江苏省扬州中学树人教育集团2025-2026学年八年级下册期末数学模拟试卷

**基本信息** 本卷为八年级数学下学期期末模拟卷，以新苏科版下册内容为核心，通过丽江古城游客调查、盐城景点研学等真实情境，融合概率、几何、代数知识，考查数学眼光观察现实世界、数学思维分析问题及数学语言表达的能力，适配期末综合检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/24|随机事件、菱形性质、因式分解|基础概念辨析，如第2题对比菱形与矩形对角线性质| |填空题|10/30|二次根式、梯形面积、概率计算|结合图形与数据，如第14题天平平衡概率问题| |解答题|10/96|分式方程、统计分析、几何作图、代数推理、实际应用|分层设计，如26题劳动基地扩建（应用意识）、28题正方形探究（推理能力与创新意识），综合考查知识迁移与问题解决|

2025-2026学年八年级数学下学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新苏科版八年级数学下册全部内容。 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列事件中，属于随机事件的是(    ) A. 掷一枚质地均匀的正方体骰子，朝上一面的点数为 B. 抛一枚硬币，落地后正面朝上 C. 标准大气压下，水加热到会沸腾 D. 两直线平行，内错角相等 2.下列性质中，菱形具有而矩形不一定具有的是(    ) A. 对角线相等 B. 对角线互相平分 C. 对角线互相垂直 D. 对角相等 3.下列因式分解正确的是(    ) A. B. C. D. 4.如果把分式中的和都扩大倍，那么分式的值(    ) A. 扩大倍 B. 缩小为原来的 C. 缩小为原来的 D. 不变 5.下列运算正确的是(    ) A. B. C. D. 6.丽江古城是一座闻名遐迩的历史文化名城，春节期间相关部门对游客到丽江观光的出行方式进行了随机抽样调查，根据调查情况绘制了如下两幅尚不完整的统计图，根据图中信息，下列结论错误的是(    ) A. 扇形统计图中的为 B. 本次抽样调查的样本容量是 C. 在扇形统计图中，“其他”对应的圆心角度数为 D. 在条形统计图中，选择自驾方式出行的人数为人 7.如图，是的边的中点，平分，于点，且，，，则的长是(    ) A. B. C. D. 8.沿相同的路线从甲地到乙地，小明骑自行车沿公路以 的速度行走全程的一半，又以 的速度行走余下的一半路程；小刚骑自行车以 的速度行走全程时间的一半，又以 的速度行走另一半时间，则下列说法正确的是(    ) A. 小明走完全程所用时间长 B. 小刚走完全程所用时间长 C. 两人走完全程所用时间一样长 D. 无法确定谁走完全程所用时间长 第二部分（非选择题 共126分） 二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 9.若二次根式有意义，则的取值范围是          ． 10.若，则的值为          ． 11.分解因式：           ． 12.如图，在梯形中，，连接，，已知梯形的面积为，的面积为，那么的面积为          ． 13.某射击运动员在相同条件下的射击成绩记录如下： 射击次数 射中环以上次数 估计这名运动员射击一次“射中环以上”的概率是          精确到 14.在一个平衡的天平左、右两端托盘上，分别放置质量为和的物品后，天平倾斜如图所示现从质量为，，，的四件物品中，随机选取两件放置在天平的左端托盘上，则天平恢复平衡的概率为          ． 15.如图，在中，对角线、相交于点，，点、分别为、的中点，连接、，若，则           ． 16.为营造良好的体育运动氛围，某学校用元购买了一批足球，又用元加购了第二批足球，且第二批购买数量是第一批购买数量的倍，但单价降了元，则该学校两批共购买了          个足球． 17.已知：，则的值为_________． 18.如图，矩形中，，，点是边上的一动点点不与点，重合，连接，把沿所在直线翻折得到，则当点落在矩形的边所在的直线上时，的长为          ． 三、解答题：本题共10小题，共96分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 19.本小题分解分式方程：． 先化简，再求值，其中． 20.本小题分计算： ； ． 21.本小题分 在大课间活动中，体育老师随机抽取了七年级甲、乙两班部分女学生进行仰卧起坐的测试，并对成绩进行统计分析，绘制了如下的频数分布表和统计图． 分组 频数 频率 第一组 第二组 第三组 第四组 请你根据图表中的信息完成下列问题： 频数分布表中          ，          ，并将统计图补充完整； 如果该校七年级共有女生人，估计仰卧起坐能够一分钟完成或次以上的女学生有多少人？ 22.本小题分 为丰富周末课余生活，感受家乡的城市魅力，小明、小丽和小华计划参加盐城本地研学活动为了公平决定打卡景点，三人准备从“大洋湾”“荷兰花海”“珠溪古镇”这三个盐城热门景点中，通过随机抽取卡片的方式，每人各选一个景点打卡下面是班长制作的正面印有不同盐城景点的卡片，卡片除正面图案和文字外，其余完全相同将这张卡片背面向上，洗匀，放好． A.大洋湾 B.荷兰花海 C.珠溪古镇 小华从这张卡片中随机摸出一张，摸到“荷兰花海”的概率是______； 小明从这些卡片中随机摸出一张确定打卡景点，然后将卡片放回，洗匀，小丽再从这些卡片中随机摸出一张确定打卡景点，请利用画树状图或列表的方法，求他们两人选到同一景点打卡的概率卡片名称用，，表示即可 23.本小题分 如图，已知四边形是矩形． 请用无刻度的直尺和圆规，分别在，边上作点，，使得四边形是菱形保留作图痕迹，不写作法，写出必要的文字说明； 若，，试求出菱形的面积． 24.本小题分 初中数学中，在图形与几何领域有推理或证明的内容，在数与代数领域也有推理或证明的内容例如，在课本中第页出现了这样一道题： 证明：三个连续自然数中，前两个数乘积与后两个数乘积的和一定为偶数． 小明给出了如下解答过程： 证明：设、、都是自然数， 且能被整除， 能被整除． 三个连续自然数中，前两个数乘积与后两个数乘积的和一定为偶数． 观察小明的证明过程，然后解答下列问题： 在上面的过程中，从第处到第处的变形是属于______ 填写“整式的乘法”或“因式分解”； 已知，且是奇数求证：能被整除． 25.本小题12分 代数式：． 化简代数式． 若，求代数式的值． 若代数式的值为整数，求整数的值______． 26.本小题12分 为了推进五育并举，促进学生全面发展，各校积极建设劳动实践基地某校有一块长方形劳动实践基地，长为米，宽为米． 去年实践基地收获蔬菜，该校安排甲乙两组志愿者进行采摘已知甲组每分钟采摘速度是乙组的倍，而甲组单独完成采摘任务所需要的时间比乙组单独完成任务所需要的时间少分钟求甲、乙两组每分钟各采摘多少千克的蔬菜？ 该校打算将原劳动基地进行扩建，计划将长增加米，宽增加米，若扩建后的长方形基地面积是原来的整数倍，求整数的值． 27.本小题12分 按要求解答问题： 【新知探究】 对于正数 ， ，我们称 为 ， 的算术平均数，称 为 ， 的几何平均数．请观察下面的表格，并解答下面的问题：  ， 的值  的值  的值  ，  ，  ，  ， 表格中的          ； 根据表格，猜想 与 的大小关系(    ) A.     ．     ．     ． 当 ， 满足条件：          时， ； 【理解应用】 已知， ，当          时，代数式 取得最大值是          ； 如图，已知，在 中， ， ，求 周长的最大值． 28.本小题12分 【问题情境】正方形是我们熟悉的几何图形，八年级一班小明同学在学习了正方形的知识后，进一步进行以下的探究：如图，已知正方形 的对角线 ， 相交于点，是 上一点，连接 ，过点作 ，垂足为， 交 于点． 求证： ； 【尝试探究】如图，若点 在 的延长线上， 交 的延长线于点 ，交 的延长线于点 ，其他条件不变，则结论“ ”还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由． 【拓展延伸】若 ，点 在线段 上不与端点 ， 重合运动，请你直接写出 的最小值． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级数学下学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 【答案】 1.   2.   3.   4.   5.   6.   7.   8.   9.   10.   11.   12.   13.   14.   15.   16.   17.   18. 或  19. 【小题】 ， 去分母，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为，得， 检验，当时，， 是原方程的解； 【小题】 ， 当时，原式．   20. 【小题】 解： ； 【小题】 解： ．   21. 【小题】 【详解】解：由统计图可知， 总人数为， 则， 【小题】 解：人 答：估计仰卧起坐能够一分钟完成或次以上的女学生有人．   22.    23.     24. 因式分解   证明：      ，   ，且是奇数，   是偶数，   是偶数，   是偶数，   能被整除，   能被整除   25.     ，，或  26. 解：设乙组每分钟采摘千克的蔬菜，则甲组每分钟采摘千克的蔬菜，  由题意得：，  解得：，  经检验，是原分式方程的解，且符合题意，  ，  答：甲组每分钟采摘千克的蔬菜，乙组每分钟采摘千克的蔬菜；  设基地面积是原来的倍为正整数，  由题意得：，  解得：，  、均为正整数，  ，或，  答：的值为或．  27. 【小题】 解： ； 当 时， ， ，  ， 当 时， ， ，  ，  ， 当 时， ， ， 当 ， 满足条件 时， ； 【小题】 解： ，  ， ，  结合中结论可得，当 时，代数式 取得最大值；  ，最大值为 ； 在 中， ， ，  ，  ，  当 最大，则 最大，  ，结合中结论可得， ，  当 时， 最大，最大值为 ， 此时， ，  周长的最大值为： ．   28. 【小题】 证明： 正方形 的对角线 ， 相交于点，  、 ，  ，  ，  ，  ， 在 和 中，  ，  ； 【小题】 解：结论“ ”成立，理由如下：  正方形 的对角线 ， 相交于点，  、 ，  ，  ，  ，  ， 在 和 中，  ，  ； 【小题】 解：如图： 当点在线段 上时，同可得 ， 在正方形 中， 、 ， 在 和 中，  ，  ，  ，  ，  ，  ，  是直角三角形， 取 中点，连接 、 、 ，  、 ， 在 中，根据三边关系可得 ，  的最小值为 ．   【解析】 1. 解：、掷一枚质地均匀的正方体骰子，朝上一面的点数为，是不可能事件，不符合题意； B、抛一枚硬币，落地后正面朝上，是随机事件，符合题意； C、标准大气压下，水加热到会沸腾，是必然事件，不符合题意； D、两直线平行，内错角相等，是必然事件，不符合题意； 故选：． 根据事件发生的可能性大小判断． 本题考查的是随机事件，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 2. A. 对角线相等是矩形具有的性质，菱形不一定具有，故选项不符合题意； B. 对角线互相平分是菱形和矩形共有的性质，故选项不符合题意； C. 对角线互相垂直是菱形具有的性质，矩形不一定具有，故选项符合题意； D. 对角相等是是菱形和矩形共有的性质，故选项不符合题意； 故选：． 3. ，故A选项符合题意不能因式分解，故B选项不符合题意，故C选项不符合题意，故D选项不符合题意． 4. 略 5. 略 6. 解：扇形统计图中的为，故本选项不符合题意； B.本次抽样调查的样本容量是，故本选项不符合题意； C.在扇形统计图中，“其他”对应的圆心角度数为，故本选项不符合题意； D.在条形统计图中，选择自驾方式出行的人数为人，故选项D符合题意． 故选：． 本题考查了条形统计图和扇形统计图．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． 根据各部分百分比之和等于可得的值；根据“其他”人数及其对应的百分比可得样本容量；用乘可得“其他”对应的圆心角度数；用总人数乘对应的百分比可得选择自驾方式出行的人数． 7. 【分析】 延长线段交于，易证，可得为的中点；由已知是的中点，可得是的中位线，由中位线定理可得的长，根据可得的长． 本题主要考查了中位线定理和全等三角形的判定及性质．解决本题的关键是作出辅助线，利用全等三角形得出线段相等，进而应用中位线定理解决问题． 【解答】 解：延长线段交于． 平分， ， 在与中， ， ，， 又是的边的中点， ， ． 故选C． 8. 设甲地到乙地的全程为， 则小明走完全程所用时间为． 设小刚走完全程所用时间为，则，解得， 所以小刚走完全程所用时间为． 因为，且， 所以，所以，所以小明走完全程所用时间长． 9. 略 10. 略 11. 【详解】解： 12. 略 13. 本题考查用频率估计概率，解题关键是理解：当试验次数足够大时，事件发生的频率会稳定在某个常数附近，这个常数就是事件发生的概率．利用频率估计概率即可． 【详解】解：计算各次试验射中环以上的频率： ，，，，，， 观察频率变化可知，随着试验次数增大，频率逐渐稳定在附近，根据频率估计概率的原理，估计这名运动员射击一次“射中环以上”的概率约为． 故答案为：． 14. 【分析】本题考查概率的应用，通过画树状图或列表罗列出所有等可能的情况，再从中找出符合条件的情况数，最后利用概率公式求解． 【解答】解：要使天平恢复平衡，则选取两件物品的质量和为， 列表如下图： 所以共有种可能结果，其中使天平恢复平衡的有种，则天平恢复平衡的概率为． 故答案为：． 15. 先由平行四边形对角线互相平分、中位线定理得，再根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，求出． 【详解】解：四边形是平行四边形， 点是的中点， 又点为的中点， 是的中位线， ， ， ， ， 是直角三角形，， 点为的中点， 是斜边上的中线， ． 16. 设第一批足球的单价为元，则第二批足球的单价为元． 根据题意，得，解得． 经检验，是所列方程的解，且符合题意，此时． 答：该学校两批共购买了个足球． 17. 【分析】 此题主要考查了二次根式的概念，利用二次根式的概念中被开方数为非负数这一点是解题关键． 【解答】 解：由题意得：， ， ， 把代入式中可得， 原式， ， ， ， ， 当，时，原式， ． 故答案为． 18. 由折叠和矩形的性质可得：，设，则，然后分两种情况讨论：当点落在边所在的直线上时，当点落在边所在的直线上时，则，结合勾股定理，即可求解． 【详解】解：根据题意得：， 设，则， 如图，当点落在边所在的直线上时，则， ， ， 在中，， ， 解得：， 即； 如图，当点落在边所在的直线上时，则，   ， 在和中， ， 即， ， 解得：， 即； 综上所述，的长为或． 19.   本题考查了解分式方程，分式的化简求值． 按照去分母，移项，合并同类项的步骤解方程，然后检验即可得到答案；   先根据分式的混合运算法则化简，然后代值计算即可得到答案． 20.   利用平方差公式和完全平方公式计算即可；   先化简二次根式，再计算乘除法，然后计算加减即可． 21.   根据统计图可知的值，根据第一组的频数和频率求出总数，进而可知的值，根据第二组的频数补全统计图即可；  用乘以能够一分钟完成或次以上的女学生的比例即可． 22. 解：由题意知，共有种等可能的结果，其中摸到“荷兰花海”的结果有种， 小华从这张卡片中随机摸出一张，摸到“荷兰花海”的概率是， 故答案为：； 列表如下： 其中两人选到同一景点打卡的结果数有种，共有种等可能的结果， 两人选到同一景点打卡的概率为． 由题意知，共有种等可能的结果，其中摸到“荷兰花海”的结果有种，利用概率公式可得答案． 列表可得出所有等可能的结果数以及两人选到同一景点打卡的结果数，再利用概率公式可得出答案． 本题考查列表法与树状图法，游戏公平性，概率公式，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 23. 解：如图，连接，作线段的垂直平分线，分别交，于点，，连接，， 则四边形即为所求． 四边形是菱形， ． 设， ． 四边形为矩形， ． 在中，由勾股定理得，， 即， 解得， ， 菱形的面积为． 结合菱形的判定与性质，连接，作线段的垂直平分线，分别交，于点，，连接，即可． 由菱形的性质得，设，可得由矩形的性质得，在中，由勾股定理得，，即，可得，即，从而可得菱形的面积为． 本题考查作图复杂作图、菱形的判定与性质、矩形的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 24. 解：从第处到第处的变形是把多项式写成因式、积的形式，  这个变形属于因式分解，  故答案为：因式分解；  证明：    ，  ，且是奇数，  是偶数，  是偶数，  是偶数，  能被整除，  能被整除． 根据因式分解的定义判断即可  将变形为，再通过，且是奇数分析出是偶数即可． 本题主要考查因式分解的意义和应用，理解因式分解的意义是关键． 25. 解： ； 当时，； 由知，， 代数式的值为整数， 整数的值为，，或，  故答案为：，，或． 先计算括号内的式子，再算括号外的除法即可； 将的值代入化简后的式子计算即可； 将中的结果变形，再根据代数式的值为整数，即可得到的值． 本题考查分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 26. 解：设乙组每分钟采摘千克的蔬菜，则甲组每分钟采摘千克的蔬菜，  由题意得：，  解得：，  经检验，是原分式方程的解，且符合题意，  ，  答：甲组每分钟采摘千克的蔬菜，乙组每分钟采摘千克的蔬菜；  设基地面积是原来的倍为正整数，  由题意得：，  解得：，  、均为正整数，  ，或，  答：的值为或． 设乙组每分钟采摘千克的蔬菜，则甲组每分钟采摘千克的蔬菜，根据“甲组单独完成采摘任务所需要的时间比乙组单独完成任务所需要的时间少分钟”，列出分式方程，解方程即可；  设扩建后的长方形基地面积是原来的倍为正整数，利用长方形的面积公式，结合扩建后的长方形基地面积是原来的倍，列出关于的一元一次方程，解之取符合题意的值即可． 本题主要考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 27.  由 ，再代入计算即可； 由表格信息总结归纳可得答案； 由表格信息总结归纳可得答案；  由的结论可得当 时，代数式 取得最大值； 由 ，可得当 最大，则 最大，结合 ， ，可得当 时， 最大，最大值为 ，从而可得答案． 28.  本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系、勾股定理，熟练掌握相关性质定理、数形结合的思想方法的运用是解题的关键． 根据正方形的性质可得 、 ，结合 ，利用 的判定方法证得 ，从而得出结论；  易得 、 ，结合 ，利用 的判定方法证得 ，从而得出结论；  易得 ，利用 的判定方法证得 ，进而得到 是直角三角形，取 中点，连接 、 、 ，根据直角三角形的性质得到 ，再利用勾股定理求得 ，最后利用三角形三边关系进行求解即可． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级数学下学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新苏科版八年级数学下册全部内容。 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列事件中，属于随机事件的是(    ) A. 掷一枚质地均匀的正方体骰子，朝上一面的点数为 B. 抛一枚硬币，落地后正面朝上 C. 标准大气压下，水加热到会沸腾 D. 两直线平行，内错角相等 【答案】B  【解析】解：、掷一枚质地均匀的正方体骰子，朝上一面的点数为，是不可能事件，不符合题意； B、抛一枚硬币，落地后正面朝上，是随机事件，符合题意； C、标准大气压下，水加热到会沸腾，是必然事件，不符合题意； D、两直线平行，内错角相等，是必然事件，不符合题意； 故选：． 根据事件发生的可能性大小判断． 本题考查的是随机事件，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 2.下列性质中，菱形具有而矩形不一定具有的是(    ) A. 对角线相等 B. 对角线互相平分 C. 对角线互相垂直 D. 对角相等 【答案】C  【解析】A. 对角线相等是矩形具有的性质，菱形不一定具有，故选项不符合题意； B. 对角线互相平分是菱形和矩形共有的性质，故选项不符合题意； C. 对角线互相垂直是菱形具有的性质，矩形不一定具有，故选项符合题意； D. 对角相等是是菱形和矩形共有的性质，故选项不符合题意； 故选：． 3.下列因式分解正确的是(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】，故A选项符合题意不能因式分解，故B选项不符合题意，故C选项不符合题意，故D选项不符合题意． 4.如果把分式中的和都扩大倍，那么分式的值(    ) A. 扩大倍 B. 缩小为原来的 C. 缩小为原来的 D. 不变 【答案】D  【解析】略 5.下列运算正确的是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】略 6.丽江古城是一座闻名遐迩的历史文化名城，春节期间相关部门对游客到丽江观光的出行方式进行了随机抽样调查，根据调查情况绘制了如下两幅尚不完整的统计图，根据图中信息，下列结论错误的是(    ) A. 扇形统计图中的为 B. 本次抽样调查的样本容量是 C. 在扇形统计图中，“其他”对应的圆心角度数为 D. 在条形统计图中，选择自驾方式出行的人数为人 【答案】D  【解析】解：扇形统计图中的为，故本选项不符合题意； B.本次抽样调查的样本容量是，故本选项不符合题意； C.在扇形统计图中，“其他”对应的圆心角度数为，故本选项不符合题意； D.在条形统计图中，选择自驾方式出行的人数为人，故选项D符合题意． 故选：． 本题考查了条形统计图和扇形统计图．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． 根据各部分百分比之和等于可得的值；根据“其他”人数及其对应的百分比可得样本容量；用乘可得“其他”对应的圆心角度数；用总人数乘对应的百分比可得选择自驾方式出行的人数． 7.如图，是的边的中点，平分，于点，且，，，则的长是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】【分析】 延长线段交于，易证，可得为的中点；由已知是的中点，可得是的中位线，由中位线定理可得的长，根据可得的长． 本题主要考查了中位线定理和全等三角形的判定及性质．解决本题的关键是作出辅助线，利用全等三角形得出线段相等，进而应用中位线定理解决问题． 【解答】 解：延长线段交于． 平分， ， 在与中， ， ，， 又是的边的中点， ， ． 故选C． 8.沿相同的路线从甲地到乙地，小明骑自行车沿公路以 的速度行走全程的一半，又以 的速度行走余下的一半路程；小刚骑自行车以 的速度行走全程时间的一半，又以 的速度行走另一半时间，则下列说法正确的是(    ) A. 小明走完全程所用时间长 B. 小刚走完全程所用时间长 C. 两人走完全程所用时间一样长 D. 无法确定谁走完全程所用时间长 【答案】A  【解析】设甲地到乙地的全程为， 则小明走完全程所用时间为． 设小刚走完全程所用时间为，则，解得， 所以小刚走完全程所用时间为． 因为，且， 所以，所以，所以小明走完全程所用时间长． 第二部分（非选择题 共126分） 二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 9.若二次根式有意义，则的取值范围是          ． 【答案】  【解析】略 10.若，则的值为          ． 【答案】  【解析】略 11.分解因式：           ． 【答案】  【解析】【详解】解： 12.如图，在梯形中，，连接，，已知梯形的面积为，的面积为，那么的面积为          ． 【答案】  【解析】略 13.某射击运动员在相同条件下的射击成绩记录如下： 射击次数 射中环以上次数 估计这名运动员射击一次“射中环以上”的概率是          精确到 【答案】  【解析】本题考查用频率估计概率，解题关键是理解：当试验次数足够大时，事件发生的频率会稳定在某个常数附近，这个常数就是事件发生的概率．利用频率估计概率即可． 【详解】解：计算各次试验射中环以上的频率： ，，，，，， 观察频率变化可知，随着试验次数增大，频率逐渐稳定在附近，根据频率估计概率的原理，估计这名运动员射击一次“射中环以上”的概率约为． 故答案为：． 14.在一个平衡的天平左、右两端托盘上，分别放置质量为和的物品后，天平倾斜如图所示现从质量为，，，的四件物品中，随机选取两件放置在天平的左端托盘上，则天平恢复平衡的概率为          ． 【答案】  【解析】【分析】本题考查概率的应用，通过画树状图或列表罗列出所有等可能的情况，再从中找出符合条件的情况数，最后利用概率公式求解． 【解答】解：要使天平恢复平衡，则选取两件物品的质量和为， 列表如下图： 所以共有种可能结果，其中使天平恢复平衡的有种，则天平恢复平衡的概率为． 故答案为：． 15.如图，在中，对角线、相交于点，，点、分别为、的中点，连接、，若，则           ． 【答案】  【解析】先由平行四边形对角线互相平分、中位线定理得，再根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，求出． 【详解】解：四边形是平行四边形， 点是的中点， 又点为的中点， 是的中位线， ， ， ， ， 是直角三角形，， 点为的中点， 是斜边上的中线， ． 16.为营造良好的体育运动氛围，某学校用元购买了一批足球，又用元加购了第二批足球，且第二批购买数量是第一批购买数量的倍，但单价降了元，则该学校两批共购买了          个足球． 【答案】  【解析】设第一批足球的单价为元，则第二批足球的单价为元． 根据题意，得，解得． 经检验，是所列方程的解，且符合题意，此时． 答：该学校两批共购买了个足球． 17.已知：，则的值为_________． 【答案】  【解析】【分析】 此题主要考查了二次根式的概念，利用二次根式的概念中被开方数为非负数这一点是解题关键． 【解答】 解：由题意得：， ， ， 把代入式中可得， 原式， ， ， ， ， 当，时，原式， ． 故答案为． 18.如图，矩形中，，，点是边上的一动点点不与点，重合，连接，把沿所在直线翻折得到，则当点落在矩形的边所在的直线上时，的长为          ． 【答案】或  【解析】由折叠和矩形的性质可得：，设，则，然后分两种情况讨论：当点落在边所在的直线上时，当点落在边所在的直线上时，则，结合勾股定理，即可求解． 【详解】解：根据题意得：， 设，则， 如图，当点落在边所在的直线上时，则， ， ， 在中，， ， 解得：， 即； 如图，当点落在边所在的直线上时，则，   ， 在和中， ， 即， ， 解得：， 即； 综上所述，的长为或． 三、解答题：本题共10小题，共96分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 19.本小题分解分式方程：． 先化简，再求值，其中． 【答案】(1)， 去分母，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得， 检验，当时，， ∴是原方程的解；   (2) ， 当时，原式．   【解析】  本题考查了解分式方程，分式的化简求值． 按照去分母，移项，合并同类项的步骤解方程，然后检验即可得到答案；   先根据分式的混合运算法则化简，然后代值计算即可得到答案． 20.本小题分计算： ； ． 【答案】(1)解： ；   (2)解： ．   【解析】  利用平方差公式和完全平方公式计算即可；   先化简二次根式，再计算乘除法，然后计算加减即可． 21.本小题分 在大课间活动中，体育老师随机抽取了七年级甲、乙两班部分女学生进行仰卧起坐的测试，并对成绩进行统计分析，绘制了如下的频数分布表和统计图． 分组 频数 频率 第一组 第二组 第三组 第四组 请你根据图表中的信息完成下列问题： 频数分布表中          ，          ，并将统计图补充完整； 如果该校七年级共有女生人，估计仰卧起坐能够一分钟完成或次以上的女学生有多少人？ 【答案】(1)【详解】解：由统计图可知， 总人数为， 则， ​​​​​​​   (2)解：（人） 答：估计仰卧起坐能够一分钟完成或次以上的女学生有121人．   【解析】  根据统计图可知的值，根据第一组的频数和频率求出总数，进而可知的值，根据第二组的频数补全统计图即可；  用乘以能够一分钟完成或次以上的女学生的比例即可． 22.本小题分 为丰富周末课余生活，感受家乡的城市魅力，小明、小丽和小华计划参加盐城本地研学活动为了公平决定打卡景点，三人准备从“大洋湾”“荷兰花海”“珠溪古镇”这三个盐城热门景点中，通过随机抽取卡片的方式，每人各选一个景点打卡下面是班长制作的正面印有不同盐城景点的卡片，卡片除正面图案和文字外，其余完全相同将这张卡片背面向上，洗匀，放好． A.大洋湾 B.荷兰花海 C.珠溪古镇 小华从这张卡片中随机摸出一张，摸到“荷兰花海”的概率是______； 小明从这些卡片中随机摸出一张确定打卡景点，然后将卡片放回，洗匀，小丽再从这些卡片中随机摸出一张确定打卡景点，请利用画树状图或列表的方法，求他们两人选到同一景点打卡的概率卡片名称用，，表示即可 【答案】   【解析】解：由题意知，共有种等可能的结果，其中摸到“荷兰花海”的结果有种， 小华从这张卡片中随机摸出一张，摸到“荷兰花海”的概率是， 故答案为：； 列表如下： 其中两人选到同一景点打卡的结果数有种，共有种等可能的结果， 两人选到同一景点打卡的概率为． 由题意知，共有种等可能的结果，其中摸到“荷兰花海”的结果有种，利用概率公式可得答案． 列表可得出所有等可能的结果数以及两人选到同一景点打卡的结果数，再利用概率公式可得出答案． 本题考查列表法与树状图法，游戏公平性，概率公式，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 23.本小题分 如图，已知四边形是矩形． 请用无刻度的直尺和圆规，分别在，边上作点，，使得四边形是菱形保留作图痕迹，不写作法，写出必要的文字说明； 若，，试求出菱形的面积． 【答案】    【解析】解：如图，连接，作线段的垂直平分线，分别交，于点，，连接，， 则四边形即为所求． 四边形是菱形， ． 设， ． 四边形为矩形， ． 在中，由勾股定理得，， 即， 解得， ， 菱形的面积为． 结合菱形的判定与性质，连接，作线段的垂直平分线，分别交，于点，，连接，即可． 由菱形的性质得，设，可得由矩形的性质得，在中，由勾股定理得，，即，可得，即，从而可得菱形的面积为． 本题考查作图复杂作图、菱形的判定与性质、矩形的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 24.本小题分 初中数学中，在图形与几何领域有推理或证明的内容，在数与代数领域也有推理或证明的内容例如，在课本中第页出现了这样一道题： 证明：三个连续自然数中，前两个数乘积与后两个数乘积的和一定为偶数． 小明给出了如下解答过程： 证明：设、、都是自然数， 且能被整除， 能被整除． 三个连续自然数中，前两个数乘积与后两个数乘积的和一定为偶数． 观察小明的证明过程，然后解答下列问题： 在上面的过程中，从第处到第处的变形是属于______ 填写“整式的乘法”或“因式分解”； 已知，且是奇数求证：能被整除． 【答案】因式分解   证明：      ，   ，且是奇数，   是偶数，   是偶数，   是偶数，   能被整除，   能被整除   【解析】解：从第处到第处的变形是把多项式写成因式、积的形式，  这个变形属于因式分解，  故答案为：因式分解；  证明：    ，  ，且是奇数，  是偶数，  是偶数，  是偶数，  能被整除，  能被整除． 根据因式分解的定义判断即可  将变形为，再通过，且是奇数分析出是偶数即可． 本题主要考查因式分解的意义和应用，理解因式分解的意义是关键． 25.本小题12分 代数式：． 化简代数式． 若，求代数式的值． 若代数式的值为整数，求整数的值______． 【答案】    ，，或  【解析】解： ； 当时，； 由知，， 代数式的值为整数， 整数的值为，，或，  故答案为：，，或． 先计算括号内的式子，再算括号外的除法即可； 将的值代入化简后的式子计算即可； 将中的结果变形，再根据代数式的值为整数，即可得到的值． 本题考查分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 26.本小题12分 为了推进五育并举，促进学生全面发展，各校积极建设劳动实践基地某校有一块长方形劳动实践基地，长为米，宽为米． 去年实践基地收获蔬菜，该校安排甲乙两组志愿者进行采摘已知甲组每分钟采摘速度是乙组的倍，而甲组单独完成采摘任务所需要的时间比乙组单独完成任务所需要的时间少分钟求甲、乙两组每分钟各采摘多少千克的蔬菜？ 该校打算将原劳动基地进行扩建，计划将长增加米，宽增加米，若扩建后的长方形基地面积是原来的整数倍，求整数的值． 【答案】解：设乙组每分钟采摘千克的蔬菜，则甲组每分钟采摘千克的蔬菜，  由题意得：，  解得：，  经检验，是原分式方程的解，且符合题意，  ，  答：甲组每分钟采摘千克的蔬菜，乙组每分钟采摘千克的蔬菜；  设基地面积是原来的倍为正整数，  由题意得：，  解得：，  、均为正整数，  ，或，  答：的值为或．  【解析】解：设乙组每分钟采摘千克的蔬菜，则甲组每分钟采摘千克的蔬菜，  由题意得：，  解得：，  经检验，是原分式方程的解，且符合题意，  ，  答：甲组每分钟采摘千克的蔬菜，乙组每分钟采摘千克的蔬菜；  设基地面积是原来的倍为正整数，  由题意得：，  解得：，  、均为正整数，  ，或，  答：的值为或． 设乙组每分钟采摘千克的蔬菜，则甲组每分钟采摘千克的蔬菜，根据“甲组单独完成采摘任务所需要的时间比乙组单独完成任务所需要的时间少分钟”，列出分式方程，解方程即可；  设扩建后的长方形基地面积是原来的倍为正整数，利用长方形的面积公式，结合扩建后的长方形基地面积是原来的倍，列出关于的一元一次方程，解之取符合题意的值即可． 本题主要考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 27.本小题12分 按要求解答问题： 【新知探究】 对于正数 ， ，我们称 为 ， 的算术平均数，称 为 ， 的几何平均数．请观察下面的表格，并解答下面的问题：  ， 的值  的值  的值  ，  ，  ，  ， 表格中的          ； 根据表格，猜想 与 的大小关系(    ) A.     ．     ．     ． 当 ， 满足条件：          时， ； 【理解应用】 已知， ，当          时，代数式 取得最大值是          ； 如图，已知，在 中， ， ，求 周长的最大值． 【答案】(1)解：① ； ②当 时， ， ， ∴ ， 当 时， ， ， ∴ ， ∴ ， ③当 时， ， ， ∴当 ， 满足条件 时， ；   (2)解：① ，  ， ，  结合（1）中结论可得，当 时，代数式 取得最大值；  ，最大值为 ； ②在 中， ， ，  ，  ，  当 最大，则 最大，  ，结合（1）中结论可得， ，  当 时， 最大，最大值为 ， 此时， ，  周长的最大值为： ．   【解析】 由 ，再代入计算即可； 由表格信息总结归纳可得答案； 由表格信息总结归纳可得答案；  由的结论可得当 时，代数式 取得最大值； 由 ，可得当 最大，则 最大，结合 ， ，可得当 时， 最大，最大值为 ，从而可得答案． 28.本小题12分 【问题情境】正方形是我们熟悉的几何图形，八年级一班小明同学在学习了正方形的知识后，进一步进行以下的探究：如图，已知正方形 的对角线 ， 相交于点，是 上一点，连接 ，过点作 ，垂足为， 交 于点． 求证： ； 【尝试探究】如图，若点 在 的延长线上， 交 的延长线于点 ，交 的延长线于点 ，其他条件不变，则结论“ ”还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由． 【拓展延伸】若 ，点 在线段 上不与端点 ， 重合运动，请你直接写出 的最小值． 【答案】(1)证明： 正方形 的对角线 ， 相交于点O，  、 ，  ，  ，  ，  ， 在 和 中， ，  ，  ；   (2)解：结论“ ”成立，理由如下：  正方形 的对角线 ， 相交于点O，  、 ，  ，  ，  ，  ， 在 和 中， ，  ，  ；   (3)解：如图： 当点E在线段 上时，同（1）可得 ， 在正方形 中， 、 ， 在 和 中， ，  ，  ，  ，  ，  ，  ，  是直角三角形， 取 中点H，连接 、 、 ，  、 ， 在 中，根据三边关系可得CM⩾CH−HM=5−1" data-ext-data="{"source": "saber_editor"}" width="180" height="20" style="width:180px;height:20px;" alt="CM%E2%A9%BECH%E2%88%92HM%3D%20%5Csqrt%7B5%7D%E2%88%921" title="latexImg" /> ，  的最小值为5−1" data-ext-data="{"source": "saber_editor"}" width="48" height="20" style="width:48px;height:20px;" alt="%5Csqrt%7B5%7D%E2%88%921" title="latexImg" /> ．   【解析】 本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系、勾股定理，熟练掌握相关性质定理、数形结合的思想方法的运用是解题的关键． 根据正方形的性质可得 、 ，结合 ，利用 的判定方法证得 ，从而得出结论；  易得 、 ，结合 ，利用 的判定方法证得 ，从而得出结论；  易得 ，利用 的判定方法证得 ，进而得到 是直角三角形，取 中点，连接 、 、 ，根据直角三角形的性质得到 ，再利用勾股定理求得 ，最后利用三角形三边关系进行求解即可． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年八年级数学下学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟试卷满分：150分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用 橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.测试范围：新苏科版八年级数学下册全部内容。 第一部分（选择题共24分） 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列事件中，属于随机事件的是() A.掷一枚质地均匀的正方体骰子，朝上一面的点数为7 B.抛一枚硬币，落地后正面朝上 C.标准大气压下，水加热到100℃会沸腾 D.两直线平行，内错角相等 2.下列性质中，菱形具有而矩形不一定具有的是() A.对角线相等 B.对角线互相平分C.对角线互相垂直D.对角相等 3.下列因式分解正确的是() A.9-6x+x2=(x-3)2 B.a2+2ab-4b2=(a+2b)2 C.3ax2-6ax =3(ax2-2ax) D.m4+1-2m2=(2m2-1)2 4.如果把分式x中的x和y都扩大3倍，那么分式的值() x+y A.扩大3倍 B.缩小为原来的时C.缩小为原来的 D.不变 5.下列运算正确的是() A.V2+V3=V5 B.33-V3=3C.V√24÷V6=4D.V3×V5=V15 6.丽江古城是一座闻名遐迩的历史文化名城，春节期间相关部门对游客到丽江观光的出行方式进行了随机 抽样调查，根据调查情况绘制了如下两幅尚不完整的统计图，根据图中信息，下列结论错误的是() A.扇形统计图中的a为40% B.本次抽样调查的样本容量是1000 第1页，共9页 C.在扇形统计图中，“其他”对应的圆心角度数为36° D.在条形统计图中，选择自驾方式出行的人数为400人 人数不 公共 自驾 交通 50% 其他 100 10% 0 自驾公共 其他出行方式 交通 7.如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC,BN1AN于点N,且AB=10,BC=15,MN=3, 则AC的长是() M A.12 B.14 C.16 D.18 8.沿相同的路线从甲地到乙地，小明骑自行车沿公路以akm/h的速度行走全程的一半，又以bkm/h的速 度行走余下的一半路程：小刚骑自行车以akm/h的速度行走全程时间的一半，又以bkm/h的速度行走另 ·半时间(a≠b),则下列说法正确的是() A.小明走完全程所用时间长 B.小刚走完全程所用时间长 C.两人走完全程所用时间一样长 D.无法确定谁走完全程所用时间长 第二部分（非选择题共126分） 二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 9.若二次根式√4x-1有意义，则x的取值范围是. 10若号=3，则2的值为一 11.分解因式：2x2y-8xy+8y=- 第2页，共9页 12.如图，在梯形ABCD中，AD//BC,连接AC,BD,己知梯形ABCD的面积为17，△BDC的面积为12， 那么△ADC的面积为一· 13.某射击运动员在相同条件下的射击成绩记录如下： 射击次数 200 400 1000 2000 4000 10000 射中9环以上次 150 330 780 1580 3210 8010 数 估计这名运动员射击一次“射中9环以上”的概率是 (精确到0.1) 14.在一个平衡的天平左、右两端托盘上，分别放置质量为20g和70g的物品后，天平倾斜（如图所示）现 从质量为10g,20g,30g,40g的四件物品中，随机选取两件放置在天平的左端托盘上，则天平恢复平衡 的概率为 15.如图，在☐ABCD中，对角线AC、BD相交于点O,AB⊥AC,点E、F分别为BC、CD的中点，连接AE、 0F,若0F=2,则AE= 4 D E 16.为营造良好的体育运动氛围，某学校用800元购买了一批足球，又用1560元加购了第二批足球，且第 二批购买数量是第一批购买数量的2倍，但单价降了2元，则该学校两批共购买了个足球 17.已知：y=V8-x+√x-8+2则 ++2- x+Y-2的值为 y 第3页，共9页 18.如图，矩形ABCD中，AB=6,BC=8,点P是边AD上的一动点（点P不与点A,D重合），连接CP, 把△BCP沿CP所在直线翻折得到△B'CP,则当点B'落在矩形的边所在的直线上时，AP的长为一· B 4 P D 三、解答题：本题共10小题，共96分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 19(体小题8分)④解分式方程：+1= (②先化简(1+名)，再求值，其中x=-2. 20.(本小题8分)计算： (1)(1i+V3(W1i-V3+(W5-1)2: (2V8÷2W3-V27×+4 第4页，共9页 21.(本小题8分) 在大课间活动中，体育老师随机抽取了七年级甲、乙两班部分女学生进行仰卧起坐的测试，并对成绩进行 统计分析，绘制了如下的频数分布表和统计图 分组 频数 频率 第一组(0≤x<15) 3 0.15 第二组(15≤x<30) 6 b 第三组(30≤x<45) 7 第四组(45≤x<60) a d 人数 8 4 15304560次数 请你根据图表中的信息完成下列问题： (1)频数分布表中Q=一，b=，并将统计图补充完整； (2)如果该校七年级共有女生220人，估计仰卧起坐能够一分钟完成30或30次以上的女学生有多少人？ 22.(本小题8分) 为丰富周末课余生活，感受家乡的城市魅力，小明、小丽和小华计划参加盐城本地研学活动为了公平决定 打卡景点，三人准备从“大洋湾”“荷兰花海”“珠溪古镇”这三个盐城热门景点中，通过随机抽取卡片 的方式，每人各选一个景点打卡下面是班长制作的正面印有不同盐城景点的卡片，卡片除正面图案和文字 外，其余完全相同将这3张卡片背面向上，洗匀，放好. A.大洋湾 B.荷兰花海 C珠溪古镇 第5页，共9页 (1)小华从这3张卡片中随机摸出一张，摸到“B.荷兰花海”的概率是 (2)小明从这些卡片中随机摸出一张确定打卡景点，然后将卡片放回，洗匀，小丽再从这些卡片中随机摸出 一张确定打卡景点，请利用画树状图或列表的方法，求他们两人选到同一景点打卡的概率.（卡片名称用A, B,C表示即可) 23.(本小题8分) 如图，己知四边形ABCD是矩形. (I)请用无刻度的直尺和圆规，分别在AB,CD边上作点E,F,使得四边形AECF是菱形（保留作图痕迹， 不写作法，写出必要的文字说明)： (2)若AB=16,BC=8,试求出菱形AECF的面积. B 24.(本小题8分) 初中数学中，在图形与几何领域有推理或证明的内容，在数与代数领域也有推理或证明的内容.例如，在课 本中第109页出现了这样一道题： 证明：三个连续自然数中，前两个数乘积与后两个数乘积的和一定为偶数. 小明给出了如下解答过程： 证明：设n、n+1、n+2都是自然数， n(m+1)+(n+1)(n+2).① =(n+1)(n+n+2) =(n+1)(2m+2) =2(n+1)2.② 且2(n+1)2能被2整除， ∴n(m+1)+(n+1)(n+2)能被2整除 第6页，共9页 三个连续自然数中，前两个数乘积与后两个数乘积的和一定为偶数. 观察小明的证明过程，然后解答下列问题： (1)在上面的过程中，从第①处到第②处的变形是属于一（填写“整式的乘法”或“因式分解”）； (2)已知m>0,且m是奇数.求证：m2-m+2能被2整除. 25.(本小题12分) 代数式：A=24÷(a-4+朵) a+3 (1)化简代数式A. (②)若a=子求代数式A的值. (3)若代数式A的值为整数，求整数a的值 26.(本小题12分) 为了推进五育并举，促进学生全面发展，各校积极建设劳动实践基地.某校有一块长方形劳动实践基地，长 为(2a-2)米，宽为a米(a>6): (1)去年实践基地收获400kg蔬菜，该校安排甲乙两组志愿者进行采摘已知甲组每分钟采摘速度是乙组的2 倍，而甲组单独完成采摘任务所需要的时间比乙组单独完成任务所需要的时间少10分钟求甲、乙两组每分 钟各采摘多少千克的蔬菜？ (2)该校打算将原劳动基地进行扩建，计划将长增加16米，宽增加α米，若扩建后的长方形基地面积是原 来的整数倍，求整数a的值. (2a-2）m am A类蔬菜 B类蔬菜 am 第7页，共9页 27.(本小题12分) 按要求解答问题： (1) 【新知探究】 对于正数a,b,我们称+也 2 为a,b的算术平均数，称√ab为a,b的几何平均数.请观察下面的表格， 并解答下面的问题： a,b的值 a+地的值 2 √ab的值 a=2,b=8 5 a=4,b=4 4 4 a=6,b=2 又 m a=5,b=1 3 V5 ①表格中的m=; ②根据表格，猜想a+b与2vab的大小关系() A.a+b>2WabB.a+b<2abC.a+b≥2WabD.a+b≤2Wab ③当a,b满足条件：时，a2+b2=2ab; (2) 【理解应用】 ①已知，10<x<30,当x=时，代数式(x-10)30-x)取得最大值是： ②如图，己知，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=6,求△ABC周长的最大值. 第8页，共9页 28.(本小题12分) 【问题情境】正方形是我们熟悉的几何图形，八年级一班小明同学在学习了正方形的知识后，进一步进行 以下的探究：如图①，已知正方形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E是AC上一点，连接EB,过 点A作AM⊥BE,垂足为M,AM交BD于点F. D M F B C B E ① ② (1)求证：0E=0F: (2)【尝试探究】如图②，若点E在AC的延长线上，AM L BE交EB的延长线于点M,交DB的延长线于 点F,其他条件不变，则结论“OE=OF”还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由 (3)【拓展延伸】若AB=2,点E在线段AC上（不与端点A,C重合）运动，请你直接写出CM的最小值. 第9页，共9页