2.1.1 认识实数 课件 -2026-2027学年北师大版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦“认识实数”核心内容，涵盖有理数与无理数的概念、实数分类及与数轴的关系。通过复习有理数分类导入，结合“两个边长为1的正方形剪拼大正方形”活动，搭建从有理数到无理数的认知支架，衔接自然。 其亮点在于以探究式教学为主，通过拼图活动、夹逼法估算√2近似值等，培养学生抽象能力与推理意识。结合实例辨析（如判断0.1010010001…为无理数），强化应用意识。学生能直观理解无理数本质，教师可借助系统探究素材提升教学效率。

北师大版数学八年级上册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年6月9日 2.1.1 认识实数 第二章 实数 2.1 认识实数 全节精讲复习（北师大版八年级上册） 一、有理数与无理数 1. 有理数 整数和分数统称为有理数。所有有理数都可以化为有限小数或无限循环小数。 常见有理数：正整数、0、负整数、有限小数、无限循环小数、可化简分数。 2. 无理数（本节重点） 无限不循环小数叫做无理数。无理数无法化成分数形式。 四大类常见无理数： （1）开方开不尽的数：$$\sqrt{2}、\sqrt{3}、\sqrt{5}、\sqrt{7}$$ 等； （2）特殊常数：$$\pi$$、$$2\pi$$ 等； （3）无限不循环小数：0.1010010001…（相邻两个1之间0的个数依次加1）； （4）含无理数且无法化简的式子。 注意：带根号的数不一定是无理数，如 $$\sqrt{4}=2$$ 是有理数。 二、实数的定义与分类 1. 实数定义 有理数和无理数统称实数。实数是初中最大的数集，我们所学的所有数都是实数。 2. 实数两种分类方法 分类一（按定义分） 实数分为有理数（整数、分数）和无理数（无限不循环小数）。 分类二（按正负分） 实数分为正实数、0、负实数。 关键考点：0 是有理数，既不是正数，也不是负数。 三、实数与数轴（核心考点） 1. 一一对应关系 实数与数轴上的点一一对应。 也就是说：每一个实数都可以用数轴上唯一一个点表示；数轴上每一个点都表示唯一一个实数。 （有理数不能与数轴一一对应，只有实数可以） 2. 数轴大小比较 数轴上，右边的数永远大于左边的数。正数＞0＞负数。 四、实数的相关性质 有理数的所有性质，全部适用于实数。 1. 相反数：实数 $$a$$ 的相反数是 $$-a$$，互为相反数的两数和为0； 2. 绝对值：正数绝对值是本身，负数绝对值是相反数，0的绝对值是0； 3. 倒数：非零实数 $$a$$ 的倒数为$$\dfrac{1}{a}$$，0没有倒数； 4. 实数范围内，仍然满足：正数大于负数，两个负数绝对值大的反而小。 五、实数大小比较常用方法 1. 数轴法：右大左小； 2. 平方比较法（多用于无理数）：正数越大，平方越大； 3. 作差法：若 $$a-b>0$$，则 $$a>b$$。 六、本节必考易错点 1. 无限小数不一定是无理数，只有无限不循环小数才是无理数，无限循环小数是有理数； 2. 带根号不一定是无理数，能开尽方的是有理数； 3. $$\pi$$ 是无理数，不是3.14，3.14只是它的近似值； 4. 0属于有理数，不属于无理数； 5. 只有实数与数轴上的点一一对应，有理数不满足。 七、核心总结 1. 实数 = 有理数 + 无理数； 2. 无理数本质：无限、不循环； 3. 实数和数轴点一一对应，是本节最大考点； 4. 实数全部沿用有理数的相反数、绝对值、大小比较规则。 通过拼图活动，感受不是有理数的数产生的实际背景和引入的必要性. 借助夹逼法估计不是有理数的数的大致范围，体会无限逼近数学思想 借助计算器对无理数进行估算，培养动手能力. 复习导入 有理数进行分类： 正整数 零 负整数 正分数 负分数 有理数 分数 整数 有理数包括整数和分数，那么有理数范围是否能满足我们实际生活的需要呢？ 活动1 请大家以四个人为一组，拿出自己准备好的两个边长为 1 的正方形和剪刀，认真讨论之后，动手剪一剪，拼一拼，设法得到一个大的正方形. 探究点一：无理数的概念及认识 1 1 拼接前后两个图形的面积保持不变. 问题1：(1)设大正方形的边长为 a ，a 满足什么条件？ (2) a 能是整数吗？说说你的理由. a 不能是整数. 探究点：无理数的概念及认识 因为 S大正方形 = 2，所以 a2 = 2. a 1 从“数”的角度： 因为 a2 = 2，而 12 = 1，22 = 4， 所以 12 < a2 < 22. 所以 1< a < 2，故 a 不是整数. (3) a 能是分数吗？说说你的理由，并与同伴进行交流. 讨论：① a 是分母为 2 的分数吗？ ② a 是分母为 3 的分数吗？ ③ a 是分母为 4 的分数吗？ ④ a 是分母为多少的分数？ a2 = 2 不是 总结：事实上，满足等式 a² = 2 的 a 既不是整数，也不是分数，所以 a 不是有理数。 不是 ··· ··· ··· 不是 思考：(1) 如下图，以直角三角形的斜边为边的正方形的面积是多少? (3) b 是有理数吗? (2) 设该正方形的边长为 b ，b 满足什么条件? 1 2 b b2 = 12 + 22 = 5，正方形的面积是 5 . b 满足 b2 = 5。 b 不是有理数 探究点一：无理数的概念及认识 总结：上面的两个问题中，数 a，b 确实存在，但都不是有理数。 问题2：(1) 如图，三个正方形的边长之间有怎样的大小关系？ 1 a 2 面积为 2 活动2：面积为 2 的正方形边长 a 是多少？ 面积为 1 面积为 4 1＜a＜2 探究点一：无理数的概念及认识 (2) a 的整数部分是几？十分位是几？百分位呢？千分位呢？借助计算器进行计算： 1×1＜ a2＜2×2 ， a 的整数部分为 1 1.4×1.4 =1.96 ，a2 = 2 ，1.5×1.5 = 2.25。 所以 a 的十分位是 4 。 1.42＜ a2＜1.52， 同理可以得到百分位和千分位上的数。 分别计算 1 和 2 之间一位小数的平方： 1.12=1.21， 1.22=1.44， 1.32=1.69， 1.42=1.96， 1.52=2.25， 探究点一：无理数的概念及认识 边长 a 正方形面积 S 1 < a < 2 1.4 < a < 1.5 1.41 < a < 1.42 1.414 < a < 1.415 1.414 2 < a < 1.414 3 1 < S < 4 1.96 < S < 2.25 1.988 1 < S < 2.016 4 1.999 396 < S < 2.002 225 1.999 961 64 < S < 2.000 244 49 (3) 小明将他的探索过程整理如下： 还可以继续算下去吗？a 可能是有限小数吗? 探究点一：无理数的概念及认识 (4) a 可能是有限小数吗？它会是一个怎样的数呢？ a = 1.414 213 56···，它是一个无限不循环小数. (5) 面积为 5 的正方形的边长 b 的值是多少？ b 可能是有限小数吗？ b = 2.236 067 977···，它是一个无限不循环小数. 探究点一：无理数的概念及认识 总结：事实上，a =1.414 213 56···，b = 2.236 067 977···，它们都不是有理数，都是无限不循环小数。 活动3：把下列有理数写成小数的形式： 探究点一：无理数的概念及认识 思考2：像 π 这样的无限不循环小数属于有理数吗？ 不属于。因为有理数都可以化成有限小数或无限循环小数的形式。反过来，不能化成有限小数或无限循环小数的数不是有理数。 思考1：观察运算结果，请问你有什么发现? 任何一个有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式。 探究点一：无理数的概念及认识 思考3：如果无限不循环小数不属于有理数，通过阅读教材 P26-27 说说它属于哪一类数? 无理数 0.585 885 888 588 885… (相邻两个 5 之间 8 的个数逐次加 1) 想一想：你能找到其他的无理数吗？ 如 π = 3.14159265…， 总结：无限不循环小数称为无理数 例1 下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？ 3.14，- ，0.57，0.101 000 100 0001…（相邻两个 1 之间 0 的个数逐次加 2）。 . . 无理数有：0.101 000 100 000 1… 解：有理数有：3.14， ， 0.57； . . （相邻两个 1 之间 0 的个数逐次加 2）。 1. 下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？ , 3.97 , -234.101 010 10···（相邻两个1之间有1个0）, 0.123 456 789 101 112 13···（小数部分由相继的正整数组成）. 有理数 有理数 有理数 无理数 · 【教材P30 习题2.1 第1题】 随堂练习 2.判断正误： （1）所有无限小数都是无理数； （ ） （2）所有无理数都是无限小数； （ ） （3）有理数都是有限小数； （ ） （4）不是有限小数的不是有理数. （ ） × √ × × 无限循环小数是有理数 【教材P30 习题2.1 第2题】 随堂练习 【教材P30 习题2.1 第3题】 3. 举出三个有关无理数的实例. 随堂练习 【教材P30 习题2.1 第4题】 4. 同一个正方形的边长和对角线的长度可能都是整数吗？ 边长：a a a 同一个正方形的边长和对角线的长度不可能都是整数 对角线： a 随堂练习 【教材P30 习题2.1 第5题】 5. 如图，4×4 的方格纸中每个小方格的边长均为 1，连接任意两个格点便可得到一条线段。试分别找出两条长度是有理数的线段和两条长度不是有理数的线段. 解：如图所示，红色的线段长都能用有理数表示；蓝色的线段长都不能用有理数表示.（答案不唯一） 随堂练习 【教材P30 习题2.1 第6题】 6. 请你在方格纸上按照如下要求设计一个直角三角形： （1）使它的三边中有一边边长不是有理数； （2）使它的三边中有两边边长不是有理数； （3）使它的三边边长都不是有理数. 解：如图所示. 随堂练习 【教材P30 习题2.1 第7题】 7. 查阅资料，进一步了解数学史上无理数的发现历程。 随堂练习 知识点1 认识非有理数 1.已知在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝5，那么斜边AB的长是(　　) A.整数　　 B.分数 C.有理数　　 D.非有理数 返回 D 基础提优题 2.以下各正方形的边长不是有理数的是(　　) A.面积为25的正方形 B.面积为的正方形 C.面积为8的正方形 D.面积为1.44的正方形 返回 C 基础提优题 3. 已知一个等边三角形的边长为4，则这个三角形的高为　　 　　小数.(填“无限循环”或“无限不循环”) 返回 无限不循环 基础提优题 知识点2 非有理数的估算 4.某中学实践教育基地有一块正方形菜地，该菜地的面积是21 m2，现决定把此正方形菜地的边长增加1 m，则新的正方形菜地的边长范围是(　　) A.4 m与5 m之间　　 B.5 m与6 m之间 C.6 m与7 m之间　　 D.7 m与8 m之间 返回 B 基础提优题 5. 面积为17π的圆，它的半径的整数部分是　　　，十分位是　　　，百分位是　　　，千分位是　　　. 返回 4 1 2 3 基础提优题 认识无理数 无理数的概念及认识 有理数与无理数的区别 $