精品解析：海南华侨中学2025-2026学年高一下学期第二次月考数学试题

海南华侨中学2025-2026学年第二学期 高一年级第二次阶段考数学科 考试时间：120分钟 满分：150分 一、选择题；本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设，为的共轭复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数代数形式的乘法运算化简复数，即可得到其共轭复数； 【详解】解：， ， 故选：B． 2. 已知向量，，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】根据平面向量平行性质，，，，解得， 所以“”是“”的充分不必要条件. 3. 如图，是水平放置的的直观图，，，则的面积为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 【答案】D 【解析】 【详解】依题意，的边分别在轴上，且， 所以的面积. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由二倍角余弦公式有，利用平方关系将齐次化，然后弦化切即可求解. 【详解】因为，所以． 5. 已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，以下说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则与相交 D. 若，，则与至多有一个公共点 【答案】D 【解析】 【分析】根据直线与直线的位置关系及直线与平面的位置关系判断即可. 【详解】对于A，若，，则，可能平行、可能相交、可能异面，A错误. 对于B，若，，则或，B错误. 对于C，若，，，则，可能平行、可能相交、可能异面，C错误. 对于D，若，则与平行或相交，当时，因为，所以与无公共点；当与相交于一点时，因为，所以与至多有一个公共点.综上，D正确. 6. 清代的苏州府被称为天下粮仓，大批量的粮食从苏州府运送到全国各地.为了核准粮食的数量，苏州府制作了“小嘴大肚”的官斛用以计算粮食的多少，五斗为一斛，两斛为一石.已知一只官斛的容量恰好为一斛，其形状近似于正四棱台，上口为正方形，内边长为，下底也为正方形，内边长为，斛内高，那么一石米的体积大约为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用台的体积公式计算正四棱台的体积，进而求解. 【详解】由题意有：， 所以正四棱台的体积为：， 所以一石米的体积大约为：， 故选：C 7. 已知圆锥的侧面展开图是一个半径为3，圆心角为的扇形，则该圆锥表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】设圆锥底面半径为r，而圆锥侧面展开图半径为3，圆心角为， 所以， 所以，解得，所以圆锥底面积为， 故圆锥表面积为. 8. 设向量，，满足，，则的最大值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【详解】如图所示： 设，作， 作，所以， 因为，所以， 由可知，所以点在以为圆心，以为半径的圆上， 所以当共线时，的最大值为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题正确的有（ ） A. 三棱台的各侧棱所在直线必交于一点 B. 正棱锥的侧面是全等的等腰三角形 C. 一条直线和一个点确定一个平面 D. 四边形可以确定一个平面 【答案】AB 【解析】 【详解】对A，根据棱台的定义知三棱台的各侧棱所在直线必交于一点，故A正确； 对B，根据正棱锥的特点知：正棱锥的侧面是全等的等腰三角形，故B正确； 对C，当点在直线上时，不能确定平面，故C错误； 对D，空间四边形不在一个平面内，故D错误． 10. 已知复数（为虚数单位），下列说法正确的是（ ） A. 的对应点在第三象限 B. 的虚部为 C. D. 满足的复数对应的点在以原点为圆心，为半径的圆上 【答案】ACD 【解析】 【详解】由题可得：， 则复数在复平面内对应点位于第三象限，A正确； 因为，则复数的虚部为，B错误； ，C正确； 由， 可知满足的复数对应的点在以原点为圆心，半径为的圆上，D正确. 11. 如图，正方体棱长为2，、、分别为棱，，的中点，是正方体表面上的动点，则下列说法正确的是（ ） A. 平面 B. 若为线段上一点，则三棱锥的体积为定值 C. 若，则点的轨迹长度为 D. 过、、三点的平面截正方体所得截面的面积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】A利用中位线及线面平行的判定判断；B利用线面平行有到平面的距离为定值，利用锥体体积公式求解即可；C由知点轨迹为为球心，为半径的球与正方体表面的交线，由正方体棱长得，交线为三段半径为的四分之一圆；D利用平面的基本性质得到截面为正六边形，进而得解. 【详解】如图，设点是棱中点，连接并延长，分别交的延长线于， 连接交于，结合正方体的结构特征及平面的性质有均为中点， D，根据平面的基本性质知，过三点的平面截正方体所得截面为正六边形，边长，所以面积为，正确； A，根据中位线易得，平面，平面，则平面，正确； B，由，又为线段上一点，平面， 所以到平面的距离为定值，且为定值，则为定值，正确； C，由知点轨迹为为球心，为半径的球与正方体表面的交线，如图， 由正方体棱长得，交线为三段半径为的四分之一圆，长度为，错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，满足，，，则__________． 【答案】 【解析】 【详解】. 13. 请写出一个周期为2的函数：__________. 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据函数的周期性进行填写. 【详解】是周期为的周期函数， 所以可取（答案不唯一）. 14. 已知四棱锥底面是边长为2的正方形，底面，，则四棱锥外接球表面积为________；若点是线段上的动点，则的最小值为________． 【答案】 ① ②. 【解析】 【分析】根据直角三角形斜边上中线的性质确定球心，即可计算半径及表面积，利用翻折后，由平面上两点之间距离最短确定Q位置，再由余弦定理求解最小值. 【详解】如图， 设中点为O， 由底面，底面，所以, 又，，平面，所以平面， 又平面，所以，同理可得， 因为，，所以， 所以在中， ， 所以O为四棱锥外接球的球心，为该球半径， 所以其表面积为； 将绕AC翻折到与所在面重合，此时运动到处，连接，交AC于点Q，如图， 此时最小，因为，， 所以，又，， 所以. 所以的最小值为. 故答案为： ； 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知复数，其中. （1）若z是纯虚数，求实数m的值； （2）若z在复平面内对应的点位于第二象限，求实数m的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）分析出若是纯虚数，需满足实部为0且虚部不为0，据此列出方程组，计算即可求出m的值； （2）分析出若z在复平面内对应的点位于第二象限，需满足实部小于0且虚部大于0，据此列出不等式组，计算即可求出m的取值范围. 【小问1详解】 若z是纯虚数，则需满足， 由解得或， 由解得且， 综上，实数m的值为； 【小问2详解】 若z在复平面内对应的点位于第二象限，则需满足①， 由解得， 由解得或， 所以不等式组①的解为， 即实数m的取值范围为. 16. 已知向量，，且函数． （1）若将函数的图象上的点的纵坐标不变，横坐标缩小为原来的，再将所得图象向左平移个单位，得到的图象，求函数最小值及对应的的值； （2）若，且，求的值． 【答案】（1），时， （2） 【解析】 【分析】（1）由向量数量积的坐标表示及三角恒等变换化简得，再由图象平移写出，再由正弦型函数的性质求最值及对应； （2）根据已知得，再由平方关系及求函数值. 【小问1详解】 因为，， 所以； 函数的图象上的点的纵坐标不变，横坐标缩小为原来的，得， 再将所得图象向左平移个单位，得； 当，时，即，时，； 【小问2详解】 因为，所以， 因为，所以， 所以， 所以. 17. 正方体的棱长为2，为棱的中点． （1）求证：平面 （2）设平面平面，求证：； （3）求三棱锥体积． 【答案】（1）在正方体中，连接，令，连接， 由四边形为正方形，得是的中点，又是的中点， 则，又平面，平面， 所以平面. （2） 由（1）知：平面，又平面且平面平面， 所以. （3） 【解析】 【分析】（1）连接，利用线面平行的判定推理得证. （2）由（1）的结论，利用线面平行的性质推理得证. （3）利用等体积法求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 在正方体中，，， ，而点到平面的距离为正方体棱长2， 所以三棱锥的体积． 18. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． （1）求角B； （2）如图，的角平分线交于点D，且，， （i）求的长度； （ii）若边上的中线与相交于点F，求的余弦值． 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边化角，再利用余弦定理求出即可得解. （2）（i）根据角平分线性质和三角形面积的分割关系列出等式，求解BD的长度. （ii）易知为向量的夹角，利用中线向量运算得，结合角平分线定理利用向量线性运算得，然后利用平面向量的夹角公式求解余弦值即可. 小问1详解】 在中，由及正弦定理，得， 即， 由余弦定理得，而，所以. 【小问2详解】 （i）已知的角平分线交于点D，则， 又在中，，即， 即，解得. （ii）因为为的中线， 所以， 又，则， 因为，为的角平分线， 在中，因为，得到①， 在中，因为，得到②， 又，由①②得到， 所以， 因为 ， 所以， 即的余弦值为. 19. 对于给定，设其外接圆半径为R，内切圆半径为r，定义的值为的“分离比”． （1）若为等腰直角三角形，求的“分离比”f； （2）证明：“分离比”； （3）试求出“分离比”f的最小值． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）2 【解析】 【分析】（1）根据等腰直角三角形及其内切圆、外接圆的性质，结合三角形面积公式求出，进而根据“分离比”定义求解； （2）根据正弦定理，结合三角形面积公式求出相应边角关系，进而利用“分离比”定义证明结论； （3）运用两角和与差的正余弦公式，结合二倍角公式化简为，再利用换元法，结合两角差的余弦公式及余弦函数的有界性得出，再利用换元法结合二次函数的性质求出的最大值，进而求出的最大值，从而求出“分离比”f的最小值． 【小问1详解】 设等腰直角三角形的直角边长为，则斜边长为， 直角三角形外接圆直径即为斜边，则， 由面积公式得，解得， ． 【小问2详解】 由正弦定理得， 三角形面积， 又， ， ． 【小问3详解】 ， ， ， ， ， ， ， 令，则，即， 则， ， ，故， 令，则， 则转化为，函数开口向下，对称轴为， 当时，取最大值，最大值为， 此时，则，又， ，则，即为等边三角形时， 取最大值， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 海南华侨中学2025-2026学年第二学期 高一年级第二次阶段考数学科 考试时间：120分钟 满分：150分 一、选择题；本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设，为共轭复数，则（ ） A B. C. D. 2. 已知向量，，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 如图，是水平放置的的直观图，，，则的面积为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，以下说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则与相交 D 若，，则与至多有一个公共点 6. 清代的苏州府被称为天下粮仓，大批量的粮食从苏州府运送到全国各地.为了核准粮食的数量，苏州府制作了“小嘴大肚”的官斛用以计算粮食的多少，五斗为一斛，两斛为一石.已知一只官斛的容量恰好为一斛，其形状近似于正四棱台，上口为正方形，内边长为，下底也为正方形，内边长为，斛内高，那么一石米的体积大约为（ ） A. B. C. D. 7. 已知圆锥的侧面展开图是一个半径为3，圆心角为的扇形，则该圆锥表面积为（ ） A. B. C. D. 8. 设向量，，满足，，则最大值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题正确的有（ ） A. 三棱台的各侧棱所在直线必交于一点 B. 正棱锥的侧面是全等的等腰三角形 C. 一条直线和一个点确定一个平面 D. 四边形可以确定一个平面 10. 已知复数（为虚数单位），下列说法正确的是（ ） A. 的对应点在第三象限 B. 的虚部为 C. D. 满足的复数对应的点在以原点为圆心，为半径的圆上 11. 如图，正方体棱长为2，、、分别为棱，，的中点，是正方体表面上的动点，则下列说法正确的是（ ） A. 平面 B. 若为线段上一点，则三棱锥的体积为定值 C. 若，则点的轨迹长度为 D. 过、、三点的平面截正方体所得截面的面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，满足，，，则__________． 13. 请写出一个周期为2的函数：__________. 14. 已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，底面，，则四棱锥外接球表面积为________；若点是线段上的动点，则的最小值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知复数，其中. （1）若z是纯虚数，求实数m的值； （2）若z在复平面内对应的点位于第二象限，求实数m的取值范围. 16. 已知向量，，且函数． （1）若将函数的图象上的点的纵坐标不变，横坐标缩小为原来的，再将所得图象向左平移个单位，得到的图象，求函数最小值及对应的的值； （2）若，且，求的值． 17. 正方体的棱长为2，为棱的中点． （1）求证：平面 （2）设平面平面，求证：； （3）求三棱锥的体积． 18. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． （1）求角B； （2）如图，的角平分线交于点D，且，， （i）求长度； （ii）若边上的中线与相交于点F，求的余弦值． 19. 对于给定，设其外接圆半径为R，内切圆半径为r，定义的值为的“分离比”． （1）若为等腰直角三角形，求的“分离比”f； （2）证明：“分离比”； （3）试求出“分离比”f的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $