精品解析：海南华侨中学2025-2026学年第二学期高一第一次阶段考数学试题

海南华侨中学2025-2026学年第二学期 高一年级第一次阶段考数学科 考试时间：120分钟 满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列函数中，既是偶函数又是周期函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】对于A，函数的定义域为，关于原点对称，且，故是偶函数，但二次函数没有周期性，故A不合题意； 对于B，函数的定义域为，关于原点不对称，故不是偶函数，即B不符合题意； 对于C，函数的定义域为关于原点对称，，因不能恒成立，故不是偶函数，即C不合题意； 对于D，函数的定义域为关于原点对称，且，即函数是偶函数，且其最小正周期为，故D符合题意. 2. 已知四边形为平行四边形，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量加法的平行四边形法则求解即可. 【详解】如图所示，平行四边形 则，所以. 3. 在中，其内角的对边分别为，已知，则边长（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】在中，由，得，而， 由正弦定理得. 4. 下面四个数中，与最接近的是（） A. B. C. D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】利用三角函数的诱导公式，将化简为一个锐角三角函数，再根据特殊角的三角函数值判断其最接近的值. 【详解】， 因为非常接近，所以最接近. 故选：C 5. 如图，海平面上的甲船位于中心的南偏西且与相距7海里的处，现甲船以13海里/小时的速度沿直线去营救位于中心正东方向8海里的处的乙船，则甲船到达处需要的时间为（ ） A. 小时 B. 1小时 C. 小时 D. 2小时 【答案】B 【解析】 【详解】由题意可知：， 由余弦定理可得， 所以甲船到达处需要的时间为小时. 6. 在直角梯形中，为中点，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】建系得出点的坐标，再应用数量积公式计算求解参数，最后应用数量积坐标公式计算求解. 【详解】如图，以A为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系， 设， 结合题意可得：则 ， 故 ，即，则， 据此有. 7. 已知函数，若在区间内没有零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用二倍角公式及辅助角公式化简函数，并求出的零点，结合给定区间上无零点列出不等式组求解. 【详解】函数， 由，得，解得， 由在内没有零点，得， 而，解得，此时且， 即，因此或，则或， 所以的取值范围是. 8. 已知为的外心，且，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. ． D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平面向量加法的几何意义，结合三角形外心的性质、锐角三角函数定义、投影向量的定义进行求解即可. 【详解】由， 所以点为的中点，又因为为的外心， 所以是圆的直径，即， 设，则，， 过点作，垂足为， ， 所以向量在向量上的投影向量为， 因此向量在向量上的投影向量为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则与方向相同 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】AD 【解析】 【详解】对于A，由可知的长度相等，方向相同，故A正确； 对于B，因向量既有长度又有方向，故无法比较大小，即B错误； 对于C，若，显然满足，但不一定共线，故C错误； 对于D，由，可得的长度相等方向相同，故得，即D正确. 10. 已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变，可以得到的图象 C. 函数的图象关于点中心对称 D. 若函数在有且仅有4个零点，则的取值范围是 【答案】ABD 【解析】 【详解】由图像可知，振幅；最高点横坐标为，相邻零点横坐标为， 因此，最小正周期，则； 将代入，得， 即，结合得，因此， 选项A：的最小正周期，A正确； 选项B：将横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），横坐标变换为， 代入得：，B正确； 选项C：将代入： ， 因此不是对称中心，C错误； 选项D：， 当时，， 要求有且仅有4个零点需满足：，解得，D正确. 11. 如图，边长为3的等边三角形的外接圆为圆，为圆上任一点，若，则的可能取值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】ABC 【解析】 【分析】求出外接圆半径并在圆心处建立直角坐标系，设，利用可将用、表示出来，然后利用两角和的正弦公式及三角函数的有界性求出的范围. 【详解】连接与AB交于点D，因为是边长为3的等边三角形， 所以且D为的中点，则,,， 建立如图所示直角坐标系， ,,， 因为为半径为的圆上任一点，可设， ，，， 因为， 所以， 则 ， 因为，所以，所以的可能取值为、1、. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则___________． 【答案】 ## 【解析】 【详解】已知，则. 进而. 13. 作用于同一点的三个力平衡，已知与之间的夹角是，则力的大小为___________N． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得，，求解即可. 【详解】由题意可知，，所以， 所以 14. 若对恒成立，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】对于的正负进行讨论求解即可． 【详解】因为，所以， 当时，， 由，得， 当时，，所以， 所以当，即时，， 当时，，所以， 所以当，即时，， 由，得， 故． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量，，是同一平面内的三个向量，其中． （1）若，且，求向量的坐标； （2）若是单位向量，且，求与的夹角． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）设向量的坐标，由模的坐标表示，及向量平行的坐标表示列得关于的方程组，求解可得向量的坐标； （2）由数量积的运算律及向量夹角公式可得. 【小问1详解】 设，由，且， 得 所以或 故或； 【小问2详解】 因为，，且， 所以，即. 所以， 即. 因为夹角，所以与的夹角． 16. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，. （1）求角A的大小； （2）若，求面积的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理和三角函数恒等变换公式对原式变形化简可得，再结合角的范围，可求出角的值， （2）由余弦定理结合基本不等式可得，然后利用三角形的面积公式可求出面积的最大值 【小问1详解】 由正弦定理得， 又，所以， 所以，即. 因为，， 所以，即. 【小问2详解】 由余弦定理得，即. 所以，即. 当且仅当时，等号成立. 所以. 所以面积的最大值为. 17. 如图，在中，点满足，是线段的中点，过点的直线与线段分别交于点． （1）若，请用向量来表示向量； （2）若，求的最小值． 【答案】（1）; （2） 【解析】 【分析】（1）根据图形，利用向量的加减数乘运算即可得到向量关于的表达式； （2）由推得，结合题设条件和基本不等式即可求得答案． 【小问1详解】 解：由图和题设条件可得： ； ； 【小问2详解】 由图和可得：，即（*）， 又， 所以，即， 因三点共线，故， 又因， 当且仅当时，即时，等号成立， 即时，的最小值为． 18. 为监测风力发电机叶片的运行状态，在其中一片叶片的尖端安装一个传感器（可视为点），在稳定运行阶段，叶片可视为在匀速转动．如图，点在时刻（单位：秒）距离地面的高度（单位：米）满足，已知叶片长40米，旋转中心距离地面80米，每片叶片转一圈需要24秒，点的起始位置在最低点处 （1）求距离地面高度关于时间的函数解析式； （2）在叶片转动的一圈内，试问有多长时间点距离地面的高度不低于100米？ 【答案】（1） . （2）点 距离地面的高度不低于 米的时间为 秒. 【解析】 【分析】（1）根据题意确定振幅、周期和中线，再由初始位置在最低点求出初相，即可写出函数解析式. （2）由第（1）问得到函数解析式后，列出关于余弦函数的不等式，结合一个周期内的取值范围求解即可. 【小问1详解】 由题意可知，叶片长为 米，所以振幅 ； 旋转中心距离地面 米，所以中线为 ，即 . 每片叶片转一圈需要 秒，所以周期 ，从而， 又因为点 的起始位置在最低点处， 所以当 时，. 代入函数解析式得. 即，又 ，所以 . 因此.即. 【小问2详解】 由第（1）问可得. 由题意，需满足. 即. 设 ，则在一圈内，，故 . 所以.从而，解得. 所以在叶片转动的一圈内，点 距离地面的高度不低于 米的时间为 秒. 19. 已知函数的图象两相邻对称轴之间的距离是．若将的图象上每个点先向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得函数为偶函数 （1）求的解析式； （2）求在上的单调递增区间； （3）若对任意恒成立，求实数的取值范围 【答案】（1） （2）和 （3） 【解析】 【分析】（1）由已知利用周期计算，再根据为偶函数可得，即可得函数解析式； （2）利用整体法求出函数的单调递增区间，再结合即可求解； （3）参数分离，利用对勾函数的单调性求实数m的范围． 【小问1详解】 解：由，得，则， 则 又为偶函数，所以， 解得， 又，所以，故； 【小问2详解】 解：由（１）知， 又函数的单调递增区间为， ， 解得， 所以在上的单调递增区间为和； 【小问3详解】 解：因为，所以，， 故，， 而恒成立， 即， 整理可得，令，， 设，， 设，且， 则， 由于，，则，所以， 即在区间上单调递增，故， 故，即实数m的取值范围是． 20. 定义函数的“源向量”为，非零向量的“伴随函数”为，其中为坐标原点． （1）若向量的“伴随函数”为，求在的值域； （2）若函数的“源向量”为，且以为圆心，为半径的圆内切于正（顶点恰好在轴的正半轴上），求证：为定值； （3）在中，角的对边分别为，若函数的“源向量”为，且已知，求的取值范围． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据“伴随函数”定义可得，可得值域； （2）利用向量的坐标运算即可求得； （3）由余弦定理并利用二次函数性质即可得的取值范围. 【小问1详解】 函数的“源向量”为， 所以， 所以函数的值域为 【小问2详解】 因为，则，则， 又，所以）， 且，从而， ， 则 ； 因此可得为定值． 【小问3详解】 如下图所示： 函数的“源向量”为， 则，则 则 则又， 即， 所以， 因为，即，当且仅当时取等号， 又因为当顶点无限接近顶点，边无限接近0，即无限接近0， 综上所述， 令，则 从而，其中， 所以， 即的取值范围． 【点睛】关键点点睛：本题关键在于理解“源向量”和“伴随函数”的定义，并能写出“源向量”的伴随函数以及某函数的“源向量”，再根据三角函数性质、平面向量运算法则求得结果. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 海南华侨中学2025-2026学年第二学期 高一年级第一次阶段考数学科 考试时间：120分钟 满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列函数中，既是偶函数又是周期函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知四边形为平行四边形，，，则（ ） A. B. C. D. 3. 在中，其内角的对边分别为，已知，则边长（ ） A. B. C. D. 4. 下面四个数中，与最接近的是（） A. B. C. D. 0 5. 如图，海平面上的甲船位于中心的南偏西且与相距7海里的处，现甲船以13海里/小时的速度沿直线去营救位于中心正东方向8海里的处的乙船，则甲船到达处需要的时间为（ ） A. 小时 B. 1小时 C. 小时 D. 2小时 6. 在直角梯形中，为中点，若，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，若在区间内没有零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知为的外心，且，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. ． D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则与方向相同 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变，可以得到的图象 C. 函数的图象关于点中心对称 D. 若函数在有且仅有4个零点，则的取值范围是 11. 如图，边长为3的等边三角形的外接圆为圆，为圆上任一点，若，则的可能取值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则___________． 13. 作用于同一点的三个力平衡，已知与之间的夹角是，则力的大小为___________N． 14. 若对恒成立，则_______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量，，是同一平面内的三个向量，其中． （1）若，且，求向量的坐标； （2）若是单位向量，且，求与的夹角． 16. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，. （1）求角A的大小； （2）若，求面积的最大值. 17. 如图，在中，点满足，是线段的中点，过点的直线与线段分别交于点． （1）若，请用向量来表示向量； （2）若，求的最小值． 18. 为监测风力发电机叶片的运行状态，在其中一片叶片的尖端安装一个传感器（可视为点），在稳定运行阶段，叶片可视为在匀速转动．如图，点在时刻（单位：秒）距离地面的高度（单位：米）满足，已知叶片长40米，旋转中心距离地面80米，每片叶片转一圈需要24秒，点的起始位置在最低点处 （1）求距离地面高度关于时间的函数解析式； （2）在叶片转动的一圈内，试问有多长时间点距离地面的高度不低于100米？ 19. 已知函数的图象两相邻对称轴之间的距离是．若将的图象上每个点先向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得函数为偶函数 （1）求的解析式； （2）求在上的单调递增区间； （3）若对任意恒成立，求实数的取值范围 20. 定义函数的“源向量”为，非零向量的“伴随函数”为，其中为坐标原点． （1）若向量的“伴随函数”为，求在的值域； （2）若函数的“源向量”为，且以为圆心，为半径的圆内切于正（顶点恰好在轴的正半轴上），求证：为定值； （3）在中，角的对边分别为，若函数的“源向量”为，且已知，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $