2.1.2实数及相关概念 课件 -2026-2027学年北师大版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦北师大版八年级上册“实数及相关概念”，系统梳理实数的定义分类、与数轴的对应关系及相反数、绝对值、倒数等核心性质。通过“有理数化小数”任务引导学生发现有限或无限循环特征，自然引出无理数概念，搭建从有理数到实数的知识支架。 其亮点在于采用探究式教学，如“活动1”让学生分类有理数与无理数培养抽象能力，“活动2”画圆滚动表示π直观呈现实数与数轴一一对应发展几何直观。通过类比有理数性质归纳实数规律，结合例题与提优题，助学生用数学语言表达关系，既深化数系理解，又为教师提供结构化复习方案。

北师大版数学八年级上册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年6月9日 2.1.2实数及相关概念 第二章 实数 2.1.2 实数及相关概念 精讲复习（北师大版八年级上册） 一、实数的完整定义与分类 有理数和无理数统称为实数，实数是初中阶段最大的数集，所有实数都可以在数轴上表示。 1. 按定义分类 实数分为两大类：有理数、无理数。有理数包含整数和分数，可化为有限小数或无限循环小数；无理数为无限不循环小数，无法化成分数形式。 2. 按正负性质分类 实数可分为正实数、0、负实数。0是特殊的有理数，既不是正数，也不是负数，是正负数的分界点。 二、实数与数轴（核心必考） 实数与数轴上的点一一对应，这是实数区别于有理数的核心性质。 1. 任意一个实数，都能在数轴上找到唯一对应的点； 2. 数轴上任意一个点，都对应唯一的实数； 3. 数轴上数的大小规律：右边的数总比左边的数大，即：正实数＞0＞负实数。 三、实数的三大核心相关概念 有理数的相反数、绝对值、倒数性质，全部适用于实数范围，无理数同样具备对应性质。 1. 相反数 定义：只有符号不同的两个实数互为相反数。实数$$a$$的相反数是$$-a$$。 核心性质：互为相反数的两个数和为0，即若$$a$$、$$b$$互为相反数，则$$a+b=0$$；0的相反数是0。 示例：$$\sqrt{3}$$的相反数是$$-\sqrt{3}$$，$$\pi$$的相反数是$$-\pi$$。 2. 绝对值 定义：数轴上表示实数$$a$$的点与原点的距离，叫做数$$a$$的绝对值，记作$$|a|$$。 绝对值法则：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。 公式：$$|a|=\begin{cases}a & (a>0) \\ 0 & (a=0) \\ -a & (a<0)\end{cases}$$ 核心性质：任意实数的绝对值都是非负数，即$$|a|\ge0$$。 示例：$$|\sqrt{5}|=\sqrt{5}$$，$$|-\sqrt{2}|=\sqrt{2}$$。 3. 倒数 定义：乘积为1的两个实数互为倒数。非零实数$$a$$的倒数是$$\dfrac{1}{a}$$。 核心注意：0没有倒数，任意无理数不为0，均存在倒数。 示例：$$\sqrt{2}$$的倒数是$$\dfrac{1}{\sqrt{2}}$$（可化简为$$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$$）。 四、实数的大小比较 1. 数轴比较法：数轴右侧的实数始终大于左侧的实数； 2. 符号比较法：正实数＞0＞负实数，两个负实数比较，绝对值大的数更小； 3. 平方比较法（适用于正无理数）：两个正数比较，平方越大，原数越大。 五、高频易错点 1. 无理数也有相反数、绝对值、倒数，并非只有有理数具备相关概念； 2. 绝对值一定是非负数，不存在负的绝对值； 3. 0无倒数，切勿混淆倒数和相反数的性质； 4. 只有实数与数轴点一一对应，有理数无法完全对应数轴所有点。 六、本节核心总结 1. 实数包含有理数和无理数，涵盖初中所有数系； 2. 实数与数轴一一对应，是实数最核心的特征； 3. 相反数、绝对值、倒数的性质对全体实数成立； 4. 实数大小比较可通用数轴法、符号法、平方比较法。 了解无理数的概念，会判断一个数是不是无理数. 了解实数的概念，类比有理数，能按要求对实数进行分类. 了解实数范围内相反数、倒数、绝对值的意义，会求实数的相反数和绝对值. 问题 不是有理数的数都是无限不循环小数吗? 把下列有理数表示成小数，你发现了什么共同特征? 3，，，-，. 它们都可以写成有限小数或者无限循环小数的形式. 3=3.0，=0.8， =0.5，- =0.17， =0.18. . . . . 探究点一：实数的概念及分类 活动1：请你把下面各数填入下面相应的集合内。 0.373 773 777 3··· (相邻两个 3 之间的 7 的个数逐次加 1)。 有理数集合 无理数集合 ．．． ．．． 0.373 773 777 3··· (相邻两个 3 之间的 7 的个数逐次加 1) 【知识要点】有理数和无理数统称实数，即实数可以分为有理数和无理数。 探究点一：实数的概念及分类 问题1：你能仿照有理数的分类给实数分类吗 ? 无理数： 无限不循环小数 有理数： 有限小数或无限循环小数 实 数 分数 整数 1. 按定义分类 探究点一：实数的概念及分类 无理数和有理数一样，也有正、负之分. 思考：(1) 请你把下面各数填入下面相应的集合内. 负数集合 正数集合 ··· ··· 3.14，- ，0.57，0.1010001000001…（相邻两个 1 之间 0 的个数逐次加 2）。 . . 3.14， 0.57 . . 0.1010001000001… - (相邻两个 1 之间 0 的个数逐次加 2) 探究点一：实数的概念及分类 负实数 正实数 数实 正有理数 负有理数 2. 按符号分类 0 正无理数 负无理数 (2) 实数还可以怎样分类 ? 【总结】实数分类的原则是：按照同一标准，不重不漏 探究点一：实数的概念及分类 π - 3.14 的绝对值是 π - 3.14. 探究点二：实数的性质 问题2：0.3 的相反数是什么? 的倒数是什么? π - 3.14 的绝对值是什么? · 根据以上问题，总结归纳出在实数 a 中，数 a 的相反数? 绝对值是什么? 当 a 不为 0 时，它的倒数是什么? 0.3 的相反数是 ， · －0.3 · 的倒数是－4， 2. a 是一个实数，它的相反数为 ， 【要点归纳】 1. 在实数范围内与有理数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义完全一样。 绝对值为 。 倒数是 (a≠0) ， -a | a | 探究点二：实数的性质 思考：在有理数范围内，能进行哪些运算？判断下列各式是否成立。 2×π× = 2××π 2×π + 3×π = (2 + 3)×π π×2 = 2×π 【总结】有理数的运算及运算律对实数仍然适用。 探究点二：实数的性质 探究点三：实数与数轴上的点的对应关系 思考：每个有理数都可以用数轴上的点来表示。无理数是否也可以用数轴上的点表示出来呢？ 从图中可以看出，OO′ 的长是这个圆的周长 π，所以 O′ 对应的数是 π. 0 -2 -1 1 3 2 4 ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● O′ O 画一个直径 1 个单位长度的圆，它的周长等于 π. 如图，从原点开始，将这个圆沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点 O 到达点 O′，点 O′ 对应的数是多少？ 活动2：画一画 探究点三：实数与数轴上的点的对应关系 (1) 如图，OA = OB，数轴上点 A 对应的数是 a，b 中的哪一个？ －2 －1 0 1 2 A B O 【思考·交流】上节课讨论的两个正方形，边长分别是 a，b，且满足 a² = 2，b² = 5。 A 点对应的为 a . 探究点三：实数与数轴上的点的对应关系 (2) 你能在数轴上找到另一个对应的点吗？ －2 －1 0 1 2 1 C D O C 点对应的即为 b . 探究点三：实数与数轴上的点的对应关系 1.每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示； 反过来，数轴上的每一点都表示一个实数. 实数和数轴上的点是一一对应的. 2. 在数轴上，右边的点表示的数比左边的点表示的数大. 【要点归纳】 探究点三：实数与数轴上的点的对应关系 例1 有一组实数：①-|-3|； ④ 3.14，⑤ 0；⑥ 21% ；⑦ 0.8，⑧ 3.131 331··· ( 每相邻两个1之间的 3 的个数依次增加 1 ) 。将它们分类，把相应的序号填在横线内： · ② ； 整数：_________ ； 负有理数：________ ；无理数：_________ ； 分数：___________ . ①③ ②⑧ ①⑤ ③④⑥⑦ 探究点三：实数与数轴上的点的对应关系 例2 数轴上 A，B 两点表示的数分别为 π 和 5.1，则 A，B 两点之间表示整数的点共有 (　 ) A．6 个 B．5 个 C．4 个 D．3 个 解析：∵ π ≈ 3.14，∴ π 和 5.1 之间的整数是 4，5. C ∴ A ，B 两点之间表示整数的点共有 2 个． 探究点三：实数与数轴上的点的对应关系 1. 下列五个数：，2.101 001 000 1…(相邻两个1之间0的个数依次加1)，－π，－0.5，3.14，其中无理数有 (　　) A.1个　　 B.2个　　 C.3个　　 D.4个 返回 B 知识点1 无理数的概念 基础提优题 2.如图是由16个边长为1的小正方形组成的，连接这些小正方形的若干个顶点，得到5条线段CA，CB，CD，CE，CF，其中长度是无理数的有(　　) A.1条　　 B.2条 C.3条　　 D.4条 返回 C 基础提优题 3. 若m是无理数，且1＜m＜2，则m的值可以 是　　 　　. 返回 (答案不唯一) 基础提优题 知识点2 实数及其分类 4.下列说法： ①实数包括有理数、无理数和0；②无限不循环小数叫作无理数；③正实数和负实数统称为实数；④实数既是有理数又是无理数. 其中正确的有(　　) A.1个　　 B.2个　　 C.3个　　 D.4个 返回 A 基础提优题 5.把下列各数的序号填在相应的集合里： ①7；②－2.6；③－；④｜－2｜；⑤0.6；⑥－；⑦3； ⑧0.303 003 000 3… (相邻两个3之间依次多一个0)；⑨3.14. 整数集合：{　　　…}； 负分数集合：{　　　　…}； 无理数集合：{　　　…}. 返回 ①④ ②⑥⑦ ③⑧ 基础提优题 知识点3 实数的性质 6. 下列比较大小正确的是(　　) A.｜－1.5｜＞1.　　 B.＞0.667 C.π＜3.142　　 D.π＝3.141 592 6 返回 C 基础提优题 7.3－π的绝对值是　　　　，的倒数是　　，π－3.14的相反数是　　　　. 返回 π－3 π 3.14－π 基础提优题 实数 有理数和无理数统称实数 在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样 实数与数轴上的点一一对应 课堂小结 $