的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢 马送到800里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比 规定时间少2天，已知快马的速度是慢马的倍，则规定时间为天， 11.如图，在△ABC中，BD LAC于点D,点E在边BC上，且AE=AB,∠CAE= ∠ABD,过点E作EF1AC于点F已知CF=3,则AD=一 12.如图，在矩形ABCD中，AD=2,AB=5,点O为边AB上一点，且AO=1,点E 在边CD上.将矩形ABCD沿OE折叠，若线段OC恰好经过点D,则线段OE的长 是一· E 0 B 三、计算题：本大题共1小题，共10分。 13.计算： (1)-(3-5)+32×(-3): a2-4a+1 (2)a+2a+1‘+2 第3页，共10页 四、解答题：本题共5小题，共54分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 14.(本小题7分) 某地区面向社会进行教师招考，招考分笔试和面试两个环节.某岗位计划招聘4位教 师，现有30人参加笔试环节，笔试成绩前12名入围面试环节，最后按笔试成绩 占40%，面试成绩占60%合成个人最终成绩.现收集了30名报考者的笔试成绩（百分 制，取整数)，并对这30个数据进行了整理、描述和分析.下面给出了部分信息： a.30个数据的频数分布直方图如图： 个频数 12- 10 8 8 m 1m------ 5 2 2 0 455565758595分数 (数据分5组：45≤x<55,55≤x<65,65≤x<75,75≤x<85,85≤x<95) b.30个数据在65≤x<75这一组的是： 656666676971727273737374 根据以上信息，回答下列问题： (1)频数分布直方图中m的值是，这30个数据的中位数是_： (②)若一名报名者的笔试成绩为72分，判断他能否进入面试，并说明理由. (3)面试过后，经过成绩核算，总分不低于85.8分的选手入围，甲的面试成绩是93分， 恰好排第4名入围，请求甲的笔试成绩 第4页，共10页 15.(本小题10分) 端午临中夏，时清日复长临近端午节时，新余市仙女湖景区为开展非遗手工体验活 动，需采购两种材料：A类夏布绣材料和B类竹编材料.据了解，市场上B类竹编材料 的单价比A类夏布绣材料高5元/份，购买5份A类材料和6份B类材料共花费250元. (1)求A、B两类材料的单价： (2)仙女湖景区计划采购两类材料共100份，且A类数量不超过B类的两倍，如何采购使 总费用最低？最低费用是多少？ 第5页，共10页 16.(本小题12分) 日晷仪也称日晷，是我国古代观测日影计时的仪器，主要是根据日影的位置，以指定当 时的时辰或刻度.小明为了探究日晷的奥秘，在不同的时刻对日晷进行了观察.如图， 日晷的平面是以点O为圆心的圆，线段DE为日晷的底座，点C为日晷与底座的接触 点，DE与⊙O相切于点C,点A,B,F均在⊙O上，且AB为直径，OA,OB,OF为 不同时刻晷针的影长，OF,OB的延长线分别与DE相交于点E,D,连接AC,BC,已 知OE/BC. (1)求证：OF1AC; (2)若OE=4,AB=2V7,求BC的长. 第6页，共10页 17.(本小题12分) 综合与实践 设计自由式小轮车的训练场地 图1是某极限运动公园的自由式小轮车训 问题背景 练基地，数学探究小组计划以此为参考， 为其他训练基地进行场地设计 图1 图2是数学探究小组设计的自由式小轮车 部分训练场地的示意图，从左向右依次为 水平跳台AB段，抛物线L,中BOC段， 水平跳台CD段，抛物线L中DEF段，抛 建立模型 物线L2由抛物线L1水平向右平移得到，以 及最终的减速停止区.以抛物线L,的顶点为 坐标原点O,平行于地面的直线为x轴， 垂直于地面的直线为y轴，建立如图所示 AB 4 的平面直角坐标系， G 根据实际需求，设计水平跳台AB段的高 度为4米，过渡点B与y轴水平距离为4 L -6-5-4-3-2-1012345678x 米，过渡点C与y轴水平距离为3米， CD长为0.25米.若骑行者从B点进入坡道 2 BOC段，然后从C点跳跃，在最高点G 数模实测 做空中转体等表演动作，最后从E点降落 进入坡道DEF段，整个空中运动轨迹是 抛物线L中CGE段，抛物线L3的对称轴 为直线x=多，E点与C点的水平距离为 1.25米. 第7页，共10页 ①从看到障碍物到捏下刹车需要反应时间，这是任何人不可避免的反应 延迟.反应时间内小轮车保持原速，这段距离为反应距离刹车生效后，小 轮车减速至停止，这段距离为制动距离安全距离等于反应距离加制动距 拓展资料 离 ②当物体做匀减速直线运动时，末速度v,初速度vo,加速度a,与位移 s(从起点指向终点的有向线段的长度)满足关系式v2-v=-2as. 问题解决： (1)求抛物线L1的解析式； (2)直接写出点C,点E的坐标； (3)若骑行者在最高点G处做空中转体等表演动作，求最高点G与跳台CD的垂直距离； (4)若骑行者从过渡点F进入减速停止区时的速度为6s,并在此时考虑减速，反应时间 0.5s,之后以a=8m/s2的加速度做匀减速直线运动，请计算该训练场地应至少设计多长 的安全距离. 第8页，共10页 18.(本小题13分) 【综合与实践】 【课本再现】 人教版九年级上册数学教材第60页有一例题：点E是正方形ABCD中CD边上任意一 点，以点A为中心，把。ADE顺时针旋转90°，画出旋转后的图形.由作图过程可以得 出△ADE兰。ABE.由此，老师进行了延伸拓展，与同学们一起探究. (1)【例题延伸】 如图1，在正方形ABCD中，点E,F分别是边BC,CD上的动点，且∠EAF=45°，试 判断BE,EF,DF之间的数量关系.小明把△ABE绕点A顺时针旋转90°得到△ADG, 使AB与AD重合，试求BE,EF,DF之间有什么数量关系？并说明理由： B D 图1 (2)【类比探究】 如图2，在矩形ABCD中，己知AB=6,BC=8,点F为边BC延长线上一点，连接 DF,过点B作BH 1 DF于点H,交CD于点E D E H E 图2 图3 ①求的值； ②求cos∠EFC的值： (3)【拓展应用】 如图3，在(2)的条件下，平移线段DF,使它经过BE的中点H,交AD于点M,交BC 于点N,连接NE,若sin-ENC=,请你求出MN的长. 第9页，共10页 第10页，共10页 内蒙古2026年初中学业水平考试第三次模拟试卷 数 学 学 科 考试时长：90分钟　满分：100分 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列实数中，最小的是(     ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】利用实数比较大小的基本规则：正数大于和一切负数；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小即可得到答案． 【详解】解：正数大于和一切负数， 排除正数和，只需比较两个负数和， ，，且， ， ， 最小的数是． 2.下列城市地铁标志图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是(     ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；中心对称图形：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．据此判断即可． 【详解】解：是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意； B.不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意； C.既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意； D.不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意． 3.如图是一个圆柱体被截去一小半后剩下的几何体，该几何体的左视图是(     ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】根据左视图是从左面看到的图形，进行判断即可，注意，存在看不见的用虚线表示． 【详解】解：一个圆柱体被截去一小半后剩下的几何体，该几何体的左视图是 ． 4.如图，已知直线 ，直线与，分别交于点，，若，则(     ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】先根据对顶角相等求出的度数，再由平行线的性质即可得出结论． 【详解】解：，与是对顶角， ， 直线，   故选：． 5.使有意义的的取值范围在数轴上表示为(     ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】【详解】解：有意义 解得： 在数轴上表示为： 6.在平面直角坐标系中，已知点与点关于原点对称，则点的坐标为(     ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：点，点与点关于原点对称， 点． 故选：． 根据关于原点的对称点，横、纵坐标都变成相反数解答． 本题考查了关于原点对称的点的坐标，熟记“关于原点的对称点，横、纵坐标都变成相反数”是解题的关键． 7.如图，四边形内接于圆，，则的度数是(     ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质的应用，关键是求出的度数和得出． 根据圆周角定理求出的度数，根据圆内接四边形的性质得出，代入求出即可． 【详解】解：对的圆周角是，圆心角是，， ， 、、、四点共圆， ， ， 故选：． 8.某市举行中学生党史知识竞赛，如图用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四所学校竞赛成绩的优秀率该校优秀人数与该校参加竞赛人数的比值与该校参加竞赛人数的情况，其中描述乙、丁两所学校情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则这四所学校在这次党史知识竞赛中成绩优秀人数最少的是(     ) A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】A  【解析】解：根据题意，可知的值即为该校的优秀人数， 描述乙、丁两学校情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上， 乙、丁两学校的优秀人数相同， 点丙在反比例函数图象上面，点甲在反比例函数图象下面， 丙学校的的值最大，即优秀人数最多，甲学校的的值最小，即优秀人数最少， 故选：． 根据题意可知的值即为该级部的优秀人数，再根据图象即可确定丙学校的优秀人数最多，甲学校的优秀人数最少，乙、丁两学校的优秀人数相同． 本题考查了反比例函数的应用，结合实际含义理解图象上点的坐标含义是解题的关键． 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共4小题，共12分。 9.要使分式有意义，则的取值范围是          ． 【答案】  【解析】根据分式有意义，分母不为，列不等式求解即可． 【详解】解：根据题意，要使分式有意义，必须使，解得： 故答案为： 10.九章算术中有一道关于古代驿站送倍的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到里远的城市，所需时间比规定时间多天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少天，已知快马的速度是慢马的倍，则规定时间为          天， 【答案】  【解析】本题主要考查分式方程的实际应用，找出等量关系是解题的关键．设规定时间为天，根据快马的速度是慢马的倍列出方程，再解方程即可． 【详解】解：设规定时间为天，根据题意得： ， 整理得：， 解得， 经检验，是原分式方程的解． 故答案为：． 11.如图，在中，于点，点在边上，且，，过点作于点已知，则           ． 【答案】  【解析】首先证明，由全等三角形的性质可得，进而可得；根据等腰三角形的性质可得，即；再证明，易得；结合解得，即为等腰直角三角形，进一步可得． 【详解】解：如下图， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ， ，即， ，， ， ， ， ， ， ， ， ． 12.如图，在矩形中，，，点为边上一点，且，点在边上将矩形沿折叠，若线段恰好经过点，则线段的长是        ． 【答案】  【解析】解：矩形中， ，，，， ， ， ， 在中，， 由折叠的性质可知，，，，， ，， ，即为中点， 延长交于， ， ， ， ≌， ，， 设， ， ，即， ， ， 即， 解得：， 过点作于点， 则四边形为矩形 ， ， ， 在中，． 故答案为：． 根据矩形的性质得到，，，，可知，根据勾股定理得到，根据折叠的性质得到，，，，则，，可知即为中点，延长交于，证明≌，得到，，设，则，根据等角对等边得到，求出，过点作于点，则四边形为矩形，可知，，则，根据勾股定理求解即可． 本题考查翻折变换，矩形的性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 三、计算题：本大题共1小题，共10分。 13.计算： ； ． 解：原式.............................................3分 ；..........................................5分 原式..........................................3分 ．..........................................5分 按照先算括号内，再算乘方，再算乘法，最后算加减的运算顺序求解； 先对分子分母因式分解，再约去公因式得到化简结果； 本题考查了分式的乘除法，有理数的混合运算，掌握相应的运算法则是关键． 四、解答题：本题共5小题，共54分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 14.本小题分 某地区面向社会进行教师招考，招考分笔试和面试两个环节．某岗位计划招聘位教师，现有人参加笔试环节，笔试成绩前名入围面试环节，最后按笔试成绩占，面试成绩占合成个人最终成绩．现收集了名报考者的笔试成绩百分制，取整数，并对这个数据进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息： 个数据的频数分布直方图如图： 数据分组： 个数据在这一组的是：                        根据以上信息，回答下列问题： 频数分布直方图中的值是          ，这个数据的中位数是          ； 若一名报名者的笔试成绩为分，判断他能否进入面试，并说明理由． 面试过后，经过成绩核算，总分不低于分的选手入围，甲的面试成绩是分，恰好排第名入围，请求甲的笔试成绩． 【答案】(1)6;70 ..........................................2分 (2)不能，..........................................3分 ， ∴前12名应该是这两组的人数和这一组的前4名，分别是74，73，73，73． 故72分不能入围．..........................................4分 (3)设甲的笔试成绩为，则，..........................................6分 解得．..........................................7分  【解析】 用总人数减去其他组的人数即可；再由中位数的定义求解即可； 【详解】解：根据题意得：， 共有人 中位数为第，，名报考者的笔试成绩的中位数， ， 第，，名报考者的笔试成绩分别为，， 中位数为：；  结合题意得出这一组的前名，分别是，，，即可进行判断；  设甲的笔试成绩为，根据题意列出方程求解即可． 15.本小题分 “端午临中夏，时清日复长”临近端午节时，新余市仙女湖景区为开展非遗手工体验活动，需采购两种材料：类夏布绣材料和类竹编材料．据了解，市场上类竹编材料的单价比类夏布绣材料高元份，购买份类材料和份类材料共花费元． 求、两类材料的单价； 仙女湖景区计划采购两类材料共份，且类数量不超过类的两倍，如何采购使总费用最低？最低费用是多少？ (1)解：设A类材料的单价为元/份，则B类材料的单价为元/份， 根据题意得，..........................................3分 解得， 则，..........................................4分 答：A类材料单价为20元/份，B类材料单价为25元/份．....................................5分 (2)解：设采购A类材料份，总费用为元，则采购 B类材料份， 根据题意得，..........................................7分 解得：，..........................................8分 ∵为正整数， ∴的最大值为， 总费用，..........................................9分 ∵，∴随的增大而减小， ∴当时，取得最小值，， 此时， 答：采购A类材料66份，B类材料34份时总费用最低，最低费用为2170元．........................................10分 【解析】  设类材料单价，根据单价关系表示出类单价，结合总花费条件列方程求解即可得到两类材料的单价；  设采购类材料的数量，根据“类数量不超过类的两倍”得到自变量的取值范围，列出总费用的一次函数表达式，根据一次函数的增减性即可求出最低采购费用． 16.本小题分 日晷仪也称日晷，是我国古代观测日影计时的仪器，主要是根据日影的位置，以指定当时的时辰或刻度．小明为了探究日晷的奥秘，在不同的时刻对日晷进行了观察．如图，日晷的平面是以点为圆心的圆，线段为日晷的底座，点为日晷与底座的接触点，与相切于点，点，，均在上，且为直径，，，为不同时刻晷针的影长，，的延长线分别与相交于点，，连接，，已知． 求证：； 若，，求的长． (1)证明：∵为的直径， ∴， ∴，..........................................3分 ∵， ∴，即；..........................................5分 (2)解：如图，连接， ∵与相切于点， ∴， ∴，..........................................7分 ∵， ∴，， ∵， ∴，..........................................8分 ∴， ∴，即， ∴．..........................................10分 【解析】  由直径所得的圆周角为直角可得，，结合可得；  连接，由切线的性质可得，利用等腰三角形的性质和平行线的性质可得，从而证明，因此，代入数值计算即可． 17.本小题分 综合与实践 设计自由式小轮车的训练场地 问题背景 图是某极限运动公园的自由式小轮车训练基地，数学探究小组计划以此为参考，为其他训练基地进行场地设计． 建立模型 图是数学探究小组设计的自由式小轮车部分训练场地的示意图，从左向右依次为水平跳台段，抛物线中段，水平跳台段，抛物线中段，抛物线由抛物线水平向右平移得到，以及最终的减速停止区以抛物线的顶点为坐标原点，平行于地面的直线为轴，垂直于地面的直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系． 数模实测 根据实际需求，设计水平跳台段的高度为米，过渡点与轴水平距离为米，过渡点与轴水平距离为米，长为米若骑行者从点进入坡道段，然后从点跳跃，在最高点做空中转体等表演动作，最后从点降落进入坡道段，整个空中运动轨迹是抛物线中段，抛物线的对称轴为直线，点与点的水平距离为米． 拓展资料 从看到障碍物到捏下刹车需要反应时间，这是任何人不可避免的反应延迟反应时间内小轮车保持原速，这段距离为反应距离刹车生效后，小轮车减速至停止，这段距离为制动距离安全距离等于反应距离加制动距离． 当物体做匀减速直线运动时，末速度，初速度，加速度，与位移从起点指向终点的有向线段的长度满足关系式． 问题解决： 求抛物线的解析式； 直接写出点，点的坐标； 若骑行者在最高点处做空中转体等表演动作，求最高点与跳台的垂直距离； 若骑行者从过渡点进入减速停止区时的速度为，并在此时考虑减速，反应时间，之后以的加速度做匀减速直线运动，请计算该训练场地应至少设计多长的安全距离． 解：由条件可知，设抛物线的解析式为， 把代入得， 解得，..........................................2分 抛物线的解析式为；..........................................3分 由条件可知点横坐标为， 当时，， ；..........................................4分 长为米， ，即， 抛物线中段，抛物线由抛物线水平向右平移得到， 设抛物线解析式为，， 把代入得， 解得或舍去，..........................................5分 抛物线解析式为， 点横坐标为，..........................................6分 当时，， ；..........................................7分 抛物线中段，抛物线的对称轴为直线， 设抛物线的解析式， 由条件可得，..........................................8分 解得， 抛物线的解析式， 抛物线的最高点，..........................................9分 最高点与跳台的垂直距离米；..........................................10分 骑行者从过渡点进入减速停止区时的速度为，并在此时考虑减速，反应时间，之后以的加速度做匀减速直线运动， 反应距离为米，制动距离满足，..............................11分 解得， 该训练场地应至少设计安全距离为米．.....................................12分 由题意得，根据抛物线的顶点为坐标原点，设抛物线的解析式为，把代入计算即可； 先求出，再得到，根据平移设抛物线解析式为，，把代入得抛物线解析式为，最后根据点横坐标为，求坐标即可； 根据抛物线的对称轴为直线，设抛物线的解析式，把，，代入得抛物线的解析式，即可求出最高点，最后计算最高点与跳台的垂直距离即可； 根据反应距离、制动距离、安全距离的定义求解即可． 本题考查了二次函数的应用，理解题意，熟练掌握二次函数的性质是关键． 18.本小题分 【综合与实践】 【课本再现】 人教版九年级上册数学教材第页有一例题：点是正方形中边上任意一点，以点为中心，把顺时针旋转，画出旋转后的图形．由作图过程可以得出由此，老师进行了延伸拓展，与同学们一起探究． 【例题延伸】 如图，在正方形中，点，分别是边，上的动点，且，试判断，，之间的数量关系．小明把绕点顺时针旋转得到，使与重合，试求，，之间有什么数量关系？并说明理由； 【类比探究】 如图，在矩形中，已知，，点为边延长线上一点，连接，过点作于点，交于点． 求的值； 求的值； 【拓展应用】 如图，在的条件下，平移线段，使它经过的中点，交于点，交于点，连接，若，请你求出的长． (1)解：．理由如下： 是绕点顺时针旋转得到的， ，，． 四边形是正方形， ，， ， ， ，D，G三点共线．..........................................2分 ，， ， ， ， ． ， ， ．..........................................4分   (2)①， ． 在矩形中，，， ， ， ， ． ， ．..........................................6分 ②，， ． 设，则， ， ．..........................................8分 (3)由平移的性质可得，． 点为的中点， 垂直平分， ． ， 设，， ， ． ， ， 解得，..........................................10分 ． ，设， ． 在中，， ..........................................12分 解得或（舍去）， ．..........................................13分 【解析】  根据正方形的性质以及旋转的性质证明，根据全等三角形的性质即可得出结论；  证明，根据相似三角形的性质即可得出结论； 根据相似三角形的性质以及已知条件可得，设，则，勾股定理可得出，进而根据余弦的定义，即可求解；  由平移的性质可得，由，设，，勾股定理可得，根据的长得出，进而在中，，根据勾股定理建立方程，解方程，即可求解． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $内蒙古2026年初中学业水平考试第三次模拟试卷 数学学科 考试时长：90分钟满分：100分 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮 擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1.下列实数中，最小的是( ) A.-√2 B.1 C.0 D.-1 【答案】A 【解析】利用实数比较大小的基本规则：正数大于0和一切负数：两个负数比较大小， 绝对值大的数反而小即可得到答案， 【详解】解：正数大于0和一切负数， 排除正数1和0，只需比较两个负数-√2和-1， :√②=V2,|-1川=1，且V2>V=1, -V2<-1, .-V2<-1<0<1, …最小的数是-√2. 第1页，共20页 2.下列城市地铁标志图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是() 米 【答案】C 【解析】轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形 叫做轴对称图形：中心对称图形：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180°， 旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形.据此判断即 可 【详解】解：A.是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意： B.不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意： C既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意： D,不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意， 3如图是一个圆柱体被截去一小半后剩下的几何体，该几何体的左视图是( B 【答案】C 【解析】根据左视图是从左面看到的图形，进行判断即可，注意，存在看不见的用虚线 表示 【详解】解：一个圆柱体被截去一小半后剩下的几何体，该几何体的左视图是 第2页，共20页 4.如图，已知直线a∥b,直线c与a,b分别交于点A,B,若∠1=120°，则∠2=() B A.60° B.120° C.30° D.15° 【答案】A 【解析】先根据对顶角相等求出∠3的度数，再由平行线的性质即可得出结论 【详解】解：∠1=120°，∠1与∠3是对顶角， A3 B ∠1=∠3=120°， 直线a/心， ÷∠2=180°-∠3=60°， 故选：A. 5.使√2x-4有意义的x的取值范围在数轴上表示为( 0士3 A.- B白1013 c10133 D.1012含 【答案】B 【解析】【详解】解：·V2x-4有意义 ·2x-4≥0 解得：x≥2 第3页，共20页 在数轴上表示为： 白1013→ 6在平面直角坐标系中，已知点A(-4,3)与点B关于原点对称，则点B的坐标为() A.（-4,-3) B.(4,3) C.(4,-3) D.(-4,3) 【答案】C 【解析】解：点A(-4,3),点A与点B关于原点对称， ÷点B(4,-3) 故选：C 根据关于原点的对称点，横、纵坐标都变成相反数解答 本题考查了关于原点对称的点的坐标，熟记关于原点的对称点，横、纵坐标都变成相反 数”是解题的关键， 7.如图，四边形ABCD内接于圆O,∠BOD=108°，则∠BCD的度数是( A.127。 B.108° C.126° D.125 【答案】C 【解析】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质的应用，关键是求出LA的度数和 得出∠A+∠BCD=180 根据圆周角定理求出∠A的度数，根据圆内接四边形的性质得出LA+∠BCD=180°，代 入求出即可. 【详解】解：BCD对的圆周角是∠A,圆心角是∠BOD,∠BOD=108°， :LA=B0D=54, :A、B、C、D四点共圆， ∠A+∠BCD=180°， .∠BCD=180°-∠A=126°， 第4页，共20页 故选：C 8.某市举行中学生党史知识竞赛，如图用四个点分别描述甲、乙、 丙、丁四所学校竞赛成绩的优秀率（该校优秀人数与该校参加竞赛 人数的比值)y与该校参加竞赛人数x的情况，其中描述乙、丁两所 丙 学校情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则这四所学校在 这次党史知识竞赛中成绩优秀人数最少的是( A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 【答案】A 【解析】解：根据题意，可知y的值即为该校的优秀人数， ·描述乙、丁两学校情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上， ·乙、丁两学校的优秀人数相同， :点丙在反比例函数图象上面，点甲在反比例函数图象下面， 丙学校的xy的值最大，即优秀人数最多，甲学校的xy的值最小，即优秀人数最少， 故选：A. 根据题意可知xy的值即为该级部的优秀人数，再根据图象即可确定丙学校的优秀人数最 多，甲学校的优秀人数最少，乙、丁两学校的优秀人数相同， 本题考查了反比例函数的应用，结合实际含义理解图象上点的坐标含义是解题的关键. 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题：本题共4小题，共12分。 9要使分式有意义，则x的取值范围是 【答案】x≠3 【解析】根据分式有意义，分母不为0，列不等式求解即可， 【详解】解：根据题意，要使分式有意义，必须使x-3≠0，解得：x≠3 故答案为：x≠3 10.《九章算术》中有一道关于古代驿站送倍的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢 马送到800里远的城市，所需时间比规定时间多1天：若改为快马派送，则所需时间比 规定时间少2天，已知快马的速度是慢马的倍，则规定时间为天， 【答案】11 第5页，共20页 【解析】本题主要考查分式方程的实际应用，找出等量关系是解题的关键.设规定时间 为x天，根据快马的速度是慢马的倍列出方程，再解方程即可. 【详解】解：设规定时间为x天，根据题意得： 黑×器 整理得：4(x-2)=3(x+1), 解得x=11, 经检验，x=11是原分式方程的解. 故答案为：11. I1.如图，在△ABC中，BD⊥AC于点D,点E在边BC上，且AE=AB,∠CAE= ∠ABD,过点E作EF L AC于点F.已知CF=3,则AD=· E 【答案】3 【解析】首先证明△BDA兰△AFE,由全等三角形的性质可得AD=EF,∠1=∠2，进而可 得∠2+∠3=90°：根据等腰三角形的性质可得∠ABE=∠AEB,即∠2+∠4=∠5；再证明 BD/EF,易得∠4=∠6：结合∠3+∠5+∠6=180°解得∠6=45°，即△CEF为等腰直角三 角形，进一步可得AD=EF=CF=3. 【详解】解：如下图， A 45☒6 B E BD 1 AC,EF 1 AC, ·∠BDA=∠AFE=90°， 在△BDA和△AFE中， 第6页，共20页 (LBDA=∠AFE ∠ABD=∠CAE, (AB=AE ·△BDA≌△AFE(AAS), ·AD=EF,∠1=∠2， EF 1 AC, .∠1+∠3=∠2+∠3=90°， .AB=AE, ·∠ABE=∠AEB,即∠2+∠4=∠5， ·BD⊥AC,EF LAC, .BD//EF, .∠4=∠6， ∠3+∠5+∠6=180°， .∠3+∠2+∠4+∠6=90°+2∠6=180°， ∠6=45， ∠C=90°-∠6=45°=∠6， .EF=CF=3, ·AD=EF=3. 12.如图，在矩形ABCD中，AD=2,AB=5,点O为边AB上一点，且AO=1,点E 在边CD上.将矩形ABCD沿OE折叠，若线段OC恰好经过点D,则线段OE的长 是一· B & C D 【答案】四 【解析】解：矩形ABCD中， ·BC=AD=2,CD/AB,LA=∠B=LC=∠ADC=90°，CD=AB=5, 第7页，共20页 ·∠DEO=∠EOB, A0=1, BO=4, 在Rt△AOD中，OD=VAD2+AO2=V22+12=√5， 由折叠的性质可知，B'O=BO=4,BC=BC=2,∠EOB'=∠EOB,∠B'=∠B=90°， ·∠E0B'=∠DE0,OC'=V42+22=2V5, ·DC'=√5，即D为OC中点， 延长CD交B'O于N, y B OB//EC', ·∠DNO=∠DEC, :DC'=DO,∠NDO=∠EDC ·.△NDO2△EDC(AAS), .NO=EC=EC,ND=ED, 设NO=EC'=EC=X, .DE=5-X, ND =ED=5-x,NE=10-2x, :∠EOB'=∠DEO, .EN =ON, 即10-2x=x, 解得：x号 过点E作EF 1AB于点F, 则四边形ADEF为矩形 EF=AD=2,AF=DE=5-10 33 第8页，共20页 :A0=1, 0F= 在Rt△OFE中，OE=√OF2+EF=2o. 3 故答案为：2而 根据矩形的性质得到∠A=∠B=∠C=∠ADC=90°，CD=AB=5,BC=AD=2,CD// AB,可知∠DEO=∠EOB,根据勾股定理得到OD=√5，根据折叠的性质得到∠EOB'= ∠EOB,∠B'=∠B=90°，BO=BO=4,B'C'=BC=2,则∠EOB'=∠DEO, OC'=2√5，可知即D为OC中点，延长CD交B'O于N,证明△NDO2△EDC'(AAS), 得到NO=EC'=EC,ND=ED,设NO=EC'=EC=x,则NE=10-2x,根据等角对 等边得到EN=ON,求出x=号，过点E作EF1AB于点F,则四边形ADEF为矩形， 可知EF=AD=2,AP-DE=5-9-多则OP-号根据勾股定理求解即可. 本题考查翻折变换，矩形的性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用. 三、计算题：本大题共1小题，共10分。 13.计算： (1)-(3-5)+32×(-3): Q 解：(1)原式=-(-2)十9X(-3)3分 =2-27 =-25;5分 (2)原式=a+2a-2.a+1 (a+1)2 a十23分 a+1 5分 ()按照先算括号内，再算乘方，再算乘法，最后算加减的运算顺序求解： (②)先对分子分母因式分解，再约去公因式得到化简结果： 本题考查了分式的乘除法，有理数的混合运算，掌握相应的运算法则是关键. 第9页，共20页 四、解答题：本题共5小题，共54分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 14.(本小题7分) 某地区面向社会进行教师招考，招考分笔试和面试两个环节.某岗位计划招聘4位教 师，现有30人参加笔试环节，笔试成绩前12名入围面试环节，最后按笔试成绩 占40%，面试成绩占60%合成个人最终成绩.现收集了30名报考者的笔试成绩（百分 制，取整数)，并对这30个数据进行了整理、描述和分析.下面给出了部分信息： a.30个数据的频数分布直方图如图： 个频数 12- 10 8 8 m m 2 2 0 455565758595分数 (数据分5组：45≤x<55,55≤x<65,65≤x<75,75≤x<85,85≤x<95) b.30个数据在65≤x<75这一组的是： 656666676971727273737374 根据以上信息，回答下列问题： (1)频数分布直方图中m的值是，这30个数据的中位数是_： (2)若一名报名者的笔试成绩为72分，判断他能否进入面试，并说明理由. (3)面试过后，经过成绩核算，总分不低于85.8分的选手入围，甲的面试成绩是93分， 恰好排第4名入围，请求甲的笔试成绩 【答案】(1)6；702分 (2)不能， 3分 12-2-6=4, ∴.前12名应该是75≤x<85,85≤x<95这两组的人数和65≤x<75这一组的前4名， 分别是74,73,73,73. 故72分不能入围， 4分 (3)设甲的笔试成绩为X,则93X60%+40%x=85.8,…6分 解得X=75,.7分 第10页，共20页 【解析】 1.用总人数减去其他组的人数即可；再由中位数的定义求解即可： 【详解】解：根据题意得：m=30-2-8-12-2=6, 共有30人 .中位数为第15，，16名报考者的笔试成绩的中位数， :2+8=10(15,2+8+12=22)16, 第15，，16名报考者的笔试成绩分别为69,71， 中位数为：641=70： 2.结合题意得出65≤x<75这一组的前4名，分别是74,73,73,73.即可进行判断： 3.设甲的笔试成绩为x,根据题意列出方程求解即可. 15.(本小题10分) 端午临中夏，时清日复长临近端午节时，新余市仙女湖景区为开展非遗手工体验活 动，需采购两种材料：A类夏布绣材料和B类竹编材料.据了解，市场上B类竹编材料 的单价比A类夏布绣材料高5元/份，购买5份A类材料和6份B类材料共花费250元. (1)求A、B两类材料的单价： (2)仙女湖景区计划采购两类材料共100份，且A类数量不超过B类的两倍，如何采购使 总费用最低？最低费用是多少？ (1)解：设A类材料的单价为x元/份，则B类材料的单价为区+5)元/份， 根据题意得5X+66仪+5)=250,3分 解得x=20, 则x+5=25, 4分 答：A类材料单价为20元/份，B类材料单价为25元/份.5分 (2)解：设采购A类材料m份，总费用为W元，则采购B类材料(100-m)份， 根据题意得m≤2(I00一1m),.7分 解得：m≤9≈66.67,8分 .m为正整数， ∴.m的最大值为66， 总费用W=20m+25(100-m)=-5m+2500,9分 第11页，共20页 .-5<0,∴.W随m的增大而减小， 当m=66时，W取得最小值，W最小=-5×66+2500=2170， 此时100-m=34, 答：采购A类材料66份，B类材料34份时总费用最低，最低费用为2170 元 10分 【解析】 1.设A类材料单价，根据单价关系表示出B类单价，结合总花费条件列方程求解即可得 到两类材料的单价： 2.设采购A类材料的数量，根据“A类数量不超过B类的两倍得到自变量的取值范围， 列出总费用的一次函数表达式，根据一次函数的增减性即可求出最低采购费用， 16.(本小题10分) 日晷仪也称日晷，是我国古代观测日影计时的仪器，主要是根据日影的位置，以指定当 时的时辰或刻度.小明为了探究日晷的奥秘，在不同的时刻对日晷进行了观察.如图， 日晷的平面是以点O为圆心的圆，线段DE为日晷的底座，点C为日晷与底座的接触 点，DE与⊙O相切于点C,点A,B,F均在⊙O上，且AB为直径，OA,OB,OF为 不同时刻晷针的影长，OF,OB的延长线分别与DE相交于点E,D,连接AC,BC,已 知OE/BC. (1)求证：OF1AC (2)若OE=4,AB=2V7,求BC的长. (1)证明：.AB为⊙O的直径， .LACB=90°， .AC⊥BC,3分 第12页，共20页 .'OE//BC, .AC1OE,即OF1AC;5分 (2)解：如图，连接OC, .DE与⊙O相切于点C, ..OC 1 DE ∴.∠EC0=90°=∠ACB, 7分 .OB=OC=OA, ∠OCB=LABC,OC=AB=V7, .OE//BC, .∴.∠EOC=∠OCB=∠ABC, 8分 ∴.△ABC△EOC, 滞器 即2V7=Bc 4 ..BC=2 .10分 【解析】 1.由直径所得的圆周角为直角可得，AC1BC,结合OE/BC可得OF1AC: 2.连接OC,由切线的性质可得∠ECO=90°=∠ACB,利用等腰三角形的性质和平行线 的性质可得∠BOC=∠0CB=∠ABC,从而证明ABCEOC,因此是-器代入数值 计算即可 第13页，共20页 17.(本小题12分) 综合与实践 设计自由式小轮车的训练场地 图1是某极限运动公园的自由式小轮车训 问题背景 练基地，数学探究小组计划以此为参考， 为其他训练基地进行场地设计. 图1 图2是数学探究小组设计的自由式小轮车 部分训练场地的示意图，从左向右依次为 水平跳台AB段，抛物线L,中BOC段， 水平跳台CD段，抛物线L,中DEF段，抛 建立模型 物线L2由抛物线L1水平向右平移得到，以 及最终的减速停止区，以抛物线L,的顶点 为坐标原点O,平行于地面的直线为x 轴，垂直于地面的直线为y轴，建立如图 AB 所示的平面直角坐标系， G 根据实际需求，设计水平跳台AB段的高 度为4米，过渡点B与y轴水平距离为4 -6-5-4-3-2-1012345678x 米，过渡点C与y轴水平距离为3米， CD长为0.25米.若骑行者从B点进入坡道 2 BOC段，然后从C点跳跃，在最高点G 数模实测 做空中转体等表演动作，最后从E点降落 进入坡道DEF段，整个空中运动轨迹是 抛物线L中CGE段，抛物线L的对称轴 为直线x=子E点与C点的水平距离为 1.25米. 第14页，共20页 ①从看到障碍物到捏下刹车需要反应时间，这是任何人不可避免的反应 延迟.反应时间内小轮车保持原速，这段距离为反应距离刹车生效后，小 轮车减速至停止，这段距离为制动距离.安全距离等于反应距离加制动距 拓展资料 离 ②当物体做匀减速直线运动时，末速度v,初速度vo,加速度a,与位移 s(从起点指向终点的有向线段的长度)满足关系式v2-v=-2as. 问题解决： (1)求抛物线L1的解析式： (2)直接写出点C,点E的坐标： (3)若骑行者在最高点G处做空中转体等表演动作，求最高点G与跳台CD的垂直距离； (4)若骑行者从过渡点F进入减速停止区时的速度为6s,并在此时考虑减速，反应时间 0.5s,之后以a=8m/s2的加速度做匀减速直线运动，请计算该训练场地应至少设计多长 的安全距离 解：(1)由条件可知B(-4,4),设抛物线L1的解析式为y=ax2, 把B(-4,4)代入y=ax得4=a(-4)2, 解得a=子2分 抛物线L1的解析式为y=X之；3分 (2)由条件可知C点横坐标为3， 当x=3时，y=x2=子 C63,): 4分 CD长为0.25米， D3+025,),即D(号， :抛物线L,中DEF段，抛物线L2由抛物线L1水平向右平移得到， 设抛物线L2解析式为y=区-m),m>3, 把D(号代入得--mR, 解得m或m-(舍去)， 5分 第15页，共20页 抛物线L,解析式为y=(x-)尸， “卫点横坐标为3+125=子 .6分 当x=时，y=-=×(-y=1, B(},1）片7分 (③)：抛物线L,中CGE段，抛物线L的对称轴为直线x=子 设抛物线L的解析式y=b(-)2+c, 由条件可得 (1=b(-3+c 2=b3-3+c 8分 b=-4 解得 抛物线L的解析式y=-4x-3+号 抛物线L的最高点G(好， 9分 最高点G与跳台CD的垂直距离号-=1米： 10分 (4):骑行者从过渡点F进入减速停止区时的速度为6s,并在此时考虑减速，反应时间 0.5s,之后以a=8m/s2的加速度做匀减速直线运动， 反应距离为0.5×6=3米，制动距离8满足02-62=-2×88,11分 解得8= 该训练场地应至少设计安全距离为+3=斗米。 12分 (1)由题意得B(-4,4),根据抛物线L1的顶点为坐标原点O,设抛物线L1的解析式为y ax2,把B(-4,4)代入计算即可； (2)先求出C(3,),再得到D(,),根据平移设抛物线L解析式为y=区-m), m>3,把D(,)代入得抛物线L解析式为y=区-)，最后根据E点横坐标为3+ 125=求坐标即可： (3)根据抛物线L的对称轴为直线x=子，设抛物线L的解析式y=b区-)P+c, 第16页，共20页 把C(3,),卫（号，1），代入得抛物线L的解析式y=-4区-+是即可求出最高点 G(子，县)，最后计算最高点G与跳台CD的垂直距离即可； (4)根据反应距离、制动距离、安全距离的定义求解即可. 本题考查了二次函数的应用，理解题意，熟练掌握二次函数的性质是关键， 18.(本小题13分) 【综合与实践】 【课本再现】 人教版九年级上册数学教材第60页有一例题：点E是正方形ABCD中CD边上任意一 点，以点A为中心，把。ADE顺时针旋转90°，画出旋转后的图形.由作图过程可以得 出△ADE兰。ABE.由此，老师进行了延伸拓展，与同学们一起探究， (1)【例题延伸】 如图1，在正方形ABCD中，点E,F分别是边BC,CD上的动点，且∠EAF=45°，试 判断BE,EF,DF之间的数量关系.小明把△ABE绕点A顺时针旋转90°得到·ADG, 使AB与AD重合，试求BE,EF,DF之间有什么数量关系？并说明理由； B E D 图1 (2)【类比探究】 如图2，在矩形ABCD中，已知AB=6,BC=8,点F为边BC延长线上一点，连接 DF,过点B作BH 1 DF于点H,交CD于点E. O E H B 图2 第17页，共20页 ①求器的值； ②求cosEFC的值： (3)【拓展应用】 如图3，在(2)的条件下，平移线段DF,使它经过BE的中点H,交AD于点M,交BC 于点N,连接NE,若sin/ENC=手请你求出MN的长. M D H 图3 (I)解：EF=BE+DF.理由如下： :·ADG是△ABE绕点A顺时针旋转90得到的， ·∠ADG=∠B,AG=AE,∠DAG=∠BAE. ·四边形ABCD是正方形， ·∠B=∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD, ∠ADG=90°， ·.∠ADG+∠ADC=180°， C,D,G三点共线.2分 :∠EAF=45°，∠BAD=90°， ∴∠BAE+∠DAF=45°， ·∠DAG+∠DAF=45°， ∠GAF=45, ·.∠GAF=∠EAF. .AF=AF, ·aEAF兰aGAF(SAS), EF=FG=DG+DF=BE十DF.4分 第18页，共20页 (2)①：BE1DF, ·.∠CBE+∠DFC=90°. 在矩形ABCD中，∠DCF=∠DCB=90°，AB=CD, ·∠CBE+∠BEC=90°， ·∠BEC=∠DFC, ·△BCE∽△DCF, BC_BE DC DF' BC BEBC4 DF AB 3 6分 ②：ABCE∽△DCF, …器器-器- 设CE=4a,则CF=3a, .EF=V CE2+CF2=5a, co4EFC-是-}- 8分 (3)由平移的性质可得MN/DF,MN=DF. :点H为BE的中点， ·MN垂直平分BE, .BN=NE. :in-ENC-是-号 设BN=EN=5x,CE=4x, .CN=VNE2-CE2=3x, BC=BN+CN =8x. :BC=8, 8x=8, 解得x=1, 10分 第19页，共20页 CE=4. “器-专设N=3y .BE=4y. 在Rt*EBC中，BE2=BC2+CE2, (4y)）2=42+82,…。 12分 解得y=V⑤或y=-√5（舍去）， MN=3y=3V5. 13分 【解析】 1.根据正方形的性质以及旋转的性质证明。EAF≌△GAF(SAS),根据全等三角形的性质 即可得出结论： 2.①证明△BCEDCF,根据相似三角形的性质即可得出结论： ②根据相似三角形的性质以及已知条件可得器-手设CE=4a,则CP=3a,勾股定理可 得出EF=5a,进而根据余弦的定义，即可求解； 3.由平移的性质可得MNDF,MN=DF.由sin-ENC=等设BN=EN=5x,CE=4x, 勾股定理可得CN=3x,根据BC的长得出x=1,进而在Rt△EBC中， BE2=BC2+CE2,根据勾股定理建立方程，解方程，即可求解. 第20页，共20页 内蒙古2026年初中学业水平考试第三次模拟试卷 数 学 学 科 考试时长：90分钟　满分：100分 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列实数中，最小的是(     ) A. B. C. D. 2.下列城市地铁标志图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是(     ) A. B. C. D. 3.如图是一个圆柱体被截去一小半后剩下的几何体，该几何体的左视图是(     ) A. B. C. D. 4.如图，已知直线 ，直线与，分别交于点，，若，则(     ) A. B. C. D. 5.使有意义的的取值范围在数轴上表示为(     ) A. B. C. D. 6.在平面直角坐标系中，已知点与点关于原点对称，则点的坐标为(     ) A. B. C. D. 7.如图，四边形内接于圆，，则的度数是(     ) A. B. C. D. 8.某市举行中学生党史知识竞赛，如图用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四所学校竞赛成绩的优秀率该校优秀人数与该校参加竞赛人数的比值与该校参加竞赛人数的情况，其中描述乙、丁两所学校情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则这四所学校在这次党史知识竞赛中成绩优秀人数最少的是(     ) A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共4小题，共12分。 9.要使分式有意义，则的取值范围是          ． 10.九章算术中有一道关于古代驿站送倍的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到里远的城市，所需时间比规定时间多天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少天，已知快马的速度是慢马的倍，则规定时间为          天， 11.如图，在中，于点，点在边上，且，，过点作于点已知，则           ． 12.如图，在矩形中，，，点为边上一点，且，点在边上将矩形沿折叠，若线段恰好经过点，则线段的长是        ． 三、计算题：本大题共1小题，共10分。 13.计算： ； ． 四、解答题：本题共5小题，共54分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 14.本小题分 某地区面向社会进行教师招考，招考分笔试和面试两个环节．某岗位计划招聘位教师，现有人参加笔试环节，笔试成绩前名入围面试环节，最后按笔试成绩占，面试成绩占合成个人最终成绩．现收集了名报考者的笔试成绩百分制，取整数，并对这个数据进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息： 个数据的频数分布直方图如图： 数据分组： 个数据在这一组的是：                        根据以上信息，回答下列问题： 频数分布直方图中的值是          ，这个数据的中位数是          ； 若一名报名者的笔试成绩为分，判断他能否进入面试，并说明理由． 面试过后，经过成绩核算，总分不低于分的选手入围，甲的面试成绩是分，恰好排第名入围，请求甲的笔试成绩． 15.本小题10分 “端午临中夏，时清日复长”临近端午节时，新余市仙女湖景区为开展非遗手工体验活动，需采购两种材料：类夏布绣材料和类竹编材料．据了解，市场上类竹编材料的单价比类夏布绣材料高元份，购买份类材料和份类材料共花费元． 求、两类材料的单价； 仙女湖景区计划采购两类材料共份，且类数量不超过类的两倍，如何采购使总费用最低？最低费用是多少？ 16.本小题12分 日晷仪也称日晷，是我国古代观测日影计时的仪器，主要是根据日影的位置，以指定当时的时辰或刻度．小明为了探究日晷的奥秘，在不同的时刻对日晷进行了观察．如图，日晷的平面是以点为圆心的圆，线段为日晷的底座，点为日晷与底座的接触点，与相切于点，点，，均在上，且为直径，，，为不同时刻晷针的影长，，的延长线分别与相交于点，，连接，，已知． 求证：； 若，，求的长． 17.本小题2分 综合与实践 设计自由式小轮车的训练场地 问题背景 图是某极限运动公园的自由式小轮车训练基地，数学探究小组计划以此为参考，为其他训练基地进行场地设计． 建立模型 图是数学探究小组设计的自由式小轮车部分训练场地的示意图，从左向右依次为水平跳台段，抛物线中段，水平跳台段，抛物线中段，抛物线由抛物线水平向右平移得到，以及最终的减速停止区以抛物线的顶点为坐标原点，平行于地面的直线为轴，垂直于地面的直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系． 数模实测 根据实际需求，设计水平跳台段的高度为米，过渡点与轴水平距离为米，过渡点与轴水平距离为米，长为米若骑行者从点进入坡道段，然后从点跳跃，在最高点做空中转体等表演动作，最后从点降落进入坡道段，整个空中运动轨迹是抛物线中段，抛物线的对称轴为直线，点与点的水平距离为米． 拓展资料 从看到障碍物到捏下刹车需要反应时间，这是任何人不可避免的反应延迟反应时间内小轮车保持原速，这段距离为反应距离刹车生效后，小轮车减速至停止，这段距离为制动距离安全距离等于反应距离加制动距离． 当物体做匀减速直线运动时，末速度，初速度，加速度，与位移从起点指向终点的有向线段的长度满足关系式． 问题解决： 求抛物线的解析式； 直接写出点，点的坐标； 若骑行者在最高点处做空中转体等表演动作，求最高点与跳台的垂直距离； 若骑行者从过渡点进入减速停止区时的速度为，并在此时考虑减速，反应时间，之后以的加速度做匀减速直线运动，请计算该训练场地应至少设计多长的安全距离． 18.本小题分 【综合与实践】 【课本再现】 人教版九年级上册数学教材第页有一例题：点是正方形中边上任意一点，以点为中心，把顺时针旋转，画出旋转后的图形．由作图过程可以得出由此，老师进行了延伸拓展，与同学们一起探究． 【例题延伸】 如图，在正方形中，点，分别是边，上的动点，且，试判断，，之间的数量关系．小明把绕点顺时针旋转得到，使与重合，试求，，之间有什么数量关系？并说明理由； 【类比探究】 如图，在矩形中，已知，，点为边延长线上一点，连接，过点作于点，交于点． 求的值； 求的值； 【拓展应用】 如图，在的条件下，平移线段，使它经过的中点，交于点，交于点，连接，若，请你求出的长． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $