1.2 一定是直角三角形吗（培优课件）-2026-2027学年北师大版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦勾股定理逆定理、勾股数及三角形形状判定，通过“角的互余判定”引入边的数量关系探究，结合“绳子围三角形”“画边长测角度”等活动，衔接勾股定理性质与逆定理判定，构建知识支架。 亮点在于以探究活动培养几何直观，通过例题推理强化推理意识，勾股数性质及判定方法渗透模型意识。采用情境导入、动手操作与分层习题，课堂小结系统梳理核心内容，助力学生提升探究与应用能力，为教师提供高效教学资源。

北师大版数学八年级上册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年6月9日 1.2 一定是直角三角形吗 第一章 勾股定理 1.2 一定是直角三角形吗 同步精讲+习题（北师大版八年级上册） 一、核心知识点（勾股定理逆定理） 勾股定理逆定理（判定直角三角形）： 如果三角形的三边长 $$a、b、c$$ 满足 $$a^2+b^2=c^2$$，那么这个三角形是直角三角形，且直角在最长边 $$c$$ 所对的角。 关键口诀：短小两边平方和 = 最长边平方 → 直角三角形 重要区分： 勾股定理（正）：直角三角形 → 三边满足 $$a^2+b^2=c^2$$（性质） 逆定理（反）：三边满足$$a^2+b^2=c^2$$ → 直角三角形（判定） 二、勾股数（必考概念） 勾股数定义：满足 $$a^2+b^2=c^2$$ 的三个正整数，称为一组勾股数。 必备条件（缺一不可）：①正整数 ②满足平方关系 常见基础勾股数（熟记）： 3、4、5 ； 5、12、13 ； 6、8、10 ； 7、24、25 ； 8、15、17 性质：勾股数的正整数倍，仍然是勾股数（如 3、4、5 → 6、8、10） 三、三角形形状快速判定方法 设三角形最长边为 $$c$$： 1. $$a^2+b^2=c^2$$ → 直角三角形 2. $$a^2+b^2>c^2$$ → 锐角三角形 3. $$a^2+b^2<c^2$$ → 钝角三角形 四、基础练习题 1. 判断题 （1）若三角形三边长满足 $$a^2+b^2=c^2$$，则三角形为直角三角形。（） （2）0.3、0.4、0.5 是一组勾股数。（） （3）三边长为 5、12、14 的三角形是直角三角形。（） 2. 选择题 （1）下列各组数中，是勾股数的是（） A. 1、2、3 B. 6、8、10 C. 2、3、4 D. 4、5、6 （2）三角形三边为 9、12、15，则该三角形是（） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 无法判断 五、提升解答题 1. 判断三边长为 $$5、12、13$$ 的三角形是否为直角三角形。 2. 已知三角形三边长为 8、15、17，求证该三角形为直角三角形，并指出直角位置。 3. 一个三角形三边长为 4、6、7，判断该三角形是锐角、直角还是钝角三角形。 六、参考答案与解析 1. 判断题 （1）√ 解析：符合勾股定理逆定理定义。 （2）× 解析：勾股数必须是正整数，小数不满足定义。 （3）× 解析：$$5^2+12^2=169，14^2=196$$，不相等，不是直角三角形。 2. 选择题 （1）B 解析：$$6^2+8^2=36+64=100=10^2$$，且均为正整数。 （2）B 解析：$$9^2+12^2=81+144=225=15^2$$，为直角三角形。 3. 解答题 1. 解：最长边为13，$$5^2+12^2=25+144=169=13^2$$，满足逆定理，故此三角形是直角三角形。 2. 解：最长边为17，$$8^2+15^2=64+225=289=17^2$$，所以是直角三角形，直角为17所对的内角。 3. 解：最长边为7，$$4^2+6^2=16+36=52，7^2=49$$，$$52>49$$，因此该三角形为锐角三角形。 七、易错点总结 1. 判定时必须找最长边，只能用两条短边平方和与最长边平方对比； 2. 勾股数一定是正整数，小数、分数统统不算； 3. 分不清定理与逆定理：知直角求边长用勾股定理，知边长判直角用逆定理； 4. 计算平方时常算错，导致三角形形状判断错误。 经历勾股定理的逆定理的探索过程，掌握勾股定理的逆定理，并能进行简单应用. 了解勾股数的概念，掌握常见的勾股数. 能够灵活运用勾股定理及其逆定理解决问题，培养学生的综合应用能力，发展数学语言表达能力. 如果∠A +∠B = 90°，那么△ABC 就是一个直角三角形，∠C 为直角. 即有如下的直角三角形的判定方法： 两个角互余的三角形是直角三角形. 思考：如何判定一个三角形是直角三角形？ 除了根据角的关系判定，还能根据其他的关系判定吗？ 【活动1】：做一做 类似古埃及人画直角的故事，我们准备三根绳子来模仿操作，看看能否得到和古埃及人相同的结果． （1）让一根绳子的一端与 0 刻度线重合，分别在 3 cm，7 cm，12 cm 处做标记，得到长度分别为 3 cm，4 cm，5 cm 的三段，然后以这三段为边围成一个三角形，量量看是不是直角三角形． 答：是直角三角形． 探究点： 利用三边数量关系判定直角三角形 （2）类似（1）的操作，以 2.5 cm，6 cm，6.5 cm 和 4 cm，7.5 cm，8.5 cm 的三段为边分别围成一个三角形，量量看是不是直角三角形． 答：是直角三角形． 探究点： 利用三边数量关系判定直角三角形 【活动2】：画一画 下面有四组数，分别是一个三角形的三边长 a，b，c： ① 5，12，13； ② 7，24，25； ③ 8，15，17； ④ 5，6，7． 问题1 分别以每组数为三边长作出三角形，用量角器量一量，它们都是 直角三角形吗？ ①②③是 ④不是 探究点： 利用三边数量关系判定直角三角形 5 6 7 ① 5，12，13； ② 7，24，25； ③ 8，15，17； ④ 5，6，7． 问题2 哪几组数在数量关系上有什么相同点？ ① 5，12，13 满足 52 + 122 = 132，② 7，24，25 满足 72 + 242 = 252， ③ 8，15，17 满足 82 + 152 = 172. a2 + b2 = c2 探究点： 利用三边数量关系判定直角三角形 勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长 a ，b ，c 满足 a2 + b2 = c2， 那么这个三角形是直角三角形. A C B a b c 勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，即已知三角形的三边长，且满足两条较小边的平方和等于最长边的平方，即可判定此三角形为直角三角形，最长边所对的角为直角. 特别说明： 探究点： 利用三边数量关系判定直角三角形 勾股数 如果三角形的三边长 a，b，c 满足 a2 + b2 = c2，那么这个三角形是直角三角形. 满足 a2 + b2 = c2 的三个正整数，称为勾股数. 探究点： 利用三边数量关系判定直角三角形 常见勾股数： 3，4，5； 5，12，13； 6，8，10； 7，24，25； 8，15，17； 9，40，41； 10，24，26 等等. 勾股数拓展性质： 一组勾股数，都乘相同倍数 k (k 为正整数)，得到一组新数，这组数同样是勾股数. 如将 3，4，5 都乘 2 和 3，得到的 6，8，10 和 9，12，15 也是勾股数. 探究点： 利用三边数量关系判定直角三角形 例1 一个零件的形状如图 1 所示，按规定这个零件中∠A 和∠DBC 都应为直角. 工人师傅量得这个零件各边的尺寸如图 2 所示，这个零件符合要求吗? D A B C 4 3 5 13 12 D A B C 图1 图2 探究点： 利用三边数量关系判定直角三角形 在△BCD 中， BD² + BC² = 5² + 12² = 169 = 13² = CD²， 所以△BCD 是直角三角形，∠DBC 是直角. 因此，这个零件符合要求. 解：在△ABD 中， AB² + AD² = 3² + 4² = 25 = 5² = BD²， 所以△ABD 是直角三角形， ∠A 是直角. D A B C 4 3 5 13 12 探究点： 利用三边数量关系判定直角三角形 例2 判断满足下列条件的三角形是否是直角三角形. (1) 在△ABC 中，∠A = 20°，∠B = 70°； (2) 在△ABC 中，AC = 7，AB = 24，BC = 25； (3) △ABC 的三边长 a，b，c 满足 (a＋b)(a－b) = c². 解析：(1) 已知两角可以求出另外一个角； 解：(1) 在△ABC 中，∵∠A = 20°，∠B = 70°， ∴∠C = 180°－∠A－∠B = 90°， 即△ABC 是直角三角形. 探究点： 利用三边数量关系判定直角三角形 (2) 在△ABC 中，AC = 7，AB = 24，BC = 25； (2) ∵ AC² + AB² = 7² + 24² = 625， BC² = 25² = 625， ∴ AC² + AB² = BC². 根据勾股定理的逆定理可知，△ABC 是直角三角形. 解析：(2) 使用勾股定理的逆定理验证. 探究点： 利用三边数量关系判定直角三角形 (3) △ABC 的三边长 a，b，c 满足 (a＋b)(a－b) = c². 解析：(3) 将式子变形即可使用勾股定理的逆定理验证. (3) ∵ (a＋b)(a－b) = c²， ∴ a²－b² = c²，即 a² = b²＋c². 根据勾股定理的逆定理可知，△ABC 是直角三角形. 方法总结：在运用勾股定理的逆定理时，要特别注意找到最大边，定理描述的最大边的平方等于另外两边的平方和. 探究点： 利用三边数量关系判定直角三角形 例3 下列各组数是勾股数的是 ( ) A. 6，8，10 B. 7，8，9 C. 0.3，0.4，0.5 D. 52，122，132 A 方法点拨：根据勾股数的定义，勾股数必须为正整数，先排除小数，再计算最大数的平方是否等于其他两数的平方和即可. 探究点： 利用三边数量关系判定直角三角形 1. 如果三条线段 a，b，c 满足 a2 =c2－b2，那么这三条线段组成的三角形是直角三角形吗？为什么？ 因为a2 = c2－b2，所以 a2 + b2 = c2。 这三条线段组成的三角形是直角三角形。 【教材P11 习题1.2 第1题】 随堂练习 2. 如果将直角三角形的三条边长同时扩大相同的倍数，那么得到的三角形还是直角三角形吗？你还能提出什么问题？ 得到的三角形还是直角三角形。 【教材P11 习题1.2 第2题】 随堂练习 3. 如图，方格纸中哪些三角形是直角三角形，哪些不是？说说你的理由。 ④⑤是直角三角形； ①②③⑥均不是直角三角形。 【教材P12 习题1.2 第3题】 随堂练习 4. 美国哥伦比亚大学收藏有一块古巴比伦时代的泥板，其中有 4 列 15 行数字。经研究，这块泥板第二列、第三列的数字实际上相当于下表第二列、第三列的数字，而且 每一行的第二列数字、第三列数字与下表中同一行的第一列数字都存在着同一种关系。你知道这些数字间的关系吗？借助计算器进行探索。 【教材P12 习题1.2 第4题】 第一列 第二列 第三列 120 119 169 3456 3367 4825 4800 4601 6649 13500 12709 18541 72 65 97 360 319 481 2700 2291 3541 960 799 1249 600 481 769 6480 4961 8161 60 45 75 2400 1679 2929 240 161 289 2700 1771 3229 90 56 106 随堂练习 知识点1 由三边关系确定直角三角形 1.［教材P11随堂练习T1变式］ ［2025西安新城区期末］ 以下列各组 数为边长，其中能构成直角三角形的是( ) C A.2，3，4 B.6，7，8 C.8，15，17 D.9，24，25 返回 考试考法 21 2.［教材习题变式］ 在中，若 ，则 ( ) B A. B. C. D. 不是直角三角形 返回 考试考法 22 3.若的三边长,,满足 ，则 是( ) A A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形 返回 考试考法 23 （第4题） 4. 为了增强学生的环保意识和生态 意识，某中学在植树节当天组织了植树活动。如 图,为了判断种的小树是否与地面垂直,种好树后, 小明从树干上的处拉了一根 长的绳子，刚 好到距离树的底部处的 处,测得 ,则小树与地面______（填“垂直”或 “不垂直”）。 垂直 返回 考试考法 24 一定是直角三角形吗 勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长 a，b，c 满足a2 + b2 = c2， 那么这个三角形是直角三角形 勾股数：满足 a2 + b2 = c2 的三个正整数 a，b，c 课堂小结 $