精品解析：江苏省扬州市江都区第二中学2026年九年级中考二模数学试卷

2026年江都区第二中学数学学科九年级二模试卷 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 有四个数，其中最小的数是（ ） A. B. 0 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了实数的大小比较，根据负数小于0,0小于正数，进行作答即可． 【详解】解：依题意，， ∴最小的数是， 故答案为： 2. 目前我国机器人产业加速崛起．下列机器人图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴对称图形的定义（如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形）和中心对称图形的定义（把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形）．据此逐一判断即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，是中心对称图形，该选项符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，该选项不符合题意； C、不是轴对称图形，不是中心对称图形，该选项不符合题意； D、不是轴对称图形，不是中心对称图形，该选项不符合题意． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查合并同类项、同底数幂的乘法、完全平方公式、积的乘方等运算法则，根据相应法则，逐一进行计算判断即可． 【详解】A． 中的和不是同类项，无法合并，故错误． B．，正确． C． 应展开为 ，选项漏掉，故错误． D．，选项中结果为，计算错误． 故选：B． 4. 如图，将三角形沿着射线方向平移得到三角形，点，，的对应点分别为点，，，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平移的性质，根据平移的性质，得到，再根据线段的和差关系进行计算即可． 【详解】解：∵将三角形沿着射线方向平移得到三角形， ∴， ∵， ∴； 故选B． 5. 如图，四边形内接于，，连接，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查圆内接四边形的性质、圆周角定理，根据圆内接四边形的性质得到，根据得到，即可得到的度数．关键是根据圆内接四边形的性质得到解答． 【详解】解：由圆内接四边形的性质可知：， ， ， ∵， ． 故选：C． 6. 阅读可以丰富知识，拓展视野．在世界读书日（4月23日）当天，某校为了解学生的课外阅读，随机调查了40名学生课外阅读册数的情况，现将调查结果绘制成如图．关于学生的读书册数，下列描述正确的是（） A. 极差是6 B. 中位数是5 C. 众数是6 D. 平均数是5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了极差、中位数、众数以及平均数，解题的关键是熟记相关概念并灵活运用．分别计算极差、中位数、众数以及平均数进行判断即可． 【详解】解：A．极差，故选项不符合题意； B．中位数是第20和第21个数的平均数为5，故选项符合题意； C．5出现的次数最多，故众数是5，故选项不符合题意； D．平均数为，故选项不符合题意， 故选：B． 7. 如图，一次函数与二次函数的图象相交于两点，则函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的相关知识，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的关键；由一次函数与二次函数图像相交于、两点可知，方程有两个解，等价于函数与x轴有两个交点. 【详解】解：∵， ∴函数开口向上， .∵一次函数与二次函数图象相交于P、Q两点， ∴方程有两个不相等的根， ∴函数与x轴有两个交点， 故C不符合条件； ∵ ∴， ∴函数的对称轴， 故B、D不符合条件，A符合条件， 故选A. 8. 如图，在菱形中，，，连接，是的中点，是延长线上的一点，连接，作，交的延长线于点，记，，当的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质；过O作交于G，证明是等边三角形，，得出，证明是等边三角形，得出，，证明得出，即可得出结论． 【详解】解：过O作交于G，如图所示： ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴是等边三角形，， ∴， ∵， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴ 故选：B． 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 9. 2025年，我市消费品以旧换新居家适老化改造申请693户，完成改造693户，完成系统审价补贴金额达9716000元，数字9716000用科学记数法表示为_____． 【答案】 【解析】 【分析】科学记数法将一个数表示为的形式，其中，为整数，当原数绝对值大于等于时，为正整数，的绝对值等于原数变为时小数点移动的位数，确定和的值即可求解． 【详解】解：将变形为符合要求的，可得，小数点向左移动了位，因此， 即． 10. 比较大小：__________4（填“>”，“<”或“=”） 【答案】 【解析】 【分析】将两个数都平方，然后比较大小即可． 【详解】解：∵，， ∵， ∴． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了实数的大小比较，比较两个实数的大小，可以采用平方法、取近似值法等． 11. 射箭运动项目中，新手成绩通常不太稳定．甲和乙同时进行12次射箭练习后，成绩的统计数据如下表，请根据表中信息估计新手是__________．（填写“甲”或“乙”） 甲 乙 平均成绩（单位：环） 6.58 7.67 方差 6.91 0.72 【答案】甲 【解析】 【分析】本题考查了方差的意义，方差越大，成绩越不稳定．根据图形可知，甲的射击不稳定，可判断新手是甲． 【详解】解：根据表中信息可以看出，甲平均成绩较差，且方差更大， 方差越大，成绩越不稳定， 新手是甲． 故答案为：甲． 12. 因式分解：_____． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再利用平方差公式分解因式，即可得出答案． 【详解】解： ． 13. 如图，在三星堆文物挖掘工作中，考古人员发现一件珍贵的圆形陶器，可惜其部分破损，经测量得知，该圆形陶器完整时的直径为，而破损处的缺口两端点，之间的距离为，则的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】令圆心为O，连接，，，证明是等边三角形，推出，最后根据弧长公式求解． 【详解】解：如图，令圆心为O，连接，，， 直径为，， ， 是等边三角形， ， 的长为． 14. 如图，反比例函数经过矩形的边中点D，则矩形的面积为_________． 【答案】5 【解析】 【分析】设点的坐标为，根据矩形的性质得到和的长度，利用线段中点的性质求出的长，最后根据矩形面积公式求解． 【详解】解：设点的坐标为，其中， 四边形为矩形，  ， ，， 点是边的中点，  ， 矩形的面积为． 15. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是________． 【答案】且 【解析】 【分析】根据一元二次方程二次项系数不为0，当一元二次方程有两个不相等的实数根时根的判别式大于0求解即可． 【详解】解：∵原方程是关于的一元二次方程， ∴二次项系数不为， 即， 解得． 又∵原方程有两个不相等的实数根， ∴根的判别式， 即， 解得， 综上，的取值范围是且． 16. 如图，在中，，，点E在的延长线上，且，过点E作直线分别交边，于点M，N．若直线将的面积平分，则线段的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】连接，由题意得O为的中点；由平行四边形的性质易证，则得；再证明得到，进而列出关于长的方程即可求解． 【详解】解：如图，连接交于点O， ∵直线将的面积平分， ∴是的中点， ∴； ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， 即， ∴， 解得． 17. 如图，在中，按如下步骤作图：在和上分别截取，，使，分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线交于点，分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，作直线交于点，交于点．根据以上作图，若，，，则线段的长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了作图−复杂作图、角平分线的性质和垂直平分线的性质、相似三角形的判定和性质，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．根据作法得平分，垂直平分，所以，，从而证明，可得，然后利用相似三角形性质可得，解比例方程即可求解． 【详解】解：如图，连接， 由作法得平分，垂直平分， ，， ， ， ， ， ，即， ， ， ， ． 故答案为：． 18. 如图，已知矩形，分别是边上的动点，且，点关于的对称点为，则点到边距离的最小值为___________． 【答案】## 【解析】 【分析】连接交于点，连接、，证明得，可知始终经过定点，又由对称得，即可得点在以点为圆心，为半径的圆上，过点作于，延长交于N，则当在上时，点到边距离的最小，利用矩形、相似三角形的性质、勾股定理等求出、的长即可求解． 【详解】解：连接交于点，连接、，如图， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∴始终经过定点， ∵点关于的对称点为， ∴， ∴点在以点为圆心，为半径的圆上， 如图，过点作于，延长交于N，则当在上时，点到边距离的最小， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴同理可求，，， ∵，， ∴， ∴， ∴点到边距离的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，轴对称的性质，点和圆的位置关系，相似三角形的判定和性质，勾股定理等，正确作出辅助线是解题的关键． 三、解答题（本大题共10小题，共96分） 19. 计算： （1） （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）分别根据绝对值、立方根、零指数幂、特殊角的正弦值、负整数指数幂的运算法则逐项化简，再进行有理数加减计算； （2）先对分式中多项式因式分解，把分式除法转化为乘法运算，再约分化简得出结果． 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 解：原式． 20. 解不等式组，并求出所有整数解的和． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了一元一次不等式组的整数解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键． 分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分求出不等式组的解集，进而求出整数解即可． 【详解】解：， 由①得：， 由②得：， 不等式组的解集为， 不等式组的整数解为，， ，，0，1， 其和为： 故答案为： 21. 设中学生体质健康综合评定成绩为分，满分为100分，规定：为级，为级，为级，为级．现随机抽取江都区第二中学部分学生的综合评定成绩，请根据图中的信息，解答下列问题： （1）在这次调查中，一共抽取了_____名学生，_____； （2）扇形统计图中级对应的圆心角为_____； （3）若该校共有4000名学生，请你估计该校级学生有多少名？ 【答案】（1）50， （2）72 （3）320名 【解析】 【分析】（1）由条形统计图与扇形统计图的数据关联求解即可； （2）先求出级人数，再由级人数占比即可求出扇形统计图中级对应的圆心角； （3）由级学生人数占比估计该校4000名学生中级学生人数即可． 【小问1详解】 解：这次调查中一共抽取学生数为（名）； 由条形统计图中级人数可得其所占百分比为，则； 【小问2详解】 解：由（1）知这次调查中一共抽取名学生， 则级人数为（名）， 扇形统计图中级对应的圆心角为； 【小问3详解】 解：（名）， 答：估计该校级学生有名． 22. 小军的爸爸参加了今年市里马拉松比赛的赛道志愿者服务工作．根据赛道志愿者服务的要求，赛道志愿者被随机分到A组（补给站）、B组（指引与秩序）、C组（起点/终点）． （1）小军的爸爸被分到C组的概率是_________； （2）李老师也参加了这次马拉松比赛的赛道志愿服务工作，他和小军爸爸被分到同一组的概率是多少？（请用画树状图或列表的方法写出分析过程） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）总共有3种等可能的分组结果，符合分到C组的结果有1种，直接用概率公式计算； （2）通过列表法列出所有等可能的结果，统计出两人同组的结果数，再代入概率公式计算即可． 【小问1详解】 解：一共有A，B，C三种等可能的分组结果，小军爸爸被分到C组的结果只有1种， 因此小军爸爸被分到C组的概率为． 【小问2详解】 列表列出所有可能的结果如下∶ 小军爸爸\李老师 所有等可能的结果共有9种，其中两人被分到同一组的结果有3种， 因此两人被分到同一组的概率为． 23. 为落实乡村快递配送，某物流园分别投入型无人配送车与型无人配送车承担快递转运任务．已知型无人车运送件快递所用的时间与型无人车运送件快递所用的时间相等，且型无人车每小时比型无人车多运送件．求型无人配送车每小时可运送多少件快递． 【答案】型无人配送车每小时可运送件快递 【解析】 【分析】本题可通过设未知数，根据“型无人车运送件快递所用的时间与型无人车运送件快递所用的时间相等”这一等量关系，列出分式方程求解，最后检验方程的根是否符合题意． 【详解】解：设型无人配送车每小时可运送件快递， 根据题意，得， 解得， 经检验，是所列方程的根． 答：型无人配送车每小时可运送件快递． 24. 如图，在菱形中，为边延长线上一点，连接分别交和于和两点． （1）求证：； （2）已知，，求的长． 【答案】（1）证明：四边形是菱形， ∴，， 在和中， ∴， ∴， ∴． （2） 【解析】 【分析】（1）根据菱形的性质，可得，，根据全等三角形的判定和性质，可得，即可得到； （2）根据菱形的性质，可得，推出，等量代换，根据相似三角形的判定和性质，则，则，即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 25. 如图，是的直径，是上一点，的平分线交于点，过点作的切线交的延长线于点． （1）求证：； （2）若，，求线段的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，由直径的性质得，再由圆周角定理可求得，由切线的性质得从而得结论成立． （2）过点作，垂足为，可证明四边形是正方形，由，，求出．，再由可得结果． 【小问1详解】 证明：如图，连接． 是的直径， ． 平分， ． ． 是的切线， ． ． ． 【小问2详解】 解：如图，过点作，垂足为． ， ． ， 四边形是正方形． ． 在中，， ． ． ， ． ， ． ，解得． ． 【点睛】本题考查了切线的性质，正方形的判定和性质，圆周角定理及推论，锐角三角函数之间的转化，关键是连接过切点的半径，得垂直于半径的直线，过点作垂线构造直角三角形． 26. 纸是一种常见的办公用纸，它是长（）为，宽（）为的矩形，如图，将一张纸沿翻折（F点在线段上），点D恰好落在边上的点E处，点M是折痕上的一点． （1） ； （2）点N在线段上．将沿翻折，点A恰好落在线段上的点P处，用直尺和圆规作出点N、P的位置（不写作法，保留作图痕迹）； （3）若，求的长度（结果精确到，参考数据：）． 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据折叠的性质可得，，再证得四边形是正方形，可得，即可求解； （2）以点M为圆心、长为半径画弧，交于点P，分别以点A、P为圆心、大于长为半径画弧，两弧交于点G，作直线，交于点N，则点N、P即为所求； （3）设，则，根据，结合锐角三家函数可得，即可求解． 【小问1详解】 解：在矩形中，，， 根据题意得：，， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∴（厘米）， 故答案为：； 【小问2详解】 解：如下图：点N，P即为所求； 理由： 由作法知： ∴点M、G都在线段的垂直平分线上， ∴垂直平分， ∴， ∴将沿折，与重合，点A恰好落在线段上的点P处； 【小问3详解】 解：由轴对称得：， 设，则， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴， 所以的长度为． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形，正方形的判定和性质，图形的折叠，矩形的性质，熟练掌握正方形的判定和性质，图形的折叠的性质，矩形的性质是解题的关键． 27. 已知二次函数，我们定义其“开口大小”如下：若存在一点在该抛物线上，满足，其中为抛物线的顶点，则称为该抛物线的开口大小，称点P为抛物线的“标志点”．如：二次函数的顶点坐标为，在函数图像上取点，则有，所以二次函数的开口大小为，“标志点”为，根据上述材料，解决下列问题： （1）抛物线的开口大小是______； （2）对于抛物线，是否存在满足定义条件的“标志点”？若存在，求出点的坐标，若不存在，请简要说明理由； （3）已知某抛物线的“标志点”为，且开口大小为4，求该抛物线的解析式． 【答案】（1）2 （2）存在，标志点 （3）抛物线的解析式为或 【解析】 【分析】题目主要考查二次函数的性质，新定义的理解，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． （1）根据题意确定顶点坐标，再由标志点的定义得出，即可求解开口大小； （2）设标志点，则，根据题意得出抛物线的顶点坐标为：，根据定义得出方程求解判断即可； （3）设抛物线的解析式为，顶点坐标为，根据题意得出，分两种情况分析：当时，当时，结合定义分别求解即可． 【小问1详解】 解：解：∵， ∴顶点坐标为， ∵在该抛物线上，满足， ∴， 解得：或（舍去）， 当时，， ∴开口大小为：， 故答案为：2； 【小问2详解】 设标志点，则， ∵， ∴抛物线的顶点坐标为：， ∵标志点在该抛物线上，满足， ∴， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去）或， 当时，， ∴标志点； 【小问3详解】 设抛物线的解析式为，顶点坐标为， ∵开口大小为4，“标志点”为， ∴， ∴， 当时，， ∴， 此时， 解得：， ∴抛物线的解析式为， 将点代入得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为； 当时，， ∴， 此时， 解得：， ∴抛物线的解析式为， 将点代入得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为； 综上可得：抛物线的解析式为或． 28. 已知正方形，点F是边上的动点（不与点C，D重合），点E在上． 【基础回顾】 （1）如图1，连接并延长，交边于点G，若，求证：； 【初步探究】 （2）如图2．当时，连接，若，求； 【变式探究】 如图3，在矩形中，点F是边上的动点（不与端点重合），点E在上，且，连接并延长交于点P， （3）若，，当点F为边的中点时，求的值； （4）设，用α的三角函数表示 ； 【答案】（1）见解析 （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质，利用证明即可证得结论； （2）过点A作，垂足为H ，同（1）可证，结合等腰三角形三线合一的性质，推出，然后根据正切的定义即可解答； （3）过点A作，垂足为H，延长交于点Q，易证，得到，结合矩形的性质和勾股定理，求得、，从而求得，得到，接着证，得到，进而求得，最后证明，即可得，求得答案； （4）同（3）可得，，，设，利用解直角三角形表示出，，，进而表示出，即可解答． 【小问1详解】 证明：∵四边形是正方形 ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴ ∵在和中， ， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：过点A作，垂足为H ， ∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴在中， ； 【小问3详解】 解：过点A作，垂足为H，延长交于点Q，则， ∵，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，当点F为边的中点， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， ∵ ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问4详解】 解：如（3）题图， 同理可得，，， 设， 则，，， ∴， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年江都区第二中学数学学科九年级二模试卷 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 有四个数，其中最小的数是（ ） A. B. 0 C. D. 2. 目前我国机器人产业加速崛起．下列机器人图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，将三角形沿着射线方向平移得到三角形，点，，的对应点分别为点，，，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，四边形内接于，，连接，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 阅读可以丰富知识，拓展视野．在世界读书日（4月23日）当天，某校为了解学生的课外阅读，随机调查了40名学生课外阅读册数的情况，现将调查结果绘制成如图．关于学生的读书册数，下列描述正确的是（） A. 极差是6 B. 中位数是5 C. 众数是6 D. 平均数是5 7. 如图，一次函数与二次函数的图象相交于两点，则函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在菱形中，，，连接，是的中点，是延长线上的一点，连接，作，交的延长线于点，记，，当的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 9. 2025年，我市消费品以旧换新居家适老化改造申请693户，完成改造693户，完成系统审价补贴金额达9716000元，数字9716000用科学记数法表示为_____． 10. 比较大小：__________4（填“>”，“<”或“=”） 11. 射箭运动项目中，新手成绩通常不太稳定．甲和乙同时进行12次射箭练习后，成绩的统计数据如下表，请根据表中信息估计新手是__________．（填写“甲”或“乙”） 甲 乙 平均成绩（单位：环） 6.58 7.67 方差 6.91 0.72 12. 因式分解：_____． 13. 如图，在三星堆文物挖掘工作中，考古人员发现一件珍贵的圆形陶器，可惜其部分破损，经测量得知，该圆形陶器完整时的直径为，而破损处的缺口两端点，之间的距离为，则的长为_____． 14. 如图，反比例函数经过矩形的边中点D，则矩形的面积为_________． 15. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是________． 16. 如图，在中，，，点E在的延长线上，且，过点E作直线分别交边，于点M，N．若直线将的面积平分，则线段的长为_____． 17. 如图，在中，按如下步骤作图：在和上分别截取，，使，分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线交于点，分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，作直线交于点，交于点．根据以上作图，若，，，则线段的长为___________． 18. 如图，已知矩形，分别是边上的动点，且，点关于的对称点为，则点到边距离的最小值为___________． 三、解答题（本大题共10小题，共96分） 19. 计算： （1） （2）． 20. 解不等式组，并求出所有整数解的和． 21. 设中学生体质健康综合评定成绩为分，满分为100分，规定：为级，为级，为级，为级．现随机抽取江都区第二中学部分学生的综合评定成绩，请根据图中的信息，解答下列问题： （1）在这次调查中，一共抽取了_____名学生，_____； （2）扇形统计图中级对应的圆心角为_____； （3）若该校共有4000名学生，请你估计该校级学生有多少名？ 22. 小军的爸爸参加了今年市里马拉松比赛的赛道志愿者服务工作．根据赛道志愿者服务的要求，赛道志愿者被随机分到A组（补给站）、B组（指引与秩序）、C组（起点/终点）． （1）小军的爸爸被分到C组的概率是_________； （2）李老师也参加了这次马拉松比赛的赛道志愿服务工作，他和小军爸爸被分到同一组的概率是多少？（请用画树状图或列表的方法写出分析过程） 23. 为落实乡村快递配送，某物流园分别投入型无人配送车与型无人配送车承担快递转运任务．已知型无人车运送件快递所用的时间与型无人车运送件快递所用的时间相等，且型无人车每小时比型无人车多运送件．求型无人配送车每小时可运送多少件快递． 24. 如图，在菱形中，为边延长线上一点，连接分别交和于和两点． （1）求证：； （2）已知，，求的长． 25. 如图，是的直径，是上一点，的平分线交于点，过点作的切线交的延长线于点． （1）求证：； （2）若，，求线段的长． 26. 纸是一种常见的办公用纸，它是长（）为，宽（）为的矩形，如图，将一张纸沿翻折（F点在线段上），点D恰好落在边上的点E处，点M是折痕上的一点． （1） ； （2）点N在线段上．将沿翻折，点A恰好落在线段上的点P处，用直尺和圆规作出点N、P的位置（不写作法，保留作图痕迹）； （3）若，求的长度（结果精确到，参考数据：）． 27. 已知二次函数，我们定义其“开口大小”如下：若存在一点在该抛物线上，满足，其中为抛物线的顶点，则称为该抛物线的开口大小，称点P为抛物线的“标志点”．如：二次函数的顶点坐标为，在函数图像上取点，则有，所以二次函数的开口大小为，“标志点”为，根据上述材料，解决下列问题： （1）抛物线的开口大小是______； （2）对于抛物线，是否存在满足定义条件的“标志点”？若存在，求出点的坐标，若不存在，请简要说明理由； （3）已知某抛物线的“标志点”为，且开口大小为4，求该抛物线的解析式． 28. 已知正方形，点F是边上的动点（不与点C，D重合），点E在上． 【基础回顾】 （1）如图1，连接并延长，交边于点G，若，求证：； 【初步探究】 （2）如图2．当时，连接，若，求； 【变式探究】 如图3，在矩形中，点F是边上的动点（不与端点重合），点E在上，且，连接并延长交于点P， （3）若，，当点F为边的中点时，求的值； （4）设，用α的三角函数表示 ； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $