1.1　探索勾股定理 课件 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦勾股定理，通过“直角三角形三边平方关系”问题导入，引导学生从等腰直角三角形的正方形面积关系入手，逐步过渡到一般直角三角形，借助割、补、拼的面积计算方法搭建探索支架，帮助学生构建从特殊到一般的知识脉络。 其亮点在于以数学眼光观察图形关系，通过面积割补拼培养几何直观和空间观念，结合例题变式训练发展推理能力与运算能力，如利用正方形面积计算验证定理、方程思想求解边长。学生能在探究中深化理解，教师可通过分层小测提升教学针对性。

第一章　勾股定理 1　探索勾股定理 第1课时　勾股定理的内容 数学·八年级上册　 1 在直角三角形中，任意两条边确定了，第三条边也就随之确定，三条边的平 方之间存在怎样的特殊关系？你有哪些探索的方法？ 数学·八年级上册　 　勾股定理的探索 （1）如图1，先利用三个正方形的① 关系来观察发现特殊图形，即 等腰直角三角形三边的关系； 面积　 数学·八年级上册　 （2）如图2和图3，观察一般的直角三角形的三边是否存在上述探索出来的 关系，再利用② 、③ 、拼的方法计算正方形C的面积，从而探 索出勾股定理的一般结论. 割　 补　 数学·八年级上册　 【例1】（根据教材八上P3随堂练习1改编）如图，正方形A的面积为36，正 方形B的面积为64，则正方形C的面积是（　B　）. B A. 49 B. 100 C. 144 D. 81 数学·八年级上册　 （2025•龙岗区外国语学校期中）如图，若正方形A，B的面积分 别为25和9，则正方形C的面积是（　D　）. D A. 4 B. 8 C. 12 D. 16 数学·八年级上册　 　勾股定理的结论 　　直角三角形两直角边的④ 等于斜边的平方.如果直角三角形 的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2. 　 平方和　 备注：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系. 　　（2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知 的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决 问题的目的. 　　（3）常见的勾股定理的一些变式：a2＝c2－b2，b2＝c2－a2，c2＝（a ＋b）2－2ab. 数学·八年级上册　 【例2】在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a， b，c，则下列结论正确的是（　C　）. A. b2＋c2＝a2 B. a2－b2＝c2 C. a2＝c2－b2 D. a2－c2＝b2 C 数学·八年级上册　 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°. （1）若AC＝5，BC＝12，求AB的长； 解：∵AC＝5，BC＝12， ∴AB2＝AC2＋BC2＝52＋122＝169， ∴AB＝13. （2）若AB＝25，AC＝15，求BC的长. 解：∵AB＝25，AC＝15， ∴BC2＝AB2－AC2＝252－152＝400， ∴BC＝20. 数学·八年级上册　 1. 如图，正方形B的面积是 ，正方形B的边长是 ⁠. 144　 12　 数学·八年级上册　 2. （2025•龙华区第二实验学校教育集团期中）数学活动课上，李华用同样的 火柴棒摆直角三角形，他摆两条直角边分别用了5根和12根火柴棒，他摆完 这个直角三角形共用火柴棒（　A　）. A. 30根 B. 29根 C. 28根 D. 27根 A 数学·八年级上册　 3. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的三角形 ABC中，AC边的长是 ⁠. 5　 数学·八年级上册　 4. 如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，分别以四边形ABCD 的四条边为边长向外作正方形，这四个正方形的面积分别为S1，S2，S3， S4，若S1＋S3＝15，S2＋S4＝35，则AC2的值是（　A　）. A. 25 B. 50 C. 75 D. 100 A 数学·八年级上册　 5. 求出下列直角三角形中未知边的长度x. 解：由题意知，x2＝152－122＝81， ∴x＝9. 数学·八年级上册　 6. 如图，在△ABC中，∠B＝90°，点E，F分别在AB，BC上，求证： AF2＋CE2＝AC2＋EF2. 证明：∵∠B＝90°， ∴△ABF，△ABC，△BEF，△BEC均为直角三角形. 在Rt△ABF中，AB2＋BF2＝AF2， 在Rt△BEC中，BE2＋BC2＝CE2， 在Rt△ABC中，AB2＋BC2＝AC2， 在Rt△BEF中，BE2＋BF2＝EF2， ∴AF2＋CE2＝AB2＋BF2＋BE2＋BC2， AC2＋EF2＝AB2＋BC2＋BE2＋BF2， ∴AF2＋CE2＝AC2＋EF2. 数学·八年级上册　 【新课导学】 知识点1　①面积　②割　③补 例1　B　变式训练1　D 知识点2　④平方和 例2　C 变式训练2　解：（1）∵AC＝5，BC＝12， ∴AB2＝AC2＋BC2＝52＋122＝169，∴AB＝13. （2）∵AB＝25，AC＝15， ∴BC2＝AB2－AC2＝252－152＝400，∴BC＝20. 数学·八年级上册　 【随堂小测】 1.144　12　2.A　3.5　4.A 5. 解：由题意知，x2＝152－122＝81，∴x＝9. 6. 证明：∵∠B＝90°，∴△ABF，△ABC，△BEF，△BEC均为直角三 角形.在Rt△ABF中，AB2＋BF2＝AF2，在Rt△BEC中，BE2＋BC2＝ CE2，在Rt△ABC中，AB2＋BC2＝AC2，在Rt△BEF中，BE2＋BF2＝ EF2，∴AF2＋CE2＝AB2＋BF2＋BE2＋BC2，AC2＋EF2＝AB2＋BC2＋ BE2＋BF2，∴AF2＋CE2＝AC2＋EF2. 数学·八年级上册　 $第一章　勾股定理 1　探索勾股定理 第2课时　勾股定理的验证 数学·八年级上册　 1 如图，你能利用这个直角三角形说明勾股定理的正确性吗？至少列举两种不 同的方法. 数学·八年级上册　 　验证勾股定理 “面积法”：① 面积＝② 面积之和. 　　勾股定理的验证主要是通过拼图法利用③ 的关系完成的，拼图 又常以补拼法和叠合法两种方式拼图，补拼要求无重叠，叠合要求无空隙； 而用面积法验证的关键是找到一些特殊图形（如直角三角形、正方形、梯 形）的面积之和等于整个图形的面积，从而达到验证的目的. 整体　 部分　 面积　 数学·八年级上册　 【例1】下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（　D　）. A B C D D 数学·八年级上册　 勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，西方国家称之为毕达哥 拉斯定理.我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”， 用数形结合的方法，给出了勾股定理的证明，后人称之为“赵爽弦图”.如 图，下列式子中，可以用来表示从图1到图2的变化的是（　A　）. A A. 4× ab＋（b－a）2＝c2 B. （a＋b）2＝2（ ab＋ c2） C. 4ab＋（b－a）2＝c2 D. a2＋ab＋a×（b－a）＝c2 数学·八年级上册　 　利用勾股定理解决实际问题 　　对于一些可利用勾股定理解决的实际问题，我们应该找出或画出问题中 的直角三角形，把实际问题转化为可利用勾股定理解决的直角三角形问题. 　 数学·八年级上册　 【例2】如图，有两只猴子在一棵树CD上的点B处，且BC＝5 m，它们都要 到A处吃东西，其中一只猴子甲沿树爬下走到离树10 m的A处，另一只猴子 乙先爬到树顶D处，再沿缆绳DA滑到A处.已知两只猴子所经过的路程相 等，这棵树的高有多少米？ 解：设BD为x m，由题意知BD＋DA＝BC＋CA， 即BD＋DA＝15 m，DA＝（15－x） m. ∵∠C＝90°，∴AD2＝AC2＋CD2， ∴（15－x）2＝102＋（x＋5）2， ∴x＝2.5，∴CD＝5＋2.5＝7.5（m）. ∴这棵树高7.5 m. 数学·八年级上册　 小明想知道旗杆的高度，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多出 1米，他把绳子的下端往外拉开5米后，发现下端刚好接触地面，求旗杆的高 度. 解：如图，设旗杆的高AB为x米， 则绳子AC的长为（x＋1）米， 在Rt△ABC中，BC＝5米，AB2＋BC2＝AC2， ∴x2＋52＝（x＋1）2，解得x＝12， ∴AB＝12. ∴旗杆的高为12米. 数学·八年级上册　 1. 如图，从电线杆离地8 m的A处向地面B处拉一条长17 m的缆绳，则B处 到电线杆底部C处的距离为（　C　）. A. 13 m B. 25 m C. 15 m D. 9 m C 数学·八年级上册　 2. （2025•龙岗区龙岭初级中学期中）2025年9月22日，“桦加沙”超强台风 掠过深圳，风暴中，一棵树从树腰处被吹断.如图所示，大树从树腰（点B） 断裂，树顶落在离树根（点C）8米处（点A），已知树原高16米，则树断裂 处距树根为（　C　）米. A. 10 B. 8 C. 6 D. 5 C 数学·八年级上册　 3. （2025•宝安中学月考）一辆装满货物，宽为1.6米的卡车，欲通过如图所 示的隧道（隧道下方为长方形，上方为半圆形拱门），则卡车的外形不得高 于（　C　）. A. 3.1米 B. 3米 C. 2.9米 D. 2.8米 C 数学·八年级上册　 4. （2025•宝安区为明双语实验学校月考）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系 证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四 个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形.其中c＝100，b －a＝20，则每个直角三角形的面积为 ⁠. 2 400　 解析：由勾股定理，得a2＋b2＝1002＝10 000. ∵b－a＝20，∴b2－2ab＋a2＝400， ∴10 000－2ab＝400， ∴ab＝4 800， ∴每个直角三角形的面积为 ab＝ ×4 800＝2 400. 数学·八年级上册　 5. 如图是一架秋千的示意图，当它静止时，踏板离地距离DE的长为1尺，将 它向前水平推送10尺时（即BC＝10尺），秋千踏板离地的距离为5尺（即 BF＝5尺），秋千的绳索始终拉得很直，试问绳索有多长，请运用所学知识 求出秋千的长是 尺. 　 解析：由题意可知CE＝BF＝5尺，BC＝10尺，DE＝1尺， ∴CD＝CE－DE＝5－1＝4（尺）. 设绳索AD＝AB＝x尺，则AC＝（x－4）尺. 在Rt△ABC中，AC2＋BC2＝AB2，即（x－4）2＋102＝x2， 解得x＝ .故绳索AD的长为 尺. 数学·八年级上册　 6. 如图，它是由4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图 案，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x，y表示直角三角形 的两直角边（x＞y），下列四个说法：①x2＋y2＝49；②x－y＝2；③2xy ＋4＝49；④x＋y＝9.其中正确的是（　B　）. A. ①② B. ①②③ C. ①②④ D. ①②③④ B 数学·八年级上册　 7. 数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象 的数学知识变得直观，从而可以帮助我们快速解题，初中数学里的一些代数 公式，很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释. 　　 　　 　　 （1）如图1，是一个重要公式的几何解释，请你写出这个公式. 解：（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2. 数学·八年级上册　 （2）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝ c，以Rt△ABC的三边为边长向外作正方形的面积分别为S1，S2，S3，试猜 想S1，S2，S3之间存在的等量关系，直接写出结论. 解：S1＋S2＝S3. 数学·八年级上册　 （3）如图3，如果以Rt△ABC的三边长a，b，c为直径向外作半圆，那么 第（2）问的结论是否成立？请说明理由. 解：成立，理由：设直角三角形两条直角边分别为a，b，斜边为c， 则a 2＋b2＝c2. ∵S1＝ π2＝ ，S2＝ π2＝ ，S3＝ π2＝ ， ∴ ＋ ＝ ＝ ， ∴S1＋S2＝S3. 数学·八年级上册　 （4）如图4，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，三边长分别为5，12，13，分 别以它的三边为直径向上作半圆，求图4中阴影部分的面积. 解：根据（3）的结论，两个以直角边为直径的半圆的面积和等于以斜边为 直径的半圆面积， ∴阴影部分的面积＝直角三角形的面积， ∴阴影部分的面积为 ×5×12＝30. 数学·八年级上册　 【新课导学】 知识点1　①整体　②部分　③面积 例1　D　变式训练1　A 知识点2 例2　解：设BD为x m，由题意知BD＋DA＝BC＋CA，即BD＋DA＝15 m，DA＝（15－x） m.∵∠C＝90°，∴AD2＝AC2＋CD2，∴（15－ x）2＝102＋（x＋5）2，∴x＝2.5，∴CD＝5＋2.5＝7.5（m）.∴这棵 树高7.5 m. 数学·八年级上册　 变式训练2　解：如图，设旗杆的高AB为x米，则绳子AC的长为（x＋1） 米，在Rt△ABC中，BC＝5米，AB2＋BC2＝AC2，∴x2＋52＝（x＋1）2， 解得x＝12，∴AB＝12.∴旗杆的高为12米. 数学·八年级上册　 【随堂小测】 1. C　2.C　3.C 4.2 400　解析：由勾股定理，得a2＋b2＝1002＝10 000.∵b－a＝20，∴b2 －2ab＋a2＝400，∴10 000－2ab＝400，∴ab＝4 800， ∴每个直角三角形 的面积为 ab＝ ×4 800＝2 400. 5. 　解析：由题意可知CE＝BF＝5尺，BC＝10尺，DE＝1尺，∴CD＝ CE－DE＝5－1＝4（尺）.设绳索AD＝AB＝x尺，则AC＝（x－4）尺. 在Rt△ABC中，AC2＋BC2＝AB2，即（x－4）2＋102＝x2，解得x＝ .故 绳索AD的长为 尺. 6. B 数学·八年级上册　 7. 解：（1）（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2. （2）S1＋S2＝S3. （3）成立，理由：设直角三角形两条直角边分别为a，b，斜边为c，则a 2 ＋b2＝c2.∵S1＝ π2＝ ，S2＝ π2＝ ，S3＝ π2＝ ， ∴ ＋ ＝ ＝ ，∴S1＋S2＝S3. 数学·八年级上册　 （4）根据（3）的结论，两个以直角边为直径的半圆的面积和等于以斜边为 直径的半圆面积， ∴阴影部分的面积＝直角三角形的面积， ∴阴影部分的面积为 ×5×12＝30. 数学·八年级上册　 $