精品解析：2026年山东省日照市东港区金海岸中学九年级第三次学情自测 数学试卷

2025－2026学年度九年级单元练习数学学科 （卷面分值：100分 考试时间：120分钟） 一、选择题（共10题，每题3分，共30分） 1. 点M，N，P，Q在数轴上的位置如图所示，其中所表示的数的绝对值最大的点是（） A. M B. N C. P D. Q 2. 在下列图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 榫卯（sǔnmǎo）是古代中国建筑、家具及其它器械的主要结构方式，是我国工艺文化精神的传承，凸出部分叫榫，凹进部分叫卯．如图是某个部件“榫”的实物图，它的左视图是（ ） A. B. C. D. 4. 2026年，中国“嫦娥七号”探测器将发射，前往月球南极开展水冰资源勘察．已知月球与地球的平均距离约为384400000米，384400000用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 射击运动队进行射击测试，甲、乙两名选手的测试成绩如下图，其成绩的方差分别记为和，则和的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 7. 如图，在大长方形中不重叠地放入七个长、宽都相同的小长方形，根据图中给出的数据，可得出阴影部分面积为（ ） A. 48 B. 52 C. 58 D. 6 8. 如图，在矩形中，，将向内翻折，点A落在上，记为，折痕为．若将沿向内翻折，点B恰好落在上，记为，则长为（ ） A. B. 4 C. 2 D. 8 9. 如图，在三角形中，点在轴上，且，，，反比例函数的图象经过点．若点的横坐标为2，则（ ） A. 6 B. 8 C. 4 D. 2 10. 如图，在正方形的对角线上取一点E，使得，连接并延长到F，使，与相交于点H，若，有下列结论：①；②；③；④，则其中正确的结论有（ ） A. ①②③ B. ①③④ C. ②③④ D. ①②④ 二、填空题（共5题，每题3分，共15分） 11. 要使式子有意义，则的取值范围是_____________． 12. 如图①是山东舰航徽的构图，采用航母45度破浪而出的角度，展现山东舰作为中国首艘国产舰母横空出世的气势，将舰徽中第一条波浪抽象成几何图形，则是一条长为的弧，若该弧所在的扇形是高为12的圆锥侧面展开图（如图②），则该圆锥的母线长为____________． 13. 若关于x的方程有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是________． 14. 如图，在中，小聪按照以下步骤进行作图： ①在和上分别截取和，使，分别以M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点O，作射线交于点D； ②分别以点C和点D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点P和点Q，作直线分别交，于点E和点F． 根据以上作图，若，，，，则的长为__________． 15. 如图，以为圆心，半径为6的圆与x轴交于A，B两点，与y轴交于C，D两点，点E为上一动点，于F，点E在G的运动过程中，线段的长度的最小值为__________________． 三、解答题（共8题，共75分） 16. 计算与化简求值： （1）计算：； （2）先化简，再求值：，再从，0，1，2中选一个合适的数代入求值． 17. 马面裙作为汉服的重要组成部分，承载着我国深厚的历史文化底蕴．在某网店中，销量最高的两款马面裙备受消费者青睐，两款马面裙的售价分别为150元/件和200元/件，两款马面裙3月份的总销量为600件，销售总额为110000元． （1）求3月份两款马面裙的销量分别为多少件？ （2）为满足店铺的日常运营需求，该网店决定从服装厂预定两款马面裙共2400件，且款马面裙数量不超过款马面裙数量的，已知款马面裙进价为100元/件，款马面裙进价160元/件，请你设计一种方案，使得这批马面裙全部售出后获利最大，并求出最大利润． 18. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，与x轴交于点，与y轴交于点． （1）求一次函数的表达式； （2）利用图象，直接写出不等式的解集； （3）在第三象限的反比例函数的图象上是否存在一点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 19. 在2026年世界互联网大会亚太峰会的影响下，某校组织八、九年级开展“数智赋能创新发展”主题宣传活动．老师从八、九两个年级中各抽取20名学生的“网络安全与数字素养”测试成绩进行整理，成绩分为A、B、C、D四个等级，其中90分及以上为优秀，并获称“数智赋能先锋个人”． 【数据整理】抽取学生的成绩分为如下四个等级： 等级 A B C D 成绩 八年级B、C等级同学的成绩分别为：86，88，89，89，92，92，93，94，94； 九年级C等级同学的成绩分别为：89，89，88，88，88，87，86． 【数据分析】八、九年级抽取学生的测试成绩统计表如表： 年级 平均数 中位数 众数 优秀率 八年级 88 a 95 40% 九年级 88 88 88 35% 【回答问题】 （1）扇形图中______，表格中______，并补全条形统计图． （2）若该校八年级学生有640人，九年级学生有520人，请估算该校八九年级获评“数智赋能先锋个人”的学生共有多少人？ （3）某小组四位同学的测试成绩等级分别是A、B、C、D，准备从中抽取两人参加宣讲活动，求两人恰好抽到“C”和“D”等级同学的概率． 20. 小刚同学在学习了解直角三角形及其应用的知识后，尝试利用所学知识测量河对岸大树的高度，已知大树与地面垂直，他在点处测得大树顶端的仰角为，再从点出发沿斜坡走米到达斜坡上点，在点处测得树顶端的仰角为，若斜坡的坡度（即）为（点E，C，B在同一水平线上）． （1）求小刚同学从点到点的过程中上升的高度； （2）求大树的高度．（参考数据：，，） 21. 如图，中，，以为直径的与，分别交于点和点，过点作，垂足为，连接． （1）求证：是的切线； （2）若，，求半径． 22. 已知抛物线（，为常数）过点． （1）若该抛物线与轴交于点． ①求该抛物线的解析式； ②已知，在该抛物线上，若对于，都有，求的取值范围； （2）若对于任意实数，都有，此时抛物线与直线交于，两点，求的长． 23. 折叠问题是我们常见的数学问题，它是利用图形变化的轴对称性质解决的相关问题．数学活动课上，同学们以“正方形的折叠”为主题开展了数学活动． 在正方形中，点在射线上，将正方形纸片沿所在直线折叠，使点A落在点处，连接，直线交所在直线于点，连接． 【观察猜想】 （1）如图1，当时，_____． 【类比探究】 （2）如图2，正方形的边长为4，，连接，取的中点，连接，求的度数及线段的长度． 【拓展应用】 （3）在（2）的条件下，当被线段分成一个等边三角形和一个等腰三角形时，请直接写出线段的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年度九年级单元练习数学学科 （卷面分值：100分 考试时间：120分钟） 一、选择题（共10题，每题3分，共30分） 1. 点M，N，P，Q在数轴上的位置如图所示，其中所表示的数的绝对值最大的点是（） A. M B. N C. P D. Q 【答案】A 【解析】 【分析】根据绝对值的几何意义，离原点越远的点表示的数的绝对值越大，由各点到原点的距离进行判断即可． 【详解】解：观察数轴可知：点M到原点的距离最远， ∴所表示的数的绝对值最大的点是点M． 2. 在下列图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A．不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意； B．不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意； C．是中心对称图形，是轴对称图形，符合题意； D．不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意． 3. 榫卯（sǔnmǎo）是古代中国建筑、家具及其它器械的主要结构方式，是我国工艺文化精神的传承，凸出部分叫榫，凹进部分叫卯．如图是某个部件“榫”的实物图，它的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：由图可知：该几何体的左视图为． 4. 2026年，中国“嫦娥七号”探测器将发射，前往月球南极开展水冰资源勘察．已知月球与地球的平均距离约为384400000米，384400000用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：． 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据单项式乘法、单项式乘多项式、同底数幂除法、积的乘方的运算法则逐一验证选项即可. 【详解】解：.，原计算正确，符合题意； .， 原计算错误，不符合题意； .，原计算错误，不符合题意； .，原计算错误，不符合题意. 6. 射击运动队进行射击测试，甲、乙两名选手的测试成绩如下图，其成绩的方差分别记为和，则和的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查比较方差的大小，根据折线图提供的数据，先计算出甲，乙测试成绩的平均数，再计算出甲，乙测试成绩的方差，最后比较大小，即可得出结果． 【详解】解：甲选手成绩的平均数为（环）， 乙选手成绩的平均数为（环）， 甲选手成绩的方差为； 乙选手成绩的方差为； ∴； 故选：A． 7. 如图，在大长方形中不重叠地放入七个长、宽都相同的小长方形，根据图中给出的数据，可得出阴影部分面积为（ ） A. 48 B. 52 C. 58 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】设小长方形的长为a，宽为b，观察图形，根据各边之间的关系，可得出关于a，b的二元一次方程组，解之可求出a，b的值，再利用阴影部分的面积等于大长方形的面积减去7个小长方形的面积求解即可． 【详解】解：设小长方形的长为a，宽为b， 根据题意得：， 解得：， ∴阴影部分面积为． 8. 如图，在矩形中，，将向内翻折，点A落在上，记为，折痕为．若将沿向内翻折，点B恰好落在上，记为，则长为（ ） A. B. 4 C. 2 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】由折叠可得到，得出，在中依据勾股定理进行计算，即可求出长，即得的长． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， 将向内翻折，点A落在上，记为，折痕为， ∴，， 将沿向内翻折，点B恰好落在上，记为， ，， ，， ， 在和中， ∴， ∴， 在中，，，， 由勾股定理得 ， 即在矩形中，． 9. 如图，在三角形中，点在轴上，且，，，反比例函数的图象经过点．若点的横坐标为2，则（ ） A. 6 B. 8 C. 4 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形全等，即可求出C点坐标，把C点坐标代入反比例函数中，即可求出k的值． 【详解】解：过点A和C点作x轴的垂线，分别垂于D、E，如图所示： ，， ，点A的横坐标为2， 反比例函数的图象经过点， ， ． ， ． ， ． ， ． 在和中 ． ，． ． 点坐标为． ，解得． 10. 如图，在正方形的对角线上取一点E，使得，连接并延长到F，使，与相交于点H，若，有下列结论：①；②；③；④，则其中正确的结论有（ ） A. ①②③ B. ①③④ C. ②③④ D. ①②④ 【答案】D 【解析】 【分析】①由正方形的性质可以得出，，通过证明，就可以得出． ②在上取一点G，使，连接，再通过条件证明就可以得出． ③过作交于，根据勾股定理求出，根据三角形的面积公式即可求出高，求解，，进一步可得． ④解直角三角形求得，根据等边三角形性质得到，然后通过证得，求得． 【详解】证明：①四边形是正方形， ，，． 在和中， ， ， ，故①正确； ②在上取一点G，使，连接， ， ． ， ， ， ． ， ， ． ， 是等边三角形． ，， ， ． ，， ． 在和中， ， ， ． ， ，故②正确； ③过D作交于M， 在中，， 由面积公式得：， ， ， ， 中，中， 在中，， ，． ． ∴，故③错误； ④在中，， 是等边三角形， ， ，， ∴． ，故④正确； 综上，正确的结论有①②④． 二、填空题（共5题，每题3分，共15分） 11. 要使式子有意义，则的取值范围是_____________． 【答案】且 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，列出关于的不等式组，解不等式组即可得到结果． 【详解】解：由题意得，要使式子有意义，需满足， 解不等式得， 解不等式得， 因此的取值范围是且． 12. 如图①是山东舰航徽的构图，采用航母45度破浪而出的角度，展现山东舰作为中国首艘国产舰母横空出世的气势，将舰徽中第一条波浪抽象成几何图形，则是一条长为的弧，若该弧所在的扇形是高为12的圆锥侧面展开图（如图②），则该圆锥的母线长为____________． 【答案】13. 【解析】 【分析】由扇形弧长求出底面半径，由勾股定理即可求出母线AB的长． 【详解】解：∵圆锥底面周长=侧面展开后扇形的弧长= ∴OB=， 在Rt△AOB中，AB=， 所以，该圆锥的母线长为13. 故答案为：13． 【点睛】本题考查圆锥弧长公式的应用，解题的关键是牢记有关的公式． 13. 若关于x的方程有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是________． 【答案】且 【解析】 【分析】根据方程有两个不相等的实数根得到且，代入计算解答即可． 【详解】解：∵关于x的方程有两个不相等的实数根， ∴ ∴且． 14. 如图，在中，小聪按照以下步骤进行作图： ①在和上分别截取和，使，分别以M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点O，作射线交于点D； ②分别以点C和点D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点P和点Q，作直线分别交，于点E和点F． 根据以上作图，若，，，，则的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，由三角形内角和定理求出，根据作法得平分，垂直平分，得，，从而证明，，由三角形外角的性质求出，进而求出，设，则，利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：连接， ∵，， ∴， 由作法得平分，垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， 则即， 解得． 15. 如图，以为圆心，半径为6的圆与x轴交于A，B两点，与y轴交于C，D两点，点E为上一动点，于F，点E在G的运动过程中，线段的长度的最小值为__________________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查垂径定理，圆周角定理，直角三角形度角的判定和性质，熟练掌握性质定理，构造直角三角形是解题的关键．过点作于点，连接．得到点在的延长线上时，的长度的最小，最小值，即可得到答案． 【详解】解：过点作于点，连接， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 点在以为直径的上， ， 点在的延长线上时，的长度的最小，最小值， 故答案为：． 三、解答题（共8题，共75分） 16. 计算与化简求值： （1）计算：； （2）先化简，再求值：，再从，0，1，2中选一个合适的数代入求值． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）先计算乘方、零指数幂、负整数指数幂、二次根式的乘法、立方根，再计算加减即可得出结果； （2）括号内先通分，再将除法转化为乘法，约分即可化简，最后代入符合题意的值计算即可得出结果． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ， 由题意可得，，， ∴，，， ∴当时， 原式． 17. 马面裙作为汉服的重要组成部分，承载着我国深厚的历史文化底蕴．在某网店中，销量最高的两款马面裙备受消费者青睐，两款马面裙的售价分别为150元/件和200元/件，两款马面裙3月份的总销量为600件，销售总额为110000元． （1）求3月份两款马面裙的销量分别为多少件？ （2）为满足店铺的日常运营需求，该网店决定从服装厂预定两款马面裙共2400件，且款马面裙数量不超过款马面裙数量的，已知款马面裙进价为100元/件，款马面裙进价160元/件，请你设计一种方案，使得这批马面裙全部售出后获利最大，并求出最大利润． 【答案】（1）3月份两款马面裙的销量分别为件和件 （2）网店购进款马面裙件，款马面裙件，最大利润为元． 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程的应用以及一次函数的应用，找到等量关系是解题的关键． （1）设销量为件，销量为件，根据题意列出方程进行计算即可； （2）设购进款件，故款为件，根据题意列出一次函数表达式并根据一次函数性质求出最大值即可求出答案． 【小问1详解】 解：设销量为件，销量为件， 由题意得：，解得， 答：3月份两款马面裙的销量分别为件和件； 【小问2详解】 解：设购进款件，故款为件，总利润为元， 依题意得，， 解得， 由题意得：， 即， 因， 则随的增大而增大， 时，元， 此时件． 答：网店购进款马面裙件，款马面裙件，最大利润为元． 18. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，与x轴交于点，与y轴交于点． （1）求一次函数的表达式； （2）利用图象，直接写出不等式的解集； （3）在第三象限的反比例函数的图象上是否存在一点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）或 （3）存在， 【解析】 【分析】（1）将点，坐标代入反比例函数解析式中，即可求出，，再利用待定系数法即可求出一次函数解析式； （2）根据图像结合，，即可作答； （3）先求出，，设，根据，列出方程即可求解． 【小问1详解】 解：将，代入中得， ，，， 则点，坐标为，，将其代入得, ， 解得， 则一次函数解析式为； 【小问2详解】 解：观察函数图像可知，当时，或； 【小问3详解】 解：对于，当时，，当时，， 则，， 设， 则，， ， ， ， 则点的坐标为． 【点睛】本题是反比例函数综合问题，考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法，函数与不等式的关系，三角形面积的求法，能够构建方程解决问题是解题的关键． 19. 在2026年世界互联网大会亚太峰会的影响下，某校组织八、九年级开展“数智赋能创新发展”主题宣传活动．老师从八、九两个年级中各抽取20名学生的“网络安全与数字素养”测试成绩进行整理，成绩分为A、B、C、D四个等级，其中90分及以上为优秀，并获称“数智赋能先锋个人”． 【数据整理】抽取学生的成绩分为如下四个等级： 等级 A B C D 成绩 八年级B、C等级同学的成绩分别为：86，88，89，89，92，92，93，94，94； 九年级C等级同学的成绩分别为：89，89，88，88，88，87，86． 【数据分析】八、九年级抽取学生的测试成绩统计表如表： 年级 平均数 中位数 众数 优秀率 八年级 88 a 95 40% 九年级 88 88 88 35% 【回答问题】 （1）扇形图中______，表格中______，并补全条形统计图． （2）若该校八年级学生有640人，九年级学生有520人，请估算该校八九年级获评“数智赋能先锋个人”的学生共有多少人？ （3）某小组四位同学的测试成绩等级分别是A、B、C、D，准备从中抽取两人参加宣讲活动，求两人恰好抽到“C”和“D”等级同学的概率． 【答案】（1）35；88.5 （2）438人 （3） 【解析】 【分析】（1）利用“部分数量的占比部分数量总量”解出答案；中位数是指将数列从小到大依次排列最中间的数； （2）根据“某部分的数量=总量×该部分在样本中的占比”进行求解； （3）先将所有的等可能事件列举出来，再将题目要求的等可能事件的数量找出来除以所有等可能事件的数量，即可解出答案． 【小问1详解】 解：∵九年级抽取学生，C等级同学共人， ∴C等级同学的占比为， ∴； ∵中位数是从小到大依次排列最中间的数， 20位同学的最中间的两位同学的成绩为， ∴中位数； 八年级共抽取20位同学，A等级同学3人，B等级同学5人，C等级同学4人， 则D等级同学人， ∴作图如下： 【小问2详解】 解：八年级：（人） 九年级：（人） 该校八九年级获评“数智赋能先锋个人”的学生共有人． 【小问3详解】 解:方法一，列表法： A B C D A B C D 一共有12种等可能结果，恰好抽到“C”和“D”等级同学有2种结果， P（恰好抽到“C”和“D”等级同学）， 方法二，树状图法： 一共有12种等可能结果，恰好抽到“C”和“D”等级同学有2种结果， P（恰好抽到“C”和“D”等级同学）． 20. 小刚同学在学习了解直角三角形及其应用的知识后，尝试利用所学知识测量河对岸大树的高度，已知大树与地面垂直，他在点处测得大树顶端的仰角为，再从点出发沿斜坡走米到达斜坡上点，在点处测得树顶端的仰角为，若斜坡的坡度（即）为（点E，C，B在同一水平线上）． （1）求小刚同学从点到点的过程中上升的高度； （2）求大树的高度．（参考数据：，，） 【答案】（1）1米 （2）13米 【解析】 【分析】（1）过点作于点，在中，，则，利用勾股定理列方程求出的值； （2）延长交于点，由题意得，在中，，进而求出长，易得到是等腰直角三角形，在中，，据此求解即可． 【小问1详解】 解：过点作于点，如图所示： 在中，， ， ． ， 解得：或（舍去）， 小刚同学从点到点的过程中上升的高度为1米； 【小问2详解】 解：如图，延长交于点， 由题意得：， 在中，， 由（1）知，， ， ， 在中，， ， 在中，， 解得：， 即大树的高度为13米． 21. 如图，中，，以为直径的与，分别交于点和点，过点作，垂足为，连接． （1）求证：是的切线； （2）若，，求半径． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，利用等腰三角形的性质，证明即可解答； （2）连接，利用等腰三角形的性质，得到，，利用圆内接四边形的性质，得到，证明，即可求解． 【小问1详解】 证明：如图，连接， ， ． ， ． ， ， ， ， ， ． 是的半径， 是的切线． 【小问2详解】 解：如图，连接， 是的直径， ， ． ， ，． 四边形是的内接四边形 ， ， ． ， ， ， ， ， 半径为． 22. 已知抛物线（，为常数）过点． （1）若该抛物线与轴交于点． ①求该抛物线的解析式； ②已知，在该抛物线上，若对于，都有，求的取值范围； （2）若对于任意实数，都有，此时抛物线与直线交于，两点，求的长． 【答案】（1）①抛物线的解析式为；②； （2） 【解析】 【分析】本题考查二次函数综合运用，熟练掌握函数与方程和不等式的关系，是解决本题的关键． （1）①代入点坐标，利用待定系数法求解析式； ②根据解析式，计算出，利用函数图象增减性，得出或，列出不等式组，计算即可求解； （2）把代入解析式，找到和的关系，根据对于任意实数，都有，得出对任意实数都成立，根据函数恒成立问题结合题意得出，求出的值，再计算出交点坐标，即可求解． 【小问1详解】 解：①∵抛物线过点和， ， 解得， ∴抛物线的解析式为； ②抛物线开口向上， ∵已知，在该抛物线上，， ∴，  ​ ∴或， 又∵． 当时，则，无解； 当时，则，解得，符合条件． 故的取值范围为 ． 【小问2详解】 解：∵抛物线过点， ， ∴， ∵对于任意实数，都有，即 ∴， ∴对任意实数都成立， ， ∴， ， ∴抛物线解析式为， 联立抛物线与直线， 得， 解得， 即抛物线与直线交点的横坐标为和， ． 23. 折叠问题是我们常见的数学问题，它是利用图形变化的轴对称性质解决的相关问题．数学活动课上，同学们以“正方形的折叠”为主题开展了数学活动． 在正方形中，点在射线上，将正方形纸片沿所在直线折叠，使点A落在点处，连接，直线交所在直线于点，连接． 【观察猜想】 （1）如图1，当时，_____． 【类比探究】 （2）如图2，正方形的边长为4，，连接，取的中点，连接，求的度数及线段的长度． 【拓展应用】 （3）在（2）的条件下，当被线段分成一个等边三角形和一个等腰三角形时，请直接写出线段的长度． 【答案】（1）45（2），（3）或 【解析】 【分析】（1）利用正方形性质和折叠性质，先由推出 ，进而得 ，再根据算出等角度，然后依据判定，从而得出 ． （2）根据折叠性质得出角和边的关系，通过计算推出，结合角的等量关系得到，由折叠性质知，进而得 ．再利用正方形性质求，依据直角三角形斜边中线性质求出 ． （3）对被分成一个等边三角形和一个等腰三角形的情况进行分类讨论： 当为等边三角形时，先得出，通过角的运算求出和，再在中利用正切函数求出的长度． 当为等边三角形时，得出，通过角的关系得到，进而求出，最后在中根据正切函数求出的长度 ． 【详解】在正方形中，． ∵， 由折叠性质可知，且． ∴， ∴ ∵， ∴． ∴． ∴． ∴ 因为，，， ∴． ∴， 故答案为：45； （2）由折叠可知，， ． 四边形为正方形， ． 又， ， ． 又， ． 由折叠的性质可得， ． 点为的中点， ， 在正方形中，， ， ． （3）情况一： 当是等边三角形，是等腰三角形时，如图： 此时，因为，所以． 已知，在中，，解得． 情况二：当是等边三角形，是等腰三角形时： 此时，则． 在中，， 解得． 综上所述：段的长度为或． 【点睛】本题考查了正方形的性质、图形折叠的性质、三角形内角和定理、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边中线性质以及三角函数的应用；解题关键是熟练运用上述性质和定理，通过分析折叠前后图形的角与边的关系，结合特殊三角形的性质进行推理计算． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $